Теория возмущений для вложенных собственных значений волновода

Размещено на http://www.allbest.ru/

Теория возмущений для вложенных собственных значений волновода

А.Н. Боголюбов, М.Д. Малых

119899 Москва, Воробьевы горы, МГУ, физич. ф-т, каф. математики;

Задача о возбуждении колебаний током в волноводе, заполненным локально неоднородным веществом, сведена к интегральному уравнению. Доказано, что собственным и присоединенным функциям этого уравнения соответствуют собственные и присоединенные функции исходной задачи. Показано, что вложенные в непрерывный спектр cобственные значения переходят в комплексные резонансы при малом вещественном возмущении заполнения, хотя они в первом порядке теории возмущений остаются вещественными.

Уравнение Du + lqu = f является модельным для описания колебания электромагнитного поля, возбужденные током f, в неограниченной области W, например, волноводе, заполненном неоднородным веществом, характеризуемым функцией q. Будем далее всюду предполагать, что носители f и q-1 ограничены. Говорят, что значения l, для которых существует нетривиальное решение спектральной задачи

принадлежит спектру. Если же, для этого решения

возмущение волновод интегральный уравнение

то есть u О W 21(W), тогда энергия, связанная с колебаниями, ограничена, и говорят, что l - точка точечного спектра или собственное значение. Число независимых решений в случае, когда l - собственное значение, называют кратностью. С физической точки зрения такие поля u(x,y) представляют собой стоячие волны, не переносящие энергию. Большая часть энергии таких волн сосредоточена в конечной области, в ''ловушке'', поэтому их называют еще ловушечными модами. Если же энергия колебаний не ограничена так, что выписанные выше интегралы расходятся, то говорят, что l - точка непрерывного спектра.

При возбуждении колебаний явление резонанса имеет место в точках точечного спектра, а в точках непрерывного спектра имеет место излучение и часто можно доказать, что существует только одно решение, если добавить условия излучения. Это обстоятельство придает особую важность исследованию точечного спектра.

Хотя к настоящему моменту известны примеры волноведущих систем, обладающих вложенными ловушечными модами (вложенными в непрерывный спектр собственными значениями) [1]-[6], необходимые условия появления вложенных мод остается неясными. Поэтому, как отмечалось в [3],[6], целесообразно изучить малые возмущения параметров волноведущих систем, обладающих ловушечными модами, и выяснить, сохраняются ли при этом эти моды или уходят в комплексные резонансы.

К сожалению, для вложенных собственных значений не создано столь исчерпывающей теории возмущений как для изолированных, потому разрешение этого вопроса требует некоторых усилий: так, например, для применения теории возмущений, развитой в [7]-[9], требуется построить резольвенту невозмущенной задачи, поскольку в этих работах при помощи резольвенты невозмущенной задачи сводят исходную задачу на собственные значения к виду

где A(l) - компактный оператор, а уже затем к этой задаче применяют различные теоремы, связанные с теорией определителей Фредгольма.

Однако при доказательстве существования решения у задачи о возбуждении током колебаний в волноводе исходная задача уже была сведена к виду, весьма схожему с (2) ([10] и [11]). Поэтому вместо того, чтобы строить резольвенту невозмущенной задачи, далее можно воспользоваться этими результатами. Только их следует несколько уточнить, поскольку, во-первых, в этих работах речь шла о бесконечно гладких решениях, а не об обобщенных, и, во-вторых, поскольку не было доказано, что кратность собственного значения исходной задачи совпадает с кратностью собственного значения задачи (2).

В этой работе мы изучим поведение вложенных мод цилиндрического волновода с локально неоднородным заполнением, поскольку в этом случае формальное применение теории возмущений, как отмечалось в [6], указывает на то, что вложенные собственные значения уходят в комплексные резонансы.

Постановка задачи. Рассмотрим волновод

сечения S, представляющего собой односвязную конечную область в R1 или R2. Пусть он заполнен неоднородным веществом, которое характеризуется кусочно-непрерывным заполнением q(x,y). Будем считать, что эта неоднородность локальная, то есть, что

Задачу о возбуждении колебаний током f, локализованным в Wў, можно поставить так



(Решение этой задачи не единственно, так как пока на u не наложены никакие условия излучения.) За обобщенную постановку задачи (3) естественно принять

В [4] было показано, что если

и q0(x) -1 і 0, то у задачи (3) имеется собственная функция u0 (x,y), отвечающая вложенному собственному значению e0 . Попытаемся выяснить, сохраниться ли оно, если мы возмутим это заполнение

где q1 - вещественная функция, а e характеризует малость возмущения.

Резольвента регулярного волновода. Так как резольвента данной задачи не единственна, то выясним сначала ее поведение в простейшем случае полого волновода. В этом случае методом разделения переменных ее можно явно построить, то есть показать, что задача



имеет единственное решение u = R0(l) v, удовлетворяющее парциальным условиям излучения в соответствии с определением:

Определение 1 Пусть ?n2 - собственные значения задачи Дирихле на сечении S. Если при x > b имеет место представление

где gn(l) = Ц{l-an2}, и аналогичное при x < a, то есть при больших x поле u представляет собой суперпозицию волн бегущих от источника и к источнику, то говорят, что u удовлетворяет (парциальным) условиям излучения. Поскольку с физической точки зрения при возбуждении поля u током f волны должны бежать от источника, говорят, что u удовлетворяет физическим или главным условиям излучения, если в этой формуле стоят только главные значения корней gn, то есть такие, что при l not О (a2n, +Ґ) верно неравенство

l--О--(a2n, +Ґ) -

Если конечное число корней имеет побочное значение, то и условия излучения называют побочными.

Предположим, что задача (4) имеет обобщенное решение u(x,y) О W 21(W) при данном l. Заметим, что его можно разложить в сходящийся по норме ряд по собственным функциям задачи

на сечении S, предварительно перенумеровав собственные значения этой задачи (так называемые квадраты частот отсечки) в порядке возрастания. Подставим тогда в (4) ряд

и получим

Решение этого уравнения при помощи функции Грина можно представить в виде:

где значение корня gn (l) 2 = l---a2n может быть как главным так и побочным. [13]

При x > b имеет место представление

и аналогично при x < a

то есть при больших x поле u представляет собой суперпозицию волн бегущих от источника, к источнику и плоских волн, бегущих вдоль волновода. С физической точки зрения при возбуждении поля u током v волны должны бежать от источника. Это условие означает, что в формуле (8), а значит и в (7), коэффициент Cm должен быть равен нулю, корень gn принимает только главные значения, то есть такие, что при l not О (a2n, +Ґ) верно неравенство

а при l--О--(a2n, +Ґ) -

По тем же причинам, в формуле (9), а значит и в исходной формуле (7), следует взять Cўm=0. В дальнейшим, однако, возникнет необходимость рассматривать случаи, когда конечное число из корней gnимеет побочное значение, тогда условимся говорить, что определенная по формулам (6)- (7) функция u удовлетворяет побочным условиям излучения. Итак, удовлетворяющее главным или побочным условиям излучения решение задачи (4), если оно вообще существует, имеет вид

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 1 Пусть v О L2(Wў) и в формуле (10) все корни gn(l), начиная с некоторого n, имеют главное значение. Тогда ряд для R0(l)v сходится по норме W 21(W) и является обобщенным решением задачи (4). Более того, в этом случае в окрестности любой точки l0 not = a2n, найдется такое N, что N-ый остаток R0N ряда для R0(l) принадлежит L(L2(Wў), W 21(W)) и регулярен там.

Замечание 1 Запись A О L(E, F) означает, что оператор A является ограниченным оператором, переводящим банахово пространство E в подмножество банахова пространства F. [14]

Замечание 2 В [2], [11] разбирался случай, когда v О CҐ0(W). В работе [2] указано, что ряд для R0 v при физическом выборе корней сходится равномерно в норме С, если v О CҐ0(W) и поэтому является классическим решением задачи (4).

Пусть l принадлежат достаточно малой окрестности l0. По условию значения gn(l) становятся главными, начиная с некоторого номера, тогда найдется столь большое N, что Бgn(l) > 0 при n і N. Но любая функция v О L2(Wў) может быть представлена в виде



где vў - функция, ортогональная к y1, ... yN-1. Подстановка

приводит к задаче

У этой задачи существует решение из W 21(W).

В самом деле, в силу теоремы Рисса [15],[16] задача (11) в пространстве

имеет вид

uў+ lA uў = H vў,

где A О L (W 21(W), W 21(W)) и H О L(L2(W), W 21(W)) - ограниченные эрмитовы операторы, причем для любой w О W 21(W)

(w, H v)W21=(w,v)L2 Ј--||w||L2||v||L2

и поскольку ||w||2L2 Ј 4 (diam S)2 ||w||2W21 (см. [17]), получается, что

||--H ||--Ј--2 diam S є h.

При неположительных l0 существует резольвента (E+lA)-1, регулярная в окрестности точки l0. Поэтому справедлива оценка

(w,--(E+lA)-1--H--v)W21--Ј--h--||(E+lA)-1||W21--||v||L2--||w||W21

Это означает, что в окрестности точки l0

(E+lA)-1--H--О--L--(L2(Wў),--W--21(W))

Поэтому в этой окрестности существует решение последней задачи, именно:

uў--=--(E+lA)-1H--vў

а значит, и решение задачи (4), которое, следовательно, имеет вид

С другой стороны по доказанному оно представимо в виде R0 v, поэтому

R0N(l) = (E+lA)-1 H

и следовательно, этот остаток является регулярной в окрестности l0 оператор функцией, принадлежащей L (L2(Wў), W 21(W)).

Если же a2N > l0 > 0, то отсюда следует, что у задачи (4) имеются решения при l0 + 0i и l0 - 0i, и они стремятся друг к другу. Поэтому непрерывный спектр A начинается с a2N, а собственных значений у него нет. (Ср. [1]) Значит, и при таких l0 опять существует резольвента (E+lA)-1, регулярная в окрестности точки l0. Повторяя сказанное выше про комплексные l0, видим, что опять

R_N--(l)--=--(E+lA)-1--H--О--L(L2(Wў),--W--21(W))

Сведение исходной задачи к интегральному уравнению. Предыдущая теорема означает, что резольвента полого волновода является регулярной аналитической функцией на римановой поверхности F с точками ветвления a2n. Весьма замечательно, что ту же риманову поверхность можно взять и для резольвенты исходной задачи.

В самом деле, пусть v О L2(Wў) удовлетворяет задаче

v - A(l) v = f, где A(l)=---l(q-1) R0 (l)

(здесь и далее под ? подразумевается точка римановой поверхности F, поэтому теперь не требуется указывать, что всюду выбрана одна и та же ветвь R0(l)). Положим

u = R0 (l) v,

тогда в силу теоремы 1

([D+--l]--w,--u)--=--([D+--l]--w,--R_--(l)--v)--=--(R_--(l)*[D+--l]--w,--v)--=

=--(w,--v)--=--(w,-----l[q-1]u--+--f),

то есть u есть обобщенное решение задачи (3). К тому же эта функция удовлетворяет главным или побочным условиям излучения в зависимости от выбора значения корней gn в R0(l). Таким образом для построения решения задачи (3), удовлетворяющего парциальным условиям излучения, достаточно разрешить задачу (12). Преимущество же задачи (12) состоит в следующем.

Теорема 2 Оператор A(l) является компактной голоморфной оператор-функцией на римановой поверхности F.

Пусть l0 - любая регулярная точка поверхности F. Из теоремы 1 следует, что R0(l) является суммой конечного числа интегральных операторов вида

и остатка R0N (l) О L(L2, W 21(W)), регулярного в окрестности l0. В силу компактности носителя q-1 операторы

[q(x,y)-1]--[--1/2]R_N--(l)

принадлежат L(L2(Wў), L2(Wў)), являются регулярными в окрестности l0 и, после домножения на компактный оператор [q(x,y)-1][ 1/2], становятся компактными, а следовательно то же верно и для их суммы A (l).

Из этой теоремы и мероморфной теоремы Фредгольма [18] следует, что для задачи (12) верна альтернатива: или при данном l задача

v-----A(l)--v--=--f

однозначно разрешима при любой f О L2(Wў), или l является собственным значением оператора A(l), то есть существует нетривиальное решение v О L2(Wў) уравнения

v-----A(l)--v--= 0.

Прежде чем выяснить, как соотносятся эти собственные значения с собственными значениями задачи (3), условимся о следующем.

Определение 2 Точка e римановой поверхности F называется резонансом волновода, если существует решение u задачи

(Dw,--u)L2(W)+--e(w,--q--u)--L2(W)--=--_--"w--О--CҐ_--(W)

удовлетворяющее условиям излучения, соответствующим данному листу f. Если эта точка принадлежит главному листу или его границе, то ее называют собственным значением волновода, а соответствующую функцию u - собственной функцией; функция u1 называют присоединенный к u, если она является решением задачи

(Dw,--u1)L2(W)+--e(w,--q--u1)--L2(W)--=---(w,--q--u)--"w--О--CҐ_--(W)

Если же резонанс e О F не принадлежит главному листу и его границе, то его называют комплексным.

Замечание 3 Традиция называть резонансы, отличные от собственных значений, комплексными связана с тем, что, как показано в [11], все собственные значения волновода, лежащие на главном листе вещественны (более того положительны), а соответствующие им собственные функции принадлежат L2(W).

Пусть u О L2(W) - собственная функция волновода, отвечающая собственному значению e, лежащему на главном листе, тогда эта функция является классическим решением задачи (13), поэтому можно положить v = (D+--e)--u--є-----e--(q-1) u. Значит,

v--+--e--(q-1)--R_--v--=--(D+--e)--u--+--e--(q-1)--u--=--_,

то есть v - собственная функция оператора A. Верно и обратное.

Теорема 3 Если e О F - собственное значение оператора A(l), а v - соответствующая ему собственная функция, то собственное значение e является резонансом волновода.

Если e лежит на главном листе F, то оно является собственным значением волновода и его кратность как собственного значения оператора A(l), совпадает с числом линейно независимых собственных функция волновода.

Более того собственной функции v отвечает собственная функция волновода u=R0(e) v , а функции v1, присоединенному к собственной функции v оператора A(l), отвечает функция

u1--=--R_(e)--v1--+--R_ў(e)--v--,

присоединенная к собственной функции волновода u=R0(e) v.

Заметим сначала, что если e - собственное значение оператора A, то существует не только собственная функция v О--L2(Wў), удовлетворяющая задаче

v-----A(e)--v--=--_,

но и u = R0(e) v , являющееся обобщенным решением задачи (13). По определению это означает, что e является резонансом волновода.

Если e лежит на главном листе, то построенная выше функция u является собственная функция волновода, отвечающая собственному значению e.

Покажем, что функция

u1--=--R_(e)--v1--+--R_ў(e)--v

является присоединенной к u. Для этого заметим, что при всех w О--CҐ0 (W) во-первых,

((D+e--q)--w,--R_--v1)--=--((D+e)--w,--R_--v)--+(w,--e--(q-1)--R_--v)--=

=--(w,--v1--+--e(q-1)R_--v1)--=--(w,--Aў(e)--v)--=

=---(w,--(q-1)R_--v--+--e--(q-1)R_ўv),

((D+--l)--w,--R_(l)--v)--=--(w,--v)

верно соотношение

((D+--l)--w,--R_ўv)--=-----(w,--R_--v)

и поэтому

((D+--eq)w,--R_ўv)=(w,--e(q-1)R_ўv-----R_--v).

Складывая эти равенства, получим

((D+--eq)--w,--u1)--=---(w,--(q-1)R_v--+--R_v)=-(w,--q--u).

Значит, u1 действительно является присоединенной функцией.

Однако, из самосопряженности оператора D+ lq при вещественных l следует, что у этих собственных функций нет присоединенных. В самом деле, имеем

(u,(D+--e--q)--u1)--=--((D+--e--q)u,--u1)--=--_--=---(u,--q--u)--not--=--_,

что невозможно. Но лежащее на главном листе e неизбежно вещественно, как отмечалось выше. Значит присоединенной к u функции не существует, а следовательно, не существует и v1, поэтому кратность собственного значения e оператора A равна количеству его линейно независимых собственных функций. По предыдущему между этими функциями и собственными функциями волновода существует взаимно однозначное соответствие, поэтому кратность равна числу его линейно независимых собственных функций.

Возмущения собственных значений волновода. Пусть при заполнении типа вставки q(x,y) є q0(x) имеется однократное вложенное собственное значение e0 О (a21, a22), тогда соответствующая ему собственная функция имеет вид u(x) yM(y) при некотором M > 1 [4]. Возмутим заполнение малой добавкой eq1(x,y), где параметр e характеризует малость, то есть рассмотрим волновод с заполнением q(x,y) = q0(x) + eq1(x,y). Тогда в силу двух последних теорем точка e0 главного листа римановой поверхности F является однократным собственным значением оператора A(l, e) = - l(q0-1 + eq1) R0(l) при e = 0. В окрестности точки (e0, 0) этот оператор регулярен. Поэтому при достаточно малых e у этого оператора имеется собственное значение

e(e)--=--e_--+--e1--e+--...--=--P(e)

и ему отвечает собственная функция v(e), разложимая в равномерно по норме L2(Wў) сходящийся ряд

v(e)--=--v_--+--v1--e+--...--=--P(e)

(Здесь и далее произвольный ряд по целым положительным степеням e будем обозначать как P(e). ) Обоснование этого утверждения дано в приложении.

Поскольку точка l = e0 лежит на границе двух листов поверхности F, то лишь ее часть с Бl і 0 принадлежит главному листу. Поэтому собственное значение e(e) оператора A является собственным значением волновода, если Бe(e) і 0, в противном случае оно является комплексным резонансом. Так как на главном листе все собственные значения вещественны, то Бe(e) = 0. Это равенство в частности означает, что e1 - вещественное число, то есть что в первом порядке теории возмущений e(e) остается вещественным. Несмотря на это, справедливо следующее утверждение.

Теорема 4 Существуют такие кусочно-непрерывные вещественные возмущения q1(x,y) исходного заполнения q0(x), что e(e) с ростом e становится комплексным резонансом.

Для того, чтобы e(e) не было собственным значением волновода, достаточно, чтобы оно не было вещественным. Предположим противное, что именно, e(e) - вещественное число, тогда оно лежит на границе главного листа и, следовательно, является собственным значением волновода, которому в силу теоремы 2 соответствует собственная функция

u(e)--=--R_(e(e))--v(e)--О--L2.

Как и в доказательстве теоремы 1 в окрестности точки l = e0 резольвенту R0(l) можно представить в виде суммы оператора

и R01(l) О L(L2(Wў), W 21(W)), регулярного в окрестности l = e0. По теореме Вейерштрасса о суммировании ряда второй член

R_1(e(e))--=--P(e)--О--L(L2(Wў),--W--21(W))

Относительно первого заметим, что поскольку u(e) - собственная функция волновода, отвечающая собственному значению, лежащему на главном листе, то

(u,--y1)L2(S)--=--_--"x--not--О--Wў

Поэтому если h(x) - CҐ0-ступенька, равная 1 на всем Wў, то

h(x)B(e(e))v(e)--=--B(e(e))v(e)

Но h(x)B(l) - интегральный оператор, ограниченный по норме W21, и регулярный в рассматриваемой окрестности l = e0, поэтому и h(x)B(e(e))v(e) = P(e). Значит, собственная функция u(e) может быть разложена в ряд по степеням e, сходящийся равномерно по норме W21.

Умножив (3) на y1(y) и проинтегрировав по y по всему сечению S, получим

Подставим сюда ряды для e(e) и u(e), тогда в первом порядке, обозначив

(u1, y1) = u1,1(x),

получим

Для того, чтобы u(x,y;e) принадлежало W 21(W) необходимо, чтобы и u1,1(x) О L2( R1). Но у уравнения

имеется решение из L2 не при любых q1. Но это не согласуется с предположением о том, что u - собственная функция волновода.

Коротко доказанную теорему можно сформулировать так: вложенные собственные значения волновода уходят в общем случае в комплексные резонансы. Отметим, что это - специфическое свойство вложенных собственных значений, поскольку изолированные собственные значения при таких возмущения сохраняются в силу теоремы Реллиха-Като. Это свойство довольно интересно, поскольку более привычно когда собственное значение уходит в резонанс лишь при возмущении q0 комплексной добавкой, то есть при введении затухания. Однако в [19] это свойство вложенных собственных значений было проиллюстрировано простым примером.

К сожалению сделать на основании этой теорему вывод о существовании или несуществовании вложенных собственных значений при заполнениях, близких к q0(x), нельзя, поскольку при построенном q1 исчезает лишь одно вложенное собственное значение, а не все, и на вещественную ось могут выходить комплексные резонансы. Оба эти возражения могли бы быть легко отброшены, если бы A был конечномерный и его спектр имел бы простой вид. Поэтому можно лишь утверждать, что структуры совокупности вложенных собственных значений при заполнении типа вставки и при заполнении другого вида совсем не похожи, и поэтому многочисленные примеры мало что проясняют относительно устройства точечного спектра волновода.

A Приложение: теория возмущений для собственных значений компактной оператор-функции.

Систематическое исследование аналитических свойств компактной оператор-функции (операторного пучка) A(l), регулярной (голоморфной) в некоторой области B, и его резольвенты было предпринято в [18] (см. также [20]). Развитие теории возмущений для квантово-механических задач, заставило изучить зависимость полюсов резольвенты A(l, e) от параметра возмущения e [7],[8],[9]. Однако в этих работах рассматривался случай, когда A(l, e) = V(?)R0(l) и R0(l) имеет в области B полюс первого порядка конечного ранга.

Позже задачи теории дифракции привели к необходимости изучения зависимости полюсов резольвенты регулярной в B функции A(l,--e) от параметра e [12]- [11]. В [11] было показано, что в окрестности полюса резольвенты A(?, 0) лежит полюс резольвенты A(l,--e),--однако до настоящего момента оставалось неясным зависит ли этот полюс от ? аналитически и сохраняется ли его кратность. Неразрешенность этого вопроса не давала возможности применять теорию возмущений. Поэтому, в частности, хотя и построены многочисленные примеры волноведущих систем, обладающих вложенными собственными значениями, [1]-[5], пока не ясно, сохраняться ли эти собственные значения при малых изменениях параметров систем [3], [6].

Для изучения зависимости полюсов от e обычно строят модифицированный определитель Фредгольма d(l,e) для оператора A(l,e) и затем на основании подготовительной теоремы Вейерштрасса доказывют, что решение l(e) уравнения d(l,e)=0 может быть разложено в ряд по дробным степеням e [7].

Однако подавляющее большинство теорем теории аналитических функций, как и их доказательства переносится и на теорию оператор-функций A(l,--e)--[14]. Поэтому естественно ожидать, что тоже верно и для подготовительной теоремы Вейерштрасса. Чтобы понять, как следует изменить ее формулировку разберем сначала случай конечномерного гильбертова пространства, то есть случай, когда A является матрицей.

Итак, рассмотрим в гильбертовом пространстве H оператор A(?,?), голоморфный в области B l-плоскости и в области e < e0. Его резольвента R(l,e), заданная соотношением

[E-----A(l,e)][E--+--R(l,e)]--=--E

согласно [18] является компактным оператором, мероморфным в указываемых областях, причем ее полюса являются собственными значениями оператора A(l,e). Предположим, что при e = 0 в области B имелось только одно собственное значение e0 кратности N. Обозначим далее лежащие в B полюса при заданном e как { e(n)(e)} и попытаемся изучит их как функции от e.

A.1 Теория возмущений для собственных значений оператора A(l,e) в конечномерном пространстве.

Если гильбертово пространство H является конечномерным, то { e(n)(e)} являются нулями определителя

a--(l,e)--=--|E-----A--(l,e)|,

очевидно голоморфного в рассматриваемых областях. Следуя доказательству A. Картана подготовительной теоремы Вейерштрасса [21], [22], заметим сначала, что в силу теоремы о логарифмическом вычете интеграл

по контуру C, проведенному в близи границы B, всегда равен натуральному числу N(e), которое означает число нулей a (l,e), лежащих внутри C. (Каждый нуль считается столько раз, какова его кратность.)

C другой стороны s0 (e) - аналитическая функция от e, регулярная в нуле, поскольку при l--О--C найдется такое eў0, что для всех e--Ј--eў0 оператор A(l,--e)--не имеет собственных значений и следовательно

|--a(l,--e)|--і--d-->--_.

Но такая функция может принимать только целые значения тогда и только тогда, когда она тождественно равна некоторой константе N(0)=N. Поэтому в области B при всех достаточно малых ? имеется ровно N собственных значений.

Чтобы выразить { en(e)} как функции e, образуем аналитические функции

При фиксированном e функция

внутри C имеет простые полюса в нулях определителя e(m)(?) c вычетами, равными кратности этих нулей, поэтому

Поэтому по формулам Ньютона можно образовать уравнение

коэффициенты которого являются рациональными функциями от sn, а корни - нулями a, лежащими внутри C.

Остается заметить, что функции sn(?) можно рассчитать и не вычисляя определитель. Именно, поскольку



в силу формулы Якоби определитель

и поэтому в силу a = |E+--R|-1

Таким образом для конечномерного гильбертова пространства H доказана следующая теорема.

Теорема 5 Пусть в конечномерном гильбертовом пространстве H компактный оператор A(l,e), голоморфный в области B ?? плоскости и в области--e--< e0, имеет при e = 0 в области B только одно собственное значение e0 кратности N. Тогда его собственные значения { e(n)(?)} удовлетворяют алгебраическому уравнению

eN + a1(e) eN-1 + ... + aN (e) = 0



а sn определяются по формуле (14), причем функции sn(e) = P(e).

(Здесь и далее, как это принято в вейерштрассовской теории функций, P(e) означает произвольный ряд по целым неотрицательным степеням e [23], [24].)

Весьма замечательно, однако, что и в случае бесконечномерного гильбертова пространства, когда определителя a вообще не существует, функции sn (e) существуют и являются аналитическими и теорема 5 остается в силе.

A.2 Теория возмущений для собственных значений оператора A(l,e) в бесконечномерном пространстве.

Основные понятия теории аналитических функций прямо переносятся на случай оператор-функций, если понимать всюду модуль как норму [14]. Рассмотрим оператор-функцию F(l,--e), равномерно ограниченную константой M и регулярную в области e--Ј r при всех l--О C. Ясно, что можно определить функцию

Покажем, что эта функция регулярна в нуле. В силу теоремы Коши [14]



а значит ряд

мажоруется геометрическим рядом

и является равномерно и безусловно сходящимся при |e| < r. Наконец,

поэтому ряд



стремиться к f(e) равномерно и безусловно при |e| < r, то есть эта последняя функция действительно является регулярной в нуле.

С тем, чтобы распространить теорему 5 на бесконечномерный случай, рассмотрим оператор-функцию

и изучим некоторые ее свойства.

Теорема 6 Оператор P(e) является ортопроектором, зависящим аналитически от e в окрестности нуля. Его след s0(e) есть число собственных значений оператора A(l,--e),--лежащих внутри C, которое не зависит от e.

Покажем сначала, что P(e) зависит аналитически от e в окрестности нуля. Заметим, что при l--О--C и e--Ј--e0/2 функции

A(l,e)--и--R(l,_)

равномерно ограничены. Из соотношения Гильберта

(E+--R--(l,e))--(E---(--A(l,e)---A(l,_))--(E+--R--(l,_)))--=--(E+--R--(l,_))

видно, что и

||E+--R--(l,e)||--Ј--||--E+--R--(l,_)||--||(E---(--A(l,e)---A(l,_))--(E+--R--(l,_)))-1||

Но можно взять столь малое r, что при всех e < r

тогда

Значит, подынтегральное выражение в (15) равномерно ограничено и регулярно при e--Ј--r, поэтому как и утверждалось, P(e) регулярна в нуле.

Замети теперь, что P не изменится, если в качестве круга C взять другой Cў, отличающийся от первого достаточно мало и вложенный в него. Тогда

R(l,--e)-----R(m,--e)--=--[E--+--R(l,--e)][(E-----A--(l,--e))---(E-----A--(m,--e))]--[E--+--R(m,--e)]--

Однако поскольку l--О--C не лежит внутри Cў

Поэтому P2 = P. Значит, собственные значения этого оператора равны нулю или единицы. В силу того, что R имеет в качестве своего вычета лишь конечномерные операторы, то таков и P. Поэтому при любом e < e0 след SpP(e) равен натуральному числу N(e) или нулю. В [18] показано, что это число совпадет с кратностью собственных значений, лежащих внутри C, и с размерностью P(e).

Остается доказать, что и SpP(e) является аналитической функцией от e, регулярной в нуле. Воспользуемся с этой целью леммой Фань Цуй [25]: для любой ортогональной системы {fj }1n и любого компактного оператора A верна оценка

Из нее следует, что

Поскольку при любом e размерность корневого пространства конечна, N(e) < N0 при всех e < e0. Норму ||P(e)|| тоже можно оценить равномерно. В самом деле, в силу теоремы Шура можно найти такой ортонормированный базис, в котором конечномерный P имеет на главной диагонали 1 и нули. Тогда

(P fj, fj) = 1 или 0

поэтому для любого--f--О--H

|(P--f,--f)|--Ј--||f||2

откуда ||P||--Ј--4--[16].

Поскольку P - конечномерной оператор размерности < N0, то существует не более N0 чисел sj (P) not = 0 и все эти числа меньше || P(e)|| < P0. Поэтому

По теореме Вейерштрасса о суммировании ряда из этой оценки следует, что ряд

Но это значит, что s0(e) непрерывна и в тоже время принимает только целые значения, это возможно только если s0(e)--є--N. Но с другой стороны при фиксированном e подынтегральная функция в выражении для P имеет полюса только в точках e(m)(e) и с вычетами P(m), поэтому

По доказанному выше SpP(m) = Nm (e) - кратность собственного значения e(m)(e), поэтому

то есть число собственных значений, лежащих внутри C остается неизменным.

Изучим теперь некоторые свойства оператора

При фиксированном--e--подынтегральная функция имеет полюса только в точках e(m)(e) и с вычетами P(m), поэтому

По теореме 6 SpP(m) = Nm (e) - кратность собственного значения e(m)(e), поэтому как и в конечномерном случае



Для доказательства теоремы 5 остается заметить, что в силу леммы Фань Цуй верно

Поскольку оператор Pn конечномерный, то существует не более N0 чисел sj (P) not = 0 и все эти числа меньше || Pn(e)|| . Оценить эту норму равномерно можно, воспользовавшись тем, что по доказанному в теореме 6

||P(m)||--Ј--4

ибо тогда

Значит ряд SpPn (e) сходится равномерно и по теореме Вейерштрасса о суммировании ряда Pn(e) = P (e), что и завершает доказательство теоремы 5, которая теперь формулируется так:

Теорема 7 Пусть в гильбертовом пространстве H компактный оператор A(l,e), голоморфный в области B l- плоскости и в области e < e0, имеет при e = 0 в области B только одно собственное значение e0 кратности N. Тогда его собственные значения { e(n)(e)} при заданном e < e0 удовлетворяют алгебраическому уравнению

eN--+--a1(e)--eN-1--+--...--+--aN--(e)--=--_

где

а функции sn(e) определяются формулами

и являются аналитическими функциями от e, регулярными в нуле.

Замечание 4 Тот факт, что в окрестности невозмущенного собственного значения имеется хотя бы одно собственное значение, был указан в [12].

Отметим, что формулы для sn удобны для непосредственного вычисления поправок теории возмущений, если известна R(l, 0) є R0(l). В самом деле, коль скоро



и так далее.

A.3 Первый порядок теории возмущений.

Из теоремы 7 следует, что все собственные значения, лежащие в области B можно представить в виде одного или нескольких рядов

e(m)--(e)--=--e_+--e1(m)--e[--1/(pm)]+...--=--P--(e[--1/(pm)]),--m--=--1,--...--M

причем еm=1Mpm = N. (Подробное и полное доказательство этого факта содержится в [23].)

Характерной особенностью операторов A, возникающих в задачах математической физики, состоит в том, что e0 - число вещественное и

Бe(m)--(e)--Ј--_

Отсюда следует, что ряды для e(m) (e) должный иметь весьма специальный вид

где e0 , epm, ..., e(2Mm-1)pm - все вещественные и Бe2Mm pm < 0 или pm = 1 и все коэффициенты вещественны, где Mm - некоторое натуральное число. [8]. Поэтому верна теорема.

Теорема 8 Пусть в гильбертовом пространстве H задан компактный оператор A(l,e), голоморфный в области B l---плоскости и в области e < e0, и пусть все его собственные значения в указанных областях удовлетворяют условию

Бe--(e)--Ј--_

Пусть, далее, при e = 0 в области B имелось только одно вещественное собственное значение e0 произвольной кратности N. Тогда при всех достаточно малых e все собственные значения этого оператора, лежащие в B, представимы в виде рядов

где M - некоторое натуральное число, e0 , ep, ..., e(2M-1)p - все вещественные и Бe2Mp < 0 или p = 1 и все коэффициенты вещественны.

Для оправдания формального применения теории возмущений в первом порядке (не зависимо от кратности невозмущенного собственного значения) остается заметить следующее. Пусть v0 О H - собственная функция сопряженного оператора A* (l, 0), отвечающая e0 и имеющая максимальный порядок присоединения m, то в силу выражения для главной части резольвенты из [18] функция

является собственной функцией оператора A (l, 0), отличной тождественно от нуля и зависящей от e аналитически.

Теорема 9 В предположениях теоремы 8 в окрестности e0 не только одно из собственных значений A(l,--e)--допускает разложение

e(e)=e_--+--e1--e+--O(e1+[--1/p]),

но и соответствующая ему собственная функция представима в виде

u(e)--=--u_--+--u1--e+--O(e2).

Замечание 5 Особо следует отметить случай, когда при e = 0 оператор A имеет ровно N собственных функций u(n)0. В этом случае по каждой собственной функции сопряженного оператора можно построить N функций

u(n)--=--P(e)--v(n)_--=--u(n)_--+--u(n)1--e+--...

являющихся собственными функциями A. Каждой из них отвечает собственное значение представимое в виде

e(n)--(e)=e_--+--e1(n)--e+--O(e1+[--1/p]).

Эта теорема полностью оправдывает формальное применение теории возмущений в первом порядке.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 00-01-00111) и программы "Университеты России" (код 015.03.02.001)

Литеpатуpа

[1] Jones D.S. The eigenvalues of С2 u + lu when the boundary conditions are on semi-infinite domains. // Proc. Camb. Phil. Soc., 49 (1954), p. 668-684.

[2] Werner P. Resonanzphдnomene in akustischen und elektromagnetischen Wellenleitern. // Z. angew. Math. Mech. 67 (1987), N 4, p. 43-54.

[3] Davies E.B., Parnovski L. Trapped modes in acoustic waveguides. // Quart. J. Mech. Appl. Math. 51 (1998), p. 477-492.

[4] Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д. О вещественных резонансах в волноводе с неоднородным заполнением. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2001, N 5. C. 23-25.

[5] Боголюбов А.Н., Делицын А.Л., Малых М.Д. О ловушечных модах волноведущих систем. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2001, N 6. C. 69-70.

[6] Малых М.Д. О поведении вложенных в непрерывный спректр собственных значений при изменении заполнения волновода. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2002, N 1. C. 61-62.

[7] Howland J.S. Puiseux series for resonances at an embedded eigenvalue. // Pacific J. Math., 55 (1974), N 1, p. 157-176.

[8] Howland J.S. On the Weinstein-Aronszajn Formula. // Arch. Rational Mech. Anal., 39 (1970), p. 323-339.

[9] Albeverio S., Hoegh-Korn R. Perturbation of resonances in quantum mechanics. // J. Math. An. Appl., 101 (1984), p. 491-513.

[10] Goldstein C.I. The singularities of the S-matrix and Green's function associated with perturbation of -D acting in a cylinder. // Bull. Amer. Math. Soc., 42 (1973), p. 1303-1307.

[11] Шестопалов В.П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур. М.: Наука, 1987.

[12] Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. М: Мир, 1984.

[13] Гильберт Д., Курант Р. Методы математической физики. Т.1. М-Л.: ГИТТЛ, 1951, Т.2. М.: ГИТТЛ, 1945.

[14] Heuser H. Funktionalanalisis. Stuttgart: B.G. Teubner, 1975.

[15] Ладыженская О.А. Краевые задачи матемтической физики. М.: Наука, 1973.

[16] Stummel F. Rand- und Eigenwertaufgaben in Sobolewschen Rдumen. Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1969.

[17] Hellwig G. Differentialoperatiren der mathematischen Physik. Berlin-Gцttingen-Heidelberg: Springer, 1964.

[18] Келдыш М.В. Избранные труды. Математика. М.: Наука, 1985.

[19] Малых М.Д. Поведение вложенных собственных значений при малых возмущениях. // Вестник Моск. ун-та. Сер. 3. Физика. Астрономия. 2002, N 3.

[20] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. T.4. М.: Мир, 1982.

[21] Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных. М.: ГИФМЛ, 1962.

[22] Гауерт Г., Реммерт Р. Аналитические локальные алгебры. М.: Наука, 1988.

[23] Weierstrass K. Mathematische Werke. Bd. 4. Vorlesungen ьber die Theorie der Abelschen Transcendenten. Bearb. von G. Hettner und J. Knoblauch. Berlin: Mayer&Mьller, 1902.

[24] Гурвиц А. Теория аналитических и эллиптических функций. М.-Л.: ГТТИ, 1933.

[25] Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

Размещено на Allbest.ru

...