Применение дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами дельта-функциями Дирака к исследованию последовательной RLC-цепи с дискретно-континуальными характеристиками
Импульсное температурное воздействие на термистор в последовательном колебательном контуре. Температурное воздействие моделировалось дельта-функциями Дирака. Решение дифференциального уравнения с переменными коэффициентами дельта-функциями Дирака.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 06.11.2018 |
| Размер файла | 341,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Д-ФУНКЦИЯМИ ДИРАКА К ИССЛЕДОВАНИЮ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ RLC-ЦЕПИ С ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
А.Б. Путилин1, Р.Е. Либерзон1, В.К. Курбаналиев1,2
1Московский государственный университет машиностроения (МАМИ)
2ФГУП «ЦНИРТИ им. академика А.И. Берга»
Аннотация. Работа посвящена исследованию импульсного температурного воздействия на термистор в последовательном колебательном контуре. Температурное воздействие моделировалось д-функциями Дирака. Показано, что в этом случае задача сводится к решению дифференциального уравнения с переменными коэффициентами д-функциями Дирака. Получено точное решение в безразмерном критериальном виде. С использованием предельной теоремы построено асимптотическое представление функции тока в колебательном контуре при малых значениях времени. Показано, что при некоторых значениях времени, ток может стать больше наперед заданной величины, что может привести к сбою радиоэлектронной системы.
Ключевые слова: последовательный колебательный контур, термистор, д-функция Дирака, асимптотическое представление, сбой аппаратуры, радиоэлектронная система.
термистор колебательный контур дирак
Abstract. The paper explores the effects of pulsed changes in temperature on a thermistor within a RLC circuit. The effects of temperature were represented in Dirac д-functions. The study establishes that the solution lies in a differential equation with variable coefficients of Dirac д-functions. An accurate dimensionless criteria solution has been obtained. An asymptotic representation of the current function in the resonance circuit at low time values has been constructed using the limit theorem. It has been proved that at certain time values the current can exceed a well-defined expected value, which may trigger the radio electronic system failure.
Key words: RLC circuit, thermistor, Dirac delta function, asymptotic representation, system failure, radio electronic system.
Введение
В электрических цепях, так же как и в механических системах, могут возникать свободные колебания. Простейшей электрической системой, способной совершать свободные колебания, является последовательный RLC-контур (рис.1). Данная работа посвящена проблеме дополнительных пиковых значений последовательной RLC-цепи с термистором.
Эта проблема исключительно важна при разработке средств борьбы с кибертерроризмом, одной из главных опасностей ближайших десятилетий.
Рассмотрим последовательную RLC-цепь, содержащей термистор R, индуктивность L и емкость С, где могут возбуждаться электрические колебания.
Рис.1. Последовательный RLC - контур.
Если в качестве искомой величины выбрать силу тока , уравнение, описывающее свободные колебания в RLC-контуре, может быть приведены к следующему виду [1]:
|
(1) |
Здесь
Пусть сопротивление термистора имеет дискретно - континуальную характеристику, т.е.
|
(2) |
здесь дельта-функция Дирака, na - носитель n-ой - функции Дирака.
С учетом (2) уравнение (1) примет вид:
|
(3) |
Обозначим:
|
, |
Применяя теоремy подобия, перепишем уравнение (3) в безразмерном критериальном виде:
|
(4) |
где
Введем обобщенную смещенную частоту собственных колебаний контура:
Общее решение уравнения (4) можно записать в виде:
|
(5) |
где .
Здесь
определитель Вронского для фундаментальных функций уравнения (4)
где
|
(6) |
а определитель, получаемый из определителя Вронского заменой последней строки на первую строку с аргументом t.
Тогда определить Вронского W(о) будет иметь вид:
|
(7) |
а определительзапишется так:
|
(8) |
Здесь
|
, , |
(9) |
Тогда из (5) с учетом (6) и (9) найдем:
|
(10) |
Используя фильтрующее свойствод-функции:
получим
|
(11) |
здесь
.
Теперь, вводя обозначение произвольной сингулярной функции вида
а также
общее решение перепишем в виде:
|
(12) |
Чтобы найти константы , представляющие собой, скорость изменения тока в исследуемом устройстве в моменты времени, когда происходит тепловые воздействия, поступим следующим образом. В выражениибудем последовательно подставлять t=a, 2a, и т.д. В результате получим систему линейных алгебраических уравнений специального треугольного вида аналогично [2,3].
Отметим, что n - ое уравнение этой системы является разностным аналогом интегрального уравнения Вольтерра 2-го рода. Таким образом после решения конечно - разностного уравнения Вольтерра 2-го рода можно получить точное решение для функции тока последовательной RLC - цепи с термистором.
Найдем (t):
|
(13) |
Рассмотрим частный случай двукратного воздействия импульсов тепла на термистор, из (13) найдем:
1) t=a.
или
2) Аналогично для получим:
Асимптотическое поведение функции тока последовательной RLC - цепи можно получить следующим образом.
Введя преобразование Лапласа по переменной t, с учетом теоремы дифференцирования оригинала дифференциальное уравнение (4) можно переписать в виде алгебраического уравнения относительно изображения:
|
L[ |
(14) |
Такой подход удобен, если из соображений целесообразности нужно знать асимптотическое поведение искомой функции при больших или малых значениях времени. Согласно предельной теореме операционного исчисления при малых значениях времени t асимптотическое представление изображения при больших p будет иметь вид:
|
L[ |
(15) |
Переходя здесь почленно к функциям оригиналам, с использованием теоремы запаздывания, получим асимптотическое представление тока I при малых значениях времениt после импульсного теплового воздействия на термистор.
|
(16) |
Из (16) очевидно, что всегда найдутся такие значения времени t, при которых сумма положительных слагаемых в случае многократного воздействия на термистор может стать больше наперед заданной величины, что приведет к сбою радиоэлектронных систем.
Литература
1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. Москва. Издательство «Высшая школа», 1996 г.
2. Р.Е.Либерзон, А.В.Миронова. Новый метод решения сингулярных задач теории теплопроводности дискретно-континуальных сред. // «Новые технологии», №1, 2002.
3. Р.Е.Либерзон, А.В.Миронова. Об одной конечноразностной системе уравнений специального вида. // «Новые технологии», №3, 2002.
4. Дельта-функция. «Математика» [электронный ресурс]. URL: http://mathworld.wolfram.com/DeltaFunction.html
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Состояние квантовомеханической системы. Волновая функция (амплитуда вероятности). Операторы динамических переменных. Собственные функции и значения операторов. Дельта-функция Дирака. Операторы координаты и импульса, соотношение неопределенности.
курсовая работа [446,6 K], добавлен 31.03.2011Эффект Холла и магнетосопротивление в модели Друде. Высокочастотная электропроводность металла. Распределение Ферми-Дирака и его применение. Сравнительный анализ статистики Максвелла-Больцмана и Ферми-Дирака. Недостатки теории свободных электронов.
курсовая работа [723,0 K], добавлен 21.10.2014Исследование взаимодействия электрического и магнитного полей с целью экспериментального обнаружения магнитного монополя Дирака привело к выводу о том, что изолированный магнитный заряд, альтернативный электрическому, не может существовать энергетически.
статья [254,0 K], добавлен 31.03.2010Основные положения математической физики и теории дифференциальных уравнений. Поперечные колебания. Метод разделения переменных или метод Фурье. Однородные линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
дипломная работа [365,5 K], добавлен 08.08.2007Понятие, характерные свойства магнитных цепей с переменными магнитодвижущими cилами как цепи, магнитный поток в которой возбуждается переменным током. Векторная диаграмма токов и напряжений. Взаимосвязь потери мощности в стали и намагничивающей мощности.
презентация [335,5 K], добавлен 25.07.2013Вычисление переходной характеристики цепи, определение ее реакции на импульс заданной формы с помощью интеграла Дюамеля. Вычисление спектра сигнала на выходе цепи. Связь между импульсной характеристикой и передаточной функцией. Синтез схемы цепи.
курсовая работа [191,3 K], добавлен 22.01.2015Современная общая теория дифференциальных уравнений. Обзор основных понятий и классификации дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнение теплопроводности. Начальные и граничные условия. Численное решение уравнений математической физики.
курсовая работа [329,9 K], добавлен 19.12.2014Переходные процессы в цепях первого и второго порядков. Расчет электрической цепи, состоящей из катушки индуктивности, емкости, сопротивлений, источника ЭДС. Способы нахождения токов и напряжений. Реакции в цепи на произвольное импульсное воздействие.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 08.01.2016Анализ всеобщего свойства движения веществ и материи. Способы определения квазиклассического магнитного момента электрона. Сущность, особенности и доказательство теории WAZA, ее вклад в развитие физики и естествознания. Парадоксы в теории П. Дирака.
доклад [137,8 K], добавлен 02.03.2010Парамагнетизм и ферромагнетизм в системе коллективизированных электронов. Рассмотрение явления диамагнетизма электронного газа. Изучение влияния температуры на распределение Ферми-Дирака. Ознакомление со статистиками Бозе-Эйнштейна и Максвелла-Больцмана.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 01.06.2014Квантово-механическая система: теории представлений волновой функции (амплитудой вероятности). Обозначения Дирака: вектор состояния в n-мерном гильбертовом пространстве. Преобразование операторов от одного представления к другому, эрмитовы матрицы.
реферат [150,1 K], добавлен 31.03.2011Общая характеристика законов динамики, решение задач. Знакомство с основными видами сил. Особенности дифференциальных уравнений движения точки. Анализ способов решения системы трех дифференциальных уравнений второго порядка, рассмотрение этапов.
презентация [317,7 K], добавлен 28.09.2013Анализ соотношения между синусоидальными напряжениями и токами при последовательном и параллельном соединении резистивных, индуктивных и емкостных элементов цепи. Оценка параметров последовательной и параллельной схем замещения реальных элементов цепи.
лабораторная работа [137,0 K], добавлен 24.11.2010Символический или комплексный метод расчета разветвленных электрических цепей переменного синусоидального тока средствами Excel. Решение с использованием пакета Mathcad систем линейных алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами методом Гаусса.
курсовая работа [330,2 K], добавлен 02.03.2016Уравнение теплового баланса. Теплота, подведенная теплопроводностью и конвекцией, к элементарному объему. Общий вид дифференциального уравнения энергии Фурье-Кирхгофа. Применение ряда Тейлора. Дифференциальное уравнение движения жидкости Навье-Стокса.
презентация [197,5 K], добавлен 18.10.2013Решение краевых задач методом функции Хартри. Решение уравнения теплопроводности с разрывным коэффициентом и его приложение в электрических контактах. Определение результатов первой граничной задачи с разрывными коэффициентами с помощью функции Хартри.
дипломная работа [998,8 K], добавлен 10.05.2015Определение влияния активного, индуктивного и емкостного сопротивления на мощность и сдвиг фаз между током и напряжением в электрической цепи переменного тока. Экспериментальное исследование резонансных явлений в параллельном колебательном контуре.
лабораторная работа [393,4 K], добавлен 11.07.2013Составление уравнений состояния цепи, построение графиков полученных зависимостей. Решения дифференциальных уравнений методом Эйлера. Анализ цепи операторным и частотным методами при апериодическом воздействии. Характеристики выходного напряжения и тока.
курсовая работа [541,5 K], добавлен 05.11.2011Гипотезы монополя Дирака. Магнитный заряд электрона, который тождественен кванту магнитного потока, наблюдаемого в условиях сверхпроводимости. Анализ эффекта квантования магнитного потока. Закон Кулона: взаимодействие электрического и магнитного заряда.
статья [205,4 K], добавлен 09.12.2010Структуры с квантовым ограничением за счет внутреннего электрического поля. Модуляционно- и дельта-легированные структуры. Баллистический транспорт носителей заряда. Схематическая зонная диаграмма квантовой ямы. Строение полупроводниковых сверхрешеток.
курсовая работа [1,5 M], добавлен 24.04.2014
