Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 519.6

ФГБОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина»

Разработка метода численного моделирования магнитного поля на основе классических положений электромагнетизма

А.И. Тихонов

А.С. Шмелев

Большинство современных систем инженерных расчетов (численного моделирования физических полей) основаны либо на методе конечных элементов, либо на методе конечных разностей [1, 2]. Данные методы сводят решение задачи к системе нелинейных алгебраических уравнений, что сопряжено с определенными проблемами при адаптации данных методов к технологии параллельных вычислений. Поэтому поиск новых решений в плане моделирования физических полей нельзя считать завершенным. Особенно интересные перспективы возникают в связи с развитием имитационных методов моделирования физических полей, основанных на методе Монте-Карло, которые распараллеливаются достаточно просто и естественно [3]. Однако возможности персональной вычислительной техники пока еще не позволяют в полной мере реализовать достоинства метода Монте-Карло, требующего значительных вычислительных ресурсов.

В то же время идея имитационного моделирования может быть реализована не только на основе метода Монте-Карло, но и на основе классических моделей. Так, в классической теории электромагнетизма для расчета магнитного поля от проводника с током часто используется закон Био-Савара-Лапласа, играющий в магнитостатике такую же роль, что и закон Кулона в электростатике [4].

Согласно данному закону, элемент проводника , по которому протекает ток I, создает в пространстве вокруг себя магнитное поле с индукцией

где - радиус-вектор точки наблюдения; 0 - магнитная постоянная; dV - элемент объема, занятого проводником с током; - плотность тока в элемента dV.

Разбивая проводники с током на элементарные объемы ?Vi с заданной плотностью тока , можно рассчитать по методу суперпозиции величину индукции в любой точке пространства, заданной радиус-вектором :

где N - количество элементарных объемов с заданной плотностью тока.

Проблема возникает при решении задач расчета магнитного поля в неоднородной среде, особенно если имеются ферромагнитные подобласти с нелинейными магнитными характеристиками. В классической электродинамике данная проблема решается с использованием вектора намагниченности [4]

вследствие чего закон полного тока при наличии ферромагнитных сред принимает вид

где - индукция магнитного поля, создаваемого в элементе dV внешними источниками; - напряженность магнитного поля, создаваемого внешними источниками, величина которой определяется по кривой намагничивания H = f(B) для данного ферромагнитного материала; направление векторов и совпадает с направлением вектора ; - вектор нормали к элементарному сечению проводника dS.

Для учета ферромагнитных сред можно имитировать магнитные домены, аналогично тому, как это было предложено в [3]. Для этого подобласть, заполненная ферромагнитной средой, разбивается на кубические ячейки, внутри которых помещается круглый контур с током, способный вращаться в трех степенях свободы вокруг центральной точки ячейки. Диаметр контура равен линейному размеру ячейки h. Контур поворачивается так, чтобы вектор нормали к его плоскости был всегда направлен вдоль вектора магнитной индукции, создаваемого внешним полем по отношению к данной ячейке. Направление наведенного тока в контуре определяется из условия, что данный ток усиливает внешнее поле. Величина наведенного тока рассчитывается по вектору намагниченности как

где dl - длина силовой линии внешнего поля в пределах ячейки.

Наведенные токи в контурах в ферромагнитных ячейках становятся дополнительными источниками магнитного поля. Составляющие индукции магнитного поля от контура с током в любой точке пространства в локальной цилиндрической системе координат (r,z), связанной с центром контура и осью z, совпадающей с осью контура, находятся по следующим формулам [5]:

где k - модуль эллиптического интеграла:

K(k) - полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода [6]:

E(k) - полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода [6]: магнитный поле нелинейность лаплас

a - радиус рамки с током

На рисунке представлена картина магнитного поля, созданного круговым током в сечении, проходящем через ось рамки z и произвольно выбранный радиус r.

Формулы (7), (8) можно использовать, только если расчетная точка с координатами (r,z) находится достаточно далеко от оси контура, т. е. при r > , где - заданное достаточно малое расстояние. При r ? можно воспользоваться формулой для расчета магнитной индукции на оси круглого контура с током [4]:

Расчет по (7), (8) требует расчета эллиптических интегралов Лежандра первого и второго рода (11), (12), что в циклических алгоритмах сопряжено с относительно большими временными затратами. Расчет можно ускорить, если использовать для вычисления эллиптических интегралов Лежандра формулы разложения в ряд [6]:

где N - количество элементов ряда, которое для достижения точности, достаточной в инженерных задачах, можно принять равным 5.

Формулы (7), (8) можно использовать только для расчета индукции в ячейках, которые расположены в непосредственной близости от рамки с током, т. е. когда r = (110)h. Если же r >> h, то для ускорения расчета можно воспользоваться формулой, аналогичной формуле напряженности электрического диполя [7]:

где - единичный вектор, направленный вдоль оси рамки с током. При этом потери точности составляют не более 1,5 %.

Для пересчета величины из локальной цилиндрической в глобальную декартову систему координат (X,Y,Z) используются следующие соотношения:

где - углы между осью рамки z и осями X,Y,Z декартовой системы координат; - углы между осью r и осями X,Y,Z (ось r выбирается таким образом, чтобы точка с координатами X,Y,Z в декартовой системе координат лежала в плоскости, образованной осями z и r локальной цилиндрической системы координат).

Для расчета магнитной индукции поля, созданного контуром с током в точке (X,Y,Z), необходимо сначала рассчитать ее координаты в локальной цилиндрической системе координат, связанной с данным контуром:

где (X0,Y0,Z0) - координаты центра рамки в глобальной системе координат (X,Y,Z).

После этого рассчитываются составляющие магнитной индукции Bz(r,z) и Br(r,z). Затем по (18), (19) рассчитываются составляющие магнитной индукции в глобальной системе координат (X,Y,Z).

С учетом наведенных токов в ячейках с ферромагнитной средой формула для расчета индукции в каждой k-й ячейке принимает вид

где первая сумма, аналогично (3), определяет вклад в магнитную индукцию в i-й точке от токов в проводниках, а вторая сумма, слагаемые которой рассчитываются по (9), определяет вклад в магнитную индукцию в k-й точке от наведенных токов в каждой из Nf ячеек, занятых ферромагнитной средой.

Алгоритм расчета магнитного поля состоит в вычислении значений магнитной индукции по (22) в центрах всех ячеек, интересных с точки зрения решения прикладной задачи. Для учета нелинейности расчет осуществляется в ходе ряда итераций, в каждой из которых уточняются величины наведенных круговых токов, имитирующих домены ферромагнитных областей.

Приведенный математический аппарат имеет ряд достоинств по сравнению с традиционными методами расчета:

1) простота алгоритма расчета;

2) простота реализации данного алгоритма в технологии параллельных вычислений, в частности в технологии CUDA, с использованием многопроцессорных графических ускорителей;

3) возможность вести расчет только в интересующих нас точках (учитывается только вклад в совокупное поле ячеек с током и с ферромагнитной средой, что позволяет уменьшить расчетное время);

4) отсутствие граничных условий Дирихле или Неймана, необходимость задания которых в традиционных методах решения краевых задач может привести к существенным погрешностям вблизи границ расчетной области.

Разработанный метод планируется использовать при расчете магнитного поля сухого трансформатора, где преимущества данного метода оказываются наиболее явными.

Список литературы

1. Басов К.А. ANSYS в примерах и задачах. - М.: КомпьютерПресс, 2002. - 224 с.

2. ELCUT: Моделирование двумерных полей методом конечных элементов. Версия 5.4: руководство пользователя. - СПб.: Производственный кооператив ТОР, 2007. - 297 с.

3. Тихонов А.И., Севрюгов Д.М. Разработка имитационной модели магнитного поля на основе теории подобия и метода Монте-Карло // Вестник ИГЭУ. - 2014. - Вып. 2. - С. 31-36.

4. Савельев И.В. Курс общей физики. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. - 2-е изд. перераб. - М.: Наука, 1982. - 496 с.

5. Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Сборник задач по электродинамике / под ред. М.М. Бредова. - М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. - 480 с.

6. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Формулы, гафики, таблицы: пер. с нем. - 6-е изд. перераб. / под ред. Л.И. Седова. - М.: Наука, 1977. - 342 с.

7. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм: учеб. пособ. - М.: Высш. шк., 1983. - 463 с.

Авторское резюме