Параллельные решения волновых уравнений и калибровки

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Проблема нарушения единственности решения задачи Коши для уравнений в частных производных существует уже давно. Своим возникновением она обязана вопросам, связанным с доказательством эквивалентности кулоновской калибровки и калибровки Лоренца в электродинамике. Анализ, проведенный в работах [1], [2], показал, что для волнового уравнения в общем случае единственность решения не имеет места, и упомянутые калибровки не являются эквивалентными. В тех же работах был сформулирован метод построении новых решений. Дальнейшее развитие эта идея получила развитие в [3], [4], [5], [6], где было показано, что нарушение единственности решения приводит к радикальным следствиям не только для электродинамики, но и для других областей физики. В соответствии с уже сложившейся терминологией стандартное решение задачи Коши для волнового уравнения мы будем именовать прямым решением, а нестандартное - параллельным решением.

Пример, подтверждающий нарушение единственности решения.

А. Постановка задачи. Пусть некоторый потенциал u удовлетворяет неоднородному волновому уравнению с некоторыми заданными начальными условиями. Для простоты примера будем считать их нулевыми.

(1)

коши волновой уравнение электродинамика

где - функция обильности источника потенциала u.

Решение задачи Коши для неограниченного пространства должно удовлетворять следующим начальным условиям:

В. Прямое решение. Прямое решение этой задачи существует. Запишем его:

Это выражение легко интегрируется, но ради экономии места мы его записывать не будем.

С. Параллельное решение. Будем искать параллельное решение в виде суммы U = v + w. Наложим на потенциал w следующее условие. Пусть он удовлетворяет уравнению Пуассона:

(2)

Теперь выберем частное решение этого уравнения, положив, например, константы интегрирования равными нулю. Оно примет следующий вид:

Теперь, когда потенциал w нами определен, будем искать другой потенциал - потенциал v. С учетом выражения (2) потенциал v должен удовлетворять волновому уравнению:

(3)

Сформулируем начальные условия для v так, чтобы параллельное решение в дальнейшем удовлетворяло начальным условиям поставленной задачи.

Итак, чтобы найти w, мы должны решить стандартную задачу, т.е. найти прямое решение уравнения (3) при известных начальных условиях. Это решение имеет вид:

Теперь можно записать выражение для параллельного решения:

(4)

Непосредственно прямой проверкой нетрудно убедиться в следующем:

1. Параллельное решение не является тривиальным.

2. Параллельное решение не совпадает с прямым решением.

3. Параллельное решение (4) удовлетворяет неоднородному волновому уравнению (1).

4. Параллельное решение (4) удовлетворяет начальным условиям задачи Коши.

Таким образом, мы на примере показали, что задача Коши для неоднородного волнового уравнения не имеет единственного решения.

D. Некоторые следствия. Мы здесь отметим два следствия.

1. Комбинируя прямое и параллельное решения, мы можем получить другие параллельные решения задачи Коши, например, U1 = U + (1 - ) u, где - некоторый постоянный множитель. Для = Ѕ получим:

.

2. Как известно, прямое решение волнового уравнения при нулевых начальных условиях задачи Коши является тривиальным, т.е. равным нулю. Составим разность из параллельного и прямого решения:

Прямой проверкой несложно убедиться, что эта разность является нетривиальным параллельным решением задачи Коши для однородного волнового уравнения при нулевых начальных условиях. Таким образом, однородное волновое уравнение также может иметь нетривиальные параллельные решения.

E. Замечание. Из метода видно, что процедура введения двух потенциалов v и w (и, соответственно, разделения уравнений для потенциалов) проходит до процесса интегрирования уравнений. Эта процедура во многом сходна с процедурой введения калибровок (электромагнитных потенциалов) в электродинамике. Именно путем введения различных калибровок мы можем придать различную функциональную зависимость (запаздывание или мгновенное действие) некоторым слагаемым конечного результата (т.е. решению задачи Коши для уравнений Максвелла). При фиксированной калибровке решение задачи единственно, но для каждой калибровки - свое [1], [2].

Проблема нарушения единственности решения еще только начала проходить стадию исследования. Поэтому здесь целесообразно наметить некоторые проблемы. Первой является проблема обобщения результатов на дифференциальные уравнения в частных производных более высокого порядка.

Пусть мы имеем неоднородное линейное дифференциальное уравнение в частных производных n-го порядка, относящееся к гиперболическому типу, например. Это вовсе не означает, что для неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных других типов параллельные решения не существуют. Нам необходимо найти решение задачи Коши при некоторых заданных начальных условиях. Запишем уравнение в виде Ln u = - f, где Ln - линейный оператор в частных производных n-го порядка.

Будем считать, что прямое решение этой задачи существует. Опишем схему поиска параллельного решения в этом случае. Как и ранее, будем искать решение в виде суммы:

u = v + w.

Наложим на потенциал w следующее условие.

Пусть он удовлетворяет уравнению:

Lm w = - f,

где Lm - дифференциальный оператор порядка m в частных производных. Соответствующие начальные и другие условия для этой задачи считаем заданными. Считая, что решение этой задачи нам известно, запишем уравнения и сформулируем условия для потенциала v.

Мы не будем останавливаться на формулировке начальных условий этой задачи. Из записанного уравнения следует необходимое условие существования параллельного решения, которое не совпадало бы с прямым решением или же не было тривиальным. Оно имеет вид (Lm - Ln) w 0.

Достаточные условия в будущем еще предстоит выяснить. Здесь важно ответить на вопросы:

1. Для всех ли непрерывных функций f могут существовать параллельные решения в уравнении Ln w = - f?

2. Для каких операторов Lm данной задачи параллельное решение будет совпадать с прямым решением или же окажется тривиальным. Есть предположение, что если общее решение однородного уравнения Lm w = 0 является частью общего решения однородного уравнения Lm w = 0, то при этом условии мы не получим нетривиального параллельного решения.

3. Что касается других обобщений (наличие граничных условий, трехмерный случай, случай векторного потенциала и др.), то их необходимость очевидна.

Литература