Технология численного исследования электрических машин с использованием библиотеки конечно-элементного моделирования магнитного поля, описанная в [1], сегодня получила развитие в нескольких направлениях, а именно:

1) уточненный расчет динамических и установившихся режимов работы электротехнических устройств, в частности, в силовых трансформаторов [2], токоограничивающих реакторов [3], асинхронных машин [4], машинах постоянного тока [5], торцевых синхронных генераторов [6];

2) расчет холостого хода силового трансформатора [7];

3) расчет механических усилий в обмотках силовых трансформаторов и токоограничивающих реакторов в аварийных режимах;

4) параметрическая и структурная оптимизация конструкции электротехнических устройств.

Сама библиотека конечно-элементного моделирования магнитного поля EMLib, претерпела существенные изменения. Математическое ядро, осуществляющее собственно расчет магнитного поля, стало платформонезависимым на уровне компилятора, произведена оптимизация алгоритмов, позволившая существенно сократить время расчета магнитного поля на каждой итерации численного эксперимента, усовершенствованы интерфейсы, позволяющие интегрировать данную библиотеку во все математические пакеты [8].

В настоящее время технология численного исследования электротехнических устройств реализуется на базе табличного процессора MSExcel, предоставляющего исследователю удобный интерфейс и визуальные средства обработки результатов. Подсистемы, реализующие численный эксперимент, пишутся во встроенной в Excel системе программирования Visual Basic for Excel. При необходимости используется математический пакет MatLab, связываемы й Excel с помощью интерфейса ExelLink. И в Excel, и в MatLab могут внедряться функции динамически подключаемой библиотеки моделирования магнитного поля EMLib.

Наиболее детально проработана универсальная методика расчета динамических режимов в электротехнических устройствах. Алгоритм расчета строится на основе системы дифференциальных уравнений, имеющей вид

, (1)

где - вектор потокосцеплений контуров с током; - вектор напряжений контуров; - матрица сопротивлений контуров; - вектор мгновенных значений токов контуров. При расчете электрических машин в качестве неизвестной величины в вектор токов добавляется угловая скорость ротора щ и к системе уравнений (1) добавляется уравнение

, (2)

где J - момент инерции на оси ротора; M_i - i-й момент на валу ротора.

Используя для k-й обмотки разложение

, (3)

где N - количество контуров с током, уравнение (1) преобразуем к виду

, (4)

где - матрица частных производных потокосцеплений контуров.

Расчет динамических режимов в индукционных устройствах можно осуществлять в двух режимах (рис.1):

1) прямой режим с непосредственным обращением к расчету модели магнитного поля на каждом шаге интегрирования;

2) режим с обучением, предполагающий проведение серии предварительных расчетов магнитного поля с заданным шагом в заданном диапазоне изменения значений токов контуров и последующей аппроксимацией полученных матриц потокосцеплений контуров с током многомерными сплайнами.

Рис. 1. Два режима проведения численного эксперимента

Наиболее просто расчет в режиме с обучением осуществляется в случае устройств с небольшим количеством контуров или обмоток с током. Например, при расчете режима пуска двигателя постоянного тока (ДПТ) [5] количество независимых контуров N = 2: цепь параллельной обмотки возбуждения и цепь обмотки якоря, последовательной обмотки возбуждения и компенсационной обмотки. Результатом серии расчетов магнитного поля ДПТ при разных комбинациях тока якоря i_a и тока возбуждения i_f являются матрицы потокосцеплений обмоток, которые средствами MatLab аппроксимируются двухмерными сплайнами (рис.2) (мерность сплайна равна количеству независимых контуров с током).

Рис. 2. Сплайновая аппроксимация матриц потокосцеплений обмотки возбуждения _f (i_f, i_a) и якоря _а (i_f, i_a)

По сплайнам потокосцеплений обмотки возбуждения _f (i_f, i_a) и якоря _а (i_f, i_a) строятся сплайны частных производных , , , , по которым на каждом шаге интегрирования по времени уравнения (3) при текущих значениях токов обмоток определяются элементы матрицы частных производных. Результаты расчета пуска двигателя постоянного тока 4П80 приведены на рис.1 (масштабы графиков: тока возбуждения m_if = 1 А/ед; тока якоря m_ia = 100 А/ед; частоты вращения m_Щ = 500 (1/c) /ед; момента m_M = 20 Н^. м/ед; ЭДС m_Ea = 250 В/ед; магнитного потока m_Ф = 1/440 Вб/ед). Расчет осуществляется практически в реальном времени.

Рис.3. Кривые пуска ДПТ 4П-80 с использованием модели магнитного поля

Расчет в режиме с прямым обращением к модели магнитного поля можно проиллюстрировать на примере расчета пуска асинхронного двигателя (АД) с короткозамкнутым ротором с учетом вытеснения тока в пазах ротора [4].

Моделируемый АД имел 51 паз на роторе, каждый из которых был разделен на 5 слоев. Каждому слою соответствовал свой контур с током. Обмотка статора была представлена тремя контурами. Итого получаем N = 258. При таком количестве независимых контуров с током режим с предварительным обучением модели невозможен.

Рис.4. Результаты расчета кривой пуска АД с короткозамкнутым ротором с учетом вытеснения тока в позах ротора: 1 - зависимость угловой скорости щ от времени; 2 - зависимость электромагнитного момента M от времени

В режиме с непосредственным обращением к модели на каждом шаге интегрирования уравнения (3) при текущих значениях токов контуров рассчитывается магнитное поле, затем каждому j-му току контура дается приращение и опять рассчитывается магнитное поле. В результате находятся приращения потокосцеплений k-х обмоток и строится матрица . Количество обращений к полевой модели на каждом шаге интегрирования равно N+1 = 259. Расчет магнитного поля машины длится доли секунды. При этом для интегрирования системы уравнений (3) с шагом по времени ?t = 0,001с в пределах 0,2с требуется несколько часов.

Иногда модель динамических режимов в исследуемом устройстве с большим количеством контуров с током удается построить таким образом, что количество независимых величин удается ограничить, снизив тем самым размер матрицы потокосцеплений. Примером может служить модель АД, в которой разложение (3) принимает вид

(5)

где F_x, F_y - составляющие по осям координат результирующей намагничивающей силы (НС), формируемой всеми обмотками машины; K_xj, K_yj - геометрические коэффициенты, определящие вклад j-го контура машины в результирующую НС машины.

Такой подход позволяет использовать режим модели с предварительным обучением с использованием матриц потокосцеплений обмоток, зависящих всего от трех величин F_x, F_y и б. Точность такого расчета ниже, чем в случае с прямым обращением к полевой модели, так как не удается учесть все особенности вклада каждого контура в совокупное магнитное поле.

Аналогичным образом в [2] рассчитывается кривая переходного процесса в трехфазном силовом трансформаторе. Расчет осуществляется при наличии шести матриц потокосцеплений (по числу обмоток трансформатора)

(6)

где F₁, F₂, F₃ - НС стержней трансформатора.

При этом считается, что первичная и вторичная обмотки, расположенные на m-м стержне, создают единую НС, рассчитываемую по формулам

(7)

(8)

где j_m - средняя плотность тока в обмотках m-го стержня; i_m, i_m+3 - мгновенные значения токов в первичной и вторичной обмотках m-го стержня; W_m, W_m+3 - число витков первичной и вторичной обмоток m-го стержня; S_m, S_m+3 - площади сечений первичной и вторичной обмоток m-го стержня.

Варьируя j_m в пределах от - j_max до +j_max, где j_max - некоторая максимальная величина средней плотности тока, получаем зависимости, которые аппроксимируются трехмерными сплайнами (рис.5).

Рис.5. Сплайновая аппроксимация матрицы ₁ (F₁,F₂,F₃) при F₃ = 0

Для каждой k-й обмотки можно записать

, (9) где

. (10)

Результат расчета трехфазного короткого замыкания (КЗ) трансформатора ТМГ-1000 - 10,5/0,4, полученного с помощью данной модели представлен на рис.6.

Рис.6. Графики расчетных токов в обмотках низшего напряжения трансформатора ТМГ-1000 - 10,5/0,4 при трехфазном коротком замыкании

Особенность примера расчета токов КЗ силового трансформатора состоит в том, что численный эксперимент в этом случае не ограничивается расчетом токов. Полученные по результатам расчета токи в обмотках трансформатора используются здесь для расчета электродинамических усилий, возникающих в обмотках при КЗ. Картина магнитного поля трансформатора для этого случая представлена на рис.7.

Рис.7. Результаты расчета магнитного поля трансформатора в режиме КЗ

Для расчета электромеханических усилий, действующих на объем, ограниченный поверхностью S, используется формула

, (11)

где и - векторы напряженности и индукции магнитного поля; - вектор нормали к поверхности интегрирования.

В двухмерной постановке задачи уравнение (11) для составляющих силы, действующей на единицу длины трансформатора в третьем измерении, принимает вид

, (12)

, (13)

где - проекции магнитной индукции, напряженности и вектора нормали на ось X; - проекции магнитной индукции, напряженности и вектора нормали на ось Y; N_? - количество треугольных элементов, через которые проходит контур интегрирования; dl_k - длина контура интегрирования в пределах k-го элемента.

Для определения силы, действующей на виток в радиальном направлении, используется интегральная формула

, (14)

где D - наружный диаметр обмотки в случае ее растяжения и внутренний диаметр в случае сжатия.

Сила, действующая в осевом направлении,

, (15)

где D_нар и D_вн - соответственно наружный и внутренний диаметры обмотки.

Одним из главных преимуществ численного эксперимента с использованием библиотеки EMLib является возможность построения гибкой программы исследований. При этом модель исследуемого устройства может оперативно перестраиваться. Так, при моделировании вращения ротора электрической машины на каждом шаге итераций происходит перегенерация конечно-элементной сетки в области зазора. В [6] рассматривается пример, в котором рассчитывается магнитное поле в модели, представляющей собой линейную развертку торцевого синхронного генератора. При перемещении ротора относительно статора происходит полная перегенерация модели. Это позволяет рассчитать кривую изменения потокосцепления и ЭДС обмотки статора.

Оперативно перегенерируемая модель может использоваться в задачах оптимизации. Вообще задача оптимизации с использованием результатов расчета магнитного поля методом конечных элементов не является принципиально новой. Так, в [9] оптимизируется форма полюсного наконечника автомобильного стартера с использованием результатов расчета магнитного поля. В современных системах инженерных расчетов (CAE-системах) оптимизация конструкции устройства включена в стандартный инструментарий. Однако возможности большинства современных параметрических генераторов полевых моделей ограничены стремлением разработчиков избавить пользователя от функций традиционного программирования. В то же время именно параметрические генераторы, построенные на основе традиционного программирования, позволяют создавать модели, отличающиеся друг от друга не только размерами, но и структурой.

Например, в настоящее время в рамках рассматриваемой технологии разработан параметрический генератор конечно-элементных моделей АД, позволяющий оперативно генерировать серии моделей машин, отличающихся не только геометрическими размерами, но и количеством, а также формой пазов статора и ротора, количеством слоев обмотки в пазах статора, схемой соединения секций обмотки статора, наличием или отсутствием пазовой изоляции и т.п. В частности, на рис.8 представлены несколько вариантов пазов статора, сгенерированные данной системой.

Модель АД строится из трех объектов: статор, ротор и зазор. В свою очередь статор и ротор строятся из соответствующих зубцовых зон и спинок. Спинки представляют собой кольца, опоясывающие зубцовые зоны. Базовым объектом зубцовой зоны является паз.

Для унификации процедур построения модели паза, он разбивается на несколько элементов: шлиц, клиновая часть, дно паза, центральная часть паза. Была проведена работа по классификации данных элементов, позволяющая ограничить количество возможных вариантов их исполнения, выбирая которые можно путем их комбинации строить практически все реально существующие пазы статора АД. В настоящее время ведется работа по созданию исчерпывающей библиотеки пазов ротора. При возникновении новых нетрадиционных форм пазов ротора библиотека пазов может быть расширена дополнительной подпрограммой.

Рис.8. Варианты пазов статора АД, сгенерированные одним параметрическим генератором

Параметрический генератор полевой модели АД опробован в задаче поиска оптимальной формы паза статора, обеспечивающего заданную величину проводимости пазового рассеяния при заданной плотности тока в пазу, а также индукции в зубцах и ярме. В качестве варьируемых параметров использовались такие величины, как высота паза, высота и ширина шлица, ширина верхней и нижней частей паза и т.п. К ним добавляются признаки, определяющие тип паза (открытый, полуоткрытый, закрытый), форму дна паза (круглое, скругленное, прямое) и форму клиновой части (трапецеидальная, скругленная). Поиск решения осуществляется средствами MatLab с использованием генетических алгоритмов. На каждом шаге поиска происходит полная перегенерация полевой модели, расчет магнитного поля, по которому рассчитывается величина проводимости пазового рассеяния по формуле [10]

, (16)

где N_?паза - количество треугольных элементов, заполняющих паз; A_?i - величина векторного магнитного потенциала в j-м узле i-го элемента паза; S_?i - площадь i-го элемента паза; A_r - величина векторного магнитного потенциала по оси паза в зазоре; I_п - полный ток паза.

Выводы. Рассмотрено несколько характерных способов организации численного исследования электротехнических устройств с использованием автономной библиотеки конечно-элементного моделирования магнитного поля. Возможности данной технологии не ограничиваются этими вариантами и определяются лишь опытом программирования инженера. Данная технология находит применение, в первую очередь, при проектировании электротехнических устройств на предприятиях малого и среднего бизнеса.

Список литературы