Исследование эффекта перемежаемости в системе связанных нелинейных осцилляторов

Синтез аналоговой модели ННДС для экспериментального исследования стохастических колебаний осуществлялся исходя из требования, чтобы нелинейность динамической системы соответствовала наиболее широко распространенной модели, а именно осциллятору Дуффинга [3]. Эта модель достаточно хорошо описывает многие радиофизические системы, такие как сегнетоэлектрические резонаторы и контуры с ферромагнетиками, взаимодействие связанных зарядов с полем электромагнитной волны и другие. При гармоническом воздействии это уравнение сводится к одномерному квадратичному отображению.

Дифференциальное уравнение обобщенного осциллятора Дуффинга под внешним гармоническим воздействием имеет вид

(1)

где - малосигнальная резонансная частота ННДС, соответствующая амплитуде колебаний сигнала Х®0;

d - затухание ННДС, однозначно связанное с ее добротностью;

a--- коэффициент, определяющий уровень нелинейности;

U_вх - амплитуда внешнего гармонического воздействия;

w--- частота внешнего гармонического воздействия.

При магнитной связи между осцилляторами Дуффинга система дифференциальных уравнений имеет следующий вид

(2)

где смысл всех параметров совпадает с отмечавшимися выше, а коэффициент k учитывает связь между осцилляторами.

Как видно из выражения (2), данная ННДС состоит из двух одинаковых одиночных нелинейных осцилляторов и связи между ними. С целью обеспечения большей гибкости настройки и применения ННДС синтез функциональной схемы модели целесообразно производить таким образом, чтобы цепи, соответствующие линейным и нелинейным членам уравнения, были разделены, для чего представим одно из уравнений системы (2) в виде

(3)

Согласно (3) нелинейность осциллятора G₁(t) может быть обеспечена формированием члена аддитивного с внешним воздействием и сигналом связи между осцилляторами . Сигналы, пропорциональные и , можно получить двойным интегрированием . Соответственно из (3) следует, что линейная часть каждого из связанных осцилляторов, рассматриваемой ННДС, должна содержать суммирующий инвертор, два интегратора и инвертор внутренней цепи обратной связи. На суммирующий инвертор, кроме сигналов линейной части осцилляторов, подается также сигнал нелинейности G₁(t). Напряжение, пропорциональное нелинейной поправке формируется с помощью каскада на аналоговых перемножителях.

Структурная схема аналоговой модели связанных осцилляторов Дуффинга показана на рисунке 1.

Рисунок 1 - Структурная схема аналоговой модели связанных осцилляторов Дуффинга

Малосигнальная резонансная частота каждого нелинейного осциллятора выбирается исходя из условия возможности измерения параметров хаотических колебаний типовыми радиоизмерительными приборами и ограничения на величину динамической погрешности, определяемой используемыми операционными усилителями. Для удовлетворения этих требований малосигнальная резонансная частота каждого нелинейного осциллятора f₀ была выбрана равной 3 кГц. Динамические погрешности при использовании высокочастотных операционных усилителей при этом сводятся к минимуму.

Для определения условий возникновения стохастических колебаний в модели предусмотрено изменение в широких пределах и небольшим шагом добротности каждого осциллятора Q_{1, 2} (от 5 до 200), коэффициента связи между осцилляторами k (от 0, 01 до 0, 1), коэффициента нелинейности каждого осциллятора a_{1, 2} (от 0, 1 до 1).

Синтезированная таким образом модель нелинейной динамической системы позволяет исследовать процессы в колебательных системах второго порядка при различных видах входного воздействия, параметра нелинейности и диссипативности исследуемой системы. Собранная с использованием современных быстродействующих операционных усилителей, модель обладает малой динамической погрешностью (менее 0, 25%). Статическая погрешность, дискретно устанавливаемых параметров, не превышает 1%.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Проведенные расчеты показали, что числовые характеристики длительности хаотического импульса т_и^* и s_и при изменении амплитуды внешнего воздействия практически остаются постоянными и при большом числе независимых измерений стремятся к некоторым постоянным значениям, которые определяются только параметрами системы связанных осцилляторов Дуффинга. Числовые характеристики ламинарной фазы т_л^* и s_л напротив зависят как от параметров системы, так и от уровня внешнего воздействия, уменьшаясь с ростом амплитуды входного сигнала, что подтверждает известные теоретические исследования. Пример построения графиков по результатам экспериментальных исследований значений числовых характеристик стохастического сигнала при переходе к хаосу через перемежаемость в зависимости от параметров системы связанных осцилляторов Дуффинга и амплитуды внешнего гармонического воздействия приведены на рисунке 4.

Рисунок 4 - Зависимость числовых характеристик длительности хаотического импульса (а) и ламинарной фазы (б) в зависимости от амплитуды внешнего воздействия и добротности второго осциллятора Q₂ при a₁= a₂=-0, 3, Q₁=30

Случайная величина может быть описана достаточно полно аналитической кривой плотности распределения. Для определения формы распределения длительности хаотического импульса и ламинарной фазы стохастического сигнала при переходе к хаосу через перемежаемость выборка полученных экспериментальных данных должна быть представлена в виде гистограммы, состоящей из столбцов с определенной протяженностью соответствующих им интервалов. При этом общепринято делать эти интервалы одинаковыми. Для более наглядного отражения формы распределения строится полигон распределения, путем соединения прямыми середин верхних оснований каждого столбца гистограммы. Идентификация формы распределения сводится к выбору аналитической модели, которая не противоречит данной конкретной выборке экспериментальных данных, т.е. необходимо провести аппроксимацию гистограммы подходящим аналитическим выражением какой-либо теоретической плотности вероятности (выравнивание статистических данных). При этом аппроксимация должна быть в определенном смысле наилучшей.

Для оценки, насколько хорошо выбранный теоретический закон распределения согласуется с результатами наблюдений, использовался критерий согласия [4]. По этому критерию за меру расхождения результатов наблюдения и теоретического распределения принимают величину

, (8)

где - относительная частота;

- вероятность попадания случайной величины Х в i-й интервал.

Случайная величина , независимо от распределения величины Х, при асимптотически распределена по закону с степенями свободы, где s - число параметров теоретического распределения, оцениваемых по результатам наблюдений.

Проведенные исследования при различных значениях параметров системы показали, что длительность всплеска и длительность ламинарной фазы распределены по нормальному закону

(9)

с математическим ожиданием и СКО определяемым по формулам (6) и (7) для выборочных значений исследуемой величины, что наглядно иллюстрируется результатами приведенными на рисунке 5, на котором в качестве примера показано построение гистограмм экспериментальных значений длительности хаотического импульса и ламинарной фазы и соответствующие им законы распределения при a₁= a₂=-0, 3, Q₁=30, Q₂=50, k=0, 07 и амплитуде внешнего воздействия U_вх=220 мВ. Точками на рисунке показаны полигоны распределения исследуемых случайных величин, сплошной линией выбранные теоретические законы распределения.

Рисунок 5 - Пример проведения аппроксимации гистограмм экспериментальных значений длительности хаотического импульса t_и и ламинарной фазы t_л при a₁= a₂=-0, 3, Q₁=30, Q₂=50, k=0, 07, U_вх=220 мВ

ВЫВОДЫ

Проведенные экспериментальные исследования стохастического сигнала при переходе к хаосу через перемежаемость на аналоговой модели связанных нелинейных осцилляторов показали, что длительность всплеска и длительность ламинарной фазы распределены по нормальному закону. При этом числовые характеристики длительности хаотического всплеска, в отличие от длительности ламинарной фазы, не зависят от уровня внешнего воздействия на систему и определяются только параметрами нелинейной системы. Полученные выводы могут быть использованы при проведении вероятностного описания эффекта перемежаемости в связанных нелинейных системах второго порядка.

стохастический сигнал нелинейный осциллятор

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ