Аннотация

химический биологический мембрана распознавание

В статье описаны некоторые подходы к построению математической модели химической мембраны и возможность их применения при переходе к моделированию биологической мембраны. Реализованный на основе математической модели, программный комплекс подтвердил корректность результатов работы при сравнении с результатами практических экспериментов. На выбранных наборах начальных данных результаты работы программного комплекса позволили рассчитать веса признаков объектов для применения теории распознавания образов при поиске оптимальной разделяющей мембраны, а также изучить систему в динамике.

Ключевые слова: распознавание образов, мембрана, признаки объектов.

Annotation

RESEARCHING OF OBJECTS-PARTICLES SIGNS AT OPTIMUM DIVIDING MEMBRANE SYNTHESIS

Matrosov V.L., Matrosova O.V., Ivannikov D.I.

It had shown in article some approaches to construction of a chemical membrane mathematical model and possibility of their application are described at transition to modeling of a biological membrane. Realized on the basis of mathematical model, the program complex has confirmed a correctness of results of work at comparison with results of practical experiments. On the chosen sets initial yielded results of work of a program complex have allowed to calculate weight of signs of objects for application of the theory of recognition of images by search of an optimum dividing membrane, and also to study system in dynamics.

Keywords: pattern recognition, membrane, objects signs.

Введение

Моделирование химических мембран интересно с точки зрения рассмотрения их взаимодействия с окружающей средой. Теоретически исследованы и формализованы многие аспекты такого взаимодействия, законы движения частиц и сами частицы.

Относительно движения частиц надо сказать, что такое движение происходит по следующему закону:

(1),

= ,

где - проекция перемещения частицы за время на произвольно выбранное направление;

- детерминированная (неслучайная) и хаотическая (случайная) части перемещения частицы за время ;

- стандартный винеровский процесс за время , - коэффициент сноса, или среднее перемещение частицы за единицу времени в заранее выбранном нами направлении;

- коэффициент диффузии, или средний квадрат хаотической части перемещения частицы в выбранном направлении за единицу времени, E - математическое ожидание [1].

Детерминированная часть перемещения частицы складывается из влияний концентрации частиц, парциального давления и заряда самой частицы и мембраны.

Концентрация:

(2).

Парциальное давление передает взаимодействие частиц i-го типа между собой:

(3).

Электрический заряд:

А - площадь поверхности мембраны;

Е - напряжённость электрического поля;

е - диэлектрическая проницаемость мембраны;

С = еА/Д - ёмкость конденсатора;

V - разность потенциалов на обкладках;

Д - толщина мембраны;

Щ - запасаемая в конденсаторе энергия электрического поля;

щ - объёмная плотность энергии электрического поля.

Практически всё поле биологического конденсатора сосредоточено в мембране и имеет напряжённость

Е = V /Д (4).

С учётом (4) для объёмной плотности энергии электрического поля получается формула:

щ = Ѕ е Е² = Ѕ е V ²/Д ² (5).

Умножив обе части (5) на объём мембраны АД, получаем выражение для запасаемой в конденсаторе энергии электрического поля:

Щ= щ АД = ЅеАV²/Д=ЅСV² (6).

Взаимодействие мембраны с частицами может быть структурировано на следующие составляющие: влияние потока частиц на мембрану, влияние мембраны на конкретную частицу, проникновение частицы через мембрану [2].

Постановка задачи

Проведем уточнение исследуемой области следующим образом: разделим ее мембраной на две области - «левую» и «правую». На практике встречаются постановки задач следующего содержания:

- выделить из взвеси или раствора частицы одного типа в “правый” объем таким образом, чтобы его содержание было наиболее чистым;

- выделить смесь с известным процентным содержанием в ней составляющих типов частиц.

Будем называть такие задачи - задачами разделения (ЗР).

Определим функционал качества мембраны как функцию от времени разделения (времени решения ЗР):

(7);

в общем случае он может также зависеть и от других параметров, таких как время построения мембраны и экономические показатели , входящих со своими весами:

(8).

Будем называть оптимальной мембрану, для которой значение функционала качества наименьшее из всех мембран, удовлетворяющих ЗР: . Уточнённой ЗР (ЗР*) будем называть ЗР, содержащую оптимальную мембрану.

Под решением ЗР будем понимать конструирование мембраны, отвечающей ЗР; под решением ЗР* будем понимать нахождение оптимальной по функционалу качества мембраны среди множества всех возможным для ЗР мембран [3, 4].

Описание математической модели

Решение ЗР и ЗР* находилось при помощи математической модели системы [5 - 7]. При описании математической модели были выделены следующие объекты моделирования: «ящик», мембрана, поры, частицы.

«Ящик» задавался как прямоугольный параллелепипед со своими габаритными геометрическими размерами:

X_box;

Y_box;

Z_box.

Мембрана располагалась перпендикулярно оси X и задавалась своими габаритами и координатами расположения по оси X, а также зарядом:

L_memb;

X_memb;

Q_memb.

Поры разных типов задавались через:

R - геометрический размер;

F - форма;

X_por, Y_por - координаты расположения в мембране.

В “левом” и “правом” объемах располагались частицы разных типов. Для частиц задавались:

r - геометрический размер;

q - заряд;

f - форма;

l - величина длины свободного пробега;

s - симметрия.

Рис. 1 Визуальное представление виртуального «ящика»

Первоначально среди законов взаимодействия объектов моделирования были выбраны следующие:

1) распределение пор в мембране:

(x_j,y_j,z_j) = f_r() (9);

2) движение частиц в «ящике» на (i+1)-м шаге:

X_i+1 = X_i+f(l)+gradC+gradP_i+gradQ;

где C - концентрация частиц;

P_i - парциальное давление частиц i-го типа;

Q - электрический потенциал.

Y_i+1 = Y_i+f(l); Z_i+1 = Z_i+f(l) (10);

3) вероятность проникновения:

P_i = P_s * p_ij (11);

где P_s = УS_j/S_m = УS_j /(X_box * Y_box);

pij = f(r_i, Т_i, Т_j, s_i, R_j);

4) условие стационарности системы:

(12).

Проведенные эксперименты

Как было показано ранее, ЗР и ЗР* может быть формализована в терминах теории распознавания образов. При этом объектами, подаваемыми на распознавание, являются частицы, а алгоритмом распознавания - мембрана с расположенными на её стенках порами и объектами активного транспорта [6]. Признаками объектов-частиц при такой постановке ЗР являются физические параметры: l, f, r, q. Для вычисления весов признаков объектов был использован принцип влияния веса на время релаксации системы при прочих равных начальных значениях, после чего веса объектов усреднялись и нормировались.

Были проведены три блока экспериментов; для каждого блока были приняты следующие изменения признаков:

l - длина свободного пробега, нм: 10, 20, 30;

f - форма частиц через вероятность проникновения: 0,99, 0,66, 0,33;

r - размер частиц, нм: 3, 6, 9;

q - заряд частиц: +1, +2, +3.

БЛОК 1. Выявления весов признаков по отношению времён релаксации

Таблица 1

Блок 1

БЛОК 2. Выявление корреляции признаков по отношению времён релаксации

Таблица 2

Блок 2.1 (l-r)

Таблица 3

Блок 2.2 (l-q)

Таблица 4

Блок 2.3 (r-q)

Таблица 5

Блок 2.4 (l-f)

Таблица 6

Блок 2.5 (f-r)

Таблица 7

Блок 2.6 (f-q)

БЛОК 3. Влияние частиц другого типа на веса признаков

Таблица 8

Блок 3.1. Влияние "медленных" частиц нейтрального типа на веса признаков

Таблица 8

Блок 3.2. Влияние "быстрых" частиц нейтрального типа на веса признаков

Выводы

Из сопоставления результатов первого и третьего блоков экспериментирования видно, что влияние разных признаков различно при различных начальных условиях (отсутствие частиц других типов, наличие «медленных» и «быстрых» частиц других типов). К сожалению, эти эксперименты опровергают гипотезу о возможности вычислить влияние признаков объектов в сравнительно простых экспериментах, без участия частиц других типов. В то же время, незначительные изменения численных значений признаков после нормализации в случаях наличия «быстрых» и «медленных» частиц дают основание предполагать, что такие вычисления подходят для их приблизительного (с погрешностью ~1%) расчета при наличии в эксперименте частиц многих типов.

Необходимо также отметить, что признаком c наибольшим весом во всех блоках экспериментов оставался геометрический размер частицы r.

Наконец, показано, что имеет место корреляция между признаками объектов при их взаимодействии на время релаксации системы. Причем наибольшее влияние имеют длина свободного пробега и геометрический размер частицы. Этот факт, как и корреляционные моменты между прочими признаками объектов, необходимо учитывать при экспериментировании и переходе от имитационного моделирования к вероятностным моделям.

Литература

1. http://immunol.inm.ras.ru/old/publicat/pogozhev/podobie/talk-1.htm.

2. Накагаки М. Физическая химия мембран. М.: МИР, 1991.

3. Матросов В.Л. Корректные алгебры ограниченной емкости над множествами некорректных алгоритмов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1981. Т. 21. № 5.

4. Матросов В.Л. Синтез оптимальных алгоритмов в алгебраических замыканиях моделей алгоритмов распознавания. Распознавание, классификация, прогноз. Москва: Наука, 1989.

5. Иванников Д.И., Мардашев Ю.С. Моделирование селективного переноса частиц через структурированную мембрану. Третьи Курдюмовские чтения: синергетика в есстественных науках. Материалы международной междисциплинарной научной конференции. Тверь, 2007.

6. Матросов В.Л., Мардашев Ю.С., Иванников Д.И. Иллюстрации к теории распознавания образов. Юбилейный сборник «135-летие математического факультета МПГУ», 2007.

7. Грацианова Т.Ю., Иванников Д.И., Мардашев Ю.С. «Мягкая» имитационная модель диффузии через мембрану конечной толщины. М.: Научные труды МПГУ // Серия «Естественные науки», 2003.

Размещено на Allbest.ru