Модели динамики гетероструктур снеголедовых масс

Размещено на http://www.allbest.ru/

Модели динамики гетероструктур снеголедовых масс

Введение

Динамика гетерогенных структур с фазовыми переходами на границах играет важную роль в природных и искусственных системах [1].

Например, каждую зиму в г.Москве от сорвавшихся с крыш снеголедовых масс и сосулек страдает более 50 человек и до 300 автомобилей. Самолеты, вертолеты, морские суда, портовые сооружения, нефтегазовые, космические объекты и др. подвержены обледенению. Эти процессы чреваты серьезными финансовыми потерями, гибелью людей.

Математическое моделирование динамики гетерогенных структур снеголедовых масс является актуальной задачей.

1. Фундаментальная модель нестационарного теплообмена

Модель описывается в рамках двухмерного нестационарного уравнения теплопроводности, граничные условия задают конвективный теплообмен с окружающей средой. Рассматривается бесконечная структура прямоугольного сечения, составленная из разнородных материалов. Материалы различаются теплофизическими свойствами: теплопроводностью, удельной теплоемкостью С, коэффициентом теплообмена с окружающей средой . На верхних и нижней гранях происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, температура которой . Две другие грани теплоизолированы.

В начальный момент времени структура нагрета до температуры . Задача состоит в нахождении поля температур .

В математическом отношении задача сводится к решению нестационарного уравнения теплопроводности в двухмерной области G c соответствующими краевыми и начальными условиями:

;

;

, , , .

Здесь тепловой поток; - коэффициент теплопроводности, - удельная теплоемкость; - температура в момент . Решение ищется в цилиндре , основанием которого является прямоугольник G с границей дG.

2. Конечно-разностная модель гетероструктуры

Задача решается методом конечных разностей, в G вводится пространственная сетка

и сетка по времени

.

Здесь - переменные шаги сетки по пространству в направлениях Х и Y и по времени, соответственно.

Задача решается на сетке , вводится сеточная функция температуры , определенная на . Разностная схема во внутренней области G записывается на крестообразном шаблоне с центром в узле

На сетке рассматривается ячейка с центром в узле и вершинами в полуцелых узлах, то есть образованными пересечением прямых, проходящих через середины отрезков, соединяющих узлы шаблона, параллельно направлениям X и Y. Размеры ячейки по этим направлениям:

Площадь ячейки , разностные производные определяются

Здесь введены безиндексные обозначения для размеров ячейки и производных Вводятся также безиндексные обозначения для потоков через грани ячейки:

В соответствии с интегро-интерполяционным методом построения разностных схем уравнение теплового баланса для ячейки имеет вид:

(2)

Здесь использовано обозначение , .

Узлам, лежащим на границе дG, будут соответствовать шаблоны и ячейки несколько иного вида. Если дополнить шаблон в этих точках фиктивными узлами, то уравнение баланса в них запишется так же, требуется только положить нулевым соответствующие фиктивные шаги. В общем случае размеры ячейки будут:

 (3)

где , .

Потоки через пограничные грани ячейки определяются в случае граничного узла из краевых условий исходной задачи:

Разностная схема на сетке :

, (4)

где

Таким образом, на каждом временном слое получена нелинейная система алгебраических уравнений (4), в которую решение подобной системы на предыдущем слое входит как неизвестная функция. На нулевом слое задано начальное распределение:

.

3. Модель организации внешнего и внутреннего итерационных процессов

Для организации внешнего интеграционного процесса вводится вектор-функция и операторы , определенные равенствами:

,

тогда система (4) запишется так:

. (5)

Для решения ее используется линейно-квадратический процесс. Система (5) переписывается в виде:

(здесь - значение функции на верхнем временном слое), применяется линейно-квадратичный итерационный процесс:

.

Верхним индексом помечается номер итерации. Здесь и линейные операторы

,

где например,

.

Внутренний итерационный процесс организуется следующим образом. На каждой итерации внешнего процесса линейная система разностных уравнений записывается без индексов внешней итерации, вводится диагональный оператор D так, что , и в операторном виде система имеет вид:

.

Для приближения решения этого оператора уравнения применяется двухслойная итерационная схема с чебышевским упорядоченным набором параметров

.

Здесь - упорядоченный чебышевский набор параметров. В пространственной сеточной функции в смысле некоторого скалярного произведения удовлетворяются условия самосопряженности, положительной определенности и ограниченности оператора

,

,

,

,

гарантирующие сходимость внутреннего итерационного процесса.

Границы спектра и оператора эффективно оцениваются по теории Гершгорина.

4. Импульс градиента температур

Конкретные исследования по описанию алгоритму проведены для следующих значений параметров линейной задачи:

где

Температурное поле и характер его изменения во времени имеют общий для всех вариантов расчета характерный вид. Температура металла практически постоянна по объему, и при переходе из стали в наледь поверхности теплообмена со средой круто падает, то есть в точках наледи, лежащих на его поверхности по границе с металлом, возникает значительный градиент температуры, направленный вдоль поверхности наледи. Кривая зависимости градиента температуры в угловой точке от времени имеют характерную форму, близкую к форме импульса. Близость кривой к импульсной форме определяется величинами и .

При уменьшении и импульс сглаживается. Такая зависимость от и сохраняется при всех исследованных отношениях , причем от острота и амплитуда импульса зависят существенно сильнее, чем от , отношение слабо влияют на форму зависимости и определяет преимущественно амплитуду импульса.

Градиент температуры в угловой точке достигает своего максимального значения примерно в одно и то же время (около одной секунды с начала остывания) при различных значениях из исследованных интервалов. Крутизна фронта пропорциональна его амплитуде и растет с увеличением как и , так и с увеличением отношения . В то же время крутизна спада слабо зависит от отношения и определяется главным образом значениями и .

Полученные результаты позволяют объяснить предпочтения в выборе материала кровли.

5. Модель процесса замерзания жидкого слоя

Математическое моделирование нестационарных тепловых полей состоит в решении нестационарного уравнения теплопроводности в двумерной области G с соответствующими граничными и начальными условиями:

(6)

Особенностью рассматриваемой задачи является необходимость учета фазового перехода из жидкого в твердое состояние.

Для сквозного счета таких задач без явного выделения фронта затвердевания нужно учесть, что при температуре фазового перехода энергия Е, как функция температуры, испытывает переход величины , который называется теплотой фазового перехода, поэтому для энергии справедливо:

,

где

Это выражение подставляется в уравнение энергии:

, и учитывая что

есть дельта-функция Дирака, получается уравнение:

, справедливое и в области фазового перехода. Выражение и входят в уравнение одинаковым образом, причем представляет собой сосредоточенную теплоемкость на поверхности .

Для перехода к разностной схеме заменяется дельта-функция приближенно - образной или размазанной функцией , где - величина полуинтервала, на котором функция отлична от нуля.

Таким образом, вводится сглаженная или эффективная теплоемкость , которая удовлетворяет условию вне интервала .

Изменение энтальпии на интервале сокращается, т.е.

.

На интервале можно, например, взять , что будет соответствовать интерполяции - функции с помощью прямоугольного импульса. На том же интервале производится сглаживание коэффициента теплопроводности . Вводится сглаженный, или, эффективный коэффициент , совпадающий с при и с при .

Например, если задавалось

То можно взять

В результате получается задача для уравнения теплопроводности со сглаженными коэффициентами:

,

.

Моделирование процессов затвердевания границ льда и основы позволяют выбрать композитные тонкие слои по границам гетероструктур [1].

Заключение

1. Рассмотрена фундаментальная модель процесса теплообмена в гетероструктуре в форме нестационарного уравнения теплопроводности.

2. Описана конечно-разностная модель гетероструктур с введением пространственной сетки и применением интегро-интерполяционного метода построения разностных схем.

3. Предложена эффективная модель организации внешнего и внутреннего итерационных процессов с применением двухслойной итерационной схемы с чебышевским упорядоченным набором параметров.

4. Модель процесса замерзания жидкого слоя наледи построена без явного выделения фронта затвердевания с учетом теплоты фазового перехода.

5. Проведены системные исследования тепловых процессов в гетероструктурах, установлены закономерности протекания нестационарных процессов.

Модели динамики гетероструктур снеголедовых масс с фазовыми переходами на границах позволили установить новые закономерности нестационарных процессов обледенения наиболее распространенных в технике гетероструктур. Использование установленных закономерностей в практике проектирования гетероструктур представляет новые возможности в получении более безопасных конструкций. Наиболее распространенные гетероструктуры крыш зданий и сооружений целесообразно устраивать с разными коэффициентами трения точечно по всей крыше и узкой (около 1 %), полосе гидрофобного композита по краям крыш для снижения размера сосулек до безопасного. В качестве тонкослойных композитов для разных материалов крыш разработаны и испытаны эффективные, весьма долговечные и недорогие составы, а также технологии их нанесения с учетом конкретных условий применения.

Библиографический список

теплообмен наледь замерзание

1. Динамика гетероструктур. Фундаментальные модели. Смогунов В.В., Климинов И.П., Вдовикина О.А. и др. Пенза, Изд-во ПензГУ, 2002. - 598 с.

Размещено на Allbest.ru