Фракталы, скейлинг, дробные операторы – применение в нанотехнологиях?

Размещено на http://www.allbest.ru/

Фракталы, скейлинг, дробные операторы - применение в нанотехнологиях?

А.А. Потапов

Введение

Для ответа на вопрос, поставленный в заголовке, автор подробно представил в своем докладе те современные научные и технические направления, в которых применение фракталов, скейлинга и дробных операторов сейчас не вызывает сомнения и приводит к существенному продвижению.

В настоящее время явно ощущается недостаточность традиционных физических моделей. Сейчас совершенно очевидно, что применение идей масштабной инвариантности - "скейлинга" и разделов современного функционального анализа, связанных с теорией множеств, теорией дробной размерности, общей топологией, геометрической теорией меры и теорией динамических систем, открывают большие потенциальные возможности и новые перспективы в обработке многомерных сигналов и в родственных областях теории колебаний и волн. Другими словами, полное описание процессов современной обработки сигналов и полей невозможно только с помощью формул классической математики.

По сути дела, речь в докладе идет о новом фундаментальном направлении в радиофизике и радиоэлектронике - применение теории фракталов, теории детерминированного хаоса, теории дробной меры и скейлинговых инвариантов в задачах повышения информативности радиосистем и устройств различного назначения, и, соответственно, в нанотехнологиях (передовой идеи, определяющей развитие Человечества в XXI в.). В своем изложении автор придерживается разумного компромисса между строгим и интуитивным изложениями материала. Основное внимание было уделено принципам, а не деталям, которые подробно изложены в [1 - 13]. Для понимания достаточно владеть основными понятиями общей теории множеств, теории размерности и теории дробных операторов. Для тех, кто не имеет соответствующей математической подготовки, изложение, вероятно, будет не слишком понятным.

Фракталы как основа новых прорывных информационных технологий в радиоаппаратостроении и функциональной электронике

Основные принципы данного направления разрабатываются автором в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, начиная с 80-х гг. XX в. [1 - 3, 8, 9, 13], и вначале касались вопросов фильтрации сверхслабых радиосигналов и изображений при существенно негауссовских помехах. При этом большое значение приобретают топологические особенности индивидуальной выборки, а не усредненные реализации, имеющие зачастую совершенно другой характер. Затем стало ясным, что такой "фрактальный" подход пригоден и для других задач. фрактал скейлинг радиофизика

На рис. 1 схематически показаны основные направления исследований в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН и приведены сведения о начале развертывания соответствующих работ [1 - 13].

Теория фракталов рассматривает вместо целочисленных мер - дробные и базируется на новых количественных показателях в виде дробных размерностей D и соответствующих фрактальных сигнатур. Автором была в свое время проделана гигантская работа по введению определений понятия "фрактал" в теорию и практику радиотехники и радиофизики и на этой основе создана классификация фракталов.

Разработанная автором классификация фракталов была в декабре 2005 г. в США одобрена Б. Мандельбротом при личной нашей встрече и приведена на рис. 2, где описаны их свойства при условии, что D0 - топологическая размерность пространства, в котором рассматривается фрактал с дробной размерностью D.

Относительно дробных операторов можно отметить следующее. Задолго до введения понятия динамической системы дробного порядка и появления работ о фрактальной природе реальных объектов, было замечено, что поведение некоторых процессов и объектов (распространение тепла, вязкоупругие свойства материалов, диффузия и др.) не укладывается в рамки традиционного описания с помощью дифференциальных уравнений целого порядка. Более точно эти процессы и объекты количественно описываются операторами дробного интегродифференцирования (ДИД) , где 1 < < 1.

Несмотря на то, что понятие оператора ДИД было известно уже в конце XVII в., начало широкого применения дробного исчисления в науке и технике можно отнести к концу восьмидесятых - началу девяностых годов прошлого века [1, 2, 12]. Физически операторы дробного интегрирования играют роль своеобразных "фильтров", выделяющих только те составляющие, которые локализованы на фрактальных (дробных) множествах исследуемого процесса. Наличие в уравнениях дробной производной современными исследователями интерпретируется как отражение особого свойства процесса/системы - память или немарковость (эредитарность).

Отметим, что в последнее время в научном мире интенсивно обсуждаются фрактальные объекты и процессы, имеющие отрицательные и комплексные дробные степени [9, 10].

Рис. 1. Развитие новых методов исследований в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН

Рис. 2. Авторская классификация и морфология фрактальных множеств и фрактальных сигнатур

Созданные и развиваемые "фрактальные" направления в радиофизике и технике

В докладе подробно рассмотрены следующие "фрактальные" направления (см. рис. 1): (1) - синергетический подход к радиофизическим задачам радиотехники, электроники и радиолокации; (2) - фрактальные меры и фрактальные сигнатуры; (3) - избранные результаты фрактальной фильтрации малоконтрастных объектов (в том числе и стелс - объектов); (4) - топология выборки и фрактальная цифровая обработка изображений; (5) - фрактальные распределения или паретианы; (6) - разработка эталонного словаря фрактальных признаков классов целей и проектирование первого фрактального непараметрического обнаружителя радиосигналов; (7) - странные аттракторы в фазовом пространстве отраженных радиолокационных сигналов диапазона миллиметровых радиоволн; (8) - концепция фрактальных радиоэлементов и фрактальных радиосистем; (9) - фрактальные антенны и фрактальные частотно-избирательные структуры на их основе; (10) - физическое моделирование фрактальных импедансов, дробных операторов и фрактальных конденсаторов; (11) - методы построения фрактальных сигналов и фрактальные методы передачи информации; (12) - фрактальная обработка медицинской информации; (13) - стратегические приложениях новых технологий.

Автором также впервые предложены на основе фрактальных сигнатур методы оценки качества поверхности изделий и свойств микрорельефа современных конструкционных материалов при обработке их концентрированными потоками энергии (скейлинг шероховатого слоя).

Создание первого эталонного словаря фрактальных признаков классов целей и усовершенствование авторских алгоритмов явились основными этапами при разработке первого в мире фрактального непараметрического обнаружителя радиосигналов.

В докладе представлены также результаты анализа электродинамических свойств разнообразных фрактальных антенн. В отличие от традиционных методов, когда синтезируются гладкие диаграммы направленности антенны, в основе теории фрактального синтеза заложена идея реализации характеристик излучения с повторяющейся структурой на произвольных масштабах. Работа фрактальных антенн достигается через геометрию проводников, а не через накопление компонентов (как в классических антеннах). Это дает возможность создавать новые режимы во фрактальной электродинамике [1, 2, 12] и получать принципиально новые свойства.

В докладе также рассмотрены перспективные пути синтеза фрактальных искусственных композитов и метаматериалов, которые можно отнести к "интеллектуальным" или "умным". Автором предложены: a) - сверхминиатюрные фрактальные антенны, b) - фрактальные структуры в фотонных и магнонных кристаллах, с)-моделирование фрактальных импедансов и дробных операторов, d) - перколяционный синтез, фрактальные лабиринты, канторовские блоки и т.д. [1, 2, 12, 13].

Проектирование фрактальных элементов (устройств) и фрактальных радиосистем

Физическое моделирование дробных интегральных и дифференциальных операторов позволяет на основе нанотехнологий создавать радиоэлементы на пассивных элементах, моделирующие фрактальные импедансы с частотным скейлингом , где 01, A - const, - угловая частота. Для этого была создана модель импеданса в виде бесконечной цепной дроби. В случае конечной стадии построения, когда используем n-ю подходящую дробь к данной непрерывной дроби, можно регулировать диапазоны частот, в которых будет наблюдаться степенная зависимость импеданса вида . В таком случае мы впервые реализуем "фрактальный конденсатор".

Основываясь на полученных результатах, можно говорить о проектировании принципиально новых фрактальных элементов (устройств) и фрактальных радиосистем - рис. 3.

Рис. 3. Авторская концепция фрактальных радиосистем и устройств

Фрактальные радиосистемы включают в себя фрактальные антенны и цифровые фрактальные обнаружители, основаны на фрактальных методах обработки информации, и также могут использовать фрактальные методы модуляции/демодуляции сигналов. Фрактальные методы могут функционировать на всех "уровнях" сигнала: амплитудном, частотном, фазовом, поляризационном и т.п.

Еще раз отметим, что созданные фрактальные методы обработки сигналов, волновых полей и изображений основаны на той части информации, которая ранее безвозвратно терялась.

Скейлинг, степенные законы и дробные операторы

К обсуждению идей скейлинга полезно подходить с точки зрения однородных функций. Как известно, функция одного или нескольких переменных, удовлетворяющая условию, что при одновременном умножении всех аргументов функции f (x, y, ..., u) на один и тот же произвольный множитель значение функции умножается на некоторую степень этого множителя, называется однородной. Например, степенная функция f(t) = b удовлетворяет соотношению однородности или скейлингупри всех положительных значениях масштабного множителя . Естественно, что степенная функция, как и многие другие функции, удовлетворяющие скейлинговому соотношению, не являются фрактальными кривыми. Однако многие виды фракталов (масштабно-инвариантные фракталы) обладают скейлинговой симметрией (рис. 2). Однородные функции обладают многими свойствами, делающими их весьма привлекательными для приближенного описания реальных процессов и объектов. Такие однородные функции играют очень важную роль в описании термодинамики фазовых переходов, в описании статистических свойств перколяции, в турбулентности, в современной ренормгрупповой теории критических явлений и т.п. Очень часто, из единственной посылки универсальности флуктуирующих систем с помощью скейлинговых оценок удается сделать далеко идущие выводы. Можно сказать, что степенные законы с целочисленными или дробными показателями являются генераторами самоподобия. В математике на основе степенных функций построено дробное исчисление, введено понятие полюсов и создана теория вычетов, построена теория асимптотических разложений, введены устойчивые распределения. Негауссовские распределения, также как и недифференцируемые функции и сами фракталы очень часто гораздо точнее описывают временные и пространственные природные процессы [1 - 13]. Проникновение дробного исчисления в физику резко ускорилось после установления его тесной связи с устойчивыми распределениями теории вероятностей.

Возможные направления исследований

Здесь мы попытаемся дать общее видение перспективных направлений исследований [1 - 13]:

1. Исследование возможностей текстурных (пространственных и спектральных), фрактальных и энтропийных признаков для радиолокационных задач обнаружения.

2. Синтез новых моделей рассеяния радиолокационных сигналов земными покровами на основе теории детерминированного хаоса, странных аттракторов и фрактальных вероятностных распределений - устойчивых распределений.

3. Исследование волновых явлений (распространение и рассеяние волн, процессы диффузии) во фрактальных неоднородных средах на основе операторов дробного интегродифференцирования. Развитие фрактальной электродинамики.

4. Синтез моделей каналов радиолокационных и телекоммуникационных систем на основе пространственных фрактальных обобщенных корреляторов и фрактальных частотных функций когерентности.

5. Исследование возможностей распознавания формы или контуров целей с помощью фрактальных, текстурных и энтропийных признаков. Работа на сингулярностях входной функции.

6. Исследование потенциальных возможностей и ограничений фрактальных методов обработки радиолокационных и связных сигналов, в том числе фрактальной модуляции и демодуляции, фрактального кодирования и сжатия информации, фрактального синтеза изображений, фрактальных фильтров. Переход к фрактальным радиосистемам.

7. Исследование адаптивной пространственно-временной обработки сигналов на основе дробной размерности и дробных операторов.

8. Поиск и исследование новых комбинированных методов обнаружения и распознавания классов малоконтрастных целей в интенсивных негауссовских помехах.

9. Исследование возможностей создания новых сред для передачи информации, многодиапазонных фрактальных поглощающих материалов, конструирование фрактальных антенн и фрактальных частотно - селективных поверхностей и объемов. Фрактальные импедансы.

10. Синтез новых классов фракталов и мультифракталов c обобщением понятия меры множеств.

11. Изучение вида или топологии выборки одномерного (многомерного) сигнала для задач, например, искусственного интеллекта с целью создания словарей фрактальных признаков на основе фрактальных примитивов, являющихся элементами фрактального языка с фрактальной грамматикой, т.е. исследование проблемы "размерностного склероза" физических сигналов и сигнатур. Эти понятия, введенные автором, предполагают исследование топологических особенностей каждой конкретной индивидуальной выборки, а не усредненных реализаций, имеющих зачастую другой характер.

12. Прогноз механизмов формирования и характеристик шероховатости с целью управления геометрическими параметрами микрорельефа для получения заданных физико-химических и эксплуатационных свойств изделий при современных неравновесных технологиях обработки их поверхностного слоя. Фракталы в нанотехнологиях. В 2008 г. автор предложил для широкого обсуждения еще одну новую концепцию, а именно, "Скейлинг шероховатого фрактального слоя и нанотехнологии".

13. Развитие фрактальной неинерциальной релятивистской радиолокации в искривленном пространстве - времени связанных структур [4], т.е. фрактальной геометрии пространства - времени детерминированных структур.

Заключение

Представление принятых радиосистемой сигналов в пространстве дробной меры и использование при их обработке скейлинговых соотношений позволяют привнести в традиционные области классической радиофизики и радиоэлектроники совершенно новые идеи и методы, а также получать на их основе достаточно неожиданные для практики, но физически обоснованные результаты.

Для аппаратной реализации устройств и методов фрактальной радиоэлектроники необходима элементная база, позволяющая выполнять обработку сигналов в пространстве дробной меры и моделировать фрактальные объекты и процессы, динамика которых подчиняется дифференциальным уравнениям дробного порядка - фрактальные импедансы.

Следует отметить, что за 30-летний период работы автора в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, по данному направлению выпущено в свет 12 монографий и опубликовано более 350 научных работ; с 2003 г. выходит специальный журнал "Нелинейный мир" (см., авторский сайт: http://www.potapov-fractal.com). Обобщение результатов, изложенных в них, позволяют охватить и всевозможные возникающие новые проблемы. Исходя из вышесказанного, можно объективно говорить о становлении московской школы фрактальных методов с центром в ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН. Таким образом, представленные результаты указывают широкие выходы и в современные нанотехнологии, где еще много "места".

Работа выполнена частично при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 05-07-90349-в, № 07-07-07005-д, № 07-07-12054, № 07-08-00637-а).

Литература

1. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации. - М.: Логос, 2002. - 664 c.

2. Потапов А.А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Университетская книга, 2005. - 848 c.

3. Потапов А.А. Фракталы и хаос как основа новых прорывных технологий в современных радиосистемах // Дополнение к книге: Кроновер Р. "Фракталы и хаос в динамических системах": Пер. с англ. - М.: Техносфера, 2006.- С. 374 - 479.

4. Подосенов С.А., Потапов А.А., Соколов А.А. Импульсная электродинамика широкополосных радиосистем и поля связанных структур / Под ред. А.А. Потапова.- М.: Радиотехника, 2003.- 720 с.

5. Бункин Б.В., Реутов А.П., Потапов А.А. и др. Вопросы перспективной радиолокации (Коллективная монография).- М.: Радиотехника, 2003.- 512 с.

6. Быстров Р.П., Потапов А.А., Соколов А.В. Миллиметровая радиолокация с фрактальной обработкой.- М.: Радиотехника, 2005.- 368 с.

7. Потапов А.А., Гуляев Ю.В., Никитов С.А., Пахомов А.А., Герман В.А. Новейшие методы обработки изображений / Под ред. А.А. Потапова.- М.: Физматлит, 2008. - 496 c. (Грант РФФИ № 07 - 07 - 07005).

8. Потапов А.А. Фрактальные модели и методы на основе скейлинга в фундаментальных и прикладных проблемах современной физики // Сб. науч. тр. "Необратимые процессы в природе и технике" / Под ред. В.С. Горелика и А.Н. Морозова. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. Вып. II. С. 5-107.

9. Потапов А.А. Фрактальные методы исследования флуктуаций сигналов и динамических систем в пространстве дробной размерности // Глава в книге "Флуктуации и шумы в сложных системах живой и неживой природы" / Под ред. Р.М. Юльметьева, А.В. Мокшина, С.А. Демина, М.Х. Салахова.- Казань: Министерство образования и науки Республики Татарстан, 2008.- С. 257 - 310.

10. Потапов А.А., Гильмутдинов А.Х., Ушаков П.А. Фрактальные элементы и радиосистемы: Физические аспекты / Под ред. А.А. Потапова (Библиотека журнала "Нелинейный мир": Научная серия "Фракталы. Хаос. Вероятность").- М.: Радиотехника, 2009. - 200 с.

11. Антипов О.И., Неганов В.А., Потапов А.А. Детерминированный хаос и фракталы в дискретно-нелинейных системах / Предисловие акад. Ю.В. Гуляева и чл.-корр. РАН С.А. Никитова.- М.: Радиотехника, 2009.- 235 с.

12. Потапов А.А., Черных В.А. Дробное исчисление А.В. Летникова, теория фракталов и скейлинг / Под ред. А.А. Потапова.- М.: Физматлит, 2010.- 820 с.

13. Потапов А.А. Современное состояние радиофизических применений фракталов, дробных операторов и скейлинга // Сб. докл. III Всероссийской НТК "Радиолокация и радиосвязь" (Москва, 26 - 30 октября 2009 г.).- М.: ИРЭ им. В.А. Котельникова РАН, 2009. С. 842 - 876. (http://jre.cplire.ru/jre/3conference/pdffiles/ts002.pdf).

Размещено на Allbest.ru