Суперкомпьютерное исследование движения ионов в ловушках Кингдона и Пеннинга с полным учетом кулоновского взаимодействия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Российская академия наук

Институт энергетических проблем химической физики

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

01.04.17 - химическая физика, горение и взрыв, физика экстремальных состояний вещества

Суперкомпьютерное исследование движения ионов в ловушках Кингдона и Пеннинга с полным учетом кулоновского взаимодействия

Рюмин Павел Александрович

Москва, 2011 г.

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте энергетических проблем химической физики РАН

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Николаев Евгений Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Разников Валерий Владиславович

доктор физико-математических наук Трахтенберг Леонид Израилевич

Ведущая организация: Московский физико-технический институт(государственный университет)

Ученый секретарь диссертационного совета Д 002.112.01 кандидат физико-математических наук Ларичев М.Н.

1. Общая характеристика работы

Введение. Актуальность проблемы.

Современная масс-спектрометрия является одним из основных аналитических методов, применяемых в различных областях химии и биологии. Высокая чувствительность и информативность, а также большой динамический диапазон и возможность тандемного использования с различными методами разделения смесей анализируемых веществ делают этот метод предпочтительным для решения широкого круга задач.

Наилучшими аналитическими характеристиками среди всех видов масс-спектрометров, такими как разрешающая способность и точность определения масс, обладают масс-спектрометры с преобразованием Фурье. К таким масс-спектрометрам относятся приборы, основанные на принципе ионного циклотронного резонанса (ИЦР) и на принципе орбитальной ловушки Кингдона (Орбитрэп). В масс-спектрометрах такого типа ионы запираются в определенной области пространства электромагнитным или электрическим полем, в котором совершают периодические движения. Для измерения отношения массы к заряду регистрируется частота этих движений по наведенному на электродах ловушки заряду изображения. После регистрации сигнал подвергается частотному анализу, чаще всего для этого используют преобразование Фурье. Разрешающая способность при таком методе измерения зависит от длительности измеряемого сигнала. В общем случае лимитирующими факторами для получения длительного сигнала являются недостаточный вакуум, а также неидеальности электрического и магнитного поля. В экспериментах с большим количеством частиц на движение ионов также начинает влиять кулоновское взаимодействие и взаимодействие с зарядом, наводимым ионами на стенках электродов. Получаемые в результате частотного анализа спектры частот преобразуются в спектры масс по известным соотношениям, связывающим частоту с отношением массы к заряду ионов. Большое количество ионов в ионных ловушках типа Пеннинга (ИЦР ПФ) и Кингдона (Орбитрэп) приводит к таким явлениям как коалесценция пиков в масс-спектрах и разрушение ионных облаков из-за их взаимодействия, что не позволяет достигать высокую разрешающую способность одновременно с достижением большого динамического диапазона. Показано, что при наличии в ловушке ионов с разным отношением массы к заряду кулоновское взаимодействие между образуемыми ими облаками приводит к частотным сдвигам, которые ограничивают точность измерения масс. Даже в том случае, когда в ловушке изолируются только ионы с одним отношением массы к заряду, при значительном радиусе возбуждения взаимодействие со стенками электродов так же приводит к сдвигу циклотронной частоты [1]. Подобные эффекты наблюдаются также и в ловушке Кингдона[2].

При экспериментальном подходе к исследованию этих явлений возникают серьезные трудности, связанные с тем, что невозможно точно определить количество ионов, участвующих в эксперименте, так же невозможно узнать их пространственное распределение. Другим подходом к решению задачи определения влияния кулоновского взаимодействия ионов в ловушках является компьютерное моделирование их движения. Такой подход позволяет контролировать как количество заряженных частиц, так и их положения и скорости в каждый момент времени.

До недавнего времени моделирование одновременного движения большого числа ионов было невозможно из-за недостаточной производительности компьютеров. Первые работы по моделированию были посвящены движению отдельных ионов в различных электрических полях. Появление коммерческой программы SIMION [3] значительно упростило понимание различных аспектов движения единичных ионов в ионных ловушках произвольной геометрии. Эта программа способна рассчитывать траектории отдельных частиц в различных измерительных ячейках ИЦР с довольно высокой точностью. Однако программа не предоставляет достаточно адекватных возможностей учитывать кулоновское взаимодействие между ионами.

Кулоновское взаимодействие можно моделировать, вычисляя на каждом шаге попарное взаимодействие всех ионов, находящихся в ячейке. Однако временные затраты таких вычислений растут квадратично с ростом количества частиц, что приводит к недопустимо большим временам расчетов.

В физике плазмы был разработан подход «частица в ячейке» (PIC), в котором время вычислений зависит линейно от количества частиц. С использованием этого метода несколькими группами было промоделировано движение ионных ансамблей в кубической ловушке Пеннинга, использовавшейся в масс-спектрометрии ИЦР. Основным недостатком метода «частица в ячейке» является отсутствие возможности моделирования движения ионов в ловушках с неорторомбической геометрией электродов, как в большинстве реальных устройств.

В диссертации предложен метод, который позволяет моделировать движение ионов с учетом межионного кулоновского взаимодействия, а также взаимодействия с зарядами, наводимыми на стенках электродов в ловушках с произвольной геометрией. Для случаев, когда ловушки обладают пространственной симметрией, предложен алгоритм, который, используя эту симметрию, позволяет существенно сократить время расчета, а также потребляемую память. Промоделирована возможность исследования движения больших ионных ансамблей в ловушке Кингдона. Исследована возможность аксиального детектирования в ловушке Пеннинга с динамической гармонизацией поля.

Цели и задачи: Целью настоящей работы было создание суперкомпьютерного алгоритма, позволяющего моделировать движение ионов в больших ионных ансамблях с учетом кулоновского взаимодействия между ионами, а также взаимодействия ионов с наведенными зарядами-изображениями на электродах, выявление особенностей движения больших ионных ансамблей в ловушке Кингдона, определение возможности детектирования сигнала от ионов, совершающих аксиальные колебания в ячейке Пеннинга с динамической гармонизацией.

Научная новизна работы. Создан алгоритм, позволяющий учитывать взаимодействие ионов с наведенными зарядами-изображениями на электродах ионных ловушек произвольной геометрии. Разработано программное обеспечение для моделирования движения ионных ансамблей в ловушках произвольной геометрии. Создан алгоритм, который при наличии симметрии ионных ловушек позволяет значительно сократить время расчета. Обнаружены эффекты коллективного взаимодействия ионов в ионных ансамблях в ловушке Кингдона. Продемонстрирована возможность детектирования сигнала от ионов, совершающих аксиальные колебания в ячейке Пеннинга с динамической гармонизацией.

Практическая значимость работы. Разработанные алгоритмы и их программная реализация позволяют провести реалистичное моделирование движения ионов в различных ионных ловушках и системах транспорта ионов. Проведенный анализ движения ионов в ловушке Кингдона показывает возможные ограничения, связанные с максимальным количеством ионов, одновременно находящихся в ячейке. Исследована возможность аксиального детектирования в ловушке Пеннинга с динамической гармонизацией как потенциального масс-спектрометрического метода. Полученные результаты могут быть применены при создании новых типов устройств в масс-спектрометрии ионного циклотронного резонанса и в масс-спектрометрии, использующей орбитальные ловушки.

Личный вклад автора. Автор внес основной вклад в разработку алгоритма по учету взаимодействия ионов с наведенными зарядами-изображениями на электродах ионных ловушек произвольной геометрии и его программную реализацию, а так же алгоритма, который учитывает симметрию задачи. Исследование движения ионных ансамблей в ловушке Кингдона и возможности аксиального детектирования в ловушке Пеннинга с динамической гармонизацией выполнено совместно с И.А. Болдиным (ИНЭП ХФ РАН).

Защищаемые положения.

Предложен алгоритм для исследования движения ионных ансамблей с полным учетом кулоновского взаимодействия и взаимодействия со стенками электродов в ионных ловушках с произвольной геометрией.

Создан алгоритм, который при наличии симметрии ионных ловушек позволяет значительно сократить использование памяти и время расчета.

Обнаружены эффекты коллективного взаимодействия ионов в ионных ансамблях в ловушке Кингдона.

Исследована возможность аксиального детектирования в ловушке Пеннинга с динамической гармонизацией как потенциального масс-спектрометрического метода.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих российских и международных конференциях: 58-ая Ежегодная конференция американского масс-спектрометрического общества «Масс-спектрометрия и смежные темы», Солт Лейк Сити, США, 23-27 мая 2010; 4-я Всероссийская конференция «Фундаментальные вопросы масс-спектрометрии, и ее аналитические применения», Звенигород, Россия, 10-14 октября 2010; 57-ая Ежегодная конференция американского масс-спектрометрического общества «Масс-спектрометрия и смежные темы», Филадельфия, США, июнь 2009, 56-ая Ежегодная конференция американского масс-спектрометрического общества «Масс-спектрометрия и смежные темы», Денвер, США, июнь 2008, 55-ая Ежегодная конференция американского масс-спектрометрического общества «Масс-спектрометрия и смежные темы», Индианаполис, США, июнь 2007, 8^th European FTMS conference, Москва, август 2007.

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в работах, список которых приводится в конце автореферата. Работы, результаты которых изложены в диссертации, выполнены при поддержке грантов РФФИ.

Структура и объем диссертации. Работа изложена на 93 страницах, содержит 32 рисунка и 3 таблицы. Диссертация состоит из пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы.

2. Основное содержание работы

В первой главе дается краткое введение в масс-спектрометрию ИЦР ПФ и масс-спектрометрию, использующую орбитальные ловушки - Орбитрэп. Описываются различные подходы, применяемые для моделирования движения заряженных частиц в масс-анализаторах. Формулируется проблема, решение которой является основным результатом диссертации. Проводится обзор работ по данной теме.

Самыми высокими разрешающей способностью и точностью измерения масс обладают масс-спектрометры ионного циклотронного резонанса с преобразованием Фурье (ИЦР ПФ). В ИЦР ПФ ионы запираются в аксиальном направлении электрическим полем, а в радиальном направлении сильным магнитным полем. Другим типом масс-спектрометров с преобразованием Фурье (Орбитрэп) являются орбитальные ионные ловушки. В масс-спектрометре Орбитрэп ионы удерживаются в электрическом поле цилиндрически симметричного конденсатора с определенным образом профилированными электродами. Ионы в этих приборах совершают три типа периодических движений, одно из которых - аксиальное является гармоническим, по измерению частоты которого определяют массу ионов. Для того, чтобы с высокой точностью определить отношение массы к заряду частота периодического движения, по которой проводится измерение отношения массы к заряду иона, не должна зависеть от разброса ионов по энергиям. В случае масс-спектрометра ИЦР ПФ для измерения отношения массы к заряду может быть выбрана частота циклотронного движения или частота аксиальных колебаний, а в масс-спектрометре Орбитрэп только частота аксиальных колебаний. Ионный пакет, совершая периодические движения, наводит заряд на детектирующих пластинах. Частота аксиальных колебаний зависит от отношения массы к заряду, но не зависит от энергии иона. После регистрации сигнал подвергается частотному анализу. Чаще всего для этих целей используется преобразование Фурье.

Из-за того, что на движение ионов оказывает влияние электрическое поле от других ионов, а так же поле наведенного на стенках электродов заряда, частота движения зависит от количества ионов в ловушке, а сами облака подвержены разрушению. Из-за разрушения облаков сигнал, наводимый на детектирующие электроды, затухает. Так как экспериментальное исследование этих эффектов сталкивается с проблемой определения количества ионов с разными отношениями m/z, а так же их пространственного распределения, то прибегают к компьютерному моделированию динамики ионных облаков, в котором указанных неопределенностей не существует.

Обзор существующих методов компьютерного моделирования.

Наиболее простым подходом к решению задачи о движении ионов с учетом их взаимодействия является метод PP (Particle-Particle, частица частица). Ион-ионное взаимодействие учитывается путем расчета электрического поля, создаваемого каждым ионом в точках, где находятся все остальные ионы. При этом взаимодействие с зарядами, наводимыми на электродах, вообще не учитывается, то есть метод целесообразно использовать, только если ионы не подходят близко к стенкам электродов. Другой недостаток этого метода - быстрый рост объемов вычислений с ростом числа частиц (O(N²), N - число частиц). Обычно метод используется, если количество частиц составляет несколько тысяч; для расчета движения десятков тысяч частиц с помощью метода РР используется распараллеливание вычислений на суперкомпьютерах. Метод, позволяющий избежать этой проблемы и работать с большим количеством частиц - это метод PIC (Particle-in-Cell - частица в ячейке).

Метод PIC известен с 1955 г. и широко применяется в физике плазмы. Идея метода состоит в том, чтобы не рассчитывать ион-ионные взаимодействия по одному (как в методе PP), а интерполировать заряды в узлы вычислительной сетки. Тогда количество зарядов получается равным числу узлов сетки. Затем на этой сетке решается уравнение Пуассона . Для этого могут быть использованы различные алгоритмы, но самым быстрым при использовании параллельных вычислений является метод быстрого преобразования Фурье (БПФ). БПФ является прямым методом, то есть после выполнения определённого числа шагов, он дает результат, точность которого зависит от мелкости сетки разбиения, в отличие от итерационных методов, где каждый шаг алгоритма уменьшает ошибку в определенное число раз. Количество вычислительных операций в методе PIC пропорционально (N + N_g log N_g), где N - количество частиц, а N_g - число узлов сетки.

Недостаток метода БПФ состоит в том, что он применим только к устройствам прямоугольной геометрии, тогда как реальные масс-спектрометрические устройства могут иметь электроды любой формы. Чтобы преодолеть это ограничение метода БПФ предлагается алгоритм, использующий метод емкостной матрицы.

Обзор предыдущих работ

Одной из первых попыток моделировать кулоновское взаимодействие ионов в ловушке была работа группы Николаева [4]. Моделировалось поведение системы, включающей до 1024 ионов на ЭВМ с 1024 процессорами (25 MHz SPARC, 16 MB RAM). Поле ловушки вычислялось в узлах сетки и интерполировалось на частицы; кулоновские взаимодействия рассчитывались по методу PP, взаимодействие с зарядами-изображениями не учитывалось; число шагов по времени было ограничено 50000. Для расчета большего количества частиц использовалось приближение квази-ионов (замену группы ионов одним многозарядным ионом).

Следующим шагом в области моделирования систем большого числа частиц, заключенных в ловушку ИЦР ПФ масс-спектрометра, была работа по двумерному моделированию, выполненная Митчеллом и Смитом [5]. Для своего двумерного кода они использовали модель PIC, до этого не применявшуюся в масс-спектрометрии. Возможности программы были продемонстрированы при исследовании вопросов, связанных с равновесием ионных облаков в отсутствии возбуждения их циклотронного движения. Первое реалистичное трехмерное моделирование ИЦР ПФ масс-спектрометра было выполнено в работе Митчелла [6], в которой он представил новый трехмерный код PIC3D как расширение двумерного кода. Численные эксперименты включали до 500000 частиц, выполнялось 100000 итераций; расчеты проводились на рабочей станции на базе процессора 500 MHz Dec/Alpha и занимали от одного до четырех дней.

В 2006 году Николаев и др. представили усовершенствованный вычислительный алгоритм PIC с использованием более мощных суперкомпьютеров [7]. Было проведено исследование динамики ионных пакетов в условиях полей, создаваемых кубической ловушкой масс-спектрометра, а также влияния кулоновских сил на характер эволюции ионных облаков. Использование более мощных компьютеров позволило значительно сократить время вычислений для сигналов с длительностью, достигаемой экспериментально.

Во второй главе излагается метод емкостной матрицы, а так же его ограничения. Заряженные частицы, находящиеся в окружении электродов, индуцируют заряды на поверхности этих электродов, таким образом, что потенциал оказывается постоянным вдоль электродов, что требует универсальное условие эквипотенциальности проводников. Этот процесс можно моделировать, распределяя виртуальные заряды рядом с поверхностями электродов таким образом, чтобы потенциал в точках каждого электрода оказался равным наперед заданному значению. Один из методов нахождения нужного распределения зарядов - это метод емкостной матрицы. Емкостная матрица (C) - это матрица в системе линейных уравнений Cj--= q, где j - столбец, содержащий значения потенциала в определенном наборе точек, а q - вектор величин зарядов, находящихся в этих точках (в действительности для лучшей устойчивости решения точки, в которых размещены заряды, немного смещены от точек, в которых измеряется потенциал).

Рассмотрим метод емкостной матрицы на примере ловушки Кингдона (рис. 1). Сначала нужно поместить поверхности электродов в прямоугольную вычислительную сетку (на этой сетке будет решаться уравнения Пуассона методом БПФ) и заменить электроды емкостями (рис. 2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Ловушка Кингдона (Orbitrap) в разрезе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Поверхности, образующие электроды, помещаются в соответствующую прямоугольную вычислительную сетку, и электроды заменяются набором точек. На рисунке заменен только внутренний электрод

Каждый элемент поверхности (емкость) моделируется двумя близко лежащими точками - в одной будет вычисляться потенциал, в другую помещаются заряды. Для того, чтобы найти емкостную матрицу, нужно разместить в соответствующую точку каждого элемента поверхности единичный заряд и вычислить методом БПФ потенциалы, наведенные этим зарядом на каждую емкость и повторить эту процедуру для каждой емкости. Значения потенциалов в соответствующих точках образуют столбец матрицы A (рис. 3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 3. На рисунке схематически изображено приближение электродов 2-мя наборами точек и вычисление матрицы А. Черные сплошные точки -- места, где измеряется потенциал, незакрашенные точки -- места куда помещается поверхностный заряд

(1)

Как видно, матрица A есть матрица обратная матрице C:

 (2)

(3)

Таким образом, после нахождения матрицы A надо ее обратить, получив матрицу C. После этого матрица C сохраняется в памяти компьютера и используется при расчете электрического поля в основной программе. Матрицу С необходимо вычислить один раз для каждой конфигурации электродов.

Полный алгоритм расчета движения ионов на каждом временном шаге выглядит так:

1) Интерполяция зарядов ионов в узлы вычислительной сетки;

2) Решение уравнения Пуассона методом БПФ;

3) Экстраполяция значений потенциалов из узлов сетки в точки емкостей (алгоритм идентичен алгоритму интерполяции поля в точки, где находятся ионы);

4) Определение столбца зарядов емкостей путем умножения матрицы C на столбец потенциалов, представляющий собой разность изначально заданного потенциала электрода и потенциала, полученного в пункте 3;

5) Интерполяция зарядов ионов и зарядов емкостей на узлы вычислительной сетки;

6) Решение уравнения Пуассона методом FFT с учетом как ионов, так и зарядов емкостей;

7) Вычисление напряженности электрического поля в узлах вычислительной сетки;

8) Экстраполяция напряженности поля на ионы;

9) Интегрирование уравнений движения;

Помимо электрического поля, создаваемого самими ионами, в масс-спектрометрических устройствах надо учитывать поле электродов: на электроды может подаваться переменное или постоянное напряжение, которое создает дополнительное электрическое поле в ловушке. При вычислении суммарного электрического поля можно использовать два разных подхода. Один из них был описан выше: значения потенциалов электродов подставляются в формулу (1) и вычисляются значения зарядов емкостей, которые создадут в точках электрода нужный потенциал. Этот наиболее очевидный метод, но электрическое поле, создаваемое электродами, вычисляется этим методом недостаточно точно. Определенного числа клеток сетки, используемых алгоритмом БПФ, может быть достаточно для вычисления поля, создаваемого ионами, но недостаточно для вычисления поля электродов с удовлетворительной точностью. Вообще, неоправданно использование метода БПФ для вычисления поля электродов, так как он предназначен для расчета полей, создаваемых облаками, состоящими из большого количества заряженных частиц.

Другой метод основывается на том, что в силу принципа суперпозиции можно рассчитать поле электродов и поле ионов отдельно, а затем сложить их, получив результирующее поле. Поле электродов при этом можно рассчитать один раз и прибавлять его к полю ионов, рассчитываемому на каждом временном шаге. Сначала однократно и с существенно большей точностью вычисляется поле электродов при отсутствии ионов и записывается в память компьютера. В некоторых случаях можно даже не вычислять поле электродов, если известно их аналитическое выражение, например. ловушки Пауля и Кингдона (если не учитывается искажение поля вследствие конечности размеров ловушки). Такой подход применим и в случае переменного поля - тогда надо по очереди подать потенциал 1 В на каждый электрод, а на остальные нулевой, тогда поле при любых потенциалах электродов может быть найдено как линейная комбинация вычисленных. После вычисления поля электродов начинается основной цикл программы, в котором на каждом шаге методом емкостной матрицы вычисляется поле ионов (при этом потенциал электродов считается нулевым), а к нему добавляется вычисленное заранее поле электродов.

Для проверки описанного алгоритма было проведено моделирование движения ионов в кубической ячейке ИЦР, и его результат был сравнен с моделированием методом PIC.

Точность вычисления поля зависит от числа емкостей моделирующих электрод. Одним из недостатков прямого емкостного метода является квадратичная зависимость времени вычисления и используемой памяти компьютера от числа емкостей. В таблице 1 приводятся характерные времена вычислений на каждом шаге, которые показывают, что с определенного момента процедура решения системы линейных уравнений(СЛАУ) является лимитирующей.

Таблица 1. Характерные времена вычисления различных процедур, выполняемых на каждом шаге, измеренные в секундах. Вычисления производились на 1 процессоре 1,1 Ггц серверной системы IBM eServer pSeries 690

Количество емкостей, аппроксимирующих электроды	294	726	1536	3174	5766
Решение уравнения Пуассона методом FFT	0,04с	0,04с	0,04с	0,04с	0,04с
Решение СЛАУ	0,005с	0,015с	0,045с	0,3с	0,9с
Остальные процедуры	0,2с	0,2с	0,2с	0,2с	0,2с
Суммарное время	0,25с	0,26с	0,29с	0,54с	1,14с

В третьей главе предлагается улучшенный емкостной метод, который позволяет использовать симметрию задачи.

Электроды многих масс-спектрометров обладают симметрией, некоторые устройства обладают симметрией высокого порядка - симметрией вращения. При выборе точек, которые заменяют поверхность электрода, с учетом этой симметрии можно существенно сократить вычислительную сложность задачи. Основная идея состоит в том, чтобы преобразовать существующую СЛАУ, решить полученную систему со значительно меньшими вычислительными затратами и преобразовать обратно полученное решение. Впервые идея использовать симметрию в задачах такого рода была предложена Алговером [8].

Схема дискретизации выбирается таким образом, чтобы при поворотах и отражениях множество элементов, которые заменяют поверхность, переходило само в себя, меняя лишь индексы, соответствующие каждому элементу (рис. 4).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 4. Преоразования индексов, которые образуют абелеву группу С4

Группа действует на множество индексов, переставляя их местами. В случае, когда значения матрицы зависят только от расстояния между точками, матрица не меняется при перестановке индексов, так как при повороте сохраняются расстояния между точками.

Матрица называется эквивариантной под действием группы , если

, для всех и , (4)

где - множество индексов, а - группа симметрии.

При выборе схемы дискретизации, которая учитывает симметрию матрица эквивариантна под действием группы, описывающей эту симметрию. Отсюда следует, что для хранения матрицы требуется место только под определенные столбцы, например для случая, изображенного на рисунке 5, нужно рассчитать только первый и пятый столбцы, остальные значения можно получить из (4). Индексы, которые выбираются как базовые и сохраняются в память, будут называться независимыми.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 5. Набор независимых индексов

Действие группы на множество называется свободным, если множество индексов, которые переходят сами в себя, в результате действия любого элемента группы, кроме единичного, пустое.

Для столбца значений (например столбца потенциалов из (1)), в случае, когда действие группы свободно можно определить обобщенное дискретное преобразование Фурье:

, (5)

Где - элемент столбца, - группа , порядок группы, множество неприводимых представлений, - степень представления.

Для каждого и выполняются уравнения:

, (6)

Тогда обратное преобразование может быть определено как:

, (7)

Где - след матрицы, в случае абелевой группы равный самому элементу , - элемент столбца, - группа, - порядок группы, - множество неприводимых представлений, - степень представления.

Возвращаясь к СЛАУ (1), можно показать, что если матрица эквивариантна и схема дискретизации учитывает симметрию, а группа симметрии выбрана таким образом, что действие группы на множество индексов свободно, то справедливо уравнение:

, , (8)

где - порядок группы, - множество неприводимых представлений, - степень представления, - множество индексов, - множество независимых индексов.

Применяя (10), мы можем привести исходную систему(1) к блочно-диагональному виду:

, (9)

Где - матрица размером . Такая система уравнений решается значительно быстрее исходной. Матрицы содержат только действительные числа, тогда как преобразованные столбцы потенциалов и зарядов могут быть мнимыми, так что для каждой матрицы , требуется решить 2 системы уравнений.

Общий алгоритм решения СЛАУ выглядит так:

Выполнить обобщенное дискретное преобразование Фурье от матрицы А из (1) воспользовавшись (8). Этот шаг может быть выполнен на предварительной стадии, а его результат сохранен в память компьютера.

Выполнить обобщенное дискретное преобразование Фурье от столбца потенциалов на каждом шаге, воспользовавшись (5).

Решить 2n систем уравнений (одна для действительной части, другая для мнимой), где n - количество неприводимых представлений (в случае абелевой группы равное порядку группы)

Сложить действительную и мнимую части решения.

Используя (6) восстановить все значения столбца

Воспользовавшись (7), посчитать обратное преобразование столбца

Следует отметить, что данный алгоритм не накладывает никаких ограничений на столбец потенциалов из (1).

Таблица 2. Времена решения СЛАУ в случае использования симметрии задачи и в случае прямого вычисления

Количество точек	Прямое решение СЛАУ	Используя симметрию задачи
2500	0.016с	0.004с
6400	0.17с	0,016с
10000	0,38с	0,028с

Таблица 3. Использование оперативной памяти при решении СЛАУ в случае использования симметрии задачи и в случае прямого вычисления

Количество точек	Прямое решение СЛАУ	Используя симметрию задачи
2500	146 Мб	1.2 Мб
6400	952Мб	10 Мб
10000	2.3 Гб	20 Мб

Этот алгоритм запрограммирован на языке Фортран. Сравнительные времена вычисления операции на каждом шаге и используемая память приведены в табл. 2 и табл. 3 соответственно.

В данном примере использовалась схема дискретизации, применимая при аппроксимации цилиндрической ячейки ИЦР. Аналогичная схема дискретизации может быть использована при аппроксимации ячейки Пеннинга с динамической гармонизацией, с заданными другим образом граничными условиями. В случае 2500 точек использовалось 25 независимых индексов, в случаях 6400 и 10000 80 и 100 соответственно.

В четвертой главе представлены результаты моделирования движения различного количества ионов в ловушке Кингдона.

Ловушка Кингдона моделировалась 1600 емкостями. Вычисления проводились в кубе со стороной 40,6 мм. Форма электродов задавалась уравнением:

, (10)

(i - номер электрода, 1 соответствует внешнему электроду, 2 - внутреннему), R1 = 15 мм, R1 = 6 мм, R1 = 20,3 мм. Поле электродов задавалось аналитически формулой:

, (11)

k=1,412•107 В/м. Напряжение между электродами 2 кВ. Для исследования взаимодействия ионных облаков близких масс в ловушку запускались ионы двух масс: 100 Да и 100,5 Да. Начальная скорость ионов была подобрана таким образом, чтобы они двигались по окружности (в координатах xy) - 4,65•104 м/с (соответствует энергии 1,12 кэВ). Был использован временной шаг 3•10^-8 с. Для получения временного сигнала вычислялась разность суммы зарядов на емкостях одной половины ловушки и суммы зарядов противоположной половины. Рассчитанное время движения 4 мс. Для исследования влияния эффектов объемного заряда на движение ионных облаков было рассчитано движение ионных облаков, состоящих из различного количества ионов. При 1000 ионов каждой массы движение облаков, временной сигнал и Фурье-спектр выглядят совершенно невозмущенными ион-ионными взаимодействиями (рис. 6).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 6. Ионные облака (сверху проекция XY, снизу XZ), временной сигнал и частотный спектр 2000 ионов

Для моделирования большего количества ионов нами была применена модель квази-ионов, то есть 10⁶ ионов с массой 100 и зарядом 1 моделировались 10³ ионами с массой 10⁵ и зарядом 10³. Адекватность модели была проверена путем сравнения динамики движения ионных облаков в случае 10³ квази-ионов с массой 10⁵ зарядом 10³ и в случае 10⁴ квази-ионов с массой 10⁴ зарядом 10²; расчет показал, что движение облаков в этих случаях идентично. На рис. 7 представлены результаты расчета с квази-ионами массой 10⁵ и зарядом 10³, моделирующими 10⁶ ионов каждой массы.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 7. Ионные облака (сверху проекция XY, снизу XZ), временной сигнал и частотный спектр 2 млн. ионов

При таком количестве ионов эффекты объемного заряда играют существенную роль. Ионное облако разделяется на три части: две - это кольца с равномерным распределением ионов, а третья представляет собой небольшой сгусток. Этот сгусток состоит из частиц обеих масс и в течение эксперимента разделяется на два сгустка, намного медленнее, чем основная масса частиц разделяется на кольца. Сгусток двигается с частотой отличной от частоты движения колец, образованных ионами обеих масс и на Фурье-спектре дает третий пик в дополнение к пикам, соответствующим ионам двух измеряемых масс.

В пятой главе описывается исследование возможности аксиального детектирования в ячейке Пеннинга с динамической гармонизацией. В некоторых ячейках Пеннинга для определения массы можно измерять частоту аксиального движения.

Для того, чтобы измерять частоту аксиального движения нужно, чтобы эта частота не зависела от амплитуды. Известно поле, в котором частота не зависит от амплитуды - это гиперболическое поле:

, (12)

где - это электрический потенциал, , это коэффициент пропорциональный запирающему потенциалу, и направление выбрано параллельно направлению вектора магнитного поля. В таком поле аксиальные колебания являются гармоническими. Самым очевидным способом его получения является использование гиперболических электродов.

Такую конфигурацию в своих работах по определению масс элементарных частиц применяла группа Демельта [9]. Для них преимуществом аксиального детектирования было то, что для очень легких частиц (например, электрона) аксиальная частота значительно ниже циклотронной и ее удобнее измерять. Однако применение данного метода не нашло широкого распространения в связи с тем, что рабочая область однородного магнитного поля существенно сокращается при использовании электродов такой формы. Это приводит к уменьшению чувствительности, большему влиянию объемного заряда и сложности в изготовлении.

Болдиным и Николаевым[10,11] был предложен метод, в котором создается не настоящее гармоническое поле в ячейке, а поле, которое становится гармоническим после усреднения по циклотронному движению ионов. Такое поле получается при сегментировании боковых электродов ячейки Пеннинга, и приложении к сегментам соответствующих потенциалов. как показано на рис. 8а. В качестве торцевых электродов выбираются электроды гиперболической формы или для простоты изготовления электроды сферической формы ( рис 8б).



а) б)

Рис. 8. Основные принципы гармонизации, сегментирование боковых электродов, торцевые электроды сферической формы

На торцевые электроды и вогнутые электроды подается запирающий потенциал V, а центральные выпуклые электроды заземляются. Такая конфигурация делает возможным аксиальное детектирование в ячейке Пеннинга, в случае, если выполняются условия усреднения. Так как частота аксиальных колебаний не зависит от магнитного поля, то на разрешающую способность при таком методе детектирования не влияют неоднородности магнитного поля, в отличии от традиционного детектирования циклотронных частот. Для детектирования аксиальной частоты боковые электроды ячейки разрезаются на две равные части в плоскости перпендикулярной магнитному полю для измерения разности, наведенного на эти части заряда от ионов, находящихся в ячейке.

Возможность использования такого типа измерительной ячейки в масс-спектрометрах ИЦР ПФ была подтверждена численными экспериментами. Была продемонстрирована разрешающая способность 10⁴. Спектр и сигнал изображены на рис. 9.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 9. Масс-спектр и сигнал полученный в численном эксперименте в ячейке Пеннинга с динамической гармонизацией. Разрешающая способность 104, время измерения сигнала 0.88 с

В численном эксперименте моделировалось движение ионов массой 1000 и 1000.1 Да. Магнитное поле в эксперименте было равным 5Т. Длина ячейки 150мм, внутренний диаметр равен 56мм. На запирающие электроды подавался потенциал равный 1кВ.

В предложенном масс-спектрометре ионы удерживаются в аксиальном направлении гармонизированным запирающим потенциалом, а в радиальном направлении магнитным полем. Напряженность магнитного поля должна быть достаточной для усреднения запирающего электрического поля и удержания ионов в радиальном направлении. Для удержания ионов с большим m/z требуется большее магнитное поле при одинаковом запирающем потенциале. При заданном магнитном поле и запирающем электрическом потенциале в обычной ячейке Пеннинга ионы с отношением больше определенного не удерживаются. Эта зависимость выражается формулой [12]:

, (13)

где - заряд, - длина ячейки, - величина магнитного поля, - запирающее напряжение, а - эмпирический коэффициент, зависящий от геометрии ячейки.

Для исследуемой ячейки было показано, что критическая масса меньше теоретической, что связано с недостаточным эффективным усреднением. Ячейку Пеннинга с динамической гармонизацией можно изготовлять с разным количеством боковых секторов. Два варианта показаны на рис. 10.

Рис. 10. Схемы измерительной ячейки при различных количествах секторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 11. Зависимость критической массы от запирающего потенциала, при разном количестве секторов. Верхняя штриховая линия - теоретический предел удержания ионов, далее предел удержания ионов в ловушках с 32,16,8,4 секторами соответственно

Для ловушек с различным количеством секторов была промоделирована зависимость критической массы от запирающего напряжения (рис. 11). Магнитное поле в численном эксперименте было равно 5Т, длина ячейки 150мм.

В заключении приводятся основные выводы:

Создан суперкомпьютерный алгоритм для моделирования движения ионов в масс-спектрометрических устройствах с произвольной геометрией электродов, позволяющий моделировать движение ионов в больших ионных ансамблях с учетом кулоновского взаимодействия между ионами, а так же взаимодействия ионов с наведенными зарядами-изображениями на электродах.

Создан алгоритм расчета электрических полей в ловушках, обладающих симметрией, использующий эту симметрию для существенного сокращения времени расчета.

Исследовано влияние объемного заряда на движение ионов в ловушке Кингдона.

Показана возможность детектирования сигнала от ионов, совершающих аксиальные колебания в ячейке Пеннинга с динамической гармонизацией.

Выявлены особенности движения больших ионных ансамблей в ловушке Кингдона.

Литература

кулоновский движение ион

1. Wong, R.L.; Amster, I.J., Int. J. Mass Spectrom. 2007, 265, 99-105.

2. Makarov, A.; Denisov, E.; Lange, O.; Horning, S., J. Am. Soc. Mass Spectrom. 2006, 17, 977-982.

3. Dahl DA. SIMION 3D version 7.0 User's manual, 1995.

4. Nikolaev EN, Miluchihin NV, Inoue M. Int. J. Mass Spectrom. Ion Processes 1995; 148: 145.

5. Mitchell, D.W.; Smith, R.D. Int. J. Mass Spectrom. Ion Processes 1997, 165/166, 271-297.

6. Mitchell, D.W.J. Am. Soc. Mass Spectrom., 1999, 10, 136-152.

7. Nikolaev E.N., Heeren R.M.A., Popov A.M., Pozdneev A.V., Chingin K.., Rapid Communications in Mass Spectrometry 21 (2007) 3527-3546.

8. E.L. Allgower, K. Bohmer, K. Georg and R. Miranda, Exploiting symmetry in boundary element methods, SIAM J. Numer. Anal., 29 (1992), pp. 534-552.

9. Van Dyck, R.S., Schwinberg, P.B.; Dehmelt, H.G. Source: Physical Review Letters, 14 Feb. 1977, p. 310-14.

10. Ivan A. Boldin, Eugene N. Nikolaev. Rapid Communications in Mass Spectrometry, Vol. 25, p. 122-126, 2011.

11. Eugene N. Nikolaev, Ivan A. Boldin, Roland Jertz and Gцkhan Baykut. J. Am. Soc. Mass Spectrom. Published online April 2011, DOI: 10.1007/s13361-011-0125-9.

12. Marshall, A.G.; Hendrickson, C.L.; Jackson, G.S. Fourier transform ion cyclotron resonance mass spectrometry: a primer. Mass Spectrom. Rev., 1998, 17, 1-35.

13. Рюмин П.А., Болдин И.А., Автономов Д.М., Николаев Е.Н. Метод емкостей в моделировании движения ионных ансамблей в ионных ловушках и системах транспорта ионов с электродами произвольной формы. Труды МФТИ, Том 3, No. 3 (11), стр. 17-21, 2011.

14. Рюмин П.А., Болдин И.А., Николаев Е.Н. Аксиальное детектирование в ловушке Пеннинга. Четвертая Всероссийская конференция «Фундаментальные вопросы масс-спектрометрии и ее аналитические применения». Звенигород, Россия, 10 -14 октября, 2010.

15. Pavel Ryumin; Ivan Boldin; Eugene Nikolaev. New possibilities of capacity method improvement for ion clouds dynamics simulations in traps with arbitrary geometry electrodes. 58th Amer. Soc. Mass Spectrom. Annual Conf. on Mass Spectrometry & Allied Topics, Salt Lake City, UT, May 23 - 27, 2010.

16. Pavel Ryumin, Eugene Nikolaev. New method of ion motion simulation for arbitrary electrodes geometry with total account for space and image charge interactions. 59th Amer. Soc. Mass Spectrom. Annual Conf. on Mass Spectrometry & Allied Topics, Denver, Colorado, USA, 2011.

17. Pavel Ryumin, Eugene Nikolaev, Alexander Pozdneev, Ivan Boldin, Dmitry Avtonomov. The comparison of 3 different approaches of realistic ion motion modeling in cubic ICR cell (“Particle-particle” approach, “Particle-in-cell” approach, “Capacity method” approach). 8th European FTMS Conference, Moscow, Russia, August 28 - September 1, 2007.

18. Eugene Nikolaev; Ivan Boldin; Pavel Ryumin; Igor Popov. Characterization of axial motion frequency analyses in harmonized cylindrical Penning traps as potential mass spectrometry method. 58th Amer. Soc. Mass Spectrom. Annual Conf. on Mass Spectrometry & Allied Topics, Salt Lake City, UT, May 23-27, 2010.

19. Eugene Nikolaev, Ivan Boldin, Pavel Ryumin, Gleb Vladimirov, Ron M.a. Heeren, Alexander Pozdneev, Dmitry Avtonomov. New approaches to supercomputer modeling of fields and ion cloud dynamics with total account for ion-ion and image charge interactions. 56th American Society for Mass Spectrometry Conference. Denver, Colorado, USA, June 1-5, 2008.

20. Дмитрий Автономов, Иван Болдин, Павел Рюмин, Александр Позднеев, Евгений Николаев. Метод ёмкостей в моделировании движения ионных ансамблей в ионных ловушках и системах транспорта ионов с электродами произвольной формы. 3-ий съезд ВМСО, 2-ая всероссийская конференция с международным участием «масс-спектрометрия и ее прикладные проблемы», 03-07 сентября, 2007 г., г. Москва.

21. Павел Рюмин, Иван Болдин, Дмитрий Автономов, Александр Позднеев, Евгений Николаев. Сравнительный анализ результатов моделирования движения ионных ансамблей в ИЦР ловушке кубической геометрии методом PIC (частица в ячейке) и методом емкостей. 3-ий съезд ВМСО, 2-ая всероссийская конференция с международным участием «масс-спектрометрия и ее прикладные проблемы», 03-07 сентября, 2007 г., г. Москва.

22. Dmitry Avtonomov, Pavel Ryumin, Ivan Boldin, Alexander Pozdneev, Eugene Nikolaev, Capacitance matrix algorithm implementation for supercomputer simulations of ion dynamics in Kingdon trap. 8th European FTMS Conference, Moscow, Russia, August 28 - September 1, 2007.

23. Eugene N Nikolaev, Ron Heeren, Alexander Pozdneev, Gleb Vladimirov, Ivan Boldin, Pavel Ryumin, Dmitry Avtonomov The new possibilities in ion clouds dynamic simulation using supercomputers. Application to FTICR, Kingdon trap and accumulation quadrupole devices. 55th American Society for Mass Spectrometry Conference, Indianapolis, IN, USA, June 3-7, 2007.

24. Болдин И.А., Рюмин П.А., Автономов Д.М., Позднеев А.В., Николаев Е.Н. Метод ёмкостей в моделировании движения ионных ансамблей в ионных ловушках и системах транспорта ионов с электродами произвольной формы. Труды 50-ой научной конференции МФТИ, Москва - Долгопрудный, 2007.

Размещено на Allbest.ru

...