Потерянное решение обратной основной теоремы небесной механики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Потерянное решение обратной основной теоремы небесной механики

Юрий Гужеля E-mail: gjua47@mail.ru

Аннотация

небесный механика гравитационный астрономический

В данной статье проведено аналитическое исследование основной теоремы небесной механики и обратной основной теоремы небесной механики. Найдены ещё одни начальные условия, удовлетворяющие основной теореме небесной механики. Сформулировано ещё одно (потерянное) решение обратной основной теоремы небесной механики. Проведено сравнение действующих и новых формул гравитационного взаимодействия масс с результатами астрономических наблюдений за движением небесных тел. Предложены лабораторные эксперименты по уточнению области действия общепринятых и новых формул гравитационного взаимодействия масс.

 В «Началах» Ньютона нет «обратной основной теоремы небесной механики» как нет и прямой «основной теоремы небесной механики». Но Ньютон определённо выделял среди прочих несколько теорем и их следствий, что и позволяет, считать эти теоремы основными. По этому поводу Ньютон пишет, следующее: «После того как я нашёл, что тяготение ко всей планете происходит и слагается из тяготений к частицам её и для каждой из них обратно пропорционально квадрату расстояния до этой частицы, у меня возникло сомнение, будет ли эта обратная пропорциональность квадратам расстояний для всей силы притяжения, слагающейся из частных, иметь место в точности, или лишь приближённо. Ибо могло быть, что пропорция, которая имеет место для больших расстояний, достаточно точна, близ же поверхности планеты, вследствие неравенства расстояний между частицами и различного их расположения, может оказаться заметно неверной. Однако, впоследствии, по предложениям LXXV и LXXI книги I, я убедился в справедливости высказанного здесь предположения»

Теорема XXXI , обосновывающая предложение LXXI, по существу и является одной из основных теорем небесной механики:

«Если к отдельным точкам сферической поверхности направлены равные центростремительные силы, убывающие в отношении квадратов расстояний до этих точек, то частица, находящаяся вне сферической поверхности, притягивается к центру сферы с силою, обратно пропорциональной квадрату её расстояния до центра сферы» [Л 1, книга 1, с. 245]

Действительно, доказав эту теорему, далее уже легко доказывается аналогичная теорема для шара (предложение LXXIV, теорема XXXIV)

«При тех же предположениях утверждаю, что частица, расположенная вне шара, притягивается с силою, обратно пропорциональною квадрату её расстояния до центра шара»

Объединив эти две теоремы, можно сформулировать основную теорему небесной механики в следующем виде:

Если сила притяжения точечных масс обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, то сила притяжения точечной массы к шару обратно пропорциональна квадрату расстояния между центром шара и точечной массой.

Обратной основной теоремой небесной механики можно считать следствие 3, предложения LXXIV, теоремы XXXIV [Л 1 с. 249]

«Если частицы, находящиеся вне однородного шара притягиваются силою обратно пропорциональною квадрату расстояния до его центра, и шар состоит из притягивающих частиц, то сила притяжения каждой частицы убывает пропорционально квадрату расстояния до этой частицы»

Другими словами, обратную основную теорему небесной механики можно сформулировать так:

Если сила притяжения точечной массы к шару обратно пропорциональна квадрату расстояния между центром шара и точечной массой, то сила притяжения между точечными массами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Из этой обратной теоремы можно вывести все другие частные случаи взаимодействия тел с различными массами, видимо, поэтому, сегодня, Закон всемирного тяготения в учебной и научно-технической литературе принято записывать в виде:

(1)

Где, - сила притяжения;

- гравитационная постоянная;

, - точечные массы;

- расстояние между точечными массами

Отсюда, ускорение точечной массы под действием силы притяжения со стороны точечной массы , запишется в виде.

(2)

Формулы (1) и (2) , по существу, представляют собой решение обратной основной теоремы механики.

Результаты исследования

Рассмотрим подробнее ход рассуждений Ньютона:

На основании анализа астрономических наблюдений и, прежде всего, на основании анализа законов Кеплера, Ньютон вычислил, что ускорение Солнцем обращающихся вокруг него планет и ускорение планетами своих спутников уменьшается пропорционально квадрату расстояния между Солнцем и планетами, и между планетами и их спутниками. И на основании этого предположил, что ускорение и сила притяжения между частицами небесных тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, что можно записать в виде формул (1) и (2). Затем на основании этого предположения рассчитал взаимодействие точечной массы с шаровой поверхностью и с шаром и нашёл, что сила притяжения в точности обратно пропорциональна квадрату расстояния между центром шаровой поверхности и точечной массой, а также между центром шара и точечной массой.

Шар и точечная масса хорошо ассоциируются с Солнцем и планетами, а также с планетами и их спутниками, для которых астрономическими наблюдениями подтверждён, хотя и с некоторой погрешностью, закон обратных квадратов для центростремительных ускорений планет к Солнцу и спутников к планетам.

На основании видимого сходства во взаимодействии небесных тел с условиями математической задачи Ньютон сделал вывод, что сила притяжения небесных тел (Солнца и планет, планет и их спутников) строго подчиняется закону обратных квадратов расстояния между их центрами, что можно выразить формулой:

(3)

Где: - масса планеты, или её спутника; - масса Солнца, или масса планеты; >>.

- расстояние между центрами масс.

Ускорение массы под действием силы притяжения со стороны массы , выражается формулой:

(4)

При решении математической задачи Ньютоном было принято условие: точечные массы притягиваются с силой обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. По аналогии с этим условием Ньютон сделал вывод, что сила притяжения точечных небесных тел, и небесных тел с равными массами, также должна выражаться законом обратных квадратов от расстояния между их центрами. Что может быть выражено формулой (1)

Но при этом Ньютоном было упущено из виду, что формула (1) не единственная формула для точечных масс, удовлетворяющая формуле (3).

Например, можно предположить, что взаимодействие происходит не непосредственно между точечными массами, а между гравитационными полями этих точечных масс. В этом случае наиболее сильное взаимодействие происходит в промежуточной точке, где напряжённости гравитационных полей точечных масс равны. Назовём эту точку центром сил (или центром притяжения) и обозначим . Точечные массы как бы притягиваются к этому центру.

Если точечные массы равны между собой, то центр сил будет посередине. И для этого случая сила притяжения будет равна:

(5)

Если массы не равны, то центр сил будет смещаться в сторону меньшей массы и в случае, когда одна масса больше другой на много порядков, центр сил вплотную приблизится к меньшей массе. В последнем случае сила притяжения довольно точно может быть определена по формуле (3)

В общем случае, когда массы и не равны, формула силы притяжения может быть найдена из следующих соображений, см. рис. 1.

На рисунке приняты следующие обозначения:

M и m - массы взаимодействующих тел;

С - центр сил (центр притяжения);

R - расстояние между центрами взаимодействующих масс;

X - расстояние от центра большей массы до центра сил.

В центре сил напряжённости гравитационных полей взаимодействующих масс равны, и можно записать:

(6)

Решая уравнение, найдём:

(7)

Подставляя в формулу (7) различные отношения величин , найдём:

Для =1/2, Х=0,59R

=1/10, Х=0,76R

=1/100, Х=0,91R

=1/1000, Х=0,97R

=1/10000, Х=0,99R

=1/100000, Х=0,997R, то есть в последнем случае, расстояние от центра меньшей массы до центра сил (центра притяжения) составляет всего лишь 0,3% от расстояния между центрами взаимодействующих масс.

Сила притяжения масс запишется в виде:

(8)

Подставляя вместо Х его выражение (7), получим:

(8)

Доказывая основную теорему небесной механики, то есть, решая задачу отыскания формулы взаимодействия между точечной массой и шаровой поверхностью, при условии, что масса шаровой поверхности на много порядков больше точечной массы, притягивающейся этой поверхностью, можно принять к рассмотрению следующую схему:

Шаровая поверхность состоит из частиц, масса каждой из которых на несколько порядков больше точечной массы. В этом случае центр притяжения между точечной массой и частицей шаровой поверхности, рассчитанный по формуле (7) будет находиться вблизи точечной массы. Следовательно, сила притяжения, определённая по формуле (8) будет не сильно отличаться от силы притяжения, вычисленной по формуле (3). Если же мы рассмотрим взаимодействие нескольких ближайших частиц шаровой поверхности с точечной массой, то центр сил ещё ближе придвинется к точечной массе и сила притяжения определённая по формуле (8) ещё меньше будет отличаться от силы притяжения, вычисленной по формуле (3). Следовательно, сила притяжения точечной массы всеми частицами шаровой поверхности, вычисленная по формуле (8) будет ещё меньше отличаться от результатов расчёта по формуле (3)

Выражение:

= (9)

- полученное из формулы (8) представляет собой ускорение массы под действием силы притяжения со стороны массы .

Из анализа этого выражения видно, что при больших отношениях результат вычисления по формуле (9) получается близким к результату расчёта по формуле (4).

Поскольку формула (4) подтверждается астрономическими наблюдениями, то формулы: (9) (8) и (8) также как и формулы (1) (2) и (3) претендуют на соответствие действительности для всех отношений масс и . При этом формула (1) существенно отличается от формул: (8) и (8)

Например, при равенстве взаимодействующих масс, Х=R/2 и расчёт силы притяжения по формуле (8) даёт результат в 4 раза больший, чем расчёт по формуле (1). При отношении масс: =1/10, расчёт по формуле (8) даёт результат в 1,7 раза больший, чем по формуле (1)

При =1/100 - в 1,2 раза

При =1/1000 - в 1,06 раза

При =1/10000 - в 1,02 раза

При =1/100000 - расчёт по формуле (8) даёт результат в 1,006 раза больший, чем по формуле (1)

Таким образом, в качестве начальных условий, для решения задачи о нахождении силы взаимодействия точечной массы с шаровой поверхностью, или с шаром, удовлетворяют две различные формулы: (1) и (8). Причём, начальное условие по формуле (1) позволяет точно вывести формулу (3). А начальное условие по формуле (8) даёт приближённое решение задачи. Но чем больше отношение , тем расчётное значение силы по формуле (8) ближе к расчётному значению силы по формуле (3).

Решить вопрос о том, какие из этих формул: (1) (2) (3) или (8) (8) (9) правильно, или более правильно, отображают действительность, может только эксперимент. Такой эксперимент можно провести на Земле, в лабораторных условиях. Наиболее убедительные результаты могут быть получены при измерении силы притяжения между равными массами.

Подобные эксперименты давно могли быть проведены, но, похоже, что они не проводились. Возможности астрономические наблюдений для оценки достоверности общепринятых формул для ускорений: (2) и (4), в полной мере, не использованы.

Для примера рассчитаем, какое расхождение в положении планет даёт расчёт по формуле (7) в сравнении с расстоянием между центрами взаимодействующих масс.

(7)

Масса Солнца составляет, примерно, 6052727 масс Меркурия, то есть отношение масс Меркурия и Солнца, равно: m/M=1/6052727. Подставляя это значение в формулу (7) получим: X= 0,999594R. То есть центр сил отстоит от центра Меркурия на 0,000406R. Следовательно, Меркурий, находясь на расстоянии R от Солнца, получает ускорение, соответствующее расстоянию 0,999594R, то есть несколько большее ускорение, чем по формуле (4). Если центр сил отодвинуть от Солнца на расстояние R (т.е. увеличить расстояние в 1,000406 раза) то Меркурий, находясь от Солнца на расстоянии 1,000406 R, получит ускорение соответствующее расстоянию R.

Отношение масс Венеры и Солнца, равно: 1/408466. Подставляя это значение в формулу (7) получим: Х=0,99844R. Если центр сил отодвинуть до расстояния R, то Венера, находясь на расстоянии 1,00156R от Солнца, получит ускорение, соответствующее расстоянию R.

Отношение масс Земли и Солнца, равно: 1/332900

Х=0,99827R. То есть, Земля, находясь на расстоянии 1,00173R от Солнца, получит ускорение, соответствующее расстоянию R.

Отношение масс Марса и Солнца, равно: 1/3111215

Х=0,99943. Значит Марс, находясь на расстоянии 1,00057R от Солнца, получит ускорение, соответствующее расстоянию R.

Отношение масс Юпитера и Солнца, равно: 1047

Х=0,97002R. То есть, Юпитер, находясь на расстоянии 1,0309R от Солнца, получит ускорение, соответствующее расстоянию R.

Отношение масс Сатурна и Солнца, равно: 1/3504

Х=0,98339R. То есть, Сатурн, находясь на расстоянии 1,0169R от Солнца, получит ускорение, соответствующее расстоянию R.

Отношение масс Урана и Солнца, равно: 1/23779

Х=0,99356R. То есть, Уран, находясь на расстоянии 1,0065R от Солнца, получит ускорение, соответствующее расстоянию R.

Отношение масс Нептуна и Солнца, составляет: 1/19582

Х=0,992905R. Следовательно, Нептун, находясь на расстоянии 1,00715R от Солнца, получит ускорение, соответствующее расстоянию R.

Таким образом, расчёты больших полуосей планетных орбит по схеме притяжения небесных тел к центру сил (формула 7) показывают, что планеты находятся дальше, чем это следует из закона обратных квадратов и из третьего закона Кеплера.

Меркурий находится дальше на 0,004%

Венера - на 0,16%

Земля - на 0,17%

Марс - на 0,06%

Юпитер - на 3,1%

Сатурн - на 1,7%

Уран - на 0,65%

Нептун - на 0,71%

Эти отклонения от 3-го закона Кеплера, для большинства планет, похоже, не были замечены, поскольку точное определение расстояний до планет дело не простое. Поэтому и по сей день, усилия исследователей направлены в основном на уточнение расстояния от Земли до Солнца, а при определении других планетных орбит за основу принимается 3-й закон Кеплера.

Отношение масс Луны и Земли, составляет: 1/81. Отсюда по формуле (7) находим: Х=0,90R. Следовательно, Луна, находясь на расстоянии 1,11R от Земли, получит ускорение, соответствующее расстоянию R. То есть, Луна находится дальше на 11%, чем это следует из закона обратных квадратов (4). Это отклонение достаточно велико, чтобы остаться незамеченным.

Сегодня принято считать, что движение Луны полностью согласуется с законом всемирного тяготения Ньютона. Но это не так, поскольку даже в самых общих сведениях о лунной орбите, приведенных в Википедии, можно найти противоречивые данные.

Например, в Википедии указано, что среднее расстояние между центрами Земли и Луны равно: 384467 км. А строчкой ниже написано, что большая полуось лунной орбиты равна 384399 км. Очевидно, что большая полуось орбиты Луны, в принципе не может быть меньше среднего расстояния между центрами Земли и Луны. Следовательно, величина большой полуоси (384399) не соответствует действительности, но зато эта величина согласована с законом всемирного тяготения Ньютона. То есть, налицо подгонка «неправильной» действительности под «правильную» теорию.

Найдём действительное значение большой полуоси.

Из астрономических наблюдений известно, что расстояние до Луны изменяется на 14%. Следовательно, среднее расстояние в 1,07 раза больше минимального расстояния, а большее расстояние (большая полуось) в 1,06542 раза больше среднего расстояния (1,14/1,07=1,06542). Отсюда, большая полуось Лунной орбиты составляет: 384467*1,06542=409619 км, или 64,294 радиуса Земли.

Для того чтобы Луна двигалась по круговой орбите такого радиуса или по эллиптической орбите с такой большой полуосью, она должна иметь следующее среднее значение центростремительного ускорения:

Где, =409619 км, большая полуось Лунной орбиты;

=2360591,51 сек, сидерический период обращения.

Подставляя значения, получим: = 0,002902005

Ускорение Луны, за счёт притяжения Земли, вычисленное по общепринятой формуле (4) составит:

=0,002373173 , что на 18,8% меньше, чем необходимо для удержания Луны на орбите.

Ускорение Луны, за счёт притяжения Земли, вычисленное по новой формуле (9) составит:

=0,00292983 , что всего на 1% больше, чем необходимо для удержания Луны на орбите. Это расхождение можно объяснить погрешностью при определении исходных величин.

Полученный результат можно считать доказательством справедливости формулы (9).

Общепринятая же формула (4) при данном отношении взаимодействующих масс (1/81) даёт существенную погрешность (18,8%) в меньшую сторону. При таком недостаточном тяготении движение по стационарной орбите, в принципе, невозможно.

Из формулы (9) видно, что чем меньше различаются между собой массы взаимодействующих тел, тем больше погрешность расчёта по формуле (4).

Сравним результаты расчётов возмущений планетных орбит от взаимного притяжения планет по формулам (9) и (4)

Разделим, почленно, выражение (9) на выражение (4), получим:

(10)

Где: - ускорение массы под действием силы притяжения со стороны массы , по формуле (9);

- ускорение массы под действием силы притяжения со стороны массы , по формуле (4)

Рассчитаем пример для возмущения Сатурна Юпитером. Отношение масс Сатурна и Юпитера, равно: 1/3,348. Подставляя значения в формулу (10) получим: =2,36.

То есть, расчёт по формуле (9) даёт величину возмущения Сатурна Юпитером в 2,36 раза большую, чем по общепринятой формуле (4).

Несоответствие действительности расчётов взаимных возмущений планет по формуле (4) не могло быть не замечено астрономами, но сегодня вспоминать об этом не принято. [Л 1, с. 528, примечание 188]

Таким образом, формула для определения ускорения (9) подтверждается астрономическими наблюдениями за движением Луны и астрономическими наблюдениями за взаимными возмущениями планет.

Что касается формул силы (формул 8 и 8) то они не могут быть подтверждены астрономическими наблюдениями, поскольку силу притяжения между небесными телами наблюдениями измерить невозможно. Это замечание относится и к формулам закона всемирного тяготения (1) и (3).

Но можно измерить силу притяжения между пробными телами на поверхности Земли. Эти опыты, проведённые с телами равной массы, а также с телами различной массы, позволят сделать окончательный выбор между формулами силы (1) и (8) (8), а также позволят подтвердить вывод, сделанный ранее на основе астрономических наблюдений, относительно справедливости формулы ускорения (9) и ошибочности формулы (4).

Опыты по определению силы притяжения различных пробных масс к Земле давно уже проведены, и они подтверждают закон всемирного тяготения (формулу силы 3) и формулу ускорения (4). Эти же опыты подтверждают и новые формулы силы: (8) (8) и новую формулу ускорения (9). Вследствие большого различия величин масс Земли и пробных тел эти опыты не позволяют отдать предпочтение, каким либо из вышеперечисленных формул.

Таким образом, на сегодняшний день опытное обоснование на поверхности Земли, из общепринятых формул для определения силы притяжения, имеет лишь частный случай закона всемирного тяготения, выраженный приближённой формулой (3). Формула эта позволяет получить достаточно точный результат лишь при большой разнице взаимодействующих масс. Выражение для ускорения (4) имеет опытное обоснование, как на поверхности Земли при взаимодействии пробных тел с Землёй, так и в космосе при взаимодействии небесных тел. Это выражение также является приближённым и позволяет получить достаточно точный результат лишь при большой разнице взаимодействующих масс.

Формула ускорения (2) для точечных масс, а также для небесных тел с равными или близкими по величине массами, не подтверждается астрономическими наблюдениями. Следует ожидать, что эта формула не будет выполняться и на поверхности Земли, для пробных тел с равными или близкими по величине массами.

Отсюда следует предположить, что и формула силы (1) для пробных тел с равными и близкими по величине массами не будет выполняться на поверхности Земли, что может быть подтверждено экспериментами, выполненными в лабораторных условиях.

Выводы

1. Основную теорему небесной механики можно сформулировать следующим образом: Если сила притяжения точечных масс обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, то сила притяжения точечной массы к шару обратно пропорциональна квадрату расстояния между центром шара и точечной массой.

2. Обратная основная теорема небесной механики формулируется следующим образом: Если сила притяжения между шаром и точечной массой обратно пропорциональна квадрату расстояния между центром шара и точечной массой, то сила притяжения между точечными массами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

3. Существует ещё одна (потерянная) формулировка основной теоремы небесной механики: Если сила притяжения точечных масс обратно пропорциональна квадрату расстояния между большей из этих масс и центром притяжения, который находится в точке, где напряжённости гравитационных полей взаимодействущих масс равны, то сила притяжения точечной массы к шару обратно пропорциональна квадрату расстояния между центром шара и центром притяжения. При отношении величин масс шара и точечной массы, стремящемся к бесконечности, сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния между центром шара и точечной массой.

4. Существует также (потерянная) формулировка обратной основной теоремы небесной механики: Если сила притяжения между шаром и точечной массой обратно пропорциональна квадрату расстояния между центром шара и точечной массой, при бесконечно большом отношении величин взаимодействующих масс, то сила притяжения между точечными массами обратно пропорциональна квадрату расстояния между большей точечной массой и центром притяжения.

5. Формула закона всемирного тяготения для точечных масс:

(1),

где сила притяжения масс обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними, является одним из решений «обратной основной теоремы небесной механики». А также эта формула является начальным условием, при выводе «основной теоремы небесной механики». Однако формула эта не имеет опытного обоснования. Выражение для ускорения точечной массы:

(2),

полученное из формулы (1), также не имеет опытного обоснования.

6. Потерянным решением «обратной основной теоремы небесной механики» является формула:

(8) и её модификация:

(8),

где сила притяжения масс обратно пропорциональна квадрату расстояния от большей массы до центра притяжения. Центр притяжения находится в точке, где напряжённости гравитационных полей взаимодействующих масс равны. Эта формула также удовлетворяет «основной теореме небесной механики», то есть может быть принята как начальное условие для вывода «основной теоремы небесной механики», но с некоторым ограничением. Ограничение касается отношения величин взаимодействующих масс, а именно: масса шара должна превосходить точечную массу на много порядков. В этом случае, сила притяжения масс может быть достаточно точно вычислена по формуле:

(3)

а ускорение достаточно точно вычислено по формуле:

(4)

Но, при различии масс на 2 порядка и менее ошибки при применении формул (3) и (4) становятся весьма существенными и в этом случае, для определения силы взаимодействия, необходимо применять формулы (8) (8), а для вычисления ускорения формулу:

= (9)

7. Формула (9) показала своё соответствие действительности, при расчёте центростремительного ускорения Луны. А общепринятая формула (4) показала свою несостоятельность при расчёте центростремительного ускорения Луны.

8. Формулы (8) (8) и (9) а также формулы (1) и (2) могут быть проверены в лабораторных условиях, на поверхности Земли. Такие проверки наиболее эффективны для тел с равными или близкими по величине массами. Похоже, что такие проверки пока не проводились. В опытах Кавендиша массы взаимодействующих тел различались на несколько порядков. Все последующие эксперименты (в том числе и динамические эксперименты) проводились также при большой разности взаимодействующих масс.

9. Формула силы (3), является частным случаем закона всемирного тяготения и имеет опытное обоснование только на поверхности Земли, при условии: M>>m.

10. Формула ускорения (4), подтверждается астрономическими наблюдениями, а также экспериментами на поверхности Земли, при условии: M>>m.

Литература

1. Исаак Ньютон «Математические начала натуральной философии» перевод с латинского и комментарии А.Н. Крылова, предисловие Л.С. Полака, Москва «Наука» 1989 год.

Размещено на Allbest.ru

...