Физический смысл дробной производной

Размещено на http://www.allbest.ru/

В.И. Костицын

Физический смысл дробной производной

Аннотация

Известно, что большинство физических процессов описываются динамическими системами, в которых учитываются производные дробных порядков.

Широкое применение дробных интегралов и производных сдерживается отсутствием их четкого физического истолкования, такого, например, как у обыкновенного интеграла и обыкновенной производной.

В классической геометрии нет промежуточных объектов между точкой () и отрезком прямой (), между отрезком прямой и квадратом () и так далее.

Целые показатели размерности бывают только у неподвижных пространств. Это предельный идеальный случай, который мы можем представить себе только теоретически, ведь реальное пространство - время без движения не существует.

Зачастую дробные показатели размерности считают противоестественными. Такой взгляд стал возможным лишь из-за того, что показатели размерности в большинстве физических процессов мало отличаются от целых чисел ввиду малых скоростей движения реальных физических объектов.

Дробные степени в показателях размерностей возникают также при описании фрактальных (разномасштабных, подобных целому) сред. В фрактальной среде, в отличие от сплошной среды, случайно блуждающая частица удаляется от места старта медленнее, так как не все направления движения становятся для нее доступными. Замедление диффузии в фрактальных средах настолько существенно, что физические величины начинают изменяться медленнее первой производной и учесть этот эффект можно только в интегрально - дифференциальном уравнении, содержащем производную по времени дробного порядка.

В статье делается попытка дать наглядное геометрическое и простое физическое истолкование дробным производным.

1. Геометризация физики

Будем исходить из того, что пространство и время - это диалектические противоположности. Диалектическое единство пространства и времени образует материю. Чем больше в материи пространства, тем меньше в ней времени, и наоборот. Одномерная материя образована одномерным пространством и одномерным временем; двумерная материя образована двумерным пространством и двумерным временем и т. д. Эта важнейшая симметрия оставалась до сих пор незамеченной, главным образом из-за того, что многомерность времени никак не проявляется, если рассматриваются процессы, происходящие в пространстве одного какого-либо измерения. Многомерность времени проявляется при сравнении процессов, происходящих в пространствах различной размерности.

Многомерность времени вытекает из закона сохранения материи, основанном на всем предшествующем опыте физики и утверждающем, что количество материи не изменяется при любых пространственно-временных преобразованиях. Никому еще не удалось дать определение понятиям «пространство» и «время», а вот дать определение понятию «материя» мы уже можем: материя - это физическая величина, равная произведению количества содержащегося в ней пространства на количество содержащегося в ней же времени:

(1.1)

Примем за геометрическую модель не искривленного одномерного пространства прямую линию. В этом случае примером одномерного искривленного пространства переменной кривизны может служить, например, гипербола. Важно, что такое пространство не может существовать вне бесконечного не искривленного пространства - плоскости.

Поверхность шара - это уже модель двумерного равномерно искривленного замкнутого пространства, и такое пространство может существовать только в абсолютном ньютоновом трехмерном не искривленном пространстве.

Выделим из трехмерного пространства x, y, z (рис.1) элементарное количество (квант) пространства (рис.1,а), которому соответствует элементарное количество времени . Количество трехмерной материи в трехмерном кванте материи:

Прибегнем к мысленному эксперименту. Начнем двигать вдоль оси x. При некоторой <с (рис.1,в) размер сократится, согласно специальной теории относительности в число раз. Размер , напротив, увеличится в такое же число раз: . Количество трехмерной материи из-за сокращения коэффициентов в уравнении материи (1.1) не изменится и останется равным его количеству в неподвижном кванте материи:

физическая величина дробная производная

При (рис.1,с) элементарное трехмерное пространство превратится в двумерное. С позиций нестандартного анализа, полученное нами двумерное пространство имеет бесконечно малую, но постоянную толщину. При достижении в кванте трехмерного пространства совершается фазовый пространственно-временной переход, сущность которого состоит в том, что в полученном двумерном пространстве как бы срабатывает «запорное устройство» и последующее уменьшение скорости движения не возвращает трехмерный квант в первоначальное состояние. Двумерная пленка остается двумерной пленкой. Явление имеет много общего с рассмотренным нами в § 1 явлением гравитационной неустойчивости среды.

Пространственно-временные преобразования имеют наглядную аналогию в классической физике. Представим себе водяной пар с температурой выше 100 градусов. Молекулы пара могут как угодно перемещаться в пространстве и обладают максимально возможной степенью свободы. Начнем охлаждать пар. При температуре 100 градусов пар превратится в воду. Молекулы пара потеряют одну степень свободы, они не могут удаляться на любое расстояние друг от друга. Физики скажут, что в паре совершился фазовый переход первого рода.

Продолжим охлаждение. При температуре ноль градусов вода превратится в лед. Молекулы воды займут строго определенное положение в кристаллической решетке и лишатся еще одной степени свободы. Физики опять скажут, что совершился фазовый переход первого рода, но на этот раз - в воде. Точно так же и с пространством совершаются пространственно-временные преобразования, только происходят они не при изменении температуры, а при достижении пространством скорости света, и «замораживаются» не степени свободы, а число измерений пространства.

Ничтожная, с точки зрения неподвижного наблюдателя, толщина пленки двумерного пространства обеспечивает соблюдение закона сохранения материи и одинаковое протекание процессов в пространствах различного числа измерений.

Несмотря на то, что коэффициенты в уравнениях материи сокращаются, мы не имеем права продолжать мысленный эксперимент. Во-первых, мы исчерпали все возможности одномерного времени, а во-вторых, мы достигли предельной скорости.

Преобразования для системы , движущейся по оси системы в трехмерном пространстве со скоростью V, принимают вид:

; ; ; (1.2)

Интересно, что формулы (3.2) были получены самим Лоренцем уже через 7 лет после создания Эйнштейном специальной теории относительности, однако, объяснить физический смысл коэффициента W он не смог. В настоящее время формулы (1.2) используются в так называемой расширенной специальной теории относительности.

При W = 1 формулы (1.2) дают преобразования Лоренца и специальную теорию относительности. При W = 0 формулы (1.2) дают преобразования Галилея и механику Ньютона.

Из (1.1) следует, что

, (1.3)

Что позволяет нам завершить полную геометриацию физики:

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7),

В формулах (1.4) … (1.7) и - физические величины, имеющие размерность и в абсолютной системе измерения физических величин.

2. Абсолютная система измерения физических величин

В основу построения абсолютной системы измерения физических величин положена формула (2.1), вытекающая из (1.1):

(2.1)

Где и - единицы измерения времени и расстояния в системе СИ.

В абсолютной системе измерения физических величин можно все величины выразить либо в метрах, либо в секундах. Например, чтобы выразить все величины в метрах, надо в формулу равномерного движения

(2.2)

подставить размерности , . В результате получаем размерность скорости в абсолютной системе измерения физических величин:

Подбирая физические формулы таким образом, чтобы в них входила лишь одна физическая величина неизвестной размерности, можно вычислить размерности всех физических величин в абсолютной системе единиц измерения.

Так, например, размерность имеют: длина, частота, угловая скорость, градиент скорости, объемный расход, электрический заряд, поток электрического смещения, напряженность магнитного поля, абсолютная магнитная проницаемость, температура, и т.д.

Размерность имеют: площадь, угловое ускорение, скорость, масса, удельный вес, динамическая вязкость, индуктивность, магнитная проводимость, и т.д.

Размерность имеют: объем, ускорение, объемная плотность энергии, давление, кинематическая вязкость, напряженность гравитационного поля, Коэффициент диффузии, электрическое сопротивление, удельная теплоемкость, газовая постоянная, и т.д.

Размерность имеют: импульс, поверхностное натяжение, плотность потока энергии, момент инерции, потенциал гравитационного поля, напряженность электрического поля, удельное электрическое сопротивление, магнитный поток, магнитный момент контура с током, удельное количество теплоты, и т.д.

Размерность имеют: сила, постоянная планка, момент импульса, действие, электрическое напряжение, теплопроводность, и т.д.

Размерность имеют: энергия, работа, момент силы, количество теплоты, и т.д.

Размерность имеет мощность.

Размерность имеет плоский и телесный угол.

Анализ абсолютной системы измерения физических величин показывает, что механическая сила, постоянная Планка, электрическое напряжение и энтропия имеют одинаковую размерность: . Это означает, что законы механики, квантовой механики, электродинамики и термодинамики - инвариантны. Например, второй закон Ньютона и закон Ома для участка электрической цепи имеют одинаковую формальную запись:

~ (2.3)

~ (2.4)

При больших скоростях движения во второй закон Ньютона (2.4) вводится переменный безразмерный множитель специальной теории относительности:

Если такой же множитель ввести в закон Ома (2.4) , то получим:

(2.5)

Согласно (2.5) закон Ома допускает появление сверхпроводимости, так как при низких температурах может принимать значение, близкое к нулю. Абсолютная система измерения играет в физике такую же роль, какую в химии играет периодическая система элементов Менделеева. Если бы в физике с самого начала применялась абсолютная система измерения физических величин, то явление сверхпроводимости наверняка было бы предсказано вначале теоретически, а уже потом обнаружено экспериментально, а не наоборот.

Инвариантность физических законов объясняется тем, что размерности физических величин образуют математическую группу. Можно показать, что размерности образуют операционные множества, в которых действуют процедуры умножения, а также выполняются условия замкнутости, имеются тождественный и обратный элементы, и они обладают свойством ассоциативности, то есть выполняются четыре обязательные для групп аксиомы. Теория групп призвана найти все логические следствия из этих аксиом. Теория групп - это наведение порядка в математическом языке.

Уравнения различных разделов физики могут принадлежать одной и той же группе, поэтому становится возможным вместо этих уравнений рассмотреть соответствующую им группу и распространить полученные законы на решение какой-либо частной задачи любого из разделов физики. Это экономит средства и открывает новые возможности физики.

Физические элементы в группе обладают важным свойством, состоящим в том, что производная по времени от физической величины меньшей размерности является физической величиной большей размерности, а интеграл по времени от физической величины большей размерности есть физическая величина меньшей размерности. Например, в механике интеграл от мощности - это энергия, от энергии - сила, от силы - импульс, от импульса - ускорение, от ускорения - скорость, а от скорости - расстояние. В электродинамике производная от величины заряда - это электрический ток, от тока - электрическое сопротивление, от сопротивления - магнитный момент, от магнитного момента - электрическая сила, от силы - электрическая энергия, а от энергии - электрическая мощность.

3. Физический смысл дробной производной

Однако (1.2) - это формулы линейной динамики. В теории многомерных пространств мы будем применять нелинейную динамику, в которой релятивистский корень заменяется коэффициентом теории многомерных пространств

(3.1)

Где - гамма-функция , а линейная динамика (1.2) заменяется нелинейной динамикой с дробными производными:

(3.2)

Гамма-функция распространяет свое действие на дробные, отрицательные и даже комплексные значения аргумента (рис.3).

Рассмотрим гамма-функцию для вещественного аргумента при (рис.3).

Сначала строим функцию

(3.3)

В отличие от , график функции несколько вытянут по оси ординат, а минимум его совмещен с прямой =1.

Затем по формуле красного смещения строим шкалу относительных скоростей

(3.4)

Здесь мы просто придаем переменной конкретный физический смысл:

(3.5)

называемый параметром красного смещения, и равный относительному увеличению длины волны принимаемого электромагнитного сигнала.

Теперь строим функцию

(3.3)

В отличие от , график функции несколько вытянут по оси ординат, а минимум его совмещен с прямой =1.

Строим на том же графике кривую

(3.4)

Сразу же заметим, что релятивистская формула с квадратным корнем - это формула линейной динамики. Кроме того, что она весьма приближенно описывает процесс сокращения линейных размеров микрочастиц, она содержит в знаменателе скорость света, что вызвало необоснованное запрещение сверхсветовых скоростей. Гамма функция выгодно отличается от релятивистского корня еще и тем, что она определена на всей числовой оси и даже на всей комплексной плоскости.

При или, что то же самое, при ошибки от применения релятивистского корня не превышают 11%, но при релятивистская формула занижает фактическое сокращение размеров уже в 10 раз.

Заметим, что формула дробной производной (3.2) есть всего лишь одна из формул полностью геометризированной физики (1.4) … (1.7), а именно - это формула (1.6), если под понимать не только целые, но и дробные числа.

Скорость в точке А (рис.3) может быть равна нулю или скорости света или вообще . Если , то при движении вправо, будет производиться дифференцирование по расстоянию или интегрирование по времени. Размерность дифференцируемой функции будет плавно увеличиваться, а размерность интегрируемой функции - плавно уменьшаться и в точке и размерности станут равны у интегрируемой и у дифференцируемой функции.

(3.5)

(3.6)

Если в точке А скорость , то при движении влево производится интегрирование по расстоянию или дифференцирование по времени. Скорость будет плавно увеличиваться до скорости света , а размерность интегрируемой функции в точке будет увеличиваться до и уменьшаться до у дифференцируемой функции.

. (3.7)

(3.8)

Заключение

Геометрическая сущность дробной производной состоит в том, что дробная производная показывает, во сколько раз количественно уменьшается движущаяся физическая величина по сравнению с неподвижной. Например, при отрезок, движущийся со скоростью уменьшается в размерах в 2 раза. Что математически записывается как

Физический смысл дробной производной состоит в том, что дробная производная показывает, во сколько раз движущаяся физическая величина качественно отличается от неподвижной. Отрезок из предыдущего примера уже не отрезок, но еще не точка. Отрезком он был при , а точкой он станет при , то есть при .

Размещено на Allbest.ru