Методика исправления ошибок в существующих доказательствах теорем Карно, основанных на графиках Э. Клапейрона

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Теоремы Карно до сих пор продолжают оставаться теоретической основой проектирования самых различных энергетических установок, начиная с локомобилей и паровозов, продолжая бензиновыми и дизельными двигателями и заканчивая турбинами тепловых и атомных электростанций. Конечно, полученные в результате эксплуатации этих энергетических установок практические результаты оказали определенное плодотворное влияние на их проектирование, но до сих пор конструкторы и инженеры пытаются, причем не слишком успешно, теоретически обосновать хорошо зарекомендовавшие себя на практике технические идеи и решения теоремами Карно, являющихся, по сути, одним из краеугольных камней современной теоретической термодинамики. Зачастую даже не подозревая, что теоремы Карно, как и некоторые другие положения современной термодинамики - это миф. Интересно, сколько замечательных идей были положены под сукно только потому, что они никак не согласовывались с некоторыми догмами современной термодинамики?

Немного истории. Вот к каким выводам пришел в своем трактате “Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу” Николя Леонар Сади Карно [2]: “Возникновение движущей силы обязано в паровых машинах не действительной трате теплорода, а его переходу от горячего тела к холодному. Движущая сила тепла не зависит от агентов, взятых для ее развития; ее количество определяется исключительно температурами тел, между которыми, в конечном счете, производится перенос теплорода”.

Первое утверждение Карно нещадно критикуется современными физиками, так как, по общепринятому мнению, оно не соответствует принципу сохранения энергии, а второе лежит в основе теоретической термодинамики. И это довольно забавно, потому что первое утверждение Карно (если под “теплородом” понимать “количество теплоты”) значительно ближе к истине, чем второе.

Теоремы Карно были впервые представлены в математическом виде Бенуа Полем Эмилем Клапейроном, который и ввел широко распространенный ныне графический метод описания цикла Карно. За прошедшие полтора века формулировки теорем Карно видоизменялись, но их суть оставалась практически прежней. Вот один из современных вариантов [1]:

1. Коэффициент полезного действия любой обратимой тепловой машины, работающей по циклу Карно, не зависит от природы рабочего тела и устройства машины, а является функцией только температуры нагревателя T1 и холодильника T2:

2. Коэффициент полезного действия любой тепловой машины, работающей по необратимому циклу, меньше коэффициента полезного действия машины с обратимым циклом Карно, при условии равенства температур их нагревателей и холодильников:

Удивительно, но при попытке математически описать цикл Карно Клапейроном была допущена поистине детская ошибка, откровеннейший ляп, который на протяжении полутора веков продолжает воспроизводиться в своих трудах одним поколением физиков за другим, кочуя из одних учебников в другие. Это один из ярких примеров того, какое магическое воздействие оказывает авторитет имени великого ученого. На протяжении полутора веков никто так и не удосужился проверить теоретические выкладки Бенуа Поля Эмиля Клапейрона. А зря.

2. Смысл ошибки Клапейрона.

Хотя Сади Карно в своем трактате привел несколько рисунков, но так и не сделал нормальной расчетной схемы теплового двигателя - хотя, как выпускник элитной парижской Политехнической школы, как грамотный инженер, разрабатывавший на коммерческой основе водяные двигатели, наверняка знал, что все рассуждения следует начинать именно с правильно разработанной расчетной схемы. К сожалению, этого не сделал и другой выпускник Политехнической школы, впоследствии преподаватель Института инженеров путей сообщения в Петербурге, а затем и профессор парижской Школы мостов и дорог Э. Клапейрон.

Принято считать, что цикл Карно состоит из равновесных и, следовательно, из обратимых процессов и поэтому является обратимым циклом. Это не совсем так. Дело в том, что даже в идеальной тепловой машине осуществить цикл Карно в соответствии с графиками Э. Клапейрона (см. рис.2. слева вверху), без дополнительного воздействия на поршень извне, а только лишь нагревая и охлаждая рабочее тело, невозможно.

В расчетной схеме теплового двигателя у Карно и у Клапейрона нет одного очень важного элемента - силы, которая бы уравновешивала давление газа на поршень. В этом и заключается суть ошибки Клапейрона. Без наличия такой силы поршень в расчетной схеме Карно - Клапейрона должен просто вылетать из цилиндра как пробка из бутылки шампанского или снаряд из дальнобойного орудия (см. рис. 1A). Эту ошибку следует исправить. Принято считать, что идеальном тепловом двигателе отсутствует сила трения между поршнем и цилиндром, поэтому в доработанной расчетной схеме не будем использовать такой вариант. Способов уравновесить силу давления газа на поршень достаточно и без силы трения - см. рис. 1 B-F.

Рис. 1. Варианты доработки расчетной схемы идеального теплового двигателя: A - Существующая расчетная схема идеального теплового двигателя. Неуравновешенное ничем давление рабочего тела (газа) должно выдавить поршень за пределы цилиндра. B - Давление газа в одной полости цилиндра уравновешивается давлением газа в другой. C - Давление газа в рабочей полости уравновешивается силой тяжести поршня. D - Давление газа в рабочей полости уравновешивается атмосферным давлением. E - Давление газа в рабочей полости уравновешивается пружиной. F - Давление газа в рабочей полости уравновешивается неким механизмом

Принцип действия идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, современной термодинамикой описывается следующим образом (см. рис. 2.):

Рис. 2. Цикл Карно, как он представляется Клапейроном и современной термодинамикой, в диаграммах p-V (давление-объем), p - t (давление-время) и h - t (высота подъема поршня-время)

- Этап 1-2. (Обратите внимание, это - начало цикла!) От нагревателя поступает теплота Q1, газ под поршнем изотермически (при постоянной температуре Т = Т1) расширяется. Изменение состояния рабочего тела соответствует линии 1-2 на графике зависимости давления и объема.

- Этап 2-3. Газ изолирован от нагревателя и холодильника и адиабатически расширяется (линия 2-3).

- Этап 3-4. Газ изотермически (при Т = Т2) сжимается (линия 3-4) и отдаёт теплоту Q2 холодильнику.

- Этап 4-1. Газ изолирован и адиабатически сжимается (линия 4-1).

В течение цикла выполняется механическая работа A:

, (1)

где

Q1 - количество теплоты, переданное рабочему телу тепловой машины от нагревателя (одного теплового резервуара),

Q2 - количество теплоты, переданное от рабочего тела тепловой машины холодильнику (другому тепловому резервуару).

Работа, выполняемая рабочим телом за цикл, численно равна площади фигуры, заключенной между кривыми 1-2, 2-3, 3-4 и 4-1. При этом кпд тепловой машины равен:

. (2)

Чтобы стала понятнее ошибка Клапейрона, акцентируем внимание в графическом представлении цикла Карно на одновременном изменении давления и высоты подъема поршня ht (см. рис. 2):

,

где

Vt - объем рабочего тела тепловой машины в момент времени t,

S - площадь поршня, на которую оказывает давление рабочее тело.

Принято считать, что процесс выполнения работы тепловой машиной начинается с нагревания рабочего тела - с точки 1. Это означает, что точка 1 - равновесное состояние тепловой машины. То есть поршень в цилиндре в этот момент находится в состоянии покоя. А это, в свою очередь, означает (в соответствии с классической механикой сэра Исаака Ньютона), что все силы, действующие на поршень, уравновешиваются, или, другими словами - что равнодействующая всех сил, действующих на поршень, равна нулю:

Для дальнейших рассуждений из всех предложенных вариантов доработанной расчетной схемы идеального теплового двигателя (рис.1: B, C, D, E, F) выберем наиболее простой и понятный - вариант «С», то есть будем уравновешивать давление на поршень со стороны рабочего тела (газа) весом поршня. Тогда сила давления газа , где p - давление газа, а S - площадь поршня, уравновешена весом поршня , где m - масса поршня, а g - ускорение свободного падения. На основании этого можно написать:

,

Откуда:

,

где

p1 - давление газа в момент 1 (см. рис. 2).

Процесс 1-2 в теории Клапейрона и современной термодинамики значится как изотермическое расширение при температуре T1. В течение этого процесса из теплового резервуара в газ ”вливается” некоторое количество теплоты Q1.

И здесь происходит нечто странное, учитывая то, что на поршень не оказывается никакое дополнительное механическое воздействие. То, чего не заметил ни Клапейрон, ни другие физики на протяжении более полутора веков. Давление газа падает () - это видно на диаграммах, значит, сила, толкающая поршень вверх, уменьшается, при этом вес поршня остается неизменным. Следовательно:

Получаем неразрешимое противоречие. Теория Клапейрона и современная термодинамика (образца середины XIX века) с одной стороны утверждает, что газ расширяется, значит, его объем, а, следовательно, и высота подъема поршня увеличивается - это видно на диаграммах на рис.2. То есть поршень движется вверх. И в то же самое время равнодействующая в любой момент процесса 1-2, судя по графику изменения давления газа, направлена вниз, и, значит, в соответствии с механикой Ньютона, поршень должен двигаться вниз!!! Этого не может быть, потому что этого не может быть никогда.

Может быть, попытаться каким-то образом исправить эту коллизию? Допустим, что положение 1 не является равновесной точкой. Тогда равновесной точкой будем считать положение 3. В этом случае , а . И становится непонятно, для чего же, начиная с момента времени 1 нужно ”вливать” в газ теплоту Q1. Потому что давления газа () и так вполне достаточно для того, чтобы произвести работу по перемещению поршня на некую высоту Дh (из положения 1 в положение 3), равную:

.

Довольно странно в этом случае выглядит и начало цикла (из точки 3) - то есть работа двигателя должна начинаться с охлаждения рабочей смеси.

Но еще более удивительным в этом случае выглядит сам процесс 3-4: давление газа повышается, равнодействующая направлена вверх, а господин Клапейрон, а следом за ним и миллионы преподавателей физики утверждают, что происходит изотермическое сжатие газа и поршень тепловой машины движется вниз, сжимая этот несчастный газ, навстречу равнодействующей силе и вопреки всякой логике.

И уж совсем непонятны с точки зрения механики Ньютона этапы 2-3 и 4-1. (Напомню, что по определению на поршень идеального теплового двигателя не действуют никакие дополнительные внешние силы, кроме силы тяжести, уравновешивающей давление газа). Какая сила на этих этапах вызывает перемещение поршня, совсем непонятно.

3. Как должен выглядеть цикл Карно.

А вот что на самом деле должно происходить с идеальным тепловым двигателем системы Карно (см. рис. 3).

Рис. 3. Цикл идеального теплового двигателя системы Карно.

Для расчетной схемы идеальной тепловой машины принимаем следующие условия:

- абсолютная теплонепроницаемость стенок цилиндра, передача теплоты от “тепловых резервуаров” рабочему телу и обратно происходит непосредственно внутри цилиндра;

- отсутствует внешняя газовая среда (атмосферное давление);

- отсутствует сила трения между стенками цилиндра и поршнем;

- в качестве рабочего тела используется газ;

- на поршень, помимо силы давления газа , где p - давление газа, а S - площадь поршня, действует только сила тяжести , где m - масса поршня, а g - ускорение свободного падения. В начальный момент (рис.3.0) эти силы уравновешены: .

Примерные графики изменения давления, объема рабочего тела и его температуры приведены на рис.4. - исходя из условия, что передача теплоты приводит к равномерному повышению или понижению температуры рабочего тела.

Рис. 4. Графики изменения давления, объема и температуры газа в идеальном тепловом двигателе Карно. 0 - равновесное состояние двигателя; 1 - начало процесса “закачки” тепла из “теплового резервуара”. Хотя, надо признать, от терминологии времен Сади Карно пора отказываться, так как это создает неправильные ассоциации. Пусть будет лучше: 1 - начало нагревания рабочего тела; 1` - завершение нагревания рабочего тела; 2 - равновесное состояние в верхней точке (может продолжаться бесконечно долго); 3 - начало охлаждения рабочего тела; 3` - завершение охлаждения рабочего тела; 4 - завершение цикла

При передаче рабочему телу (газу) некоего количества теплоты dQ в течение некоторого времени dt его температура увеличивается на величину dT. Что приводит к пропорциональному увеличению давления газа на стенки цилиндра и поршень - на величину dp.

.

Увеличение давления газа на поршень приводит к нарушению равновесного состояния поршня - сила P становится больше силы тяжести поршня G на величину dp·S:

.

Вследствие этого происходит очень близкое к изобарному расширение газа. За этот отрезок цикла, в течение которого рабочему телу (газа) передается некое количество теплоты Q1, и выполняется половина полезной работы A за весь цикл, равная:

.

При прекращении нагрева рабочего тела двигатель еще некоторое время продолжает выполнять механическую работу по подъему поршня - до момента выравнивания сил P и G - то есть до положения 2. Это тоже равновесное положение, в котором идеальный тепловой двигатель может оставаться сколь угодно долго. В момент выравнивания сил прекращается выполнение работы. Положение 2 отлично от нулевого положения только двумя параметрами - температурой рабочего тела (газа) и, соответственно, объемом, который этот газ занимает. Любопытно, что давление газа в обоих положениях (“0” и “2”) для рассматриваемой модели одинаково ().

Следующий этап цикла - охлаждение рабочего тела. При этом сила P становится меньше силы тяжести поршня G на величину dp·S:

.

Происходит изобарное сжатие рабочего тела. За этот отрезок цикла из рабочего тела “откачивается” количество теплоты Q2, и выполняется вторая половина полезной работы A, тоже равная:

.

То есть сначала, в первой половине цикла, часть полезной механической работы выполняет создаваемое машиной избыточное давление газа, а затем, во второй, идеальная тепловая машина позволяет уравнивающей силе - в нашем случае силе тяжести - выполнить вторую половину полезной работы. Работа A, выполняемая тепловым двигателем за один цикл равна произведению заштрихованных площадей на площадь поршня S, а между любыми двумя промежутками времени t1 и t2:

.

Максимальная мощность, которую способен развить этот тепловой двигатель - произведению модуля максимальной разности рабочего давления с начальным на любом из участков (например, p1max - p0) на ту же площадь поршня S.

Что особенно интересно.

Первое. Если применить формулы Клапейрона - см. формулы (1) и (2) - для подсчета кпд идеального теплового двигателя, то получим, работа, выполненная идеальным тепловым двигателем и его кпд рано нулю. Ведь Q1 = Q2. А как может быть иначе? Ведь тепло само никуда из идеального теплового двигателя не уходит - и для того, чтобы перевести тепловой двигатель из состояния 2 в состояние 4 надо ”откачать” ровно такое же количество теплоты, которое было “закачено” при переходе из состояния 0 в состояние 2. Следовательно:

и .

Как же так? Ведь за цикл была выполнена работа . Налицо еще одно явное противоречие. Вспомним Сади Карно: “Возникновение движущей силы обязано в паровых машинах не действительной трате теплорода, а его переходу от горячего тела к холодному”.

Рассмотрим аналогию с потенциальной энергией поднятого над Землей тела, когда работа, произведенная над телом равна изменению его потенциальной энергии. В случае с тепловыми машинами можно утверждать, что работа, выполняемая идеальной тепловой машиной Карно при переходе из одного равновесного состояния в другое, равна изменению величины потенциальной тепловой энергии газа, используемого в качестве рабочего тела:

,

где

ET1 и ET2 - величины потенциальной тепловой энергии газа при температуре T1 и T2 соответственно. Причем эти величины зависят от конкретных физических свойств используемого в качестве рабочего тела газа, как будет показано далее.

Второе. Производительность (кпд) идеальной тепловой машины зависит от свойств рабочего тела (газа). Продемонстрируем это.

Допустим, в качестве рабочего тела одной и той же тепловой машины мы будем по очереди различные газы, конкретно - азот N2, кислород O2, водород H2, неон Ne, аргон Ar, хлор Cl2, фтор F2, водяной пар H20, углекислый газ CO2. Повлияет ли это на технические характеристики тепловой машины? Современная теоретическая термодинамика утверждает, что нет, не повлияет. А на самом деле? Да, да и еще раз да. Полагаю, вполне можно найти подтверждение этому в практике конструирования и эксплуатации двигателей внутреннего сгорания.

Рассмотрим еще раз все ту же модель идеальной тепловой машины (рис. 3). Предположим, что в качестве рабочего тела используется 1 моль газа. Начальная температура Т0 = 400K, температура в конце фазы нагрева T2 = 600K. Давление газа - 1 ат (?0,1 МПа). Внешнее давление отсутствует. На поршень, помимо давления газа, действует только сила тяжести. Соответственно, габаритные размеры (S) и масса поршня (m) подобраны таким образом, чтобы обеспечить равенство .

Таблица 1. Удельная изобарная теплоемкость некоторых газов cx при давлении 0,1 МПа и оценка использования этих газов в качестве рабочего тела идеальной тепловой машины

Примечания к таблице:

1. Таблица составлена по данным справочника «Физические величины» [3].

2. Количество теплоты, необходимой для нагревания 1 моля газа с 400K до 600K, конечно, следовало бы определять по формуле , но ввиду отсутствия необходимой для этого информации, использовалась формула .

В соответствии с законом Авогадро все вышеперечисленные газы при температуре 400K занимают одинаковый объем VT0. При нагревании до температуры 600K все газы выполняют одинаковую по величине работу по перемещению поршня, равную mgДh - это следует из закона Гей-Люссака. Но! Из таблицы 1 видно, что количество тепла, которое требуется для выполнения этой работы идеальным тепловым двигателям с различными рабочими телами (различными газами), тоже различно! Причем существенно различно!!!

Из последнего столбца таблицы видно, что наиболее экономичными являются аргон и неон (кстати, как и все остальные инертные газы), азот, кислород и водород занимают места в твердых середнячках, весьма неэффективны водяной пар и углекислый газ, а рекордсмен по растранжириванию тепла - хлор. Из таблицы видно, что для выполнения одинакового объема работы (mgДh), идеальному «хлорному» тепловому двигателю надо передать в три раза больше тепла (12742 Дж), чем идеальному «аргонному» (4162 Дж).

Почему я сравниваю только газы. Можно попытаться использовать для сравнения в качестве рабочего тела и какое-нибудь другое вещество, которое будет оставаться жидкостью в этом интервале температур между 400K и 600K. Допустим, калий, с температурой плавления 337K и температурой кипения 1034K [3] - разумеется, при нормальном давлении. Сможет ли калий как рабочее тело в этих условиях произвести хоть какую-нибудь работу? За счет теплового расширения жидкости? Очень сомневаюсь. За счет давления насыщенного калийного пара? Тоже нет. При изменении температуры с 400K до 600K давление насыщенного калийного пара возрастет примерно с 0,01 Па до 100 Па [3]. А по условию вес поршня подбирался таким образом, чтобы его уравновешивало давление в 100000 Па, следовательно, поршень вообще не сдвинется с места. То есть все тепло, затраченное на нагрев жидкого калия с 400K до 600K, будет израсходовано впустую - никакой полезной механической работы выполнено не будет.

Это говорит о том, что кпд полезного действия любой тепловой машины весьма зависим от природы рабочего тела и его конкретных физических свойств.

В данной работе:

1. Доказана теоретическая несостоятельность теорем Карно. Таким образом, сделано определенное открытие, требующее пересмотра ряда теоретических основ современной термодинамики.

2. Получено теоретическое обоснование влияния агрегатного состояния и физических свойств рабочего тела на кпд теплового двигателя.

3. Сделан важный теоретический вывод о том, что величина механической работы, выполняемой тепловым двигателем равна не разнице переданного и отнятого у рабочего тела теплоты, а разнице потенциальных энергий рабочего тела при различных температурах.

4. Несмотря на свою дешевизну и доступность вода и водяной пар являются далеко не лучшим рабочим телом для тепловых машин.

5. При создании новых образцов техники (в том числе тепловых и атомных электростанций, бензиновых и дизельных двигателей) ни в коем случае не стоит ”гнаться за циклом Карно”. Ни одна реальная тепловая машина пока никогда и нигде не работала и не сможет работать по циклу Карно в соответствии с теоремами Карно. Теоремы Карно, - это миф, и очень жаль, что этот миф оказал столь длительное влияние на развитие техники и технологий. теорема карно тепловой энергетический

6. И напоследок - самое парадоксальное заявление. Ни паровозы, ни двигатели внутреннего сгорания, ни турбины никогда не являлись настоящими тепловыми машинами. Принцип работы всех вышеперечисленных устройств основывался на эксплуатации одного удивительного по своей сути, но обыденного по человеческому восприятию свойства газа - способности существенно повышать давление при увеличении температуры, и заключается в использовании разности давлений между сторонами поршней в рабочем цилиндре или камерой сгорания (парогенератором) и выходным отверстиями у турбины. Причем давление на выходе обычно всегда одно и то же - атмосферное.

Теплота, передаваемая рабочему телу, служит исключительно одной цели - повышению давления газа. С равным успехом для привода всех этих машин - паровозов, автомобилей и турбин можно было бы использовать обычный сжатый воздух из баллонов (если когда-нибудь будут созданы безопасные баллоны, способные выдержать давление в тысячи атмосфер).

Полагаю, данная работа позволит отойти от существующих догм в теории и практике проектирования самых разных энергетических установок, а также даст столь нужный современной термодинамике толчок к ее дальнейшему теоретическому развитию.

Список использованной литературы

1. Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика. Москва: Издательство МГТУ им Н.Э.Баумана, 2004.

2. Карно Николя Леонар Сади. Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу.

3. Физические величины. Справочник. Под редакцией Григорьева И.С, Мейлихова Е.З. Москва: Энергоатомиздат, 1991.

Размещено на Allbest.ru