Лоренц-ковариантное дальнодействие

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лоренц-ковариантное дальнодействие

Мария Корнева, Виктор Кулигин, Галина Кулигина

В статье показано, что физики допускают математическую ошибку, считая, что любые решения уравнения Даламбера являются функциями запаздывающих потенциалов. Приводится доказательство того, что существуют вырожденные решения этого уравнения (мгновенное дальнодействие). Требование от уравнений релятивистской ковариантности не спасает от появления вырожденных решений. Таким образом, релятивистская физика на словах постулирует предельную скорость распространения взаимодействий, а на деле описывает взаимодействие зарядов через мгновенное действие на расстоянии.

Введение

Целью работы является сравнение постановки математической и физической задач для нахождения решения неоднородного волнового уравнения (уравнения Даламбера). Сразу же сделаем принципиально важное замечание. Никаких переходов из одной инерциальной системы отсчета в другую мы делать не будем. Следовательно, начальные условия и любое решение уравнения Даламбера мы будем рассматривать в общем для всех решений пространстве и едином для всех решений времени. Иными словами, потенциал в заданной точке (решение задачи) однозначно определяется начальными условиями, координатами этой точки и моментом времени фиксации потенциала.

Математическая постановка задачи

Рассмотрим для простоты неоднородное волновое уравнение (одномерный случай) [1]

(1)

где: u - искомый потенциал; f /c² - обильность источника потенциала u.

Пусть заданы соответствующие граничные условия и начальные условия

(2)

В [1] доказано, что решение этой задачи существует и оно единственно

(3)

Физическая постановка задачи (1 вариант)

В физике интересуются (как правило) полями, которые создают источники потенциала. В выражении (3) эти потенциалы описываются третьим членом. Потенциалы, обусловленные начальными условиями ( и ), не имеют своих источников. По этой причине часто их полагают равными нулю. В этом смысле первый вариант сводится к математической постановке задачи с нулевыми начальными условиями. Здесь единственность решения сохраняется.

Физическая постановка задачи (2 вариант)

Однако весьма часто в физике встречаются случаи особого рода. Проиллюстрируем это на примере уравнений электродинамики в калибровке Лоренца.

(4)

где:

(5)

A_i - 4-потенциал заряда; j_i - 4-вектор плотности тока; - плотность пространственного заряда, измеренная в системе отсчета, связанной с зарядом; u_i - 4-вектор скорости заряда.

Потенциал A_i, входящий в уравнение (4), должен удовлетворять условию калибровки Лоренца

(6)

где A_i = u_i/c; - скалярный потенциал неподвижного заряда; u_i - 4-вектор скорости заряда.

Вот здесь и возникают особенности, которые не учитывает современная электродинамика. Причина в том, что теперь мы уже не можем произвольно задавать начальные условия, как в случае первого варианта постановки физической задачи. Начальные условия могут оказаться несовместными с условием (6). Этот наиболее интересный случай будет рассмотрен ниже.

Второй вариант физической постановки задачи

Рассмотрим второй вариант постановки физической задачи на простом конкретном примере. Будем искать скалярный потенциал равномерно движущегося точечного заряда, который равномерно движется вдоль оси х.

Скалярный потенциал движущегося заряда удовлетворяет уравнению

(1.1)

В свою очередь, векторный потенциал равномерно движущегося заряда связан со скалярным потенциалом соотношением (5), которое можно записать в форме . Помимо этого, существует условие калибровки Лоренца (6) .

Если подставить выражение для векторного потенциала в условие калибровки Лоренца, то эти дополнительные условия совместно дадут уравнение непрерывности для скалярного потенциала

(1.2).

Из выражения (1.2) следует, что производная потенциала во времени (рассматриваемая как начальное условие при t = 0) не может быть задана произвольным образом. Например, она не может быть равной нулю, как при первом варианте постановки физической задачи. Более того, мы можем, используя (1.2), вычислить и вторую производную потенциала по времени.

При равномерном движении заряда вдоль оси х можно найти следующие выражения:

(1.3)

Учитывая (1.3), легко привести волновое уравнение (1.1) к уравнению эллиптического типа

(1.4)

Обратите внимание на следующий факт. Теперь нам нет необходимости задавать начальные условия, поскольку производная по времени от потенциала в уравнении (1.4) отсутствует!

Далее делаем замену и обращаем выражение (1.4) в уравнение Пуассона.

(1.5)

Решением этого уравнения будет потенциал Лоренца, который является дальнодействующим (уравнение Пуассона!)

(1.6)

Потенциал (1.6) удовлетворяет уравнениям (1.1) и (1.4) одновременно. Как уже говорилось, потенциал, определяемый выражением (1.6), не является запаздывающим, поскольку он является решением уравнения (1.4). Он является дальнодействующим потенциалом (мгновенное дальнодействие).

С другой стороны, он является также решением волнового уравнения (1.1). Противоречия в этом нет. Дальнодействующие решения в некоторых случаях могут удовлетворять волновому уравнению. Такие решения мы называем вырожденными решениями волнового уравнения.

Вырожденное решение

Рассмотрим вывод выражения (1.6), предложенный Лоренцем. Лоренц исходил из того, что потенциал покоящегося заряда описывается уравнением Пуассона

(2.1)

Потенциал, описываемый выражением (2.1) является дальнодействующим. Далее, чтобы получить выражение для потенциала движущегося заряда, он использует свое преобразование

(2.2)

В результате он получает выражение (1.6).

Отсюда можно сделать ряд выводов. Если исходный потенциал был дальнодействующим, он останется дальнодействующим после преобразования Лоренца. Соответственно, если потенциал до преобразования был запаздывающим, после применения преобразования Лоренца он не станет дальнодействующим, а сохранит запаздывание.

Вывод 1. Преобразование Лоренца это обычное алгебраическое преобразование 4-координат, и оно не меняет функционального характера преобразуемых потенциалов. Заметим также, что вырожденное решение (1.6), как и исходное уравнение (1.1), является Лоренц-ковариантным. Как следствие Лоренц-ковариантность волнового уравнения и его решений не может служить индикатором или признаком их запаздывающего характера.

Выражение (1.6) является решением волнового уравнения (удовлетворяет неоднородному волновому уравнению (1.1)). Иными словами, это выражение является прямым решением волнового уравнения при задании соответствующих начальных условий в рамках математической постановки задачи.

Используя (1.6), мы можем найти начальные условия для математической постановки задачи Коши для уравнения (1.1)

(2.3)

где _L определяется выражением (1.6).

Мы можем теперь не рассматривать дополнительные условия, связанные с калибровкой Лоренца. Они уже вошли в начальные условия задачи Коши. В силу существования и единственности решения задачи Коши для волнового уравнения выражение (1.6) является решением волнового уравнения с начальными условиями (2.3) в рамках данной математической постановки задачи.

Итак, если мы имеем математическую постановку задачи: а) уравнение для потенциала (1.1) и б) граничные условия и начальные условия (2.3), то в силу теоремы о единственности решения задачи Коши решением уравнения (1.1) будет служить дальнодействующий потенциал (1.6). Если бы мы задали другие начальные условия (например, нулевые), то получили бы решение в форме запаздывающих потенциалов (например, потенциалы Лиенара-Виехерта). Подробно этот вопрос рассматривается в работе [2].

Вывод 2. При математической постановке задачи существует класс таких начальных условий, при которых решение волнового уравнения является дальнодействующим (вырожденное решение). Например, дальнодействующий потенциал неподвижного заряда (решение уравнения Пуассона) является одновременно решением волнового уравнения (вырожденное решение) при соответствующих начальных условиях [2].

Вывод 3. Решения при физической постановке задачи (вариант 1 и вариант 2) могут отличаться друг от друга, т.е. единственность решения физической задачи, в общем случае, не имеет места и зависит от постановки задачи. Главное и принципиальное различие получаемых решений в их особой функциональной зависимости от координат и времени (запаздывание, мгновенное дальнодействие).

Вывод 4. Можно добавить следующее. Попытки «доказать», что выражение (1.6) и потенциалы Лиенара-Виехерта эквивалентны, некорректны. Во введении мы уже отметили, что все решения рассматриваются в общем пространстве и едином времени. Таким образом, утверждения, что любые решения неоднородного волнового уравнения должны выражаться только через запаздывающие и опережающие потенциалы, а дальнодействие в решениях «никогда не имеет места» - заблуждение. Это заблуждение «подпитывается» другим предрассудком - «корпускулярно-волновым дуализмом».

С точки зрения математической постановки задачи подобные «доказательства» являются профанацией. Чтобы доказать эквивалентность, необходимо установить тождество (эквивалентность) начальных условий задачи Коши и функциональное соответствие решений. А это невозможно.

Процитируем работу [3]:

«Эти поля (формула (1.6) - Авт.) тождественно совпадают с полем статического заряда, подвергнутым преобразованиям Лоренца без каких-либо ограничений на скорость».

В следующем параграфе авторы пишут:

«Эти выражения (формула (1.6) - Авт.) полностью эквивалентны потенциалам Лиенара-Виехерта. Однако при таком выводе вопросы, касающиеся скорости распространения волны в момент излучения и момент приема, отпали».

Во-первых, как потенциалы Лиенара-Виехерта, так и формула (1.6) рассматриваются в общем пространстве и едином времени. Каждая из формул дает свое значение потенциала для фиксированного момента времени в любой рассматриваемой точке пространства. Иными словами, в каждом решении существует однозначное соответствие между координатами пространства и моментом времени, с одной стороны, и потенциалом, с другой. По этой причине «отпадать» здесь нечему.

Во вторых, «эквивалентность» существует в форме «желаемого», а не действительного результата. Начальные условия математической постановки задачи в сопоставляемых случаях различны, а потому и решения (потенциалы) не могут быть «эквивалентными» в силу теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши. Более того, эти решения функционально различны.

Ускоренный заряд

Мы не сомневаемся, что релятивисты могут предложить следующее объяснение: «Дескать, при равномерном движении заряда его поле является квазистатическим. Запаздывание отсутствует. Поэтому выражение (1.6) правильное». Но тогда зачем морочить голову запаздывающими потенциалами Лиенара-Виехерта?

Рассмотрим произвольное движение заряда. Как известно, выражения (5) и (6) остаются справедливыми для этого случая. Проведем преобразование волнового уравнения для этого случая. Поскольку заряд точечный divv = 0.

Таким образом, вновь волновое уравнение свелось к уравнению эллиптического типа.

Хотя уравнение записано для малых скоростей, суть дела от этого не меняется. Мы не будем искать решение этого уравнения. Интересующиеся могут это проделать сами. Отметим только, что решение этого уравнения не является запаздывающим, хотя автоматически удовлетворяет волновому уравнению. Оно имеет, как и в предыдущем случае, характер мгновенного дальнодействия. Никаких «запаздывающих потенциалов» в решении появиться не может. Строгий математический анализ основ релятивистской электродинамики [4] показал, что ускоренный заряд вопреки сложившемуся мнению не излучает электромагнитных волн!

Дальнодействие и эфир