Релятивистский принцип суперпозиции энергий и его применение в теории фундаментальных взаимодействий

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Релятивистский принцип суперпозиции энергий и его применение в теории фундаментальных взаимодействий

Н.И. Афанасьев

af42@yandex.ru

Релятивистский принцип суперпозиции энергий

Простейший закон суперпозиции энергий - их аддитивное сложение. Энергия является скаляром, поэтому существует убеждение, что полная энергия представляет собой сумму энергий различной природы, которыми обладает система. Энергию электрона в атоме водорода представляют в виде суммы потенциальной и кинетической энергий. Во втором приближении по 1/с имеем

релятивистский энергетический гравитационный суперпозиция

е=mc²/(1-v²/c²)^1/2+eц-mc²= p²/2m+eц-p⁴/8m³с² (1)

Здесь импульс

p=mv/(1-v²/c²)^1/2, (2)

m, e=-[e], v - масса, заряд и скорость электрона, c - скорость света, ц -потенциал электрического поля протона. Здесь и ниже члены выше второго порядка по 1/с мы не учитываем.

Уравнение (1) записано с учетом положений специальной теории относительности (СТО), но оно противоречит ей. Из него следует, что при условии равенства скоростей кинетическая энергия связанного электрона совпадает с кинетической энергией свободного электрона. Согласно СТО, потенциальная энергия, как и всякая другая энергия, входит в массу. Вследствие этого масса и импульс являются функцией потенциала электрического поля. В общем случае полную энергию нельзя разделить на потенциальную и кинетическую. Из (1) следует также, что масса электрона в атоме водорода возрастает. В действительности масса электрона уменьшается, так как масса атома водорода в основном состоянии на 13,6 эВ меньше суммы масс свободных электрона и протона. Представим, что электрон покоится на первой боровской орбите. Масса электрона в этом случае на 27,2 эВ меньше массы свободного электрона

m_q=m+eц/c²=m(1+eц/mc²). (3)

Когда связанный электрон с массой (3) начинает двигаться, его масса возрастает примерно на 13,6 эВ/c²

m_qv=m_q/(1-v²/c²)^1/2=m(1+eц/mc²)/(1-v²/c²)^1/2, (4)

но остается меньше массы покоя свободного электрона.

Приведем пример, показывающий существенное различие между аддитивным сложением энергий и релятивистским принципом суперпозиции энергий (РПСЭ) (4). Пусть электрон находится в сильном электрическом поле заряда противоположного знака и одновременно в сильном гравитационном поле. Пусть электростатическое взаимодействие «отнимает» у электрона массу eц/c²=-0,6 m

m_q=m(1+eц/mc²)=0.4m, (5)

Предположим, что дефект массы за счет гравитационного взаимодействия такой же. Из общей теории относительности (ОТО) имеем

m_g=m(1+2ц_g/c²)^1/2=0,4m, (6)

где ц_g-потенциал гравитационного поля.

При аддитивном сложении энергий для массы электрона имеем

m_qg=m+eц/c²+m(1+2ц_g/c²)^1/2-m=-0.2m (7)

Дефект массы электрона за счет двух взаимодействий составляет 1.2m, что в принципе невозможно, так как превышает массу свободного покоящегося электрона. Из уравнения суперпозиции (4) имеем

m_qg=m(1+eц/mc²)(1+2ц_g/c²)=0.16m (8)

Два взаимодействия вместе создают дефект массы 0.84 m. Взаимодействия конкурируют между собой, то есть взаимодействия влияют друг на друга. В данном случае полная энергия не является суммой энергий отдельных взаимодействий. Уравнения (4) и (8) являются математической формулировкой РПСЭ.

В некоторых случаях полную энергию частицы одного вида можно представить в виде суммы энергий двухчастичных взаимодействий. Электрический потенциал частицы можно представить в виде суммы ее потенциалов относительно всех других частиц системы. Это связано с тем, что заряд частицы не зависит от масс и зарядов других частиц, а уравнения Максвелла линейны. Для гравитационных потенциалов этот закон суперпозиции уже не применим, так как масса каждой частицы зависит от масс всех взаимодействующих частиц. В некоторых случаях закон суперпозиции энергий не может быть представлен в аналитическом виде.

Введенный принцип суперпозиции энергий применим к любым видам энергии. Для массы движущейся частицы, обладающей тепловой энергией Q, имеем

m_Qv=m(1+Q/mc²)/(1-v²/c²)^1/2

Тепловая энергия движущейся частицы увеличивается.

Для массы электрона в атоме водорода, покоящегося в гравитационном поле, имеем

m_qgv=m(1+eц/mc²)(1+2ц_g/c²)^1/2/(1-v²/c²)^1//2

Частоты спектральных линий пропорциональны массе электрона. Так как ц_g=const, гравитационное красное смещение во втором приближении по 1/с одинаково для всех спектральных линий и равно известному значению

_g=(1+2ц_g/mc²)^1/2

Здесь _g, - частоты в гравитационном поле и в его отсутствие соответственно.

Появляющиеся поправки четвертого порядка по 1/с в дополнение к тем, которые дает последнее уравнение, недоступны для экспериментального определения.

Применим РПСЭ для описания тонкой структуры энергетических уровней атома водорода и движения частицы в гравитационном поле.

Тонкая структура энергетических уровней атома водорода

В соответствии со СТО энергия электрона в атоме

е=mc²=(m_qv-m)c² (9)

Чтобы выразить энергию через импульс, умножим обе части уравнения (4) на с² и возведем его в квадрат, имеем

m_qv²c⁴-m_qv²c²v²=m²c⁴(1+eц/mc²)² (10)

Найдем в явном виде m_qvc² и вычтем mc², имеем

е=m_qvc²-mc²=mc²[P²/m²c²+(1+eц/mc²)²]^1/2-mc²=

P²/2m+eц-P⁴/8m³с²-P²eц/4m²c²-eцP²/4m²c² (11)

где импульс

P=m_qvv=mv(1+eц/mc²)/(1-v²/c²)^1/2=p(1+eц/mc²). (12)

РПСЭ создает проблему разделения дефекта массы между взаимодействующими частицами. В классической механике такой проблемы не существует, потенциальную энергию можно отнести к любой из взаимодействующих частиц или ко всей системе в целом, так как масса ни от чего не зависит. В уравнения теории атома входят массы электрона и ядра. Масса, которой из частиц уменьшается на eц/c²? Эта проблема в литературе не обсуждалась, но она существует и её необходимо решить, если мы хотим получить уравнение для энергии, согласующееся со СТО. Электрон и протон являются равноправными объектами взаимодействия, поэтому логично разделить дефект массы между ними поровну. В этом случае зависимость импульса электрона от потенциала уменьшается вдвое

P_е=mv(1+eц/2mc²)/(1-v²/c²)^1/2= p(1+eц/2mc²). (13)

При этом уравнение (4) для энергии остается справедливым. Частицы движутся с относительной скоростью v, поэтому вся потенциальная энергия увеличивается по абсолютной величине (eц/(1-v²/c²)^1/2), не смотря на то, что протон покоится (одночастичное приближение). Это позволяет при выводе уравнения для энергии формально отнести весь дефект массы к электрону (масса протона в уравнения не входит), хотя фактически половина его относится к протону. Изменение массы каждой частицы отдельно следует учитывать при решении задачи в двухчастичном приближении. При этом получится, что масса электрона остаётся практически неизменной (она уменьшается за счет половины потенциальной энергии и настолько же увеличивается за счет его движения), а масса протона уменьшается. В этом случае вместо известного множителя в уравнении для энергии 1/(1+m/M) (M -масса протона) следует использовать множитель 1/(1+m/(M+е/2с²)), что приведет к дополнительным поправкам порядка еm/2M²c²=10^-29, что примерно соответствует сверхтонкой структуре (поправки порядка 1/с³).

Из уравнения (13) имеем

P_е=mv(1+eц/2mc²)/(1-v²/c²)^1/2=P(1-eц/2mc²)=P²-P²eц/4m²c²-eцP²/4m²c² (14)

Из уравнений (11) и (14) имеем

е=P²/2m+eц-P⁴/8m³с²-P²eц/4m²c²-eцP²/4m²c²=P²_е/2m+eц-P_е⁴/8m³с² (15)

Для бесспинового электрона уравнения (1) и (15) дают одинаковые поправки, так как средние значения P²_е и p² одинаковы. В членах второго порядка по 1/с различием импульсов P²_е и P² можно пренебречь, так как учет этого различия дает поправки четвертого порядка, которые мы не учитываем. В этой связи в этих членах в (15) P заменили на P_е, так как P_е является истинным импульсом электрона и уравнение для энергии должно быть выражено через этот импульс.

Рассмотрим кратко существующие теории тонкой структуры. Первая теория тонкой структуры была создана Зоммерфельдом [1] в рамках квантовой теории Бора. Зоммерфельд рассмотрел помимо круговых орбит эллиптические и учел зависимость массы от скорости. Он ввел два квантовых числа: радиальное n_r и азимутальное n_ц, сумма которых равна главному квантовому числу n. Теория Зоммерфельда дает поправку на энергию уровней (к е₀), согласующуюся с экспериментом

Де=((mc²б⁴)/2n³)[3/4n-1/n_ц], (16)

но с физической точки зрения она не верна, так как не учитывает спин - орбитальное взаимодействие. В (16) б - постоянная тонкой структуры.

Первая попытка учесть спин-орбитальное взаимодействие была предпринята Паули [2], который и ввел само понятие спина и векторный оператор у, для которого справедливо соотношение

(уа)(уb)=ab+iу[аb], (17)

где a, b - произвольные векторы. Вектор - оператор Паули с точностью до постоянного множителя является оператором спина, который имеет два собственных значения, поэтому однокомпонентная функция Шредингера заменяется двухкомпонентной.

Паули выразил импульс р через обобщенный импульс

р=(P_об-eА/с) (18)

Здесь А - векторный потенциал магнитного поля. Так как операторы ^Р_об и А не коммутируют, их векторное произведение не обращается в нуль. Верхний индекс «^» относится к операторам импульса. Вводя оператор у^р из (17-18) имеем

(у(^P_об-eА/с))²=(^P_об-eА/с)²+(eћ/c)у(А+А)=(^P_об-eА/с)²+(eћ/c)уH=^р²+(eћ/c)уH (19)

Здесь H=rotA=(А+А) -магнитное поле, ћ- постоянная Планка. Величина (eћ/2mc)уH представляет собой поправку на энергию спин-орбитального взаимодействия. Эта поправка оказалась вдвое больше той, которая необходима для получения поправки на энергию

Де=(mc²б⁴/2n³)[3/4n-1/(j+1/2)], (20)

совпадающей с формулой Зоммерфельда (17), так как значения квантовых чисел n_ц и (j+1/2) совпадают (j-полный момент импульса электрона). Предложенный Паули метод определения поправки на спин - орбитальное взаимодействие выглядит искусственным. Так как обобщенный импульс не входит в уравнение для энергии, имеем

(у(^P_об-eА/с))²=(у^р)²=р².

В настоящее время общепризнанной является теория тонкой структуры Дирака [2]. Дирак ввел волновое уравнение первого порядка, разработал релятивистскую теорию спиноров. Теория Дирака сложна, а ее физический смысл не ясен даже специалистам. Так, Вейль [3, с. 10] полагал, что теория Дирака описывает взаимодействие электрон-позитронной пары (атома позитрония), а не электрона с ядром. В этом случае кинетическая энергия делится поровну между электроном и позитроном, что и приводит к уменьшению энергии спин-орбитального взаимодействия вдвое.

Во втором приближении по 1/с гамильтониан в теории Дирака для двухкомпонентной волновой функции Шредингера имеет вид

H_D=(^p)²/2m+eц-(^р)⁴/8m³с²+(e/4m²c²){(у^р)ц(у^р)-[(^р)²ц+ц(^р)²]/2}=

=(^p)²/2m+eц-(^р)⁴/8m³с²-eћу[Е^р]/4m²с². (21)

Это уравнение дает поправку на энергию уровней, совпадающую с (20) и с экспериментом.

Уравнение (16) позволяет получить как уравнение Паули с вдвое меньшей поправкой, так и уравнение (21). Для импульса электрона имеем

P²_е=р²(1+eц/2mc)². (22)

Движущийся электрон создает магнитное поле с векторным потенциалом

рц/mс=А. (23)

Подставляя (23) в (22) и, вводя оператор у^P_е, имеем

(у^P_е)²=(у(^р+eА/2с))²=(^р-eА/2с)²+(eћ/2c)уH=^P²_е-(eћ/2c)уH (24)

По сравнению с уравнением (19) в (24) энергия спин-орбитального взаимодействия вдвое меньше. Изменение знака в последнем члене (24) не имеет принципиального значения, так как величина общей поправки на тонкую структуру одинакова при любом знаке спина. Полученное решение не является строгим, так как в уравнении классической электродинамики (23) вместо импульса следует использовать оператор импульса

Следует отметить, что поправочный множитель Ѕ еще в 1927 году ввел Томас [1] («половинка» Томаса). Он связывал ее появление с дополнительной прецессией электрона, которая появляется при рассмотрении задачи в рамках ОТО. Современники не поняли, какое отношение имеет ОТО к электромагнитному взаимодействию и почему поправки ОТО, имеющие порядок 1/с², дают Ѕ. Из РПСЭ следует, что физический смысл появления этой «половинки» связан с зависимостью массы и импульса от потенциальной энергии.

Для того, чтобы получить оператор энергии Дирака учтем зависимость импульса от потенциала.

(у^P_е)²=(у^р(1+eц/2mc²))²=P_е²+iу[(^р+^рeц/4mc²+eц^р/4mc²) (^р+^рeц/4mc²+eц^р/4mc²)]=^P_е²+iу[^р²+^р²eц/4mс²+eц^р²/4mс²+ ^рeц^р/2mс²] (25)

Мы симметризовали произведение (^р(1+eц/2mc²))², так как операторы ^р и ц не коммутируют, т.е. рeцeцр. Из всех векторных произведений, стоящих в квадратных скобках лишь одно отлично от нуля.

[^р²]=0; [eц^р²]=0; [^р²eц]=iћrot E/c+[eц^р²]=0; [^рeц^р]=iћ[E^р]/c+[eц^р²]= iћ[E^р]/c;

Подставляя значение (у^P_е)² в (15), имеем оператор энергии, совпадающий с оператором Дирака с точностью до обозначений импульса

H=^P_е²/2m+eц-^P_е⁴/8m³с²-eћу[Е^P_е]/4m²с² (26)

В членах второго порядка по 1/с импульс р заменен на P_е для однообразия обозначений (как уже неоднократно отмечалось, члены выше второго порядка мы не учитываем). Способ расчета средних значений величин в уравнении (26) дан в монографии [2].

Функцию Гамильтона можно найти обычным способом с помощью функции Лагранжа, но в уравнении для действия интервал СТО следует заменить интервалом

ds²=-(1+eц/mc²)²dr²+(1+eц/mc²)²c²dt². (27)

Дело в том, что всякое изменение массы покоя частиц в некотором поле неизбежно ведет к изменению пространственно - временных соотношений в этом поле. В этой связи электродинамика, как и теория гравитации, должна быть геометрической теорией.

Движение частицы в гравитационном поле

Уравнение (4) следует заменить уравнением

m_gv=m_g/(1-v²/c²)^1/2=m(1+2ц_g/c²)^1/2/(1-v²/c²)^1/2, (28)

Здесь ц_g-потенциал гравитационного поля

Далее, проведя преобразования уравнения (28), аналогичные использованным при выводе уравнения (11), получим

е=m_gvc²-mc²=mc²[1+ P²/m²c²+2ц_g/c²]^1/2-mc²=

P²/2m+mц_g-P⁴/8m³с²-P²ц_g/2mc²-mц_g²/2с² (29)

Это уравнение в отличие от уравнения (11) симметрично относительно классических значений потенциальной и кинетической энергий. Уравнение содержит член Pц_g/c, который является аналогом векторного потенциала. Существует ли векторное гравитационное поле, аналогичное магнитному? Является ли вращающийся волчок диполем или монополем? Возникает много интересных вопросов.

Интервал в гравитационном поле, который дает интеграл энергии, совпадающий с (29), имеет вид

ds²=c²dt²/(1+2ц_g/c²)-dr²/(1+2ц_g/c²). (30)

е/mc²=cdt/ds=(1+2ц_g/c²)^1/2/(1-v²/c²)^1/2. (31)

Здесь m=1. Интервал (30) не совпадает с интервалом ОТО

ds²=c²dt²(1+2ц_g/c²)-dr²/(1+2ц_g/c²). (32)

Это не означает, что интервал (30) является неверным. Выводы ОТО противоречат принципу эквивалентности, который лежит в ее основе. Из этого принципа следует, что система отсчета в свободно падающем лифте (лифт Эйнштейна) эквивалентна инерциальной. Из ОТО следует, что это не так. В инерциальной системе отсчета часы идут с постоянной скоростью, а в лифте Эйнштейна они замедляют скорость хода как за счет увеличения скорости свободного падения, так и за счет уменьшения потенциала гравитационного поля. Может ли наблюдатель установить это? Может или не может - это уже не имеет принципиального значения. Значение имеет то, что даже в бесконечно малом лифте Эйнштейна система отсчета отличается от инерциальной. Как отмечалось выше, всякое изменение массы частиц в некотором поле приводит к изменению пространственно - временных соотношений в этом поле. В лифте Эйнштейна энергия и масса частиц остаётся постоянной, поэтому в нем не может быть никаких изменений скорости хода часов во времени. Из принципа эквивалентности следует, что интервал времени между событиями в лифте Эйнштейна должен определяться по закону

t_gv=t(1+2ц_g/c²)^1/2/(1-v²/c²)^1/2=const,

так как в нем 2ц_g=v²+const. Если константа равна единице (лифт падает из бесконечности с нулевой начальной скоростью), то числитель и знаменатель в последнем уравнении равны и скорости хода часов в лифте и в инерциальной системе отсчета совпадают.

Заключение

Релятивистский принцип суперпозиции энергий ставит много новых проблем, заслуживающих внимания. Одна из проблем - распределение дефекта массы между взаимодействующими частицами. Принцип позволяет дать ясное физическое объяснение уменьшения энергии спин-орбитального взаимодействия вдвое. Это связано с зависимостью массы электрона от его энергии связи с ядром. В одной краткой статье мы не могли рассмотреть все возможные приложения РПСЭ. Прошу сообщать автору данной статьи о её перепечатке на других сайтах и об исследовании других возможных приложений введенного принципа суперпозиции энергий.

Литература

С. Э. Фриш. Оптические спектры атомов. Физматгиз. Москва - Ленинград (1963). 740 с.

В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский. Квантовая электродинамика. Наука, Москва (1989), 725 с.

Г. Вейль. Теория групп и квантовая механика, Наука, Москва (1986). 220 с.

Размещено на Allbest.ru