Аппроксимация электрического поля проводников полями экранированных точечных зарядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аппроксимация электрического поля проводников полями экранированных точечных зарядов

В.П. Казанцев

Найдены комплексные электрические потенциалы и энергетические соотношения для экранированных точечных зарядов на плоскости. Показано, что, как комплексные электрические потенциалы экранированных точечных зарядов, так и их энергии взаимодействия могут быть выражены через функции Грина. Построена вариационная схема аппроксимации полей проводников полями экранированных точечных зарядов, эффективность которой подтверждается примерами расчета погонной емкости длинных линий.

В работе [1] дан подробный анализ понятий точечных мультиполей на плоскости, а также показано, что электрическое поле системы круговых параллельных проводов может быть на основе вариационного принципа Гаусса приближенно с какой угодно точностью полями точечных мультиполей отдельных проводов. В работах [2,3], где рассматривались задачи электростатики на плоскости, было указано, что с полем аппроксимирующего точечного заряда тесно связано понятие внутреннего конформного радиуса , так что величину аналогичную определяемой в работе [4] емкости поверхности относительно точки, емкость линии относительно точки можно определить как:

;

где - нормировочная постоянная [3]. Если заменить электрическое поле экранированного проводника вне него полем экранированного точечного заряда, расположенного внутри проводника в точке , то такой аппроксимации будет отвечать оценка снизу емкости проводника относительно экрана [2]

, (1)

где и - внутренние конформные радиусы полости экрана и области проводника относительно точки ; и - емкости проводника и экрана относительно точки .

Естественным образом возникает вопрос о последовательном уточнении оценки (1). Такое уточнение можно проводить, приближая электрическое поле экранированного проводника полями экранированных точечных зарядов, расположенных в одной или нескольких точках внутри проводника. В связи с чем возникает потребность анализа потенциалов, напряженностей электрических полей и энергий экранированных точечных зарядов. Такой анализ и будет проведен в этой работе.

Электрические поля и энергии экранированных точечных зарядов

Подробный анализ комплексной функции Грина для областей комплексной плоскости проведен в работе [3]. Напомним, что комплексная функция Грина области представляет собой комплексный потенциал, в общем случае с точностью до постоянной величины, экранированного границей области единичного точечного заряда. Для конечной области комплексной плоскости , она может быть выражена через функцию , конформно отображающею экранированную область на круг радиусом так, что

; ,

по формуле

. (2)

Положительную величину называют внутренним конформным радиусом области, ассоциированным с точкой . На экране, как это видно из (2), .

Для анализа удобно представлять функцию Грина суммой

, (3)

где

- комплексный потенциал единичного точечного заряда (функция Грина всей комплексной плоскости). В этой работе мы не будем отличать от комплексного потенциала зарядов , наведенных на заземленном экране электрическим полем точечного заряда, расположенного в точке , поскольку будем рассматривать либо конечные экранируемые области, либо бесконечные экраны. Таким образом,

. (4)

Отметим, что вне экрана , то есть совпадает с потенциалом отрицательного единичного точечного заряда, расположенного в точке .

Для реализации вариационного подхода к задачам аппроксимации электрического поля проводников полями точечных зарядов важны энергетические соотношения. Собственная энергия зарядов, наведенных на экране полем точечного заряда , расположенного в точке равна

. (5)

Энергия взаимодействия наведенных зарядов с точечным зарядом выражается соотношением:

. (6)

Энергия взаимодействия двух точечных экранированных зарядов и , расположенных в различных точках и может быть выражена через функцию Грина

, (7)

поскольку и - это комплексные потенциалы, создаваемые единичными точечными зарядами, расположенные в точках и , в точках и . Заметим, что из полученного соотношения ясна видна симметрия реальной части функции Грина относительно перестановки и , а вместе с тем и гармоничность , как по так и по .

Вариационная схема решения задачи аппроксимации электрического поля проводников полями экранированных точечных зарядов

Пусть провод, на комплексной плоскости которому соответствует область , заключен внутри параллельного ему цилиндрического экрана. Этому экрану на комплексной плоскости будет отнесена область . Будем аппроксимировать поле вне провода в области полями экранированных точечных зарядов, расположенных в точках , источниками которых служат распределенные по с плотностями заряды.

Поле экранированного провода, которому на комплексной плоскости отвечает область , аппроксимируем комплексным потенциалом [5]

,

который является вне провода суперпозицией потенциалов экранированных точечных зарядов расположенных в точках , а внутри провода суперпозицией потенциалов зарядов, наведенных точечным зарядом на поверхности провода.

Собственная энергия экранированных точечных зарядов может быть записана в виде:

; ;

,

, (8)

где и ; и - внутренние конформные радиусы и функции Грина областей и .

При решении задачи о емкости экранированного провода следует минимизировать функционал энергии (8) по и при условии постоянства полного заряда проводника

.

Минимизируя электростатическую энергию, получим

.

Для значения емкости провода относительно экрана, на основании вариационного принципа Гаусса [6] будем иметь неравенство:

. (9)

Рассмотрим теперь как реализуется предложенная вариационная схема на конкретном примере.

Комплексные функции Грина круга, кругового кольца, кругового полукольца и прямоугольника

Решение этой задачи может быть осуществлено по общей схеме, описанной формулами (8) - (9). Для этого найдем функцию Грина круга, она может быть выражена через функцию

,

конформно отображающую круг на круг радиусом

,

тогда

. (10)

Функция Грина для кругового кольца будет иметь вид:

. (11)

Функция Грина кругового концентрического полукольца может быть выражена через комплексную функцию Грина кругового концентрического кольца , если воспользоваться зеркальной симметрией кольца относительно оси . В самом деле, функция при и будет аналитической функцией в полукольце, реальная часть которой принимает на отрезках оси те же значения, что и , а на границах и нулевые значения. Тогда комплексной функцией Грина для полукольца будет служить

электрическое поле проводник заряд

,

и, используя формулу (11) можно найти

. (12)

Функция Грина для прямоугольника может быть выражена через функцию Грина кругового концентрического полукольца (12) и функцию

; ,

которая конформно отображает прямоугольник на полукольцо . Используя эти формулы, получим функцию Грина

(13)

Рассмотрим выражение для внутреннего конформного радиуса прямоугольника, ассоциированного с точкой :

, (14)

Используя формулу (14) и выражение для внутреннего конформного радиуса круга с радиусом :

,

для диагональных элементов энергетической матрицы запишем

Для записи недиагональных элементов энергетической матрицы согласно соотношению (8) следует использовать комплексные функции Грина прямоугольника (13) и круга (10), тогда

Аппроксимация электрического поля заряженного проводящего круга, экранированного в прямоугольнике полями экранированных зарядов

Будем аппроксимировать электрическое поле экранированного в прямоугольнике круга полями пяти экранированных точечных зарядов , , , , , расположенных внутри круга в точках

, ;

, , .

Значения параметров можно выбрать так, чтобы положения зарядов соответствовали точным решениям задачи о проводящем круге, экранированном соответствующей прямой, а именно:

; ;

; .

Приведенные выше формулы существенно упрощаются при симметричном расположении круга в экранирующем его прямоугольнике, когда центр круга совпадает с центром прямоугольника, тогда . Симметрия расположения круга в прямоугольнике позволяет редуцировать энергетическую матрицу, уменьшив ее ранг на две единицы, так как

, .

Если ввести новые обозначения, то можно записать:

; .

Для более симметричной фигуры, квадрата получим

; ,

тогда число определяемых параметров можно сократить до двух

; ,

а функционал энергии представить в виде

. (15)

Элементы редуцированной матрицы будут определяться как

,

(16)

,

где

; .

Рассмотрим численный пример для круга с радиусом , экранированного в квадрате со стороной так, что центры квадрата и круга совпадают. С помощью формул (16) находим элементы матрицы , далее, минимизируя функционал энергии (15) по при условии

,

получаем оценку снизу для емкости конденсатора, образованного границами круга и квадрата как обкладками. Результаты приведены в таблице 1.

Здесь - значение емкости экранированного в квадрате круга, полученные в работе [7]. Результат, по утверждению автора [7], получен со всеми точными цифрами, однако вычисленная здесь оценка снизу позволяет усомниться в этом. По-видимому, все же погрешность найденной в [7] оценки не будет превосходить нескольких единиц четвертого после запятой знака.

Таблица 1.

В заключение отметим, что использование комплексной формы записи электростатических соотношений позволило компактно описать развитую здесь вариационную схему аппроксимации электрических полей проводников полями экранированных точечных зарядов. С помощью этой схемы вычисления практически можно проводить с наперед заданной точностью, выбирая соответствующим образом число аппроксимирующих зарядов. Отметим также, что в настоящей работе впервые было получено выражение для комплексной функции Грина прямоугольника.

Список литературы

1. Казанцев В.П., Золотов О.А., Долгополова М.В. // УФН - 2006 - Т.176 - №5 - С. 537 - 542.

2. Казанцев В.П., Золотов О.А., Долгополова М.В. // Вестник КрасГУ - 2005 - №4 - С15.

3. Казанцев В.П. // ДАН -2001 - Т.380 - №6 - С.749 - 753.

4. Казанцев В.П. // Известие вузов. Физика - 2001 - №7 - С.78 - 83.

5. Казанцев В.П., Золотов О.А., Долгополова М.В. // Вестник КрасГУ - 2006 - №7 - С.12.

6. Полиа Г. Изопериметрические неравенства в математической физике/ Г. Полиа, Г. Сеге. - М.: ГИФМЛ, 1962.

7. Пергаменцева Э.Д. // Журн. Техн. Физ. - 1978 - Т.48 - №6 - С.1153 - 1155.

Размещено на Allbest.ru