Применение метода переменных состояния к анализу стационарных и динамических режимов нелинейных электромагнитных устройств

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение метода переменных состояния к анализу стационарных и динамических режимов нелинейных электромагнитных устройств

В настоящее время при анализе нелинейных динамических схем широко применяется метод переменных состояния, который совместим со многими методами численного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и может считаться универсальным методом.

Как известно [1], в методе переменных состояния инвариантную относительно времени расчетную схему представляют двумя уравнениями:

(1)

(2)

нелинейный магнитный поле индуктивный

где - матрица-столбец независимых источников ЭДС; - матрица-столбец искомых напряжений и (или) токов ветвей; - матрица-столбец, содержащая независимые вспомогательные переменные (переменные состояния); , , , , - матрицы соответствующего размера, элементы которых определяются параметрами пассивных элементов расчетной схемы.

В случае линейных расчетных схем, содержащих в качестве пассивных элементов резисторы, идеальные катушки с взаимными индуктивностями и конденсаторы (RLCM-схемы), элементы матриц , , , , являются постоянными и определяются параметрами пассивных линейных элементов. В нелинейных схемах элементы этих матриц являются переменными и их необходимо определять на каждом шаге численного интегрирования системы уравнений (1).

Как показано в [1], формирование матриц , , , , целесообразно производить используя топологию схемы. Дерево графа расчетной схемы замещения электрической цепи выбирается таким образом, чтобы оно удовлетворяло следующим условиям:

включены все идеальные источники ЭДС (источники напряжения);

включено максимально возможное количество конденсаторов (если они есть);

включено минимально возможное количество катушек индуктивностей.

В зависимости от вида расчетной схемы, часть индуктивных катушек может войти в дерево графа, а часть будет относиться к связям. Обозначим индексом «I» все, что относится к дереву графа, а индексом «S» все, что относится к дополняющему подграфу (связям). С учетом принятой нумерации ветвей матрицы-столбцы напряжений и токов всех ветвей (элементов) расчетной электрической схемы замещения можно представить соответственно из семи векторов:

(3)

где индексы E, C, R, L относятся соответственно к идеальным источникам ЭДС (источникам напряжения), конденсаторам, резисторам и идеальным индуктивным катушкам; при этом векторы напряжений и токов ветвей с индексом «I» соответствуют ветвям дерева графа, а векторы напряжений и токов ветвей с индексом «S» - связям графа расчетной схемы.

Уравнения для главных сечений и главных контуров электрической расчетной схемы запишутся следующим образом [1]:

(4)

где 1_EI означает единичную матрицу порядка, равного числу идеальных источников ЭДС в дереве, такой же порядок имеют и другие единичные матрицы; элементы подматриц Q равны 1, -1 или 0 в зависимости от графа схемы.

Ветви, содержащие линейные резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы, описываются следующими соотношениями:

для резисторов

или ;

или ; (5)

для конденсаторов

или

; (6)

для индуктивных катушек (с учетом взаимоиндуктивных связей)

или

. (7)

Если в качестве переменных состояния в (1) принять

, (8)

то с учетом соотношений (4) - (7) получение элементов матриц , , , , не представляет труда по известным алгоритмам [1].

При наличии в исследуемой цепи электромагнитных устройств (ЭМУ) расчетная электрическая схема будет содержать как линейные, так и нелинейные элементы. Возможность получения нормальной формы уравнений для нелинейных цепей в этом случае зависит от вида характеристик нелинейных элементов. Как показано в [1, 2], при монотонной зависимости потокосцеплений ветвей ЭМУ от токов уравнения переменных состояния в нормальной форме можно получить всегда, при этом в качестве этих переменных могут быть взяты как потокосцепления, так и токи ветвей.

Если напряжения ветвей ЭМУ, обусловленные ЭДС само- и взаимоиндукции , на каждом шаге численного интегрирования уравнений (1) можно было бы выразить через производные токов этих ветвей:

, (9)

где элементы матрицы определяются токами ветвей ЭМУ , то формирование уравнений переменных состояния в соответствии с (7) ничем не отличалось бы от формальных алгоритмов для линейных RLCM-схем.

Рассмотрим, как это можно сделать на основе анализа магнитной цепи ЭМУ. Магнитная цепь ЭМУ при любых токах и напряжениях ее ветвей может быть представлена аналоговой схемой замещения с сосредоточенными параметрами, которая будет содержать нелинейные и линейные магнитные проводимости и источники МДС.

В качестве примера на рис. 1 изображена схема замещения магнитной цепи синхронной машины с постоянными магнитами, на рис. 2 - магнитная цепь трехфазного трехстержневого трансформатора, а на рис. 3 - схема замещения магнитной цепи этого трансформатора. На рис. 2 не показаны цепи магнитных потоков рассеяния, так как они практически не влияют на распределение магнитных потоков в стальном сердечнике.

Рис. 1. Схема замещения магнитной цепи синхронной машины с постоянными магнитами

Рис. 2. Магнитная цепь трехфазного трехстержневого трансформатора

Рис. 3. Схема замещения магнитной цепи трехфазного трехстержневого трансформатора

Представление магнитного поля ЭМУ для любого момента времени схемой замещения в виде дискретных линейных и нелинейных проводимостей и источников МДС позволяет от локальных значений векторов напряженности и индукции магнитного поля перейти к интегральным скалярным значениям потока и магнитного напряжения участков магнитной цепи. Это дает возможность применить к анализу поля и получению уравнений связи между мгновенными токами и потокосцеплениями ветвей методы теории линейных и нелинейных схем.

Представим каждую k-ю ветвь схемы замещения магнитной цепи ЭМУ в виде обобщенной ветви, образованной последовательным соединением нелинейного элемента и источника МДС F_k (рис. 4, а), при этом - поток и падение магнитного напряжения на k-м элементе: - магнитное напряжение на обобщенной ветви; - магнитные потенциалы узлов обобщенной ветви.

Как показано в [2, 3], вебер-амперные характеристики каждого нелинейного элемента магнитной цепи (рис. 4, б) можно рассчитать заранее методами теории поля. При кусочно-линейной аппроксимации зависимости справедливо соотношение

(10)

где - дифференциальная проводимость k-й ветви; J_k - управляемый напряжением U_мk источник магнитного потока.

Рис. 4. Обобщенная ветвь схемы замещения магнитной цепи и вебер-амперная характеристика ее нелинейного элемента

Пронумеруем слева направо все отрезки аппроксимированной k-й кривой . Если через _k обозначить один из отрезков характеристики, то величины _k и J_k в (10) будут определяться номером отрезка _k, который, в свою очередь, зависит от значений Ф_k или U_мk (рис. 4, б). Для линейных ветвей зависимость представляет собой прямую линию, поэтому величина _k является постоянной, а J_k = 0.

Так как , то уравнение (10) можно записать как

(11)

Последнему уравнению соответствует схема замещения k-й ветви, приведенная на рис. 4, в.

Одним из достоинств кусочно-линейной аппроксимации является то, что если номера отрезков _k всех нелинейных ветвей магнитной цепи ЭМУ будут известны, то при изменении значений Ф_k или U_мk в пределах отрезка _k магнитную цепь ЭМУ можно считать линейной. Естественно, что значения _k,_k и J_k каждой ветви будут зависеть от токов ветвей ЭМУ и должны определяться на каждом шаге численного интегрирования уравнений (1) на основе анализа магнитной цепи.

Обозначим через n число ветвей схемы замещения магнитной цепи ЭМУ и введем следующие обозначения:

- матрица-столбец магнитных потоков всех ветвей:

- матрица-столбец падений магнитного напряжения на элементах ветвей:

 - матрица-столбец магнитных напряжений на обобщенных ветвях:

- матрица-столбец источников МДС всех ветвей:

С учетом принятых обозначений уравнение (8) можно записать для всех ветвей в матричной форме:

(12)

где - диагональная матрица дифференциальных проводимостей ветвей:

- матрица-столбец управляемых напряжением источников магнитного потока:

Как показано в [2, 4, 5], величины МДС ветвей схемы замещения магнитной цепи ЭМУ могут быть выражены через значения токов ветвей ЭМУ с помощью сингулярной матрицы преобразования :

(13)

Матрица имеет число столбцов, равное числу ветвей электрической цепи, и число строк, равное числу ветвей n схемы замещения магнитной цепи ЭМУ. Элементом этой матрицы, расположенном в k-й строке и

j-м столбце, является число w_k, равное количеству витков с током j-й ветви электрической цепи i_Bj, охватывающих k-ю ветвь схемы замещения магнитной цепи. При этом если число витков с током i_Bj создают в k-й ветви МДС, совпадающие с выбранным положительным направлением магнитного потока, то w_k берется со знаком «плюс». В противном случае число w_k берется со знаком «минус». Так, для схемы замещения магнитной цепи трансформатора, приведенной на рис. 3, матрицы , и будут иметь следующую структуру:

С учетом (13) уравнение (12) можно записать в виде

. (14)

Потокосцепления ветвей ЭМУ определятся выражением

, (15)

где элементами матрицы являются линейные само- и взаимоиндуктивности рассеяния ветвей ЭМУ, не входящие в схему замещения магнитной цепи.

С учетом (12) - (14) выражение (15) можно записать в виде

 (16)

где (17)

Напряжения ветвей ЭМУ, обусловленные ЭДС само- и взаимоиндукции как главного поля, так и полей рассеяния, могут быть выражены через производные потокосцеплений ветвей [3, 6]:

(18)

Как отмечалось выше, элементы матриц и , соответствующие k-й нелинейной ветви, определяются номером отрезка _k аппроксимированной характеристики . Для всех m нелинейных ветвей схемы замещения будут иметь комбинацию отрезков. Обозначим через одну из таких комбинаций:

(19)

т.е. - такой набор отрезков, когда _k (k = 1,…, m) берется для k-й нелинейной ветви.

Если комбинация отрезков задана, то можно считать известными все элементы матриц и . При этом, в соответствии с (16) - (18),

. (20)

Токи ветвей ЭМУ на каждом шаге численного интегрирования уравнений (1) всегда могут быть определены через переменные состояния уравнения (8). Выразим магнитные напряжения на обобщенных ветвях схемы замещения магнитной цепи ЭМУ через токи электрической цепи. Для этого составим уравнения по первому закону Кирхгофа для схемы замещения магнитной цепи:

, (21)

где - редуцированная матрица инциденций [1].

Ненулевые значения скалярных магнитных потенциалов узлов схемы замещения магнитной цепи машины сведем в матрицу-столбец .

Напряжения ветвей связаны с потенциалами узлов соотношением[1]

(22)

Подставив в (21) выражения (14) и (22), получим

. (23)

Введем обозначения:

,

. (24)

Тогда нелинейное уравнение относительно неизвестных магнитных потенциалов узлов схемы замещения магнитной цепи ЭМУ примет вид

. (25)

Необходимо отметить, что при заданных номерах отрезков , аппроксимированных кусочно-линейными функциями вебер-амперных характеристик ветвей магнитной цепи, матрицы и легко могут быть получены непосредственно без построения матриц , и по алгоритмам, приведенным в [1].

Представим уравнение (25) в другой форме:

(26)

и решим его кусочно-линейным методом Ньютона-Рафсона.

Зададимся начальной комбинацией отрезков , аппроксимированных вебер-амперных характеристик ветвей схемы замещения магнитной цепи ЭМУ. Этой комбинации будут соответствовать некоторые начальные значения элементов матриц , и магнитных потенциалов . Первая итерация по методу Ньютона-Рафсона запишется в виде

(27)

Первые два члена в правой части равенства (27) взаимно уничтожаются. В результате получаем простую формулу:

Определив магнитные потенциалы узлов после первой итерации, можно по (22) найти магнитные напряжения ветвей и определить соответствующую им комбинацию отрезков . Повторно применяя формулу Ньютона-Рафсона, получаем

.

Этот итерационный процесс продолжается до тех пор, пока комбинация отрезков на (k+1) - й итерации полностью не повторит комбинацию отрезков на итерации k. Если начальное приближение (комбинация отрезков ) оказывается далеким от точного решения, то метод Ньютона-Рафсона может и не сходиться. Однако, в отличие от обычного метода Ньютона-Рафсона, в приведенном выше кусочно-линейном алгоритме расходимость к бесконечности невозможна. В [1] приведены алгоритмы, позволяющие получить стабильную сходимость итерационного процесса к решению.

Считая известными значения матриц и , введем следующее обозначение:

(28)

С учетом (20), (21) и (26) получим

(29)

. (30)

Обозначим

. (31)

Тогда напряжения ветвей ЭМУ, обусловленные ЭДС само- и взаимоиндукции (18), можно выразить через производные токов ветвей:

. (32)

С учетом (31) выражение (32) для напряжений по своей структуре ничем не будет отличаться от уравнения связи между током и напряжением на идеальных линейных индуктивностях схемы замещения электрической цепи (9). При этом элементы матрицы имеют размерность индуктивностей и зависят от комбинации отрезков вебер-амперных характеристик (19) нелинейных ветвей схемы замещения магнитной цепи ЭМУ.

В качестве примера использования предложенной математической модели на рис. 5 приведены кривые изменения тока фазы статора при пуске асинхронного двигателя 4АА56В2У3 в режиме холостого хода, иллюстрирующие корректность разработанного подхода к моделированию ЭМУ.

Рис. 5. Ток фазы статора при пуске асинхронного двигателя в режиме холостого хода: 1 - эксперимент; 2 - расчет по рассматриваемой модели; 3 - расчет по уравнениям Парка-Горева

Предложенная математическая модель является универсальной и позволяет анализировать переходные, установившиеся и аварийные режимы работы различных цепей, содержащих ЭМУ, с учетом их магнитной несимметрии, несимметрии питающих напряжений и присоединенной нагрузки, а также нелинейности ферромагнитных материалов.

Список литературы

1. Дж. Кеоун. Анализ электрических цепей. - СПб.: Питер, 2008. - 640 с.

2. Мартынов В.А. Математическая модель несимметричных переходных процессов электрической машины // Электричество. - 2006. - №12. - С. 40-45.

3. Основы теории цепей: учеб. для вузов / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 528 с.

4. Мартынов В.А., Голубев А.Н., Алейников А.В. Математическое моделирование режимов работы многофазных синхронных двигателей с постоянными магнитами // Вестник ИГЭУ. - 2013. - Вып. 2. - С. 62-66.

5. Копылов И.П. Математическое моделирование электрических машин: учеб. для вузов. - М.: Высш. шк., 2001. - 327 с.

6. Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В. Теоретические основы электротехники: учеб. для вузов. - 5-е изд. Т.2. - СПб.: Питер, 2009. - 432 с.

Размещено на Allbest.ru