Математическое моделирование электромагнитного поля коаксиального кабеля с двумя металлическими оболочками

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

ФГБОУВПО

"Ивановский государственный энергетический университет имени В.И. Ленина"

Математическое моделирование электромагнитного поля коаксиального кабеля с двумя металлическими оболочками

В.Д. Лебедев

Авторское резюме

Состояние вопроса: В существующей литературе по расчёту электрических параметров высоковольтных кабелей ([3], [4] и пр.) формулы для расчёта активных и индуктивных сопротивлений позволяют определять их при частотах тока, близких или равных рабочей частоте. При этом для расчётов тепловыделений в переходных режимах, когда содержатся гармоники тока высших порядков, а также для расчётов параметров срабатывания релейной защиты необходимо знать электрические характеристики проводящих частей конструкции кабелей при более высоких частотах.

Материалы и методы: Вывод формул для внутренних сопротивлений проводящих элементов конструкции кабеля осуществляется на основе решения уравнений Максвелла для переменного электромагнитного поля. Результаты расчётов сравниваются с расчётами, изложенными в [3].

Результаты: Получены выражения для внутренних сопротивлений проводящих частей высоковольтного кабеля, которые учитывают поверхностный эффект при частоте тока, значительно превышающей 50 Гц. Результаты расчётов активных сопротивлений проводящих элементов кабеля совпали с расчётами сопротивлений по методике [3].

Выводы: Полученные математические выражения позволяют расширить возможность расчёта электрических сопротивлений проводящих элементов высоковольтного кабеля в область частоты тока, превышающей рабочую частоту. Кроме того, на их основе можно осуществить оценку расчётов численных моделей электромагнитного поля коаксиального кабеля, что будет показано в следующих работах.

Ключевые слова: Высоковольтный силовой кабель, поверхностный эффект, внутреннее сопротивление, проводящие элементы конструкции кабеля, активное сопротивление переменному току.

Mathematical modelling of an electromagnetic field of a coaxial cable with two metal covers

V.D. Lebedev, V.K. Slyishalov, E.S. Zaytsev

Ivanovo State Power University, Ivanovo, Russia

E-meil: evgeniy1589@mail.ru

Abstract

Background: In the existing literature by calculation of electric parametres of high-voltage cables ([3], [4] and so forth) formulas for calculation of active and inductive resistance do not allow to define them at the frequencies of a current exceeding working frequency. Thus for calculations of thermal emissions in transitive modes when harmonics of a current of the higher order contain, and also for calculations of parametres of operation of relay protection it is necessary to know electric characteristics of conductive layers of a design of cables at higher frequencies.

Materials and methods: The derivation of formulas for internal resistance of conductive elements of a design of a cable is carried out on the basis of the decision of the Maxwell's equations for a variable electromagnetic field. Results of calculations are compared to the calculations stated in [3].

Results: Expressions for internal resistance of conductors of a high-voltage cable which consider skin effect at the frequency of a current considerably exceeding 50 Hz are received. Results of calculations of active resistance of spending elements of a cable have coincided with calculations of resistance by a technique [3].

Conclusions: The received mathematical expressions allow to expand possibility of calculation of electric resistance of conductive elements of a high-voltage cable in area of frequency of the current exceeding working frequency. Besides, on their basis it is possible to carry out an estimation of calculations of numerical models of an electromagnetic field of a coaxial cable that will be shown in following works.

Key words: high-voltage power cables, skin effect, internal resistance, conductive layers of a design of cables, active resistance to an alternating current.

В каталогах кабельной продукции [1, 2] производители предлагают учитывать поверхностный эффект при расчёте активного сопротивления жилы переменному току промышленной частоты. Расчёт осуществляются по методике, предлагаемой в [3] с помощью эмпирической формулы:

; (1)

где R0пост - сопротивление жилы постоянному току на единицу длины, Ом/м; f - частота переменного тока, Гц; ks - коэффициент, учитывающий влияние конструкции жилы на проявление поверхностного эффекта, о.е.

При этом в [3] отмечено, что использование данной формулы даёт хороший результат при слабо выраженном поверхностном эффекте, когда xs ? 2,8.

Эта методика хорошо подходит для расчёта допустимых токовых нагрузок в установившихся режимах работы кабельных линий (КЛ).

На практике существуют случаи, когда в линии присутствуют токи высших гармоник, значительно превышающие по своей амплитуде ток рабочей частоты, например: короткие замыкания, грозовые перенапряжения и другие электромагнитные переходные процессы. Для решения задач по определению температуры внутренних слоев кабеля и определению его термической стойкости при выделении теплоты важно знать распределение токов внутри токопроводящих элементов в указанных режимах. Это приводит к необходимости расчёта электромагнитного поля в сечении кабельной линии.

Для выполнения таких расчётов целесообразно использовать программные комплексы, осуществляющие расчёт полей методом конечных элементов, так как они являются наиболее универсальным средством решения задач этого рода. Однако при их использовании встаёт вопрос о достоверности и точности полученных результатов, которые, в свою очередь, зависят, в том числе, от настраиваемых параметров модели (плотность сетки конечных элементов, граничные условия и прочее).

Поэтому в данной работе предлагают аналитически рассчитать электромагнитное поле в сечении коаксиального кабеля и определить частотные характеристики проводящих элементов его конструкции, что позволить в дальнейшем осуществить оценку подобных расчётов электромагнитного поля численным методом.

Постановка задачи. Наибольшее распространение получили кабели, содержащие в качестве токонесущих элементов жилу и проводящую оболочку - экран. Для таких кабелей методика расчета отражена в технической литературе, в частности достаточно подробно представлена в работе М.В. Дмитриева М.В. [4]. Для кабельных линий, прокладываемых в особых условиях (например, по дну водоема), часто используют бронированный кабель с двумя токопроводящими экранами, поэтому практический интерес представляет исследование конструкции, состоящей из шести слоёв. Общий вид конструкции приведён на рис.1.

1, 3, 5 - металлические немагнитные проводящие слои; 2, 4, 6 - диэлектрические изоляционные оболочки.

Рис. 1. Геометрическая конструкция кабеля с двумя металлическими оболочками.

Исходными данными для решения задачи являются: геометрические параметры кабеля, физические свойства его материалов, в том числе проводимость токопроводящих слоев. Также будем считать известными токи во всех металлических частях конструкции ( ), определяемые изначально нагрузочным режимом, схемой соединения экранов и геометрией расположения кабелей по отношению друг к другу.

Принятые допущения:

Однофазный кабель будем считать уединенным, так как на практике, при прокладке кабельной линии по дну водоема, её фазы, как правило, разносят на достаточно большое расстояние, чтобы снизить их тепловое воздействие друг на друга. В связи с этим эффект близости будет минимальным.

Проводимость грунта принимаем равной нулю ввиду того, что токи, наведенные в грунте, из за их малости практически не влияют на распределение плотности тока в проводящих частях самого кабеля.

Токи смещения не учитываем.

Модель электромагнитного поля в проводящих элементах конструкции кабеля. Исходными для областей 1, 3, 5 являются уравнения Максвелла, которые представляются в виде функций комплексного переменного для электромагнитного поля синусоидального во времени:

; (2)

; (3)

; (4)

где ?, Л - векторы напряженностей магнитного и электрического полей соответственно, А/м, В/м; - векторы плотностей тока, А/м2; µa - абсолютная магнитная проницаемость, Гн/м; г - удельная проводимость, См/м; i = 1,3,5 - номер проводящей области.

В [5] рассмотрена методика получения системы дифференциальных уравнений Бесселя из уравнений (2) - (4) для напряжённости магнитного поля и плотности тока в цилиндрическом проводнике. Применение этой методики для слоёв 3 и 5 позволяет получить уравнения аналогичные полученным в [5], что позволяет применить эту систему уравнений для любого числа слоёв цилиндрической конструкции:

(5)

Решения уравнений (5) для трёх проводящих областей имеют вид:

(6)

(7)

где Ai0,1 и Bi0,1 (i = 1,3,5) - постоянные коэффициенты интегрирования; J0,1(kir) и N0,1(kir) - функции Бесселя первого и второго рода соответственно (верхний индекс обозначает порядок функций).

Из закона полного тока и симметрии поля вытекают условия на границах проводящих областей для напряжённости магнитного поля:

С помощью указанных граничных условий для уравнения (6) подлежат определению шесть постоянных интегрирования Ai0,1 и Bi0,1 (i = 1,3,5).

Для их определения необходимо составить систему линейных уравнений для каждой проводящей области:

После математических преобразований получим выражения для постоянных интегрирования.

Окончательные выражения для напряжённостей магнитного поля в рассматриваемых областях примут следующий вид:

(8)

(9)

(10)

Чтобы найти зависимость , запишем выражение ротора напряжённости электрического поля в цилиндрической системе координат для уравнения (3). С учётом зависимости (4) получим:

. (11)

Поле подстановки в уравнении (11) вместо правую часть уравнения (7) и дифференцирования полученного выражения, получим уравнение для напряжённости магнитного поля:

откуда:

Тогда уравнения для плотности тока в проводящих слоях примут следующий вид:

(12)

(13)

(14)

Для определения параметров проводящих элементов конструкции, изображённой на рисунке 1, воспользуемся методикой, изложенной в [6]. В соответствии с ней комплексные сопротивления проводящих элементов конструкции можно определить, используя теорему Умова-Пойнтинга:

(15)

где

(16)

В указанных выражениях Z0,i - комплекс сопротивления проводящего элемента конструкции на единицу длины (1 м), Ом/м; - комплекс вектора Пойнтинга на границе проводящей области, В·А/м2; Si - площадь замкнутой поверхности проводящего элемента конструкции, м2.

Последнее выражение представляет собой поток вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность проводящих элементов конструкции. При дальнейших выкладках нужно учитывать, что вектор в проводящих слоях направлен радиально для рассматриваемой конструкции, поэтому его поток через поперечное сечение проводящих элементов равен нулю.

Подставив найденные выражения плотности тока и напряжённости магнитного поля (8) - (10), (12) - (14) в (15) - (16) с учётом (4), находим:

;(17)

(18)

(19)

Проверку расчётов можно выполнить, составив баланс активной мощности для каждого проводящего элемента:

, (20)

где P0,i - активная мощность, выделяющаяся в проводящем слое на единицу длины (1 м), Вт/м.

Пример расчёт частотных характеристик подводного бронированного кабеля. В таблице 1 представлены характеристики соответствующих слоёв кабеля марки HXLMKCJ-W 1x2000 330кВ (производитель - Prysmian Cables and Systems).

Таблица 1. Характеристики проводящих слоёв кабеля

В соответствии с постановкой задачи, токи в металлических частях конструкции зададим следующим образом:

А; А; А.

Распределение плотности тока в каждой оболочке определяем по формулам (12) - (14). Результаты расчётов при частоте тока 50 Гц приведены на рис. 2.

Рис. 2. График распределения плотности тока в проводящих слоях конструкции кабеля

Используя формулы (17) - (19), вычисляем комплексы внутренних сопротивлений проводящих элементов для частоты тока 50 Гц:

кабель коаксиальный ток

Ом/м;

Ом/м;

Ом/м.

Проверку вычислений осуществим с помощью уравнения баланса активной мощности (20):

Вт/м;

Вт/м;

Вт/м;

Вт/м;

Вт/м;

Вт/м.

Активные сопротивления переменному току промышленной частоты можно вычислить с помощью формулы (1). Причем здесь необходимо учесть, что ks для полых проводников необходимо вычислять по формуле [3]:

, (21)

где ri - наружный радиус полого проводника, м; ri _1 - внутренний радиус полого проводника, м. Тогда величины активных сопротивлений проводящих элементов конструкции кабеля 1,3,5 будут иметь следующие значения:

Ом/м;

Ом/м;

Ом/м.

Как видно из расчётов, активные сопротивления проводников 1 и 3 практически совпадают с рассчитанными по формуле (19), но для пятого проводящего слоя есть значительное расхождение в значениях активного сопротивления. В данном случае формула (1) даёт погрешность:

Вызвано это тем, что в формуле (1) не учитывается увеличение сопротивления за счёт смещения тока в полом проводнике от действия переменного магнитного поля проводников, находящихся внутри рассматриваемого, так как она предназначена для расчёта сопротивления жил. Поэтому, если для формулы (19) токи в проводниках 1 и 3 принять равными нулю (   ), то

Ом/м.

Значение R0,5 совпадает с R`0,5 до второй значащей цифры после запятой.

Графики зависимостей сопротивлений от частоты тока, рассчитанные по формулам (1), (17) _ (19) приведены на рисунках 3-5.

Рис. 3. Частотные характеристики области 1.

Рис. 4. Частотные характеристики области 3.

Рис. 5. Частотные характеристики области 5

Величины, представленные на графиках, определялись в отношении к активному сопротивлению постоянному току для каждого проводящего слоя:

Заключение

Из построенных графиков можно сделать следующие заключения:

Рост указанных выше сопротивлений при увеличении частоты тока в значительной степени зависит от проводимости материала. Так, сопротивление свинцовой оболочки 3 увеличивается на 20% только на частоте ? 3,6 кГц, в то время как у других проводящих слоёв этот эффект наблюдается уже в пределах 100 Гц.

Поверхностный эффект при частоте 50 Гц наиболее ярко выражен в центральном проводнике 1 и приводит к увеличению активного сопротивления и потерь активной мощности на 69% в отличие от медной оболочки 5, где увеличение составляет 13%.

В таблице 2 представлены пределы частоты тока, при которых расчёт активных сопротивлений по формулам (17) - (19) отличается не более чем на 5% от расчёта с помощью эмпирической формулы (1) для соответствующих проводников.

Таблица 2. Условия совпадения расчётов по частоте

На основе приведённых данных можно сделать вывод о совпадении результатов расчётов для рабочей частоты тока, что говорит о корректности рассмотренной математической модели.

На основе полученного аналитического решения можно произвести проверку численного решения аналогичной задачи методом конечных элементов, который является более универсальным и позволяет рассмотреть более сложные варианты конструкции кабелей и кабельных линий.

Список литературы

Официальный сайт фирмы NKT Cables GmbH [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.nktcables.com/ru/support/download/catalogues-and-brohcures/high-voltage-cables/~/media/files/nktcables/download%20files/ru/hvcablesystemsru.ashx (дата обращения 20.09.2013).

Официальный сайт фирмы ООО "Камкабель" [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www.kamkabel.ru/netcat_files/userfiles/pechatniy%20catalog/podrobniy_kabelniy_katalog/WWW_KATALOG.pdf (дата обращения 20.09.2013).

ГОСТ Р МЭК 60287 Кабели электрические. Расчет номинального тока. Часть 1-1. Уравнения для расчета номинальной токовой нагрузки (100 %-ный коэффициент нагрузки) и расчет потерь. Общие положения. Введ. 2009 г. - С. - 7 - 8.

Дмитриев М.В. Заземление экранов однофазных силовых кабелей 6-500 кВ. - СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. - 154 с.

Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 3. - 4-е изд. / К.С. Димерчан, Л.Р. Нейман, Н.В. Коровкин, В.Л. Чечурин. - СПб.: Питер, 2004. - 377 с.: ил. С. 254 - 257.

Теоретические основы электротехники, под редакцией Г.И. Атабекова, ч. 2 и 3, Нелинейные цепи. Электромагнитное поле. М. - Л., изд-во "Энергия", 1966, 280 с. с черт. C. 223 - 228.

Размещено на Allbest.ru