Размещено на http: //www. allbest. ru/

Комплексные числа в задачах по физике

И.И. Баврин, профессор кафедры «Теории информатики

и дискретной математики» МПГУ,

Е.И. Исмагилова, ассистент кафедры

«Общенаучных дисциплин» МИРЭА



Сегодня под прикладной направленностью принято понимать требование к обучению математике, при котором будут изучены не только некоторые разделы математической теории, но и показано, как эта теория может быть применена в той или иной предметной области, внешней по отношению к данной теории [1].

В классах с углубленным изучением математики практическое применение комплексных чисел можно продемонстрировать, решая уже известные из школьного курса физики задачи по разделу «Электромагнитные колебания. Переменный ток». Но решение задач по физике в этой области требует знаний специальных методов, которые подробно изучаются в литературе по электротехнике и радиотехнике [2]. Среди этих методов наиболее распространен символический метод. Это послужило основанием для того, чтобы взглянуть на него с точки зрения применения комплексных чисел. Обнаружилось, что символический метод помогает понять не только математическую, но и физическую сущность комплексных чисел, создает условия для применения знаний по одной науке (математика) к другой (физика).

Изложение нового материала опирается на то, что учащимся уже известна синусоидальная функция времени

и способы сложения синусоидальных функций одинаковой частоты: 1) алгебраический, при помощи тригонометрических формул; 2) метод векторных диаграмм, в котором синусоидальные функции складываются как соответствующие им вектора. Кроме того, понадобится 3;4, которая дается в дополнительных источниках, доступных школьникам [3].

Символический метод получил такое название, поскольку в нем оригиналы (синусоидальные функции) заменяются своими символами (комплексными числами или векторами на комплексной плоскости).

Символические изображения можно ввести, перенося векторные диаграммы на плоскость комплексных чисел, т.е. используя известную из математики эквивалентность комплексных величин векторам на плоскости.

На рис. 1 представлен вращающийся вектор, изображающий функцию

.

На комплексной плоскости ему можно дать следующее истолкование: 1) длина вектора (в каком-то масштабе), изображающая амплитуду функции а(t), соответствует модулю комплексного числа; 2) угол , образуемый вектором с действительной осью и равный фазе функции а(t), соответствует аргументу комплексного числа; 3) вектор представляет на плоскости комплексное число, которое запишем в алгебраической, тригонометрической и показательной форме:

;



4) проекция вектора на ось Oy рассматривается как мнимая часть комплексного выражения

,

где - комплексная постоянная. Комплексная величина является символическим изображением синусоидальной функции времени и называется комплексной функцией времени.

Постоянную

называют комплексной амплитудой; ее модуль совпадает с обычной амплитудой, а аргумент - с начальной фазой.

С целью единообразия, вращающийся вектор принято изображать на комплексной плоскости для момента времени . В этом случае

,

поэтому принято считать радиус-вектор, соответствующий комплексной амплитуде , вектором, изображающим синусоидальную функцию времени.

Чтобы глубже проработать материал и показать простоту алгебраических вычислений в комплексной области, ученикам можно предложить задачу на сумму и разность гармонических колебаний

и



путём перехода от оригиналов к символическим изображениям.

Легко убедиться, что при дифференцировании синусоидальной функции времени ее изображение умножается на

: ,

а при интегрировании - делится на

: .

Благодаря этим свойствам можно составлять комплексные алгебраические уравнения, соответствующие уравнениям электрической цепи, которые содержат операции интегрирования и дифференцирования. Наглядно представить вышесказанное поможет разбор следующих задач.

Задача 1. (Цепь с идеальной индуктивностью.) В цепи (рис. 2) с идеальной индуктивностью проходит синусоидальный ток

.

Найти напряжение.

Решаем символическим методом. Напряжение на индуктивности L определяется по закону Фарадея



.

алгебраический электрический физика число

Переходя к комплексным функциям времени, получаем уравнение

,

которое после сокращения на примет вид:

. Сравнение комплексных амплитуд напряжения

и тока

показывает, что напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на 90о.

Примечание. Математическая операция сокращения на множитель в уравнениях цепей, записанных в комплексной форме, рассматривается как переход от анализа цепей во временной области к анализу цепей в частотной области.



Задача 2. (Цепь с емкостью.) Пусть в цепи (рис. 3), содержащей идеальный конденсатор, проходит ток

.

Вычислить напряжение.

Напряжение на конденсаторе с емкостью C вычисляется по формуле:

.

Это уравнение в комплексной области дает формулу для комплексной амплитуды напряжения на емкости

.

Сравнение комплексных амплитуд напряжения

и тока

показывает, что напряжение на конденсаторе отстает по фазе от тока на 90о.

После разбора задач 1 и 2 учащимся предлагается самостоятельно вывести формулу комплексной амплитуды напряжения цепи (рис. 4), если сила переменного тока, протекающего через R-L-C контур, изменяется по синусоидальному закону:

.

При решении данной задачи ученики переходят от интегро-дифференциального уравнения, составленного по 2-му закону Кирхгофа:

,

к алгебраическому уравнению:

. (1)

В этом и состоит главная особенность символического метода, обеспечившая ему широчайшее распространение при расчетах цепей переменного тока.

Из формулы (1) получаем точную формулу для нахождения амплитуды напряжения цепи

,

которую часто выводят в школьных учебниках физики при помощи векторных диаграмм.

Важно в классе обсудить вопрос о пределах применимости символических изображений и при этом отметить, что метод используется без каких-либо ограничений, пока вещественная и мнимая части комплексного числа при математических преобразованиях изменяются независимо одна от другой. К таким математическим операциям можно отнести сложение и вычитание, умножение на постоянный (действительный) коэффициент, дифференцирование и интегрирование. Операции умножения и деления, с помощью которых определяются такие физические величины как мощность и сопротивление, вышеназванным требованиям не удовлетворяют, поэтому для них символический метод применять напрямую нельзя. Нужны специальные приёмы.

Для участка цепи с напряжением

и током ,

вводится искусственная величина - комплексная мощность

,

где - комплексная амплитуда напряжения, а - число, сопряженное к комплексной амплитуде тока. Если расписать произведение

и сравнить действительную часть полученного выражения с формулой, известной из курса физики:

(г=- -



сдвиг фаз между напряжением и током), то увидим, что

.

Эта формула применяется для вычисления мощности переменного тока при помощи комплексных чисел.

Для определения сопротивления в комплексной области, рассматривается отношение комплексных функций времени напряжения и тока на участке цепи:

.

Коэффициент пропорциональности Z является комплексным числом, которое не зависит от времени и имеет размерность сопротивления, поэтому его называют комплексным сопротивлением. Модуль комплексного сопротивления

определяет полное сопротивление, а угол

-

сдвиг фаз между напряжением и током.

Комплексное сопротивление также изображается на комплексной плоскости вектором, но по своему характеру этот вектор отличается от векторов тока и напряжения - он не является вращающимся.

Выражение



,

полученное выше, представляет собой закон Ома в комплексной форме, который связывает между собой комплексные амплитуды напряжения и тока с помощью комплексного сопротивления.

Чтобы осмыслить новые определения, учащимся предлагается самостоятельно подобрать задачи из школьного учебника физики в разделах: «Резистор в цепи переменного тока», «Конденсатор в цепи переменного тока», «Катушка индуктивности в цепи переменного тока», для решения которых можно воспользоваться комплексной мощностью и комплексным сопротивлением. Далее полезно вывести формулы для комплексных сопротивлений участков цепи с активным, чисто индуктивным и чисто емкостным сопротивлениями:

, , . Так как и -

уже известные из школьного курса физики понятия индуктивного и емкостного сопротивлений, то

и .

Однако в отличие от введенных в школе величин и , комплексное сопротивление несет в себе информацию о сдвиге фаз между током и напряжением.



Важно подчеркнуть аналогию между формулами для общего комплексного сопротивления цепи переменного тока и формулами для общего сопротивления цепи постоянного тока. Действительно, при последовательном соединении элементов с комплексными сопротивлениями общее комплексное сопротивление Z равно

,

а при параллельном - обратная величина общего комплексного сопротивления Z равна сумме обратных величин комплексных сопротивлений на этих элементах

.

Из вышесказанного и выражений, полученных для активного

,

чисто индуктивного



и чисто емкостного

сопротивлений, вытекает правило вычисления комплексного сопротивления Z участка электрической цепи, не содержащего электродвижущих сил и включающего в себя такие объекты, как сопротивление R, индуктивность L и емкость С: 1) каждое омическое сопротивление R (в Омах) остается без изменения; 2) каждая ёмкость C (в фарадах) умножается на , и выражение рассматривается как сопротивление; 3) каждая индуктивность L (в генри) умножается на , и произведение рассматривается как сопротивление; 4) комплексное сопротивление участка цепи вычисляется по правилам сложения сопротивлений.

Применим данное правило к решению следующей задачи.

Задача 3. В цепи, схема которой изображена на рис. 5 Ом, мкФ, мГн. Активное сопротивление катушки мало. Частота тока в сети Гц. Определите комплексную амплитуду напряжения сети, если А.

Для начала найдем , а затем вычислим комплексные сопротивления на элементах:

Ом, Ом, Ом.

Сопротивление участка

Ом,



общее комплексное сопротивление

Ом.

Так как

В и А, то В.

Комплексная амплитуда напряжения сети будет

: В.

При помощи символического метода решаются задачи не только на нахождение комплексного сопротивления участка цепи, но и собственной частоты колебаний для замкнутой цепи.

Задача 4. (68-я Московская региональная олимпиада школьников по физике 11 класс). Электрическая цепь на рис.6 состоит из двух конденсаторов емкостью С, двух одинаковых катушек индуктивностью L и идеального трансформатора с коэффициентом трансформации, равным единице. Если зарядить один из конденсаторов и замкнуть ключ, подсоединяющий его к трансформатору, в цепи возникнут гармонические колебания с частотой щ. Найдите возможные частоты гармонических электрических колебаний в цепи, если оба ключа замкнуты.

К решению задачи применим символический метод. Обозначим через М коэффициент взаимной индукции. Замкнем ключ первой цепи, тогда по закону сохранения энергии сумма падений напряжений на всех элементах этого контура равна нулю, т.е.

или .

Из последнего равенства находим

М: .

Если замкнуть ключи в обеих цепях, то получим два замкнутых контура. Обозначим через частоту, возникающих колебаний, а через и - контурные токи. Для первого и второго контура по второму закону Кирхгофа составим систему линейных уравнений:

Так как

, то .



Литература

1. Егупова М. Е. Прикладная направленность обучения математике в историческом контексте // Математика в школе. - 2007. - № 2.

2. Молчанов А.П., Занадворов П.Н. Курс электротехники и радиотехники. - М.: Наука, 1969.

3. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений. - М..: Просвещение, 2003.

4. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники, ч. I. - М.-Л.: Энергия, 1965.

5. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. - М.: Наука, 1965.

6. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физика: Колебания и волны. 11 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики. - М.: Дрофа, 2002.

Размещено на Allbest.ru

...