Применение обобщенного метода Фурье в задаче полого волновода треугольного сечения
Обобщенный метод Фурье разделения переменных - способ расширения круга аналитически решаемых задач прикладной электродинамики. Преимущество перед классическим методом разделения переменных при решении краевой задачи для двухмерного уравнения Гельмгольца.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.11.2018 |
| Размер файла | 216,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ПРИМЕНЕНИЕ ОБОБЩЕННОГО МЕТОДА ФУРЬЕ В ЗАДАЧЕ ПОЛОГО ВОЛНОВОДА ТРЕУГОЛЬНОГО СЕЧЕНИЯ
Андрушкевич И.Е., Жизневский В.А.
Витебский государственный университет им. П.М. Машерова
Решение прикладных задач распространения электромагнитных волн зачастую сопряжено с проблемой поиска аналитических решений краевых задач математической физики. С этой точки зрения, применение метода разделения переменных один из возможных путей этого поиска. Хорошо изученный классический метод Фурье позволяет разделить переменные в дифференциальных уравнениях в частных производных применительно к граничным условиям простейшего вида. Треугольная граница направляющей структуры, рассмотренной в статье, не отвечает возможностям разделения переменных в классическом представлении. В статье рассмотрено применение обобщенного метода Фурье разделения переменных, как одного из способов расширения круга аналитически решаемых задач прикладной электродинамики. На примере определения семейства Е-волн волновода треугольного сечения показано преимущество перед классическим методом разделения переменных при решении краевой задачи для двухмерного уравнения Гельмгольца.
краевая задача метод фурье переменная
Наглядным примером реализации преимуществ обобщенного метода Фурье (ОМФ) [1] перед классическим при решении прикладных задач электродинамики является задача полого волновода треугольного сечения (рис.1), оболочка которого принимается за идеально проводящую, а внутренняя среда является однородной. Такая модель в большинстве случаев оказывается удовлетворительной для практических расчетов. При необходимости она уточняется путем учета потерь в металле.
рис.1
Поиск векторов электромагнитного поля обычно замыкается на рассмотрение уравнения Гельмгольца, которому должны удовлетворять компоненты этих векторов:
(1)
Пространственная задача о распространении волн в подобной продольно-однородной структуре сводима к решению двумерного уравнения Гельмгольца путем классического отделения переменной z, т.е. представления искомой функции в виде:
(2)
Уравнение для при этом принимает вид:
(3)
Здесь неизвестна не только функция , но и параметр ?, имеющий смысл поперечного волнового числа. Само по себе уравнение (3) не имеет определенных решений с физической точки зрения. Необходимо поставить краевую (граничную) задачу. Известно, например из [2], что для определения семейства Е-волн той или иной направляющей структуры с однородной средой и при идеализации проводящих границ надо найти решения краевой задачи, содержащей, помимо уравнения (3), условие:
на L, (4)
где под L понимается идеально проводящий контур поперечного сечения полого волновода или совокупность контуров в более сложных случаях. В нашем примере, как видно из рисунка, в качестве L выступает прямоугольный равнобедренный треугольник. Применяя для решения этой краевой задачи классический метод Фурье, т.е. представляя искомую функцию в виде:
(5)
можем получить следующее общее решение для рассматриваемого уравнения:
(6)
Неопределенные константы, содержащиеся в данном решении, должны быть определены из граничных условий, но получаемая при этом система уравнений не имеет нетривиальных решений. Следовательно, решение (6) не удовлетворяет поставленной краевой задаче. Можно пойти по пути расчленения замкнутого контура на отрезки, что безусловно вызовет увеличение количества краевых задач, требующих решения. Этого можно избежать, используя ОМФ.
Представляя искомую функцию в виде:
(7)
уравнение (3) приводится билинейному виду:
(8)
На следующем этапе применения ОМФ необходимо построить матрицу функций билинейного уравнения, которая в нашем случае выглядит следующим образом:
(9)
Следуя теории реализации ОМФ [1], используя эту матрицу, можно построить следующие системы разделенных уравнений:
(10)
(11)
(12)
Приведенные системы отличаются функциями, входящими в их базис, и их количеством. Анализ этих систем указывает, что только система (11) может иметь решения, удовлетворяющие требованию линейной независимости искомых функций по каждой переменной. Решение системы (11) при условии имеет следующий вид:
(13)
Это решение содержит восемь неопределенных коэффициентов и постоянные разделения , которые должны быть определены из граничных условий.
Условие по оси х, имеющее вид f(x,0)=0, приводит к уравнению:
(14)
из которого следует : .
Условие по оси y, имеющее вид f(0,y)=0, приводит к уравнению:
(15)
из которого полагаем:
Условие по гипотенузе рассматриваемого треугольника, имеющее вид f(y-а,y)=0, приводит к уравнению:
которое может быть преобразовано к виду:
(16)
Решая данное тригонометрическое уравнение можно обратить его в тождество при следующих ограничениях на неопределенные постоянные:
(17)
где k,n,m - целые ненулевые числа.
При этих ограничениях искомая функция принимает следующий вид:
(18)
где С - неопределенная амплитудная константа, появившаяся вследствие следующих обозначений:
Возвращаясь к первоначально поставленной задаче об определении семейства Е-волн рассматриваемой направляющей структуры, согласно [2], в качестве f(x,y) выступают собственные функции , имеющие смысл продольной компоненты напряженности электрического поля для волны, определяемой выбором чисел m и n. Этим собственным функциям соответствуют собственные значения из выражения (17). Полное электромагнитное поле для этого волновода может быть определено из зависимостей поперечных компонент от и , вытекающих из уравнений Максвелла:
,
,
,
,
где - продольное волновое число, а - круговая частота волнового процесса.
ЛИТЕРАТУРА
1. И.Е. Андрушкевич. Об одном обобщении метода Фурье разделения переменных. ЭВ & ЭС .1998. №2
2 В.В. Никольский, Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука.1989.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Уравнение теплопроводности: физический смысл и выводы на примере линейного случая. Постановка краевой задачи остывания нагретых тел, коэффициент теплопроводности. Схема метода разделения переменных Фурье применительно к уравнению теплопроводности.
курсовая работа [245,8 K], добавлен 25.11.2011Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений. Поперечные колебания. Метод разделения переменных или метод Фурье. Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
дипломная работа [365,5 K], добавлен 08.08.2007Анализ цепи во временной области методом переменных состояний и постоянных воздействий. Составление уравнений относительно переменных состояния цепи и численным методом. Разложение в ряд Фурье заданной периодической функции, амплитудно-фазовый спектр.
курсовая работа [581,9 K], добавлен 12.01.2012Принципы преобразований Фурье, основные правила и значение данного процесса. Особенности применения соответствующих рядов в современной электронике. Анализ примеров решения задач. Комплексы напряжения и тока, их применение в показательную форму.
презентация [304,5 K], добавлен 22.03.2015Общая характеристика строения сетчатки. Динамическая Фурье голограмма. Проблемы, связанные с Фурье-оптикой. Процесс построения действительного изображения. Способы создания 3D изображения к кино. Функциональная схема Фурье-фотоаппарата и проектора.
творческая работа [379,8 K], добавлен 04.05.2012Уравнения гиперболического типа с частными производными 2-го порядка, решение равенства свободных колебаний струны методом разделения переменных. Описание дифференциальных уравнений теплопроводности для полубесконечного стержня в виде интеграла Пуассона.
курсовая работа [480,7 K], добавлен 05.05.2011Создание сверхвысокочастотных нагревательных и конвейерных волноводных установок на основе волноводов сложного сечения для равномерной обработки тонкослойного и линейного материала. Решение внутренней краевой задачи электродинамики и теплопроводности.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 29.12.2012Решение уравнений состояния численным методом. Анализ цепи операторным методом при апериодическом воздействии. Определение функции передачи, её нулей и полюсов. Определение переходной и импульсной функции. Разложение в ряд Фурье периодической функции.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 24.03.2009Понятие и назначение магнитных экранов. Виды экранирования, определение его эффективности. Расчет параметров магнитного экрана с применением метода Фурье для интегрирования уравнения Лапласа. Подтверждение полученных результатов с помощью программы ELCUT.
курсовая работа [179,8 K], добавлен 17.06.2013Основная идея использования метода анализа размерностей. Понятие о безразмерных величинах. Основные понятия теории подобия. Метод масштабных преобразований. Первая теорема Ньютона. Критерий Нуссельта, Фурье, Эйлера. Подобие нестационарных процессов.
реферат [570,2 K], добавлен 23.12.2014Решение задачи о рассеянии в общем и частном случае, на цилиндре. Быстрое преобразование Фурье. Скрытие материальных объектов методом волнового обтекания: основополагающие идеи, свойства маскирующих покрытий и требования, предъявляемые к ним, виды.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 03.01.2011Исходные соотношения теории теплопроводности и термоупругости тонких изотропных оболочек. Применение двумерного интегрального преобразования Фурье к исходным соотношениям. Сведение задачи теплопроводности к системам сингулярных интегральных уравнений.
дипломная работа [405,8 K], добавлен 11.06.2013Расчет спектральных коэффициентов ряда Фурье. Временная и спектральная диаграмма сигнала. Автокорреляционная функция, формулы для её расчета. Электрическая схема модулятора шумоподобного сигнала. Коэффициенты передачи линейного дискретного фильтра.
контрольная работа [1021,0 K], добавлен 12.11.2012Расчет тока в катушке классическим и операторным методами для заданной электрической цепи с постоянной электродвижущей силой. Применение метода характеристического уравнения для определения вида свободной составляющей. Закон изменения тока в катушке.
курсовая работа [385,0 K], добавлен 02.11.2021Особенность волновода как направляющей системы. Решение задачи распространения волн в волноводе круглого сечения с физической точки зрения. Структура поля в плоскости продольного сечения. Применение волны H01 круглого волновода для дальней связи.
курсовая работа [279,6 K], добавлен 25.06.2013Метод конечных элементов (МКЭ) — численный метод решения задач прикладной физики. История возникновения и развития метода, области его применения. Метод взвешенных невязок. Общий алгоритм статического расчета МКЭ. Решение задач методом конечных элементов.
курсовая работа [2,0 M], добавлен 31.05.2012Постановка задачи дифракции и методы ее решения. Сведения о методах решения задач электродинамики. Метод вспомогательных источников. Вывод интегральных уравнений Фредгольма второго рода для двумерной задачи. Численное решение интегрального уравнения.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 13.01.2011Описание процесса распространения электромагнитной волны в волноводе дифференциальным уравнением. Исследование сходимости ряда аналитического решения. Вычисление функций Бесселя. Сравнение теоретической и практической оценок количества членов ряда Фурье.
курсовая работа [870,1 K], добавлен 27.02.2014Уравнение Шредингера и физический смысл его решений. Волновые функции в импульсном представлении. Методы численного решения уравнений: преобразование Фурье, аппроксимации оператора эволюции, способ Нумерова. Программная реализация задач средствами Java.
дипломная работа [1,2 M], добавлен 19.01.2011Определение охлаждения (нагревания) бесконечно длинного цилиндра и шара. Расчет корней уравнения для бесконечно цилиндра. Влияние формы тела на охлаждение/нагревание. Дифференциальное уравнение Фурье. Средняя безразмерная температура параллелепипеда.
презентация [643,5 K], добавлен 15.03.2014
