Анализ выражений (2) и (4) показывает, что появление расходящихся слагаемых в данных соотношениях вызван особенностью интегрального ядра при и . Выделение данной особенности будем проводить по стандартному алгоритму, описанному, например, в [9], начиная с понижения порядка производной. С этой целью выполним интегрирование выражения

(5)

по частям, учитывая при этом симметричность продольной компоненты спектральной составляющей функции Грина относительно аргументов и , а также условие обращение в нуль тока на концах тонкого вибратора [4]. После выполнения интегрирования по частям выражение (5) может быть записано в виде суммы однократного и двукратного интегралов, определяемых соотношениями:

, (6)

. (7)

Используя аппроксимацию (3) для распределения тока, интегралы для элементов блоков могут быть записаны в виде:

(8)

, (9)

, (10)

где

; (11)

; (12)

; (13)

. (14)

Анализ соотношений (11) - (14) показывает, что возникновение особенностей функции Грина возможно в случаях, когда вибраторы хотя бы частично перекрываются (). На рис.1, а показан случай частичного перекрытия вибраторов (), а на рис.1, б - расположения излучателей на расстоянии . Штриховкой на указанных рисунках показано возможное расположение зон, в которых возникает особенность функции Грина. Несложно заметить, что расположение и размер зон ( или ) зависит как от кратности интеграла, так и от степени перекрытия вибраторов.

Представим интегралы (11) - (14) в виде суммы интегралов двух типов: не содержащих и содержащих особенность функции Грина и допускающих различную точность при проведении расчетов. Для этого выделим из областей интегрирования зоны, в которых возникает особенность функции Грина. При этом предположим, что размер данных зон не превышает , где - некоторая фиксированная малая величина.

В замкнутой форме выражения для двукратных интегралов , не содержащих особенность функции Грина, имеют вид:

, (15)

где (16)

(17)

при и(18)

; (19)

при ;

; (20)

; (21)

(22)

(23)

; (24)

. (25)

Аналитические соотношения для однократных интегралов из соотношений (13), (14), из которых выделена особенность функции Грина, имеют вид:

. (26)

При сумма совпадает с соответствующими выражениями, полученными для двукратных интегралов. При частичном перекрытии вибраторов переменная при описывается теми же выражениями, что и для двукратных интегралов, а переменная имеет вид:

для интегралов :

(27)

для интеграла :

. (28)

При переменные и описываются соотношениями:

; (29)

. (30)

Интегралы, содержащие особенность функции Грина, как отмечалось ранее, отличны от нуля только при и также могут быть записаны в свернутой форме:

, (31)

где

; (32)

а однократные интегралы

, (33)

где

(34)

(35)

С использованием приведенных соотношений традиционный алгоритм вычисления коэффициентов взаимной связи расположенных вблизи кругового импедансного цилиндра продольных излучателей, ток в которых аппроксимирован обобщенными модами, может быть модифицирован следующим образом. Вычисления проводятся в два этапа. На первом этапе для всех излучателей вычисляются интегралы (15), (26). При этом верхняя граница второго интервала, на который разбивается контур интегрирования , может быть небольшой. Затем только для вибраторов, расположенных на расстоянии , с использованием выражений (31), (33) вычисляется добавка, обусловленная особенностью функции Грина. Верхняя граница второго интервала интегрирования должна быть высокой, обеспечивающей требуемую точность вычисления.

Определим размеры зоны, в которой будет вычисляться особенность функции Грина. Для используемого представления поля зададим зону особенности функции Грина в виде цилиндра длиной и радиусом , причем

. (36)

Для тонких вибраторов параметр , как показано в [3,4], имеет величину порядка . Отношение длины зоны особенности к его радиусу должно составлять целую величину из интервала чисел . В большинстве случаев достаточно принять .

3. Результаты численных исследований

С использованием приведенных выше соотношений в языковой среде MathCad 7.0 Pro был разработан пакет программ, позволяющий проводить вычисления матрицы коэффициентов решетки продольных электрических вибраторов, расположенных как в свободном пространстве, так и вблизи кругового цилиндра радиуса , поверхностный импеданс которого описывается тензором , где - волновые сопротивления в классах и волн соответственно.

В случае размещения излучателей в свободном пространстве в качестве поперечной функции Грина использовалась функция, описываемая соотношением [10]:

, (37)

а при размещении вибраторов вблизи импедансного кругового цилиндра - функцией, определяемой выражением [7, 8]:

(38)

,

;

;

где - функция Бесселя q-го порядка и ее производная; - функция Ганкеля q-го порядка 2-го рода и ее производная соответственно; ; ; Ом; - амплитуда тока в точке пучности.

В табл.1 приводятся результаты вычислений добавки в собственные и взаимные коэффициенты связи на -х обобщенных модах () двух продольных вибраторов с длиной плеча при размещении излучателей в свободном пространстве и на удалении от поверхности кругового цилиндра радиусом для трех значений величины поверхностного импеданса: нулевого и двух анизотропных с и . Для оценки величины добавки в табл.2 приведены окончательные значения коэффициентов связи, для которых проводились расчеты. При составлении табл.1 итабл.2 учтена симметричность матрицы коэффициентов взаимной связи относительно главной диагонали, а также исключены элементы, равные нулю.

Расчеты проводились при разных значениях верхних границ отрезков интегрирования. Так, при вычислении интегралов, не содержащих особенность функции Грина, данная величина принималась равной 30 для случая размещения в свободном пространстве и 13 - при расположении излучателей вблизи кругового цилиндра. Вычисление добавки проводилось при верхней границе, равной соответственно 2000 и 100. Время вычислений каждого варианта под управлением операционной системы Win2K на ЭВМ с процессором AthlonXP-1700+ и оперативной памятью 256 Мб составило порядка 10 мин.

Анализ данных из табл.1 и табл.2 показывает, что в случае аппроксимации распределения тока в продольных вибраторах с использованием обобщенных мод при вычислении собственных коэффициентов связи величина добавки, обусловленной особенностью функции Грина, велика, особенно для реактивной составляющей, и отлична от нуля только для диагональных элементов в блоках одинаковых гармоник (). Для элементов, расположенных на расстоянии , добавка присутствует во всех элементах блоков, однако ее вклад в соответствующий коэффициент связи значительно меньше. Для элементов, удаленных на большие расстояния, добавка равна нулю, поскольку особенности функции Грина при этом не возникает.

Сравнение данных табл.2 с аналогичными, но полученными с использованием других алгоритмов [3,5], позволяет сделать вывод о корректности разработанных программ и достаточной для практических целей точности получаемых результатов. Анализ временных затрат показал, что в случае расположения вибраторов в свободном пространстве вычисления все же целесообразнее проводить с использованием функции Грина свободного пространства. При размещении излучателей вблизи цилиндра временные затраты сопоставимы с данным параметром для известных алгоритмов.

Таким образом, при аппроксимации распределения тока с использованием обобщенных мод при вычислении коэффициентов взаимной связи расположенных вблизи импедансного кругового цилиндра продольных вибраторов для излучателей, смещенных вдоль оси на расстояния, меньшие двух длин плеч вибратора, необходимо вычислять добавку, обусловленную особенностью функции Грина.

Таблица 1. Величина добавки в коэффициент связи на -х модах тока, обусловленной особенностью функции Грина

Таблица 2. Коэффициенты связи на -х модах тока

4. Список литературы