Увеличение отношения сигнал/шум методом последовательного вычисления автокорреляционной функции

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алтайский государственный университет

УВЕЛИЧЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ СИГНАЛ/ШУМ МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ АВТОКОРРЕЛЯЦИОННОЙ ФУНКЦИИ

С.А. Останин

г. Барнаул

Аннотация

В работе предложен метод увеличения отношения сигнал/шум сигнала основанный на последовательном вычислении автокорреляционной функции. Метод позволяет повысить отношение сигнал/шум гармонических и периодических негармонических сигналов. Приведены результаты работы обнаружителя сигнала построенного с использованием LabVIEW.

Ключевые слова: обнаружение слабых сигналов, автокорреляционный анализ.

Abstract

In this paper we propose a method of increasing the signal / noise signal based on the sequential calculation of the autocorrelation function. The method allows to improve the signal / noise ratio of harmonic and periodic non-harmonic signals. The results of the detector signal is constructed using LabVIEW.

Keywords: detection of low signals, autocorrelation analysis.

Основная часть

Для обнаружения слабых сигналов в аддитивной смеси с шумом используют, например, корреляционные методы анализа сигнала [1]. В частности, при измерении частоты доплеровских сигналов лазерных анемометров, для оценки скорости движения частиц аэрозоля, с целью увеличения отношения сигнал/шум вычисляют автокорреляционную функцию сигнала [2-3]. Поступающий с фотоприемного устройства сигнал проходит через фильтр высоких частот и при этом теряет постоянную составляющую. Частоту среза выбирают заведомо ниже минимально возможной частоты доплеровского сигнала с тем, чтобы не потерять информацию о скорости движения отражающих объектов. Процессор вычисляет автокорреляционную функцию доплеровского сигнала и по периоду этой функции судят о частоте доплеровского сигнала. Увеличение отношения сигнал/шум зависит, в том числе от длительности сигнала. В тех случаях, когда длительности сигнала увеличить не представляется возможным (например, доплеровские сигналы лазерных анемометров), возникает проблема поиска альтернативных методов повышения отношения сигнал/шум.

Для обнаружения и анализа сигналов такого рода предлагается использовать метод последовательного вычисления автокорреляционной функции, заключающийся в том, что после вычисления автокорреляционной функции исходного сигнала вычисляется автокорреляционная функция от автокорреляционной функции и так далее. При этом отношение с/ш растет от итерации к итерации. Процесс повторяется до тех пор, пока отношение с/ш становится достаточным для определения частоты доплеровского сигнала.

Рассмотрим применение метода для повышения отношения с/ш для гармонического сигнала. Пусть исходный сигнал x(t) представляет собой аддитивную смесь периодического детерминированного сигнала s(t) и шума n(t), являющегося стационарным процессом второго порядка:

(1)

Дополнительно предположим, что функции s(t) и n(t) - центрированы. Автокорреляционная функция для сигнала x(t), по определению, вычисляется следующим образом:

.

Отсюда, оценка автокорреляционной функции, в силу дистрибутивности корреляционного оператора, есть

.

При условии независимости сигнала s(t) от шума n(t), корреляционные функции и тождественно равны нулю с точностью до погрешностей оценок, обусловленных конечным временем интегрирования. Автокорреляционная функция шума стремится к нулю с возрастанием задержки и для достаточно больших значений, больших по модулю некоторого времени задержки , =0. Значение , начиная с которого автокорреляционную функцию можно положить равной нулю, зависит от характеристик шума, в частности, от его спектральной плотности: чем шире полоса частот шума при заданной полной мощности, тем быстрее убывает автокорреляционная функция. И так,

, (2)

где ошибка тем меньше, чем больше время интегрирования Т. Фурье-образ автокорреляционной функции представляет собой спектр мощности и поэтому равен квадрату Фурье-образа самой функции s(t). А это значит, что автокорреляционная функция содержит все частоты функции s(t), и только эти частоты. Если, например, x(t) - сигнал фотоприемника доплеровского анемометра, то частота сигнала равна частоте его автокорреляционной функции . Если обозначить отношение с/ш до вычисления автокорреляции R_е, а после вычисления - R_s, то увеличение отношения с/ш по мощности, для гармонического сигнала s(t) определяется [2] формулой:

G = R_s / R_е ? 2ТВ / (2+1/R_е).

Если R_е<< 1_, то

G = R_s / R_е ? 2ТВR_е, (3)

R_s ? 2ТВR²_е. (4)

Далее, введем обозначения

(5)

поскольку периодическая составляющая содержится в функции , а шум - в функции . Функция , также как и , является центрированной случайной стационарной функцией, отличающейся от тем, что имеет меньшую дисперсию. Следовательно, можно вычислить автокорреляционную функцию еще раз, теперь уже от функции . В результате получим функцию , которая содержит все частоты исходной функции , но имеет более высокое отношение с/ш. Определим увеличение отношения с/ш для второй автокорреляционной функции . С учетом обозначений (5), соотношение (4) описывающее новое отношение с/ш, вычисленное в соответствии с методикой, изложенной в [4], примет вид

.

Увеличение отношения с/ш по мощности будет равно

при сравнении функций и . Если сравнивать отношение с/ш функции и отношение с/ш исходной функции x(t), то увеличение отношения с/ш по мощности будет равно

Если процедуру последовательного переобозначения и вычисления автокорреляционной функции осуществлять N раз, то отношение с/ш возрастет соответственно в раз по мощности

, (6)

где R₀ є R_e, R_N - отношение с/ш, вычисленное для автокорреляционной функции, имеющей номер N в ряду последовательно вычисленных автокорреляционных функций, а отношение с/ш для итерации с номером N

. (7)

На рисунке 1 представлена зависимость отношения с/ш (R_N) от количества процедур вычисления автокорреляционных функций N для произвольно выбранных исходных отношений с/ш (R_e), Т, В. Численные эксперименты по определению зависимости R_N от количества процедур, выполненные в среде LabVIEW и выражение (7) дают практически одинаковый результат (коэффициент вариации составляет величину 0,01).

Рис. 1 Зависимость отношения с/ш R_N от количества процедур вычисления автокорреляционных функций N

На рисунке 2а представлен фрагмент исходного сигнала вида (1) с отношением сигнал/шум , нормированная автокорреляционная функция сигнала (2б), спектр сигнала (2в) и спектр автокорреляционной функции (2г).

а б

в г

д е

ж з

Рис. 2 а - исходный сигнал с отношением , б - автокорреляционная функция сигнала, в - спектр сигнала, г - спектр автокорреляционной функции сигнала, д, е - вторая и пятая автокорреляционная функция, ж, з - их спектры

сигнал шум корреляционный гармонический

Численно моделированный в среде LabVIEW сигнал содержал 10⁵ дискретных значений, , длительность - 1с. Как видно из рисунка, при таком низком отношении с/ш обнаружить детерминированную компоненту сигнала s(t) в смеси с шумом по автокорреляционной функции практически невозможно. Спектры второй (рисунок 2ж) и пятой (рисунок 2з) автокорреляционных функций содержат указанную гармонику, причем наблюдается рост отношения с/ш в каждой последующей автокорреляционной функции.

Рассмотрим другой случай, когда исходный сигнал x(t) представляет собой аддитивную смесь периодического, но не гармонического детерминированного сигнала s(t) и шума n(t), являющегося стационарным процессом второго порядка:

,

где k - количество гармоник сигнала s(t).

Оценка автокорреляционной функции, как и прежде, имеет вид

,

здесь

,

Сделаем ее оценку :

. (8)

Выражение (8) содержит слагаемые

,

а б

в г

д е

ж з

Рис. 3 а - исходный сигнал с отношением , б - автокорреляционная функция сигнала, в - спектр сигнала, г - спектр автокорреляционной функции сигнала, д, е - вторая и пятая автокорреляционная функция, ж, з - их спектры

,

,

которые стремятся с нулю, с ростом Т и

. (9)

При (), слагаемые в (9) стремятся к нулю, а при (,) . Это означает, что спектры всех вычисляемых автокорреляционных функций от периодических негармонических сигналов содержат только гармоники сигнала .

На рисунке 3 проиллюстрированы результаты использования предложенного метода полученные с использованием LabVIEW. Сигнал представлял собой суперпозицию трех гармоник с частотами 2кГц, 6кГц, 8кГц. Отношение сигнал/шум модельного сигнала, для гармоники 2кГц . Из рисунка видно, что с увеличением количества вычисляемых автокорреляционных функций отношение сигнал/шум увеличивается. На рисунке 3е (пятая автокорреляционная функция) визуально можно обнаружить только низшую гармонику сигнала, однако спектр автокорреляционной функции (рисунок 3з) позволяет надежно обнаруживать все гармоники исходного сигнала .

Таким образом, показана возможность повышения отношения сигнал/шум слабых гармонических и негармонических периодических сигналов в случае, если для исследования предоставлена только одна реализация сигнала и не существует возможности увеличить длительность сигнала каким-либо образом.

Литература

1. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. / Пер.с англ. М., Советское радио, 1972. Т.1.

2. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических измерениях. М.: Мир, 1983. Т.1,2.

3. С.Д. Бураков, А.П. Годлевский, С.А. Останин Определение микрофизических параметров аэрозоля приемопередатчиком на основе твердотельного лазера // Оптика атмосферы. 1989. №2. С. 206-210.

Размещено на Allbest.ru