Статистические характеристики хаотической импульсной помехи и периодической последовательности импульсов

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Гипотеза марковского процесса

Импульсы хаотической импульсной помехи (в дальнейшем ХИП) рассматриваются как формируемые из всплесков флуктуационного шума над некоторым пороговым уровнем соответствующим спусковым устройством. Преимущество такого способа заключается в возможности легко регулировать интенсивность ХИП изменением указанного уровня. Условимся считать всплески бесконечно тонкими, начало импульса совпадающим с моментом появления всплеска, а длительность импульса определяется шириной его основания. Интервалы между импульсами при этом будем считать совпадающими с теми всплесками, которые вызвали срабатывание спускового устройства, т.е. между началами импульсов.

Поскольку импульсы появляются в случайные моменты времени, интервалы между соседними импульсами будут случайными величинами, подчиняющимися определенному закону распределения. Условимся считать ХИП установившимся стационарным случайным процессом. Появление импульсов в случайные моменты времени можно уподобить появлению альфа-частиц при радиоактивном распаде радона, описанном в [1]. В такой модели процесса вероятность появления последующего события, подчиняясь определенному закону, зависит от момента появления предшествующего и не зависит от моментов появления всех предыдущих событий, образуя временную цепь Маркова.

В установившемся режиме интенсивность импульсов будет величиной постоянной. Обозначим ее:

q(t)=N, (1.1),

где N-среднее количество импульсов в единицу времени, при этом для q(t) начало отсчета времени лежит в .

Обозначим плотность распределения интервалов между импульсами, как:

p(t). (1.2).

Предположим, что в некоторый момент времени (обозначим его to) появился импульс (скажем, нулевой). В соответствии с принятой моделью, его появление влияет на вероятность появления первого и последующих импульсов. В соответствии с законом распределения (1.2) некоторым образом должна измениться и ожидаемая интенсивность импульсов. Назовем ее условной, обозначим как:

q0(t) (1.3)

q0(t) ?0 при t 0

Теперь уже в (1.3) отсчет времени будет от начала нулевого импульса.

Постараемся найти зависимость между (1.2) и (1.3).

Вероятность появления импульса (любого из последующих) в бесконечно малом интервале (t,t+dt) будет определяться произведением:

qo(t)dt..(1.4).

После появления нулевого импульса импульс, появившийся в указанном интервале, может оказаться либо первым, либо n+1-ым, где: n=1,2,3……….до .

В первом случае вероятность его появления будет определяться как:

p(t)dt (1.5),

во втором случае это будет сложное событие, заключающееся в том, что n-ый импульс (независимо от его порядкового номера) появляется в бесконечно малом интервале

(x,x+dx), 0?x?t.. (1.6),

С вероятностью:

qo(x)dx (1.7)

и появлении n+1-ого импульса в интервале (t,t+dt),естественно впервые после n-ого,с вероятностью:

p(t-x)dt. (1.8)

Вероятность совместного осуществления указанных событий, в силу их независимости, равна произведению (1,7) и (1,8):

qo(x)dx•p(t-x)dt. (1.9)

Событие, состоящее в появлении n-ого импульса в бесконечно малом интервале (1.6), может произойти при любом значении х и события эти несовместимы ,поэтому вероятность появления n+1-ого импульса в интервале (t,t+dt) ,будет равна интегральной сумме по всем х в (1.6):

qo(x)•p(t-x)dxdt (1.10).

Таким образом, вероятность появления любого по счету импульса в бесконечно малом интервале (t,t+dt) после появления нулевого импульса будет равна сумме (1.5) и (1.10):

qo(t)dt=p(t)dt+qo(x)•p(t-x)dxdt (1.11),

откуда получаем основное уравнение:

qo(t)= p(t)+qo(x)•p(t-x)dx (1.12).

Второе слагаемое в (1.12) представляет собой свертку функций. Полученное уравнение разрешается с применением преобразования Лапласа. Положим:

P(s)=exp(-st)•p(t)dt, Q0(s)=exp(-st)•qo(t)dt (1.13)

В итоге ,подставляя (1.13) в (1.12),получим:

Qo(s) = P(s) + Qo(s)•P(s) (1.14),

Из (1.14) получим искомую зависимость между (1.2) и (1.3):

Qo(s) = (1.15),

и

P(s) = (1.16).

2. Гипотеза флуктуационного шума

Как было предложено выше, выбросы флуктуационного шума будем считать бесконечно тонкими, так, что минимально возможный интервал между ними можно оценивать как бесконечно малую величину. В радиотехнических устройствах «белым шумом» можно считать шум, спектр которого много шире полосы пропускания устройства. Тогда условная интенсивность (1.3) будет как бы не зависеть от факта появления нулевого импульса и равняться (1.1).

Тогда, в соответствие с (1.13):

Qoш(s) = (2.1).

И для флуктуационного шума выражение для Pш (s) будет иметь вид /см.(1.16)/:

Pш(s) = . (2.2).

Используя обратное преобразование Лапласа [2], получим выражение для оригинала функции:

pш(t) = Nexp(-Nt).t (2.3). pш(t) = 0 t<0

Проверим, соответствует ли (2.3) виду функции распределения вероятности:

1. (2.4).

Математическое ожидание (среднее значение) интервала:

М=T. (2.5),

Дисперсия:

D = (t-T)2Nexp(-Nt)dt = T2 (2.6).

3. Хаотическая импульсная помеха

Как отмечалось выше, реальное спусковое устройство после того, как будет сформирован импульс помехи, имеет некоторое время «нечувствительности», во время которого всплески флуктуационного шума не вызовут его срабатывания. Обозначим этот интервал Х. Отсчитывая его от t0, естественно, будем иметь

Х в (3.1).

Где в - длительность импульса (как условились - по его основанию).

Как и при выводе формулы (1.11) будем считать, что импульс помехи после появления нулевого импульса в бесконечно малом интервале (t,t+dt) может появиться впервые с вероятностью:

p(t)dt либо под воздействием впервые появившегося всплеска ,либо под воздействием n+1-ого всплеска, если n всплесков попали в интервал нечувствительности. Тогда получим:

p(t)dt=pш(t)dt+ [qош(x)pш(t-x)dx]dt (3.2)

Отсюда:

p(t)=pш(t)+qош(x)pш(t-x)dx (3.3)

Подставим (1.1) и (2.3) в (3.3) ,проинтегрировав ,будем иметь:

p(t)=Nexp[-N(t-Х)] t. (3.4)

p(t)=0 t<Х. (3.5)

Произошел сдвиг спадающей экспоненты на интервал Х. В данном случае, естественно, интервал между импульсами помехи не может быть меньше Х, в остальном закон распределения интервалов остался прежним, сохраняется условие (2.4), однако математическое ожидание (среднее значение) будет другим. Обозначим

Tх = (3.6)

Дисперсия:

D = t - Tx)2e-N(t-Х)dt = (t - T - Х)2e-N(t-Х)dt = T2 (3.7)

Среднее значение интервала увеличилось на величину Х по сравнению с интервалом всплесков.

Найдем теперь выражение для условной интенсивности ХИП.

Изображение по Лапласу для p(t) получим, подставив (3.4) в (1.13) и учитывая (3.5):

P(s) = N (3.8)

Изображение для qо(t) в соответствии с (1.15) получим ,подставив (3.8) в (1.15):

Q (s) = N / (1- N) (3.9)

В [2] такого табличного изображения нет, однако можно видеть, что модуль выражения (3.8)будет меньше 1 при всех значениях S,кроме 0.Тогда (3.9)можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Ряд такого вида сходится [3]. Начальный член и знаменатель одинаковые и равны (3.8). Тогда:

Q(s) = Qn(s). (3.10),

Qn(s)=Nnexp(-nХs)/(s+N)n (3.11).

Используя обратное преобразование Лапласа [2],получим:

q0(t) =n(t) (3.12),

qn(t) = Nn (t-nХ)n-1exp[-N(t-nХ)]/(n-1)! tnХ (3.13),

qn(t) = 0t<nХ (3.14).

В (3.13) надо полагать (n-1)!=1 при n=1,т.е. 0! = 1,как и в дальнейшем изложении.

Отметим:

1.Если (t-nХ)=x‡0, то: nxn-1exp(-Nx)/(n-1)!=0 (3.15).

2.Если x>0,N>?,при этом Nx‡0,‡?,то:

Nnxn-1 exp (-Nx)/(n-1)! = ?. (3.16).

3.Таким образом: 0(t) = ? t=nХ,

=0 t‡nХ(3.17).

4. Найдем n(t-nХ)n-1exp[-N(t-nХ)]/(n-1)!}•dt (3.18).

После (n-2) кратного интегрирования (3.18) сводится к:

N2=1 (3.19).

5. Следовательно: 0(t)=(nХ) (3.20),

где символ д(nХ) означает дельта-функцию Дирака от аргумента, стоящего в скобках [4] стр.678.

Хаотическая последовательность вырождается в периодическую последовательность импульсов с периодом Tx=Х, что соответствует и (3.6) при T > 0.

Легко увидеть, что каждая из составляющих в (3.13) представляет собой плотность распределения вероятностей появления n-ого импульса в интервале от nХ до , в соответствии с законом распределения Пуассона. Функция (3.12) будет играть существенную роль в выводе формул для энергетического спектра и функции корреляции процесса ХИП. Рассмотрим предел (3.12) при t > ?. В соответствии с предельной теоремой Лапласа ([4] стр.227):

0(t) = 0(s) (3.21)

Для достаточно малого s разложим (3.8) в ряд Маклорена([4] стр.142) и ограничимся первыми двумя членами:

P(s)P(0)+s•P'(0) (3.22)

При s > 0 P(0)=1. P'(0) = - (Х+ P(s)1- s•(Х+ (3.23)

Подставляя (3.23) в (3.22) и произведя несложные вычисления, получим:

0(t)== = = Nx (3.24).

Где Nx -среднее количество импульсов ХИП в единицу времени (интенсивность ХИП).

Происходит «выравнивание» q0(t)

Сделано вычисление и построен график начального участка этой функции в масштабе Х для N=1,2,4. График приведен на рис. 3.1.

Рис. 3.1. На диаграмме: по горизонтали - время в масштабе Х, по вертикали - q0 в масштабе N

Кривые можно различить по максимальным значениям q0 при t = 1 (N = 1, N = 2, N = 4).

Следует обратить внимание, что, начиная с некоторой интенсивности, при некоторых значениях Х, в частности от 1,5 до 2, существенного роста значений функции при увеличении N не происходит. Поскольку каждая из составляющих (3.13) представляет собой функцию распределения вероятностей попадания n-ого импульса в бесконечно малый интервал, она играет существенную роль при оценке вероятности ложного кодообразования при воздействии ХИП на линию связи с кодовой селекцией. На выходе приемного устройства в таких линиях стоит, как правило, спусковое устройство, формирующее импульсы, аналогичное формирующему импульсы ХИП. Поэтому при конструировании следует обращать серьезное внимание на правильный выбор соотношения между временем «нечувствительности» этого спускового устройства и кодовыми интервалами [5].

4. Функция корреляции ХИП

Если случайный процесс стационарный, по крайней мере, по Хинчину [6], вычисление функции корреляции можно произвести усреднением по времени в пределах одной реализации, причем вычисление можно производить с любого момента времени.

Обозначим через о(t) одну реализацию нашего процесса ХИП и поставим задачу вычислить функцию:

R(t,ф)=[о(t)•о(t+ф)](4.1),

Где: t-означает текущее время, черта означает усреднение по времени t, ф -временной сдвиг между рассматриваемыми моментами времени.



Рис. 4.1. Совместное осуществление событий, состоящих в появлении 0 -го и n- го импульсов

Очевидно, что ненулевое значение в (4.1) будет лишь при совместном осуществлении событий, состоящих в том, что моменты времени t и t+ф находятся «внутри» импульса, иначе говоря, импульсы «накрывают» эти моменты времени. Вероятность совместного осуществления этих событий в соответствии с формулой полной вероятности ([4] стр. 482) равна произведению безусловной вероятности «накрытия» момента t на условную вероятность такого события в момент t+ф ,при условии, что событие в момент t состоялось.

p(t,t+ф)=p(t)•pt(t+ф). (4.2),

где p(t) -безусловная вероятность «накрытия» импульсом момента t,

pt(t+ф) -условная вероятность «накрытия» импульсом момента t+ф , при условии, что в момент t такое событие состоялось.

Пусть форма импульсов ХИП описывается как:

f(x)=f(x) 0?x?в (4.3),

f(x)=0 x<0,x>в,

где: - f(x)- функция, определяющая мгновенное значение импульса ХИП, (Это следует учитывать при вычислении функции корреляции для импульсов, отличных от прямоугольных.)

- в - длительность импульса.

Примем следующий алгоритм вычисления:

В момент t-x в интервале (t-x,t-x+dx) появляется импульс, «накрывающий» точку t.

Вероятность такого события:

q(t-x)•dx (4.4),

где: q(t)- безусловная вероятность появления импульса в указанном интервале,

dx- бесконечно малый интервал времени.

В свою очередь, в момент t+ф-z в бесконечно малом интервале (t+ф-z,t+ф-z+dz) появляется другой импульс , «накрывающий» точку t+ф. (См. рис.4.1).Вероятность (уже условная) такого события : q0(ф+x-z)dz (4.5).

Вероятность совместного осуществления этих событий в соответствии с (4.2) будет равна их произведению. Для вычисления функции корреляции в соответствии с (4.1)необходимо произвести усреднение по времени с учетом формы импульсов (4.3).

R(t,ф)=f(x)•q(t-x)dx•f(z)•q0(ф+x-z)dz (4.6),

где: символ в - длительность импульса (фи)

Следует иметь в виду, что функция условной интенсивности представляет собой сумму

q0(y) = qn(y);

поскольку операции суммирования и интегрирования линейные, будем в нижеследующих формулах, при необходимости, менять их очередность

Начальный участок функции корреляции определяется в первую очередь усреднением по времени в пределах нулевого импульса при ф ? в. Этот участок, как составляющая функции, будет иметь следующий вид:

R0 (t,ф) =q(t)•f(x)•f(x+ф)•dx (4.7),

где: символ в - длительность импульса, q(t) - вероятность появления импульса в бесконечно малом интервале dx, ф - временной сдвиг между рассматриваемыми моментами времени.

Естественно, при ф > в R0(t,ф)=0.

Определяя (1.1), мы не оговаривали, к какому виду хаотической последовательности импульсов она относится.

Для ХИП q(t)=Nx (4.8)

и является постоянной величиной, не зависящей от времени. Тогда в подынтегральных выражениях не будет зависимости от параметра t, поэтому (4.6) будет зависеть только от интервала между рассматриваемыми моментами времени ф.

Рассмотрим ситуацию при ф > в , когда момент t+ф оказывается в районе n-ого импульса. В этом случае возможны три варианта:

1. nХ - в < ф ? nХ

Rn(ф) = Nxf(x)dxf(z)•qn(x+ф-z)dz (4.9),

2. nХ < ф ? nХ+в

Rn(ф) = Nxf(x)dxf(z)•qn(x+ф-z)dz+ Nxf(x)dxf(z)•qn(x+ф-z)dz (4.10),

3. nХ+в ? ф < ?

Rn(ф) = Nxf(x)dxf(z)•qn(x+ф-z)dz (4.11).

В формулах (4.9),(4.10),(4.11) сделаем замену переменных:

Y = ф+x-z, z = ф+x-y, dy = -dz (4.12).

1. nХ-в ? ф ? nХ Rn (ф) = Nxf(x)dxf(ф+x-y)•qn(y)dy (4.13),

2. nХ ? ф ? nХ+в Rn (ф) = Nxf(x)dxf(ф+x-y)•qn(y)dy + xf(x)dxf(ф+x-y)•qn(y)dy(4.14),

3. nХ+в ? ф < ? Rn(ф) = Nxf(x)dxf(ф+x-y)•qn(y)dy (4.15).

В вышеприведенных формулах y- аргумент (по сути - время, отсчитываемое от момента появления нулевого импульса ) функции условной интенсивности импульсов.

Для упрощения вычислений в формулах (4.13)-(4.15) поменяем порядок интегрирования, для чего воспользуемся формулой Дирихле для двойных интегралов [7]. Получим:

1. nХ-в ? ф ? nХ рис.4.2 а)

Rn(ф) = Nxqn(y)dyf(x)•f(x+ф-y)dx (4.16).

2. nХ ? ф ? nХ+в рис.4.2 б)

Rn(ф) = Nxqn(y)dyf(x)f(x+ф-y)dx + Nxqn(y)dyf(x)•f(x+ф-y)dx (4.17)

3. nХ + в ? ф < ? рис.4.2 в)

Rn(ф) = Nxqn(y)dyf(x)•f(x+ф-y)dx + Nxqn(y)dyf(x)•f(x+ф-y)dy (4.18)

Следует обратить внимание, что при Х<2в зоны интегрирования будут накладываться одна на другую, что приводит к усложнению расчетов (рис. 4.2 г.)

Рис. 4.2. В скобках указаны «косые» пределы для первоочередного интегрирования по х. а) nХ - в ? ф ? nХ б) nХ ? ф ? nХ + в в) nХ + в ? ф г) Х < 2в

Рассмотрим два варианта формы импульсов - прямоугольную и треугольную. Следует заметить, что при усложнении выкладок и вычислений формулы могут быть получены и для другой формы импульсов. Прямоугольная форма описывается как:

f(x) =a 0 ? x ? в

f(x) = 0 x < 0, x>в.(4.19),

где а - амплитуда импульсов.

Подставим (4.19) в (4.7), (4.16), (4.17), (4.18), проинтегрировав по частям n раз, получим:

R0(ф) = a2Nx(в-ф) 0 ? ф ? в (4.20), Rn(ф) = a2[Nx(ф+в)-n]+a2Nx[(n-k)(ф-nХ+в)k/k!]Nk-1exp[-N(ф-nХ+в)] nХ-в ? ф < ? (4.21)

Rn(ф) = a2[n-Nx(ф-в)]-2a2Nx[(n-k)(ф-nХ)k/k!]Nk-1exp[-N(ф-nХ)] nХ ? ф <? (4.22)

Rn(ф) = a2Nx[(n-k)(ф-nХ-в)k/k!]Nk-1exp[-N(ф-nХ-в)] nХ + в ? ф <? (4.23).

В вышеприведенных формулах N - интенсивность исходного флуктуационного шума, Nx - интенсивность ХИП. (Nx = N + Х).

Для наглядности приведен график вычисленного по формулам (4.20) - (4.23) начального участка функции корреляции при интенсивности всплесков N=2,10,100 (среднее количество импульсов, попадающих в интервал Х, или иначе NХ=2,10,100).

Принято соотношение в = 0,2Х (среднее по величине для того, чтобы проследить изменение кривой при различных значениях интенсивности). График приведен на рис. 4.3.

Из графика видно как с увеличением интенсивности всплесков N в составе функции все заметнее влияние регулярной составляющей, а при NХ=100 функция вообще становится похожей на известную «пилу» для периодической последовательности прямоугольных импульсов.



Рис. 4.3

По горизонтали отложено время ф в единицах Х, по вертикали - R(ф)/0,2Nx в относительных единицах.

Выведем теперь аналогичную формулу для последовательности импульсов треугольной формы.

f(x)=a 0 ? x ? в (4.24)

=0 вне импульса длительностью в.

Используя принятый алгоритм вычисления функции корреляции, подставим (4.24) в (4.16)-(4.18), произведем замену переменных и изменим порядок интегрирования в двойном интеграле. Получим:

R0(ф) = a2Nx/в2 •x(x+ф)dx =a2Nx/в2•[(в-ф)3 - ф(в-ф)2] 0 ? ф ? в (4.25),

Rn(ф) = a2Nx/в2•qn(y)dyx(x+ф-y)dxnХ-в ? ф ? nХ (4.26),

Rn(ф) = a2Nx/в2•qn(y)dyx(x+ф-y)dx + a2Nx/в2• qn(y)dyx(x+ф-y)dx nХ ? ф ? nХ+в (4.27),

Rn(ф) = a2Nx/в2•qn(y)dyx(x+ф-y)dx + a2Nx/в2•qn(y)dyx(x+ф-y)dx nХ+в ? ф < ? (4.28).

Формулы заметно усложнились по сравнению с таковыми для импульсов прямоугольной формы.

Сделаем замену переменных:

u = y - nХ, y = u + nХ(4.29),

qn(u) = Nnun-1/(n-1)!•exp(-Nu) (4.30).

Проинтегрировав по Х, получим:

Rn(ф) = = a2Nx/в2•F1(u)qn(u)dunХ-в ? ф ? nХ (4.31),

Rn(ф) = = a2Nx/в2•[F2(u)qn(u)du + F1(u)qn(u)du] nХ ? ф ? nХ+в(4.32)

Rn(ф) = = a2Nx/в2•[F2(u)qn(u)du + F1(u)qn(u)du] nХ+в ? ф < ?(4.33),

где:

F1(u) = u3/6в2-(ф-nХ)u2/2в2+(ф-nХ)2u/2в2-u/2-(ф-nХ)3/6в2+(ф-nХ)/2+в/3,

F2(u) = -u3/6в2+(ф-nХ)u2/2в2-(ф-nХ)2u/2в2+u/2+5(ф-nХ)3/6в2-(ф-nХ)/2+в/3+ 2(ф-nХ)u/в (4.34)

В окончательном виде функцию корреляции ХИП в виде треугольных импульсов получим путем n- кратного интегрирования по частям (4.31)-(4.33) с учетом (4,34).

Обозначим

A = a2Nx/в2

nХ - в ? ф ? nХ

Rn (ф)=A{T3-(ф-nХ+в)n-k+2Nn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k+2)!}- A {T2-(ф-nХ+в)n-k+1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k+1)!}+ A [n(ф-nХ)2-в2]{T-(ф-nХ+в)n-kNn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k)!}+ A[(ф-nХ)3-(ф-nХ)в2-в3]{1-(ф-nХ+в)n-k-1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k-1)!}(4.35)

nХ ? ф ? nХ + в

Rn(ф)=A{2(ф-nХ)n-k+2Nn-k-1exp[-N(ф-nХ)]/(n-k+2)!-(ф-nХ+в)n-k+2Nn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k+2)!-T3}- A {2(ф-nХ)n-k+1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ)]/(n-k+1)!- (ф-nХ+в)n-k+1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k+1)!-T2}+A [n(ф-nХ)2-в2]{2(ф-nХ)n-kNn-k-1exp[-N(ф-nХ)]/(n-k)!-(ф-nХ+в)n-kNn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k)!-T}+A[(ф-nХ)3-(ф-nХ)в2]{2(ф-nХ)n-k-1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ)]/(n-k-1)!-(ф-nХ+в)n-k-1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k-1)!-1}+Aв3{(ф-nХ+в)n-k-1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k-1)!-1} (4.36)

nХ + в ? ф < ?

Rn(ф)=A {2(ф-nХ)n-k+2Nn-k-1exp[-N(ф-nХ)]/(n-k+2)!(ф-nХ+в)n-k+2Nn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k+2)! -(ф-nХ-в)n-k+2Nn-k-1exp[-N(ф-nХ-в)]/(n-k+2)!}-A {2(ф-nХ)n-k+1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ)]/(n-k+1)!(ф-nХ+в)n-k+1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k+1)!(ф-nХ-в)n-k+1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ-в)]/(n-k+1)!}+A [n(ф-nХ)2-в2]{2(ф-nХ)n-kNn-k-1exp[-N(ф-nХ)]/(n-k)!-(ф-nХ+в)n-kNn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k)!-(ф-nХ-в)n-kNn-k-1exp[-N(ф-nХ-в)]/(n-k)!}+A[(ф-nХ)3-(ф-nХ)в2]{2(ф-nХ)n-k-1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ)]/(n-k-1)!-(ф-nХ+в)n-k-1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k-1)!-(ф-nХ-в)n-k-1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ-в)]/(n-k-1)!}+Aв3{(ф-nХ+в)n-k-1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ+в)]/(n-k-1)!-(ф-nХ-в)n-k-1Nn-k-1exp[-N(ф-nХ-в)]/(n-k-1)!} (4.37)

В вышеприведенных формулах для удобства записи иногда вместо символа употреблялся T.

5. Энергетический спектр

Корреляционная функция и спектральная плотность (энергетический спектр) связаны взаимно обратным преобразованием Фурье [7].

R(ф) = exp(jщф)G(щ)dщ G(щ) = exp(-jщф)R(ф)dф (5.1)

Используем исходную формулу (4.6), введя сделанные ранее подстановки, получим:

хаотический импульсный помеха спектральный

G(щ) =Nxexp(-jщф)dфf(x)dxf(x+ф-y)q0(y)dy (5.2)

В формуле (5.2) поменяем порядок интегрирования для переменной ф, имея в виду, что (Рис. 5.1) вычисление производится в объеме, ограниченном плоскостями: ф+x-в,ф+x по y и 0,в по x.

Итак, имеем:

G(щ) = Nxf(x)dxq0(y)dyf(x+ф-y)[exp(jщф)+exp(-jщф)]dф. (5.3)

Формула (5.3) учитывает, что функция корреляции стационарного процесса симметрична. Следует также учесть, что аргумент y не может быть меньше Х. Cоставляющую спектра, обусловленную начальным участком функции корреляции, найдем, используя (4.20), если импульсы прямоугольной формы, и (4.25), если треугольной. Начальный участок объема интегрирования показан на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Пределы интегрирования для тройного интеграла

1. Прямоугольная форма импульсов:

G0(щ) = a2Nx[exp(jщф)+exp(-jщф)](в-ф)dф = a2Nx(1-Cosщв)/щ2. (5.4)

Подставив (4.19) в (5.3) и проинтегрировав по ф и по х , суммируя также (5.4), получим:

G(щ) = a2Nx(1-Cosщв)/щ2{1+[exp(jщy)+exp(-jщy)]q0(y)dy} (5.5)

Нижний предел в (5.3) условно указан Х, как напоминание о том, что Х ? y.

2.Треугольная (пилообразная) форма импульсов:

G0(щ) = a2Nx(в/3-ф/2+ф3/в2)Cosщфdф (5.6)

G0(щ) = a2в2Nx[1/2щ2в2+(1-Cosщв)/щ4в4-Sinщв/щ3в3] (5.7)

Вторую составляющую спектра получим, подставив (4.24) в (5.3) и проинтегрировав по ф и по х.

Суммируя полученный результат с (5.7) будем иметь:

G(щ) = a2в2Nx[1/2щ2в2+(1-Cosщв)/щ4в4-Sinщв/щ3в3]{1+[exp(jщy)+exp(-jщy)]q0(y)dy (5.8)

Сравнивая (5.5) и (5.8), видим ожидаемый результат, а именно - разница только в форме огибающей спектра при различной форме импульсов. Рассмотрим теперь «заполнение».

Подставив (3.12) и (3.13) в (5.8), обозначим:

I1 = exp(jщХ)Nn(y-nХ)n-1exp[-N(y-nХ)]/(n-1)! (5.9)

I2 = exp(-jщХ)Nn(y-nХ)n-1exp[-N(y-nХ)]/(n-1)! (5.10)

После n-1-кратного интегрирования будем иметь:

I1 = exp(jnХщ)Nn/(1-jщ)n = exp(jnХщ)/(1-jщT)n, (5.11)

Модуль выражения, стоящего под знаком суммы меньше 1 для щ>0. Ряд сходится [3]. Имеем:

I1 = exp(jХщ)/[1-exp(jХщ)-jщT]. (5.12)

По аналогии для другого интеграла получим:

I2 = exp(-jХщ)/[1-exp(-jХщ)+jщT] (5.13)

Суммируя (5.11) и (5.13) и произведя несложные вычисления, получим:

I1+I2 = T2щ2/[2(1-CosХщ)+2щTSinХщ+T2щ2] (5.14)

Перепишем формулу (5.14) в виде, удобном для расчетов:

I1+I2 = 1/[1+2(NХ)2(1-CosХщ)/(Хщ)2 + 2NХSinХщ/Хщ] (5.15)

Сделан расчет для NХ = 2,10,100 (среднее количество всплесковN, укладывающихся в Х).

Если взять предельный случай NХ >? , подставив (3.20) в (5.5) или (5.8) то: [4] стр.678.

д(nХ)(ejщy+e-jщy)dy = 2Cos(nХщ) (5.16)

Предельный случай приводит к классическому ряду спектрального разложения Фурье [8].

Как отмечается в [4] стр. 678, д-функция, как и все решетчатые, является математической абстракцией, помогающей при решении некоторых задач, таких функций в природе не существует, однако не существует в природе и идеальной последовательности прямоугольных или иных по форме импульсов. Данная работа рассматривает реальную последовательность идеальных по форме импульсов. Что касается вывода формул для реальной последовательности реальных по форме импульсов, то это задача отдельного рассмотрения. Возможно формирование периодической последовательности импульсов и не таким способом и устройством, как приведено в данной работе, например, при использовании гармонических колебаний, стабильность которых будет описываться не законом распределения Пуассона, однако наличие нестабильности, как и наличие флуктуационных шумов будет присутствовать всегда.

Рис. 5.2. Диаграмма, построенная по формуле (5.15)для nХ = 2,10

По горизонтали - значения Хщ в долях р.Так же и на рис. 5.2.



Рис 5.3. Диаграмма, построенная по формуле (5.15) для Х = 100.Типичный «линейчатый» спектр. Максимальные значения при Хщ=1.98015 1107,95, при Хщ=3,961 252,322, при Хщ=5,9413 116,77. Минимальные значения при Хщ > 0 ?0,000098 при Хщ = 2,9 ?0,00209 при Хщ = 4,9 ?0,00589

Анализируя диаграммы, замечаем, что ширина спектра определяется параметром NХ , который можно трактовать как параметр, определяющий стабильность частоты повторения импульсов. Из диаграммы Рис.5.2 видно также, что полоса спектра второй гармоники заметно шире, чем первой, а третьей еще шире. По мнению автора, объясняется это явление также нестабильностью частоты повторения. В самом деле: если в какой-то момент времени частота повторения изменилась, скажем, на 1гц, то, соответственно, частота первой гармоники также изменится на 1гц, а второй на 2гц, третьей на 3гц и так далее. Поскольку количество энергии, сосредоточенное в каждой гармонике, при этом не меняется, в соответствии с расширением полосы «проседает» и ее максимум по сравнению с обусловленным формулой спектрального разложения Фурье [8].Если рассматривать периодическую последовательность импульсов в процессе становления, т.е. переходный процесс, как это сделано в [9],то возможно, в самом деле, предположить, что где-то в бесконечности сплошной спектр станет «линейчатым», а ширина спектра высших гармоник уменьшится, до ширины первой, а то и до нуля. Однако, приняв гипотезу марковского процесса, становится бессмысленным говорить о конечном времени наблюдения и идеальной последовательности. Следует отметить, что анализ, сделанный в [8], [9], основан на математической абстракции последовательности прямоугольных импульсов при «абсолютной» стабильности частоты повторения импульсов и их формы. Выведенные формулы (5.5), (5.8), (5.14) также не учитывают нестабильность формы импульсов, однако, как отмечено выше, форма импульсов не влияет на вид кривых, приведенных на диаграммах и саму формулу (5.14), поэтому влияние нестабильности заднего фронта и амплитуды является отдельной задачей. «Дрожание» же переднего фронта это и есть нестабильность частоты повторения. Из расчетов и минимальных значений функции на диаграмме (5.3) следует, что спектр периодической последовательности импульсов всегда остается СПЛОШНЫМ, просто составляющие спектра в промежутках между частотами, кратными nХ, существенно меньшей амплитуды, в нашем случае до 7 порядков, это при NХ = 100, что соответствует относительной нестабильности ?1/NХ = 1% [см. формулу (3.7)] и сноску к формуле (5.15).Естественно, чем выше стабильность частоты повторения, тем «чище» спектр.

Примечание: параметр в в качестве длительности импульса введён вместо традиционного тау импульса из-за трудности написания последнего в компьютерной графике.

Заключение

1. Процесс случайных выбросов флуктуационного шума над определенным пороговым уровнем можно уподобить процессу излучения альфа - частиц при распаде радона [1]. Такой установившийся случайный процесс можно отнести к классу марковских.

2. Сформированные из этих случайных выбросов одинаковые импульсы заданной формы можно классифицировать как хаотическую импульсную помеху (ХИП). Регулированием порогового уровня в устройстве, генерирующем ХИП, можно менять интенсивность помехи.

3. Реальное устройство, генерирующее ХИП, всегда имеет в виде последействия некоторое время «нечувствительности» к воздействию выбросов его запускающих в любом случае не меньше, чем длительность импульса. Аналогичное устройство, имеющееся на выходе приемника линии управления с кодовой селекцией полезного сигнала, в качестве нормирующего устройства, как правило, спусковое, срабатывает под воздействием импульсов полезного сигнала, как и помехи. Существенное значение имеет правильный выбор соотношения между временем «нечувствительности» этого устройства в приемнике и кодовыми интервалами между импульсами полезного сигнала[5]. Этот вывод иллюстрируется диаграммой на рис.3.1.

4. Спусковое устройство, генерирующее периодическую последовательность импульсов, в котором искусственно увеличено это время «нечувствительности», в той или иной мере зависит от флуктуаций. При этом, чем чувствительнее устройство к флуктуациям и чем стабильнее время «нечувствительности», тем стабильнее частота повторения импульсов.

5. Выведенные в данной работе формулы позволяют вычислить функцию корреляции и энергетический спектр хаотической последовательности импульсов прямоугольной и треугольной формы и как предельный случай периодической последовательности, при этом соотношение между интенсивностью всплесков флуктуационного шума (средним значением интервала между всплесками) и временем «нечувствительности», определяющее стабильность частоты повторения импульсов, определяет и ширину составляющих, так называемого, линейчатого спектра. В свою очередь, форма импульсов последовательности влияет лишь на форму огибающей. Приведенный в работе алгоритм вычислений позволяет вывести аналогичные формулы для последовательности импульсов и другой формы.

6. В приводимых в различных изданиях примерах анализа и разложения последовательности, как правило, прямоугольных импульсов на спектральные составляющие, за основу принимается идеальная форма импульсов при абсолютной стабильности частоты повторения ([7],[9]),либо рассматривается становление последовательности как переходный процесс. В данной работе сделан статистический анализ на основе вероятностных характеристик. Это позволило вывести обобщающие формулы для вычисления функции корреляции и энергетического спектра хаотической, и как предельный случай, регулярной последовательности импульсов.

7. Вычисления, сделанные для трех вариантов соотношений интенсивности всплесков (среднего значения интервала) и временем «нечувствительности» генератора импульсов, позволяют сделать вывод о том, что спектр любой реальной последовательности импульсов, не являющейся абсолютно стабильной, будет сплошным; просто составляющие спектра, расположенные между основными гармониками, как бы оказываются подавленными в связи с тем, что большая часть энергии оказывается сосредоточенной в полосе основных гармоник «линейчатого» спектра. Если бы энергия могла сосредоточиться не на полосах частот, а на «линиях», амплитуда гармоник выросла бы до бесконечности. Следовательно, «линейчатый» спектр является лишь математической абстракцией, позволяющей проводить необходимые вычисления и исследования.

8. Естественно, возможны другие схемы построения генератора периодической последовательности импульсов, например, ограничением амплитуды высокостабильных гармонических колебаний и формированием из этого меандра, тем или иным способом импульсов необходимой формы и длительности. Тем не менее, стабильность частоты повторения в любом устройстве является величиной конечной, стало быть, и спектр такой последовательности будет линейчатым с некоторыми оговорками, просто соотношение амплитуд основных составляющих гармоник и колебаний других частот позволяют называть такой спектр «линейчатым». Если плотность вероятности распределения интервалов между импульсами отличается от приведенной в настоящей работе (3.4), (3.5), то по-видимому, и формулы для функции корреляции и энергетического спектра будут иметь другой вид. Однако это не меняет основных положений сделанного вывода относительно сплошного и линейчатого спектра.

Задачей данной работы был вывод формул для вычисления корреляционной функции и энергетического спектра стационарного случайного процесса, а именно хаотической импульсной помехи (ХИП). По найденным формулам сделаны вычисления и построены диаграммы для последовательности прямоугольных и треугольных импульсов. Показано, что эти формулы можно применить для периодической последовательности импульсов как предельный случай хаотической последовательности. Показано, что ширина составляющих гармоник спектра зависит от стабильности частоты повторения импульсов, а также тот факт, что спектр реальной периодической последовательности - сплошной, просто соответствующие составляющие спектра «подавлены». Из-за отсутствия соответствующей аппаратуры у автора нет возможности проверить на практике сделанные расчеты и выводы.

Литература

1. Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика. Москва. «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. 1985 г.

2. Градштейн И.С. и Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Государственное издательство технико-теоретической литературы. 1969 г.

3. Уиттекер Э. Т. и Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. ч. 1. Государственное издательство физико-математической литературы. 1963 г.

4. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы. 1979 г.

5. Григоренко Э.В. Об одном способе повышения помехоустойчивости против ХИП. Вопросы специальной радиоэлектроники. Серия: Системы и средства автоматизированной обработки информации и управления. Выпуск 16. 1983 г.

6. Хинчин А.Я. Теория корреляции стационарных случайных функций. Успехи математических наук. Выпуск 5. 1938 г.

7. Володин Б.Г. Руководство для инженеров по решению задач теории вероятностей. Государственное союзное издательство судостроительной промышленности. Ленинград. 1962 г.

8. Анго Андре. Математика для электро- и радиоинженеров. Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы. Москва. 1965 г.

9. Харкевич А.А. Спектры и анализ. Москва. Физматгиз. 1962 г.

Размещено на Allbest.ru

...