"Теория поля" Ландау и Лифшица, как отражение кризиса физики

Размещено на http://www.allbest.ru/

«Теория поля» Ландау и Лифшица, как отражение кризиса физики

В.А. Кулигин, М.В. Корнева

Аннотация. В статье дана оценка современного состояния классической электродинамики на основе анализа книги Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица «Теория поля». Показаны причины, приведшие к кризису физики в 19-20 веках. Показана принципиальная возможность применения методов классической аналитической механики к проблемам электродинамики. Исправлены некоторые математические, методические ошибки и ошибки в интерпретации явлений. Например, показано, что поля зарядов и поля электромагнитных волн имеют различные свойства и должны описываться математически независимыми группами уравнений. Установлен интересный факт: мгновенное действие на расстоянии вытекает из уравнений Максвелла в калибровке Лоренца и не противоречит принципу причинности.

Ключевые слова: Ландау, Лоренц, Максвелл, Пойнтинг, Пуанкаре,Умов.

Казалось бы, все математические проблемы электродинамики за столетие изучены до тонкостей. Сейчас они практически не рассматриваются в периодической литературе по электродинамике. Это вовсе не означает, что ключевые проблемы (например, проблема электромагнитной массы, проблема излучения и др.) благополучно решены. Мы знаем об электромагнетизме достаточно много, но из уравнений Максвелла получена далеко не вся полезная информация.

Мы начнем со стандартного анализа уравнений Максвелла в калибровке Лоренца. Запишем уравнения Максвелла

(1.1) (1.2)

(1.3) (1.4) (1.5)

Стандартными шагами, вводя скалярный и векторный потенциал

 (1.7)

Лоренц сводит уравнения Максвелла к следующей системе уравнений:

(1.8)

(1.9)

Здесь Лоренц увидел два главных варианта, которые можно получить, наложив на вектор А некоторое условие:

1. Если мы будем считать, что векторы А и связаны условием Лоренца , то получим запись уравнений Максвелла в калибровке Лоренца.

2. Если же мы будем считать, что векторный потенциал A является соленоидальным (), то получим запись уравнений Максвелла в кулоновской калибровке.

Считается, что обе калибровки равноправны (эквивалентны). В физике фигурирует даже понятие «калибровочная инвариантность» и в некоторых учебниках даны «доказательства» этой инвариантности. Авторы учебников, приводя «доказательство» опираются на теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения Максвелла (С. Ковалевская).

Можно было бы согласиться с «доказательством», но есть проблема. Суть ее в том, что единственность решения при выборе и введении калибровки можно сохранить, если мы одновременно с уравнениями преобразуем начальные условия для потенциалов. В «доказательствах» нет ни единого слова о начальных условиях. Лоренц, записывая уравнения в разных калибровках, тоже ничего не пишет об этом.

Вопрос о «калибровочной инвариантности» мы рассмотрим в Приложении 1.1. Сейчас нас будет интересовать исключительно калибровка Лоренца и влияние связи потенциалов (условие Лоренца) на характер решений. Мы постараемся ответить на следующий вопрос: возможно ли появление мгновенно действующих потенциалов (полей) в решении уравнений Максвелла в калибровке Лоренца?

«Умудренный опытом» специалист математик твердо скажет: «Мгновенных потенциалов при такой постановке существовать не может и не должно», поскольку мы имеем дело с волновыми уравнениями. Позволим не согласиться с этим мнением. Этот устоявшийся стереотип в знаниях есть предрассудок.

Итак, задача поставлена.

электродинамика аналитический механика физика

Часть 1. Градиентная инвариантность

Введение

И в математике есть своя поэзия. Как известно, решение задачи Коши для волнового уравнения, при заданных граничных и начальных условиях представляет собой сумму общего решения однородного волнового уравнения и частного решения неоднородного волнового уравнения.

Структура решения напоминает сцену, на которой занавес как бы раздвигается в разные стороны, унося в бесконечность общее решение. На сцене развивается драма, описываемая частным решением волнового уравнения. Именно она является наиболее важным и интересным результатом для физики.

Казалось бы, в этой области все изучено до тонкостей, и нет ничего такого, что изменило бы наши обыденные представления. Но это заблуждение.

1. О монографиях по электродинамике

По роду своей преподавательской работы нам пришлось иметь дело с множеством учебников и монографий по теории электромагнитного поля (электродинамика). В громадном большинстве случаев они практически подобны. Это не плагиат или компиляция. Такова специфика научного знания.

Книги разных авторов близки по содержанию и отличаются лишь пристрастием авторов к наиболее важным для них вопросам. Но две книги по электродинамике нам хотелось бы отметить. Это книга Л.Д. Ландау «Теория поля» [1] и книга Р. Фейнмана «Электродинамика» [2]. Эти книги отличаются от аналогичных учебников, имея свои достоинства и свои недостатки.

В «Электродинамике» Фейнмана нет той квазинаучной сухости (формализма), присущего аналогичным учебникам. В нем господствует дух поиска, дух творчества. Автор, специалист по квантовой электродинамике (КЭД), прекрасно понимает, что развитию КЭД препятствуют трудности. Корни трудностей, как правило, имеют классическую природу, т.е. порождены нерешенными проблемами классической электродинамики и релятивистской механики. Он нацеливает читателей на анализ и разрешение этих трудностей. Все это Фейнман преподносит в увлекательной форме.

Совершенно по иному написана книга Ландау «Теория поля». Прежде, чем давать критические замечания, отмечу важные качества, которые отличают «Теорию поля» от аналогичных учебников.

Во-первых, обилие задач с решениями делает этот учебник ценным справочным пособием не только по конкретным вопросам теории поля. Он содержит в себе много методов и приемов исследования задач электродинамики, чего часто нет в других книгах. В книге материал по теории поля изложен достаточно полно.

Во-вторых, внешняя последовательность изложения материала создает при первом чтении иллюзию завершенности электродинамики (в отличие от книг Фейнмана). В логике изложения отсутствуют видимые изъяны, и кажется, что классическая электродинамика не имеет проблем и полностью завершена.

Природу иллюзии «логической завершенности» раскрывает физик и философ Марио Бунге [3]. Он пишет, что курс «Теоретическая физика» Ландау написан в духе раннего логического позитивизма. Сделаем краткое пояснение для тех, кто не очень осведомлен в философии естествознания. Логический позитивизм предполагает логически безупречное изложение материала, даже если приходится «лукавить», недоговаривать, умалчивать о проблемах. Фейнман насмешливо именовал такие «приемы» заметанием мусора под ковер.

Книга [1] внешне напоминает чистенький «лакированный фасад» дома, внутри которого как бы «угадываются» «королевские апартаменты». Но стоит заглянуть внутрь, внимательно осмотреть углы, балки и фундамент, и вы увидите, что это здание «еле живо». Оно готово разрушиться. Заглянуть за «фасад» способны далеко не все. Система образования такова, что знания преподносятся как абсолютная истина, и здесь «всякие сомнения» - признак «непонимания» или «ущербности сомневающегося».

Нас всегда удивляло одно обстоятельство: Ландау не использует в своем изложении хорошо развитый математический аппарат аналитической механики, хотя хорошо с ним знаком и излагает его в книге. Почему? Мы постараемся дать свой ответ.

Итак, мы вам представили два различных подхода к изложению фактического материала. Их продемонстрировали два великих физика, два лауреата Нобелевской Премии.

Небольшое замечание. Ландау критически относился к понятию «калибровочная инвариантность». В своих книгах («Теория поля», «Электродинамика сплошных сред») он нигде не использует термин «кулоновская калибровка», хотя неоднократно применяет в книге результаты кулоновской калибровки. Термин «калибровочная инвариантность» употребляется им только однажды как бы «вскользь» без подробного объяснения. Он, видимо, понимал спорность (мягко говоря) этого утверждения (см. Приложение 1.1).

Приступим к исследованию.

2. Функция Лагранжа для электромагнитного поля

Мы пойдем не традиционным общепринятым путем, а попробуем выявить и исследовать закономерности, опираясь на методы классической аналитической механики. В [1] справедливо утверждается, что функция Лагранжа, вообще говоря, не является однозначной. Однако в физике она всегда должна иметь форму, инвариантную относительно преобразования Галилея (классическая теория) или Лоренца (релятивистский вариант).

В книге [1] построение теоретических основ электродинамики идет от функции Лагранжа для заряда. Затем получают тензор электромагнитного поля F_kl . На его основе строится тензор энергии-импульса электромагнитного поля, из дивергенции которого следует одно из уравнений Максвелла. Далее анализ приводит к другим уравнениям системы уравнений Максвелла и к теореме Пойнтинга.

Замечание. Обратите внимание: только два уравнения из четырех Ландау получает на основе релятивистского принципа наименьшего действия. Даже закон сохранения Пойнтинга не следует из 4-дивергенции тензора энергии-импульса, как это обычно имеет место в аналитической механике. Во-первых, это свидетельствует о скрытой внутренней несогласованности современной теории электромагнитного поля и о ее противоречии с классическими теориями. Во вторых, сказывается желание автора «спрятать трудности».

Мы, напротив, будем широко использовать классические аналитические методы, чтобы выявить главные источники проблем. Мы покажем, что описание электромагнитных явлений прекрасно укладывается в рамки аналитической механики. Для этого будем анализировать основы электродинамики в обратной последовательности, т.е. начнем с плотности функции Лагранжа для электромагнитного поля, продвигаясь затем от волн к полям зарядов.

В [1] (§33) приводится следующее выражение для плотности функции Лагранжа

(1.2.1)

Такой вид плотности функции Лагранжа неудобен для нашего исследования. Его необходимо преобразовать. Запишем выражение (1.2.1) в системе СИ.

(1.2.2)

Поскольку функция Лагранжа не определяется однозначно, преобразуем выражение (1.2.2) и придадим ему иную форму функции Лагранжа, используя интеграл действия

(1.2.3)

где: - 4-вектор плотности тока; u_k = dx_k /ds - 4-вектор скорости; - плотность пространственного заряда.

Раскроем подынтегральное выражение, преобразуем и проинтегрируем по частям

(1.2.4)

Во втором интеграле конечного выражения (1.2.4) пределами интегрирования является бесконечность, где при интегрировании по координатам поле исчезает. При интегрировании по времени начальные и конечные точки варьирования фиксированы, и там вариация интеграла равна нулю. Следовательно, последний интеграл в выражении (1.2.4) обращается в нуль. Таким образом, получаем новое весьма простое выражение для плотности функции Лагранжа

(1.2.5)

Выражение (1.2.5) полностью эквивалентно выражению (1.2.1). Такая форма функции Лагранжа для электромагнитного поля упоминается, например, в КЭД [4].

3. Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца

Теперь мы можем получить «уравнения движения», т.е. уравнения для нахождения потенциалов электромагнитного поля, порожденных 4-вектором тока j_k. Для этого запишем функционал (интеграл действия), который будем варьировать.

(1.3.1)

Интегрируя по частям, получим

(1.3.2)

Первый интеграл по гиперповерхности S_k обращается в нуль по тем же причинам, что и последний интеграл в выражении (1.4.4). Итак, мы получаем окончательную систему уравнений для 4-потенциала A_i

, (1.3.3)

Система уравнений (1.3.3) представляет собой уравнения. Ее классический вид:

(1.3.4)

Таким образом, новое выражение для плотности лагранжиана приводит к правильным уравнениям электродинамики (уравнения Максвелла в калибровке Лоренца).

Как известно, плотность тока определяется скоростью движения объемной плотности зарядов j = сv. Плотности тока и плотности заряда отвечает уравнение непрерывности

(1.3.5)

Теперь можно получить условие калибровки Лоренца для уравнений (1.3.4). С этой целью мы подействуем оператором на уравнение для векторного потенциала А в системе (1.3.5), а также подействуем оператором на уравнение для скалярного потенциала в системе (1.3.5). После сложения получим:

Из этого выражения вытекает, в частном случае, условие калибровки Лоренца . Более общий случай оставляем для анализа читателям.

Выражения A_i /x_i = 0 (калибровка Лоренца) и j_i /x_i = 0 (уравнение непрерывности для 4-тока) необходимо добавить к уравнениям (1.3.3). В результате мы получаем полную систему уравнений Максвелла.

Заметим, что из условия калибровки Лоренца (A_i /x_i = 0) следует справедливость понятия «градиентная инвариантность», которая упоминается в «Теории поля» Ландау и Лифшица. Условие Лоренца A_i /x_i = 0 позволяет исключить одно из 4-х скалярных волновых уравнений («градиентная инвариантность»).

Замечание. Разве этот вывод уравнений Максвелла в калибровке Лоренца сложнее, чем тот, который приведен в книге [1]? Напротив, наш вывод уравнений проще и компактнее. Более того, применение методов классической аналитической механики пока не привело нас к ошибкам или недоразумениям.

4. Обобщенный закон сохранения энергии-импульса Пойнтинга

Аналитическая механика дает способ построения тензора энергии-импульса по заданной функции Лагранжа. Этот способ описан в [1]. Тензор энергии-импульса равен

(1.4.1)

где

Вычисления дают следующее выражение для тензора энергии-импульса

(1.4.2)

Нетрудно заметить, что тензор энергии-импульса симметричен T_ik = T_ki. Известно, что 4-дивергенция этого тензора для свободного пространства (когда поля описываются за пределами источников) равна нулю, т.е. T_ik /x_k = 0.

Из этого выражения вытекают законы сохранения энергии и импульса волны. Мы запишем результаты для свободного от источников полей пространства.

Закон сохранения плотности потока S электромагнитного поля волны

(1.4.3)

Закон сохранения плотности энергии w электромагнитного поля волны

(1.4.4)

где:

(1.4.5)

(1.4.6)

Мы аналитически получили обобщенные законы сохранения Пойнтинга, которые описывают не только закон сохранения плотности энергии электромагнитной волны, но и закон сохранения плотности потока.

Представим векторный потенциал А в виде суммы вихревого А₁ и безвихревого А₂ потенциалов. А = А₁ + А_{2 .} В результате мы получаем два векторных закона сохранения для вихревой и безвихревой частей векторного потенциала и для скалярного потенциала. Полученные выражения для законов сохранения плотности энергии и плотности импульса мы занесем в Таблицу 1.1.

Из полученных результатов следуют весьма интересные выводы.

Таблица 1.1. Энергетические компоненты волновых полей

Поперечные волны векторного потенциала
Продольные волны векторного потенциала
Продольные волны скалярного потенциала

Во-первых, в общем случае уравнения Максвелла в калибровке Лоренца описывают три различных вида потоков энергии. Это очевидно, поскольку уравнения Максвелла в калибровке Лоренца описываются векторным и скалярным волновыми уравнениями.

· Первый поток энергии есть известный поток поперечных электромагнитных волн, описываемый вектором Пойнтинга. Его плотность равна , где Е и Н вихревые составляющие электромагнитных полей!

· Второй поток - поток продольных электрических волн векторного потенциала А_2. Его плотность равна .

· Третий поток - поток продольных волн, образованный скалярным потенциалом . Его плотность равна .

Во вторых, плотность энергии и плотность потоков S₁ и S₂ , образованных векторным потенциалом А, положительны, а плотность энергии и плотность потока S₃ , созданного скалярным потенциалом , отрицательны. Это отнюдь не новый факт. Об этом знают некоторые специалисты по квантовой теории поля. Но этот факт, как обычно, мало известен физикам, которые специализируются в других направлениях. Здесь логический позитивизм постарался утаить истину.

В третьих, из выражений (1.4.3) и (1.4.4) вытекает новое интересное следствие. В свободном пространстве плотности потоков и плотности энергий должны удовлетворять волновому уравнению, т.е. плотность потока и плотность энергии тоже являются запаздывающими, подобно потенциалам полей электромагнитной волны.

(1.4.7)

Это означает, что решение некоторых задач, например, по дифракции волн, связанных с решением векторных волновых уравнений, можно свести к тем же задачам, но описываемым волновым уравнением для скалярной плотности энергии w.

В четвертых, полученные результаты нетрудно распространить на любые волновые процессы, описываемые волновым уравнением. Мы получили законы сохранения для электромагнитных волн в свободном пространстве. Закон сохранения энергии Пойнтинга можно обобщить, включив плотность мощности источников полей.

В пятых, предельный переход от волновых явлений к явлениям квазистатическим принципиально невозможен из-за отрицательной энергии поля скалярного потенциала. Одновременно невозможно решить проблему электромагнитной массы в рамках запаздывающих потенциалов. Электромагнитная масса должна иметь отрицательный знак, а ее кинетическая энергия должна быть положительной! Это не соответствовало ни классическим, ни последующим релятивистским представлениям

5. Истоки кризиса физики

Вернемся назад во времени к концу 19 столетия. Полученные нами принципиально новые результаты резко меняют многое в понимании явлений электродинамики. Они позволяют понять причины кризиса на рубеже 19-20 веков. Ученные того времени (например, Пуанкаре, Планк, Лоренц и др.) несомненно пробовали применить методы аналитической механики к анализу электродинамики. Они получали результаты, подобные тем, которые получены нами в предыдущем параграфе.

Конечно, такие негативные результаты тогда не часто публиковались в научных журналах. Но они обсуждались учеными в частных беседах. В тот период ученые не стали проводить дальнейший анализ причин неприменимости. Они сделали заключения, которые, несмотря на кажущуюся их очевидность, оказались ошибочными:

· Уравнения Максвелла в калибровке Лоренца являются волновыми уравнениями. Следовательно, поля зарядов и поля электромагнитных волн должны быть обязательно «запаздывающими».

Замечание. Этот формальный вывод ошибочен, поскольку он не учитывает, что уравнения Максвелла в калибровке Лоренца связаны условием Лоренца. Роль условия мы обсудим специально.

· В то время (иногда и сейчас) было популярно мнение, что описание квазистатических явлений можно получить из уравнений Максвелла в калибровке Лоренца. Для этого достаточно устремить скорость света с в этих уравнениях к бесконечности.

Замечание. Вывод опирается на формальный предельный переход, при котором волновые уравнения «превращаются» в уравнения Пуассона, описывающие поля, реализующие мгновенное действие на расстоянии. Но этот формальный вывод некорректен, поскольку скорость света зависит от е и м (с² = 1/ем). Если мы устремляем е к нулю (для получения бесконечно большой скорости света с), то теряем закон Кулона. Если же мы к нулю устремляем м, тогда исчезает закон Фарадея. Таким образом, и это заключение не имеет под собой физических оснований.

Опираясь на два приведенных тезиса ученые того времени сделали далее два других ошибочных вывода:

· классические теории (аналитическая механика, например) неспособны правильно описывать физические явления современной физики;

· главная причина неприменимости классических теорий к явлениям электродинамики (по их мнению) возникла давать из-за использования в классических теориях мгновенного действия на расстоянии, в то время как решения уравнений Максвелла в калибровке Лоренца должны удовлетворять «близкодействию», т.е.иметь «запаздывающий» характер.

Историческая справка. Ученые того времени остановились на этих выводах и не стали проводить анализ дальше. Современные ученые «поленились» дать более глубокий анализ их результатов. Г. Голдстейн в книге «Классическая механика» прямо относит электродинамику к «немеханическим» дисциплинам [5].

Теперь мы можем кратко описать версию причины кризиса физики в конце 19 - начале 20 веков. Причиной кризиса в физике стала ошибка, допущенная Максвеллом [6], который «потерял» в своих уравнениях мгновенное действие на расстоянии (квазистатику). Ошибка имела весьма серьезные последствия.

Со времен механики Ньютона велись дискуссии о дальнодействии и близкодействии. Крупные ученые, столкнувшись с «невозможностью» использовать аппарат классической механики для волновых явлений, как было показано выше, объявили, что главной причиной трудностей является «отсталость» методов классического анализа, обусловленная мгновенным действием на расстоянии.

Сторонники близкодействия тут же начали дружно «клеймить» классические теории и их основу - мгновенное действие на расстоянии. Одновременно пошло наступление на материализм, который опирался на классические теории. Именно в то время родились идеи позитивизма: «конвенционализм» Пуанкаре, «махизм» и др. философские течения позитивистского толка.

Кризис физической теории усугубился неожиданно последовавшими (как из рога изобилия) величайшими экспериментальными открытиями совершенно новых и удивительных явлений. Начиная с 1895 года, когда Рентген открыл проникающие лучи, буквально каждый следующий год приносил ошеломляющее открытие: 1896 год -- открытие явления радиоактивности, 1897 год -- открытие электрона, 1898 год -- открытие радия и полония, 1899 год -- открытие сложного состава радиоактивного излучения и др.

Это была «революция» в физике, совершаемая в основном молодыми учеными, которым не терпелось иметь «все и сразу», хотя они неправильно понимали причину этого кризиса! Эйфория от свершающегося («повергли»теории самого Ньютона!) «дурманила» им головы, а романтика научного поиска толкала выдвигать самые невероятные гипотезы, побуждала «ломать» устои классической логики в физике.

Восторг и энтузиазм первопроходцев сохранился в головах не только ученых того времени. Он передавался последующим поколениям физиков. Физики и философы начали отрицать преемственность знания (кумулятивный характер науки). Здесь примечательно высказывание М.Планка о том, что новые теории отвергают старые, и теории отмирают, когда умирают их апологеты. Из философии науки исчезло понятие преемственности знаний. «Настоящая» физика как бы только и начиналась с созданием квантовых представлений. Квантовым теориям отводилось «особое место» (почетное первое!) в физике. Классическим теориям отводилась роль «грубого приближения» (следствия!) квантово-механических представлений.

Пуанкаре примерно так высказался об этом периоде: если с появлением релятивистских теорий классические теории еще представляли собой здание, то с появлением квантовых теорий от них остались руины. Материализм был «повергнут». Так открылся путь логически противоречивым конструкциям: СТО, ОТО, логически противоречивым идеям («корпускулярно-волновой дуализм») и т.д.

С тех пор (конец 19 века) началось третирование классических теорий, стремление «изгнать из современных теорий все то, что опиралось на дальнодействие» и т.д. Классические теории стали рассматриваться как приближенные, как следствие квантово-механических представлений. Вернемся к анализу «Теории поля».

Физики, если придерживаться морской терминологии, устроили науке «оверкиль». Ниже нам же предстоит неблагодарная работа «отделять зерна от плевел» в электродинамике.

6. «Теория поля» как отражение кризиса

Итак, мы использовали стандартные классические методы вывода уравнений Максвелла в калибровке Лоренца. Далее, опираясь на классическую аналитическую механику и стандартные методы получения законов сохранения, выработанные математиками и механиками, сформулировали эти законы сохранения. Повторим некоторые из результатов.

· Энергия поля запаздывающего скалярного потенциала отрицательна. Это означает, что электромагнитная масса покоящейся частицы будет не положительная, а также отрицательная.

· Если мы подсчитаем кинетическую энергию движущегося с постоянной скоростью заряда, то обнаружим удивительный факт. Его кинетическая энергия положительна, хотя его же электромагнитная масса отрицательна! Проблема электромагнитной массы, как мы видим, не имеет решения, если потенциалы запаздывающие.

· Из законов сохранения следует, что произвольно движущиеся заряды обязаны испускать продольные волны скалярного потенциала с отрицательной энергией и продольные волны векторного потенциала с положительной энергией. О них мы поговорим в следующем параграфе.

· Добавим, что описание явлений взаимодействия зарядов в рамках запаздывающих потенциалов принципиально невозможно! Например, как правильно записать функцию Лагранжа для взаимодействия двух зарядов, если потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов отрицательна?

· Тот же вывод можно сделать и для теории тяготения, если мы считать гравитационный потенциал запаздывающим и т.д.

Таковы результаты применения классических методов анализа к электродинамике Максвелла. Но вернемся к «Теории Поля» Ландау и Лифшица. Теперь мы можем поставить себя на место авторов (Ландау и Лифшица) и понять причину, по которой Ландау выбрал иной («обходной») путь изложения материала.

Ландау - человек своего времени, яркий представитель господствовавшего в тот период (и в настоящее время) позитивистского мировоззрения. Он собрал имеющийся в то время фактический материал по электродинамике. При изложении материала, чтобы обойти логические и физические проблемы, явно бросающиеся в глаза, он воспользовался «обходными» путями («задворками»), но сделал это с таким умом и талантом, что его книга «Теория поля» до настоящего времени пользуется большой популярностью и вызывает невольное восхищение. Первое издание книги вышло в 1941 г. и выдержало 8 переизданий.

У нас нет мотивов обвинять Ландау в какой-либо сознательной фальсификации. Однако математику обмануть невозможно. Можно, используя некорректные методы, приемы и такую же логику, «спрятать» трудности от наивного читателя, создать иллюзию «научности» материала, который изложен в учебнике.

Мы же выбрали прямой путь. Наша задача непосредственно убедиться в том, что электродинамика прекрасно согласуется (вопреки сложившимся предрассудкам) с классическими теориями, например, с механикой Ньютона. Для этого необходимо устранить причины, логические противоречия и математические ошибки из современной электродинамики.

7. Убираем продольные волны из решения уравнений

Продолжим наше исследование. Мы выше получили выражения для продольных волн. Как известно, продольные волны до сих пор не были обнаружены экспериментально. Очевидно, что продольные волны не будут существовать в решении уравнений Максвелла в калибровке Лоренца, если в этих уравнениях не будет источников, возбуждающих эти волны.

Для решения задачи мы рассмотрим правую часть уравнений Максвелла в калибровке Лоренца для потенциалов А₂ и . Именно они описывают продольные волны векторного и скалярного потенциалов. Наша задача облегчается тем, что энергии этих двух продольных волн и потоки имеют противоположные знаки. Запишем для анализа необходимые уравнения.

; (1.7.1) rotA₂ = 0; rotj₂ = 0;

; (1.7.2) (1.7.3)

Можно использовать здесь идею Ландау Л.Д. [1] о возможности исключить одно из четырех уравнений (см. гл. 3, параграф 18, «Градиентная инвариантность»). Например, можно исключить уравнение для скалярного потенциала, чтобы привести два волновых уравнения (1.3.4) к одному векторному.

Для этой цели в (1.7.1) продифференцируем уравнение для A₂ по времени, а в (1.7.2) подействуем оператором градиента на всех слагаемые. Теперь сложим полученные результаты. Мы получили волновое уравнение для продольного электрического поля Е_пр

(1.7.4)

В правой части выражения (1.7.4) содержатся источники продольного электрического поля. Чтобы продольное поле «исчезло» (E_пр = 0), необходимо, чтобы источники этого поля отсутствовали, т.е. необходимо, чтобы

. (1.7.5)

К выражению (1.7.5) мы можем добавить уравнение непрерывности для j₂ (по определению div j₁ = 0):

(1.7.6)

Выражения (1.7.5) и (1.7.6) приводят к волновым уравнениям для токов и зарядов

(1.7.7)

Здесь мы обнаруживаем еще один интересный факт: продольные волны будут отсутствовать тогда и только тогда, когда плотность зарядов и плотность безвихревого компонента тока удовлетворяют волновому уравнению. Другими словами, плотности токов и плотности зарядов будут «запаздывающими» или же «опережающими»!

Это действительно так. Вы можете проверить это, т.е. можете получить «излучение продольных волн» диполем Герца, если скорость зарядов в «усах диполя» будет меньше скорости света в вакууме.

Теперь мы сделаем прямые (честные) выводы, не оглядываясь на современные объяснения физических явлений:

· Чтобы исключить продольные электромагнитные волны, нам пришлось привести систему уравнений Максвелла к одному векторному волновому уравнению для вихревого векторного потенциала. Скалярный потенциал и безвихревая составляющая векторного потенциала исчезли из системы уравнений (взаимно уничтожили друг друга). Сохранилась только поперечная электромагнитная волна векторного потенциала (divE = 0 и divH = 0).

· Продольные волны будут отсутствовать только в том случае, если плотность пространственного заряда и безвихревая составляющая плотности тока, в правых частях волновых уравнений, удовлетворяют однородному волновому уравнению (факт, достойный внимания!). По физическому смыслу это некие «виртуальные» заряды и токи, не обладающие инерцией. Эти заряды и токи не плод ошибки или недоразумения. Они физически имеют место при описании волновых явлений электродинамики.

· Интересный факт: с такими поверхностными зарядами и поверхностными токами постоянно имеют дело специалисты по технике СВЧ. Эти токи имеют место в волноводах, объемных резонаторах, антеннах, коаксиальных и двухпроводных линиях и т.д.

· «Виртуальные» заряды хорошо объясняют сверхбыстрое выполнение граничных условий. Инерциальные электроны проводимости не способны столь быстро реагировать на изменение поля из-за большой инерции.

· Можно сказать, что проводимость, обусловленная такими токами, является классическим аналогом «сверхпроводимости». Следовательно, классическая теория электронной проводимости (Друде) не является полной и корректной. Она требует пересмотра и уточнения.

Итак, мы свели все уравнения Максвелла к одному векторному уравнению для вихревого потенциала. Получили для этого потенциала закон сохранения энергии-импульса Пойнтинга. Но из анализа исчезли инерциальные заряды (электроны, протоны…). Вместо них появились «виртуальные» заряды.

Неужели мы пришли к тупику, к противоречию с предполагавшимися во введении результатами? Нет! Самое необычное только начинается.

8. Закон сохранения энергии-импульса Умова

Докажем для уравнений Максвелла в калибровке Лоренца имеет место закон сохранения энергии-импульса Умова [7]. Перепишем уравнения (1.3.3):

(1.8.1)

(1.8.2)

где: .

Покажем, что для уравнения (1.8.1) существует закон сохранения Умова для равномерно и прямолинейно движущегося заряда. Но сначала сделаем предварительное замечание: величины и берутся в системе отсчета, связанной с самим зарядом (v = 0).

Для доказательства закона Умова умножим выражение (1.8.1) на и преобразуем полученный результат.

Правая часть.

Правая часть обращается в нуль, поскольку потенциал берется в собственной системе отсчета, где он не зависит от времени, на заряд не действуют внешние силы, и он не испытывает ускорения ().

Левая часть.

(1.8.3)

Здесь в левой части мы получили выражение для дивергенции тензора плотности энергии-потока для поля заряда. Если компоненты этого тензора разделить на квадрат скорости света и проинтегрировать по пространственному объему, то получим выражение для тензора энергии-импульса T_ik релятивистской частицы с электромагнитной массой m_e. 4-дивергенция тензора T_ik определяется приведенным в [1] выражением:

(1.8.4)

Из полученного выражения следует, что релятивистский импульс электромагнитной массы Р_е постоянен, т.е. . Это очевидно, поскольку силы на заряд не действуют, и заряд перемещается с постоянной скоростью.

Из (1.8.3) также вытекает закон сохранения энергии Умова, имеющий стандартную форму.

, (1.8.5)

где:

- плотность потока и плотность энергии поля заряда.

Нетрудно видеть, что полученное выражение (1.8.5) соответствует классическому выражению с точностью до релятивистского множителя. Мы видим, что проблема электромагнитной массы получила строгое решение.

Возникает вопрос: почему уравнениям Максвелла отвечают два разных закона сохранения энергии-импульса? Оба доказательства закона сохранения энергии-импульса корректны. В них нет произвольных допущений, некорректных приемов и фальсификации.

Суть в том, что потенциалы в законе Пойнтинга и в законе Умова различны.

И вновь проблема: почему потенциалы, отвечающие одному и тому же волновому уравнению (см. (1.3.3) и (1.8.1)), отличаются друг от друга, в чем причина? Ее мы обсудим ниже.

Отметим, что закон сохранения энергии-импульса Умова описывает сохранение плотности энергии и импульса для мгновенно действующих потенциалов. Закон сохранения энергии-импульса Пойнтинга применим только для запаздывающих потенциалов! Это положение является ключевым для понимания явлений электродинамики.

9. Условие «жесткой связи» потенциалов

Формулируя принцип «градиентной инвариантности» Ландау пишет в [1], что можно, используя эту инвариантность, исключить одно из уравнений. Этим мы воспользовались, чтобы «убрать» из решений продольные волны.

Однако он не увидел второй вариант. Мы можем исключить из всех уравнений частные производные по времени. Иными словами, мы можем, используя условие калибровки Лоренца, «превратить» волновые уравнения в уравнения пуассоновского типа. Им отвечают мгновенно действующие потенциалы. Мгновенно действующим потенциалам мы будем присваивать индекс «0». Покажем это.

Запишем условие калибровки Лоренца

(1.9.1)

Мы не нарушим условие (1.9.1), если свяжем потенциалы А₀ и ф₀ уравнением

(1.9.2)

Это и есть условие «жесткой связи» потенциалов (его релятивистский аналог ). Условие (1.9.2) как раз и решает поставленную задачу, т.е. позволяет исключить производные потенциала по времени. Отметим, что для уравнений пуассоновского типа нет необходимости задавать начальные условия. Скалярные потенциалы не рождаются и существуют сколь угодно долго, как и их источники (заряды).

Действительно, используя выражения (1.9.1) и (1.9.2), можно записать:



Сравним теперь форму скалярных потенциалов при обычной связи (запаздывающие потенциалы) и «жесткой связи» (мгновенное действие на расстоянии). Здесь нас не будут интересовать энергетические соотношения. Их мы рассмотрели выше.

А. Запаздывающий потенциал (обычная связь потенциалов).

Пусть виртуальная заряженная частица, генерирующая запаздывающие потенциалы, представляет собой сферу, на поверхности которой равномерно распределен поверхностный заряд с плотностью , где а - радиус сферы. Заряд неподвижен. Уравнение для потенциала поля виртуального заряда имеет вид:

(1.9.3)

Потенциал при r = 0 должен быть ограничен. Допустим, что виртуальный заряд рождается в начальный момент времени (t = 0). Волновые уравнения позволяют описать «рождение» заряда. «Предыстория жизни» заряда для t ? 0 заложена в начальных условиях задачи Коши. Начальные условия выберем нулевые.

Мы не будем описывать стандартную процедуру решения. Описываемый уравнением (1.9.3) потенциал равен сумме двух потенциалов (рис. 1), один из которых движется от r = а в бесконечность вдоль радиуса, а второй - к центру и, отразившись от начала координат с потерей фазы на (жесткий «керн»), движется от центра, вычитаясь из первого при r > a (рис. 1). Потенциал при r > a является запаздывающим.

Для точечного виртуального заряда (при a 0) потенциал имеет вид (r > 0):

; где (1.9.4)

Рис. 1

Теперь можно отнести момент «рождения» заряда в бесконечно удаленное время. Потенциал заряда по величине будет постоянным, не зависящим от времени. Это не означает, что потенциал «статичен». В каждые последующие друг за другом бесконечно малые промежутки времени от заряда «отпочковываются» тонкие слои потенциала и уносятся друг за другом в бесконечность, убывая обратно пропорционально расстоянию от заряда r^-1_.

Пусть теперь заряд движется с постоянной скоростью v. Его скалярный потенциал описывается уравнением

Решение имеет вид:

(1.9.5)

где

Обратим внимание на характерный множитель ,

В. Мгновенный потенциал («жесткая» связь потенциалов).

Вернемся к волновому уравнению (1.9.3). В это уравнение как бы «вложено» уравнение Пуассона вида

(1.9.6)

Кажется, что формально уравнения (1.9.3) и (1.9.6) совпадают, если считать заряд покоящимся и существующим бесконечно давно. Однако решение уравнения (1.9.6)

(1.9.8)

принципиально отличается от выражения (1.9.4) множителем , который стремится к 1 только в пределе при условии, что .

Рассмотрим теперь этот же движущийся заряд. Пусть он движется вдоль оси х с переменной скоростью. Мы преобразуем уравнение (1.9.3), используя условие «жесткой связи».

Если подставить выражение для векторного потенциала в условие калибровки Лоренца, то эти дополнительные условия совместно дадут уравнение непрерывности для скалярного потенциала

(1.9.9)

Из выражения (1.9.9) следует, что производная потенциала во времени (которую мы можем также рассматривать, как начальное условие при t = 0) не может быть задана произвольным образом. Например, она не может быть равной нулю, как это было при решении волнового уравнения (1.9.3). Более того, мы можем, используя (1.9.9), вычислить и вторую производную потенциала по времени и исключить ее из волнового уравнения.

Для иллюстрации рассмотрим движение точечного инерциального заряда вдоль оси х с произвольной скоростью. Используя (1.9.9) можно найти следующие выражения:

(1.9.10)

Если движение равномерное, то выражение (1.9.10) упрощается

(1.9.11)

Учитывая (1.9.11), легко привести волновое уравнение к уравнению пуассоновского (эллиптического) типа

(1.9.12)

Выражение (1.9.12) можно было бы сразу получить из уравнения (1.9.6), используя преобразование Лоренца. Обратите также внимание на следующий факт. Теперь нам нет необходимости задавать начальные условия, поскольку производная по времени от потенциала в уравнении (1.9.12) отсутствует!

Далее делаем замену и обращаем выражение (1.9.12) в уравнение Пуассона.

(1.9.13)

Решением этого уравнения будет потенциал, который является мгновенно действующим (уравнение Пуассона!)

(1.9.14)

Потенциал (1.9.14) есть частное решение уравнений (1.9.3) и (1.9.12) одновременно. Повторим: потенциал (1.9.14) не является запаздывающим. Он описывает мгновенное действие на расстоянии, поскольку является решением уравнения (1.9.12).

Замечание. Отсюда появляется возможность удалить еще один предрассудок. Лорец-ковариантность уравнений физики не есть гарантия отсутствия мгновенного действия на расстоянии! Преобразование Лоренца это обычное алгебраическое преобразование. Оно не превращает запаздывающие потенциалы в мгновенно действующие и обратно! Добавим, что мгновенное действие на расстоянии может существовать при конечной скорости света.

Аналогичные вычисления можно было бы провести для произвольного движения заряда в трехмерном пространстве.

Замечание. Вряд ли Ландау понимал, что существует «жесткая связь», которая порождает мгновенное действие на расстоянии. Он, как и все физики его поколения, считал, что поля зарядов и поля электромагнитных волн тождественны (это одно поле!) и всегда являются «запаздывающими». Но он постоянно (и, как теперь знаем, незаконно) использовал соотношение (1.9.2) при описании явлений, например, при описании взаимодействия зарядов. Эти вопросы мы подробно рассмотрим в Части 2. В результате он добился внешне строгого и логически последовательного изложения теории, но две проблемы он «припрятал». Одна из них - проблема электромагнитной массы, о которой он упоминает в книге, как о «пустячке», вторая - проблема излучения ускоренного заряда («самоускорение заряда»). «Пустячок», как мы убедились, оказался отнюдь не пустяковым! Это мы тоже обсудим.

10. Главная причина проблем физики

В науке нет монополии на Истину. Перед ней все равны. Это правило часто забывают, разделяя науку на две части: академическую часть и альтернативную часть. Редакции научных журналов беспокоятся о высоком научном авторитете, поэтому рецензенты журнала, как правило, не пропускают статьи с «сомнительным» содержанием.

С одной стороны, это правильный подход, позволяющий «отсечь» мало научные или ошибочные «произведения». С другой стороны, такой подход становится преградой для обсуждения новых идей, идущих вразрез с общепринятой точкой зрения, вразрез со сложившимися предрассудками.

Допустим, что по каким-то причинам (недобросовестность рецензентов, «просмотр» редакции и т.д.) были опубликованы результаты, содержащие ошибку. Читатели журнала редко перепроверяют выкладки, полагаясь на авторитет журнала и добросовестность рецензента.

Далее эти результаты используются в последующих статьях новых авторов. Ошибка, как вирус, «размножается», нанося ущерб науке. Постепенно к ошибочному результату привыкают, и он превращается в предрассудок. Предрассудок это догма, которую впоследствии очень трудно «удалить» из науки.

В современной физике принято считать, что поля зарядов и электромагнитные волны есть одно и то же, т.е. эти поля ошибочно отождествляются. Анализируя уравнения Максвелла, мы с вами обнаружили, что квазистатическим полям зарядов и электромагнитным волнам отвечают два различных закона сохранения энергии-импульса. Это свидетельствует о разной природе этих полей (См. Таблицу 1.1).

Обратимся к истории.

Ошибка, связанная с отождествлением этих полей, появилась в середине 19 столетия, когда Максвелл представил научному сообществу свои уравнения. Обобщая эксперименты Фарадея, Ампера, законы Кулона и т.д., Максвелл «потерял» мгновенное действие на расстоянии [7]. Эта ошибка самым серьезным образом отозвалась на развитии физики. Она породила мнение, что все тела и поля имеют «волновую» природу, а все поля в природе являются «запаздывающими».

Мировоззренческая борьба в науке это не некая философская абстракция. Она всегда связана с борьбой научных идей. Материалистическое мировоззрение отошло на второй план по нескольким причинам. Одной из них явилось отсутствие грамотных философов-материалистов, способных развить материалистическую теорию познания. Другой явилось большое число новых экспериментальных открытий, которые не удавалось «втиснуть» в рамки «механистического» материализма.

Хотя классические теории (с их мгновенным действием на расстоянии) были успешно подтверждены 200-летним опытом развития науки и техники, они были признаны «анахронизмом». Им на смену были предложены новые теории, теории, основанные на новых принципах. Начали подвергаться критике классические пространственно-временные отношения и мгновенное действие на расстоянии. В конце 19 века (уже в то время!) проф. О.Д. Хвольсон в своем «Курсе физики» [8] писал:

«…В настоящее время успело сделаться общим достоянием убеждение, что actio in distans не должна быть допускаема ни в одну область физических явлений. Но как ее изгнать из учения о всемирном тяготении?».

Наконец, благодаря исследованиям Пуанкаре, Лоренца и Эйнштейна возникла СТО со своими постулатами и парадоксами. Для объяснения релятивистских явлений появился пустой по содержанию термин о существовании предельной скорости распространения взаимодействий. Термин мгновенное действие на расстоянии обрел негативный смысл (стал «ругательным»).

Таблица 1.1 Сравнение свойств волновых и квазистатических полей

Квазистатические поля заряда	Волновые поля
Поля заряда Е и Н всегда «привязаны» к заряду и не могут существовать без заряда.	После излучения волна (поля Е и Н) распространяется и уже не зависит от источника излучения.
Магнитное поле заряда Н зависит от скорости перемещения заряда. Если заряд покоится, магнитное поле равно нулю.	Магнитное поле волны Н всегда жёстко связано с электрическим полем Е. Эти поля не могут существовать раздельно.
Электрическое поле заряда обладает инерциальными свойствами, т.е. имеется электромагнитная масса заряда (масса покоя), импульс и кинетическая энергия. Электромагнитная масса обладает всеми свойствами обычной (механической) инерциальной массы.	Плотности энергии электромагнитной волны нельзя поставить в соответствие плотность инерциальной массы. Плотность массы покоя электромагнитной волны всегда равна нулю.
Скорость перемещения полей заряда всегда равна скорости движения заряда и может быть равна нулю. Связь между электромагнитной массой и кинетической энергией полей заряда описывается законом сохранения Умова.	Скорость перемещения электромагнитной волны в свободном пространстве постоянна и всегда равна с. Связь между плотностью энергии и плотностью импульса электромагнитной волны определяется законом сохранения Пойнтинга.

Казалось бы, что материализм, логика и здравый смысл вместе с классическими теориями уже повергнуты и не возродятся. Но жизнь показала иное. Новая физика столкнулась с принципиальными трудностями, корни которых тянутся к нерешенным проблемам классических теорий. И, тем не менее, догматизм (позитивизм), поразивший научное сообщество, продолжал и продолжает наносить вред науке. Он агрессивно мешает развитию правильного материалистического миропонимания. Чтобы показать это, процитируем одного из профессоров философии [9]:

«Уже цитированный М. Чапек (один из махровых противников материализма - Прим. В.К.) предостерегает от злоупотребления тем, что он называет нашим «ньютоно-евклидовым» подсознанием, корни которого лежат в филогенетическом сознании людей. Это сознание слишком упрямо, чтобы его можно было бы заменить голым мастерством математического формализма. «Задача эпистемолога в современной физике, - пишет Чапек, - немного похожа на задачу психоаналитика: обнаружить остатки классического мышления за словесными отрицаниями и отказами»... Дело, следовательно, состоит не только в том, чтобы изгнать «ньютоно-евклидово» подсознание, но и в том, чтобы заменить его «квантово-релятивистским» подсознанием».

Откровенно, не правда ли? Вот так материализм постоянно «выдавливается» из сознания школьников, студентов и ученых, а «вакуум» заполняется догмами и предрассудками, обрекая научные теории на застой.

Приложение 1.1 Кулоновская калибровка

Помимо калибровки Лоренца в электродинамике широко используется кулоновская калибровка. Формально последовательный вывод кулоновской калибровки из калибровки Лоренца дан в [10]. Логика доказательства следующая:

...