Действие и противодействие между движущимися зарядами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Действие и противодействие между движущимися зарядами

Основные законы ньютоновской динамики утверждают, что силы действия и противодействия между двумя частицами равны по величине и противоположны по направлению. Отсюда следуют два наиболее важных вывода: «I» - закон сохранения поступательного (линейного) момента количества движения группы частиц (без учёта воздействия каких-либо внешних сил), «II» - вывод, согласно которому силы между частицами не играют какой-либо роли в определении движения центра масс группы частиц. Однако, закон действия и противодействия не достаточен, чтобы доказать закон сохранения вращающего (углового) момента группы частиц, на которую не действуют внешние моменты. В дополнение мы должны предположить, что силы между двумя частицам действуют вдоль соединяющей их линии.

Законы сохранения линейных и угловых моментов так хорошо проверены в механике экспериментально, что мы не можем сомневаться в справедливости аксиом, на которых они основываются, по крайней мере, постольку, поскольку рассматривается средняя по времени сила.

Еще мы считаем, что атомы, образующие материю, состоят из быстро движущихся заряженных частиц и что электромагнитные силы между движущимися заряженными частицами, в общем, не удовлетворяют, ни условию взаимодействия частиц вдоль ли-нии, их соединяющей, ни условию, что эти силы равны по величине и противоположны по направлению.

Цель данной статьи - обсудить силы и моменты сил, возникающие при действии одной заряженной частицы на другую, обратив особое внимание на выполнение закона действия и противодействия.

Мы будем использовать единицы системы CGS - электростатические единицы для электрических величин, включая ток, и электромагнитные единицы для магнитных величин. Затем, будем считать, что в выражениях для сил множитель (1/с) (с - отношение электромагнитной единицы заряда к электростатической) определяет порядок малости величины силы: отсутствие множителя (1/с) указывает на величину нулевого порядка, присутствие множителя (1/с) - на величину первого порядка, а квадрата множителя (1/с) - на величину второго порядка. Наш анализ будет ограничен величинами не более второго порядка малости.

Два токовых элемента

Вектор H магнитного поля токового элемента (с током i ) на расстоянии вектора r от токового элемента (в точке наблюдения Р ) определяется формулой:

Хотя соотношение (1) часто называют «законом Ампера», оно не является оригинальным выражением, предложенным Ампером1). В действительности, закон Ампера, подобный (1), давал правильные результаты лишь для постоянного тока в замкнутых контурах и не был специализирован (даже в приближении первого порядка) как закон магнитного поля для токового элемента, отвечающий выражению (1). Однако, сегодня мы знаем, что (1) является лишь первым членом бесконечной последовательности2) по степеням множителя (1/с).

Тем не менее, один этот член обеспечивает чрезвычайно точное значение магнитного поля благодаря тому, следующий член последовательности отвечает нулевому значению и ошибка имеет порядок малости (1/с) в кубе. Поскольку для нашего анализа представляют интерес лишь члены последовательности второго и более низкого порядка малости выражение (1) как закон магнитного поля для токового элемента может быть использовано нами без каких-либо изменений. Обычно токовый элемент рассматривают как заряд e, движущийся вдоль токовой цепи, ассоциированный с неподвижным зарядом e так, что общий заряд токового элемента равен нулю. В дальнейшем будем обходиться без покоящегося заряда, ограничив анализ одним зарядом «+e», движущимся со скоростью V.

Выражение (1) можно записать в виде:

где - линейная плотность заряда e вдоль токовой цепи.

Для расчёта силы взаимодействия 2-х движущихся зарядов необходима формула электрического поля E движущегося заряда. Последняя отличается от простой (обратно-инверсионной) формулы для неподвижного заряда и учитывает второй порядок малости3):

где - ускорение заряда.

Теперь можно рассчитать силы взаимодействия между 2-мя движущимися зарядами (рис.1).

Рис.1. Два движущихся заряда

Пусть - вектор расстояния от и - вектор расстояния от . Вначале вычислим силы, действующие на токовые элементы со стороны магнитных полей. Используя (2) и известное соотношение:

для сил, действующих на токовый элемент eV в магнитном поле H, найдём:

где - модуль расстояния между зарядами.

Если бы магнитные силы подчинялись закону действия и противодействия, то сумма сил должна была бы обратиться в нуль. Вместо этого имеем векторную сумму:

которая обращается в нуль лишь тогда, когда а) скорость параллельна скорости или б) скорости и перпендикулярны . Таким образом, за исключением этих двух особых случаев магнитные силы между двумя движущимися зарядами не образуют равные и противоположно направленные пары сил, удовлетворяющие закону действия и противодействия, а отвечают результирующему вектору, отличному от нуля.

Затем из уравнения (3) и формулы вычислим электрические силы: а) силу, действующую на , и б) силу , действующую на . Силы нулевого порядка образуют равные и противоположные направленные пары сил, удовлетворяющих закону действия и противодействия, однако, силы второго порядка этому условию не отвечают. В действительности, результирующая электрическая сила удовлетворяет выражению которое в общем случае не равно в нулю, исключая частные случаи, когда и .

Очевидно, что суммарная сила, обусловленная сложением членов второго порядка уравнений (4) и (5), в целом не обращается в нуль. Поэтому закон действия и противодействия не выполняется для двух движущихся зарядов. Этот вывод, однако, не должен вызывать удивления, т.к. он является хорошо известным следствием электромагнитных уравнений. Так называемый, «механическое количество движения (импульс) системы заряженных частиц, на которые не действуют внешние силы», как известно, не остается постоянным во времени. В противоположность этому заключению закон сохранения применяется только к сумме механических и электромагнитных моментов. Последнее утверждение относится, как к линейным, так и угловым моментам. Таким образом, в случае фотона, испускаемого солнцем, из его механического момента вычитается равный ему собственный электромагнитный момент. Поэтому представляет интерес вычисление линейного электромагнитного момента поля 2-х рассматриваемых движущихся зарядов для того, чтобы показать, что увеличение момента со временем, когда он добавляется к сумме уравнений (4) и (5), в итоге даёт нулевой результат. В гауссовых единицах электромагнитный момент на единицу объёма определяется выражением 4) . Будем считать, что положение точки наблюдения P на рис.1 определяется вектором от заряженной частицы , скорость которой характеризуется вектором , и вектором от заряженной частицы , скорость которой характеризуется вектором . Пусть будут векторами э/м поля, обусловленного первым токовым элементом, а - то же для второго токового элемента. Тогда электромагнитный линейный момент на единицу объёма, может быть представлен в виде:

Очевидно, что два члена с одинаковыми индексами остаются неизменными и соответствуют электромагнитным массам индивидуальных зарядов при ускоренном движении. Так как мы интересуемся только взаимодействием одного токового элемента с другим, нам необходимо оставить здесь только члены выражения, общие для обоих зарядов, и вычислить эту часть электромагнитного линейного момента на единицу объёма, представленную в виде:

Так как уравнение (2) для вектора H является уравнением первого порядка, мы должны оставить в уравнении (3) для E только первый член, чтобы получить через члены второго порядка. Таким образом,

Проинтегрируем выражение (7) по всему пространству с целью получения общего выражения для взаимного электромагнитного линейного момента . Для того, чтобы облегчить эту процедуру, раскроем тройное векторное произведение (7) и введём сферические координаты с началом О и осью OZ системы полярных координат.

Из тригонометрического выражения для константы найдём 5), что Поэтому элемент объема может быть записан в виде , где - переменные величины. При < пределами для величины являются и , в то же время при > величина изменяется в пределах от до . Интегрирование выражения (7) не встречает затруднений и приводит к результату:

Читатель может легко убедиться, что добавление производной по времени от к сумме уравнений (4) и (5) в итоге дает нулевой результат и, таким образом, подтверждает ранее высказанное положение о том, что сумма механических и электромагнитных линейных моментов остается постоянной во времени. Фактически электромагнитный момент не остаётся постоянной величиной при изменении вектора , когда векторы скоростей и различны. Последнее приводит к требованию, чтобы э/м силы действия и противодействия между 2-мя движущимися зарядами не были бы равными по величине и обратными по направлению. В противном случае суммарный момент (включающий э/м момент поля) не остаётся постоянным во времени.

Затем вычислим вращающие моменты в произвольной точке С (рис. 1) для сил от и для сил от . Обозначив радиус-векторы двух зарядов по отношению к точке С как и , получим следующие выражения для суммы вращающих моментов магнитных (9) и электрических (10) сил:

Очевидно, что результирующий вращающий момент, полученный путём суммирования формул (9) и (10), в общем, не обращается в нуль, тем самым указывая на то, что механический угловой момент пары движущихся зарядов не остаётся постоянным во времени. Отсюда можно заключить, что этот дисбаланс обусловлен изменением электромагнитного момента, к вычислению которого мы сейчас переходим.

Относительно точки С радиус-вектор точки наблюдения P может быть представлен в виде . Поэтому общий электромагнитный угловой момент на единицу объёма есть

Интегрируя по всему пространству, получим выражение для общего взаимного электромагнитного углового момента относительно точки С :

которое в более симметричной форме можно представить в виде:

Из сравнения уравнений (8) и (11) следует, что часть первого момента, включающая скорость V1 первой частицы, следует рассматривать как локализованную на второй частице и наоборот. Производная по времени от , сложенная с вращательными моментами сил, действующих на два токовых элементов как сумма уравнений (9) и (10), даёт нулевой результат в согласии с законом сохранения суммы механических и электромагнитных угловых моментов. По отдельности ни один из этих 2-х типов угловых моментов в общем случае не постоянен во времени (даже в том случае, когда нет внешних вращающих моментов).

Нужно отметить, что вследствие отсутствия в составе численного ряда вектора H членов нулевого порядка, величины и имеют второй порядок малости. По этой причине закон действия и противодействия не может быть выполнен за счёт членов второго или более высоких порядков малости.

Наконец, необходимо распространить наш анализ на случай 2-х обычных токовых элементов, в каждом из которых имеет место ассоциация движущегося со скоростью V электрического заряда (е) с равным ему по модулю неподвижным зарядом (-е). Так как суммарный заряд каждого токового элемента равен нулю, электрическая сила их взаимодействия исчезает, и результирующая сила взаимодействия элементов определяется только формулой (4).

Электрическое поле каждого токового элемента, обусловленное членами рядов нулевого порядка малости, обнуляется в каждый момент, когда движущийся заряд практически совмещается со стационарным зарядом противоположного знака. В этот момент взаимный электромагнитный линейный момент исчезает. Однако, момент и в этом случае не равен нулю, так как заряды (е) и (-е) разделены и по этой причине, в общем случае, временная производная от не обнуляется. Обозначим координаты 2-х токовых элементов соответственно (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) так, чтобы выполнялись равенства:

Отсюда следует, что необходимо дифференцировать оба набора координат зарядов в том случае, когда дифференцируются величины и , появляющиеся в уравнении (8), где оба заряда (е1) и (е2) являются движущимися. Но в случае полных токовых элементов, который сейчас обсуждается, выражение для взаимного электромагнитного линейного момента содержит, в дополнение к правостороннему члену уравнения (8), член

в котором (е1) - движущийся заряд, а (-е2) - стационарный, а также член

в котором (е2) - движущийся заряд, а (-е1) - стационарный. При дифференцировании первого из этих выражений необходимо удерживать постоянными координаты (x2, y2, z2), а при дифференцировании второго - координаты (x1, y1, z1). Окончательный результат тот же, что и при дифференцировании уравнения (8): вначале дифференцирование идёт только по координатам (x2, y2, z2), которые неявно содержаться в и внутри первых скобок, и затем - только по координатам (x1, y1, z1) внутри вторых скобок.

Возрастание со временем величины приводит к «отрицанию» уравнения (4), что подтверждает сохранение суммы механических и электромагнитных моментов.

Применение

Пример взаимодействия движущихся зарядов согласно более ранней теории, имеющей большой исторический интерес, иллюстрирует рис. 2. На рисунке показаны два заряда, равные по величине и противоположные по знаку, которые движутся с одной и той же постоянной скоростью V в направлении, составляющим угол с вектором расстояния между ними. Очевидно, что величина постоянна во времени, и, следовательно, силы между токовыми элементами равны и противоположны, хотя это и не соответствует действительности. Однако, для вращающих моментов имеем

и поэтому существует равный и противоположный вращающий момент, действующий на движущиеся заряды, а именно,

в смысле увеличения угла .

Рис.2. Эксперимент Trouton и Noble.

Схема на рис. 2 отвечает устройству, использованному в эксперименте Trouton и Noble и возбудившему большой интерес последнего поколения исследователей. Электрические заряды расположены здесь на положительно (АВ) и отрицательно (СD) заряженных пластинах плоского конденсатора, параллельных друг другу. Trouton и Noble, исходя из уравнения (12), заключили, что заряженный конденсатор, увлекаемый Землей при её движении вокруг Солнца, будет так поворачиваться вокруг своей оси, чтобы его пластины всегда оставались параллельными направлению движения - явление, которое, очевидно, расходится с принципом относительности.

Ошибочность этих рассуждений заключается в пренебрежении вращающим моментом сил, действующих на пластины конденсатора со стороны электроизолирующей прокладки, необходимой для того, чтобы предотвратить сближение пластин вследствие их взаимного электрического притяжения. Нулевой результат эксперимента полностью подтвердил действие принципа относительности, который требует, чтобы силы, действующие со стороны прокладки, обеспечивали бы те же отклонения пластин конденсатора, что и электромагнитные силы.

Далее, рассмотрим две заряженные частицы, которые под влиянием их силового взаимодействия двигаются вокруг их общего центра масс, например, как электрон и протон - частицы, составляющие атом водорода. Будем также считать, что скорости частиц достаточно малы, так что вполне можно пренебречь изменением массы частиц со скоростью. Здесь нулевой порядок малости отвечает обратно-квадратичным силам притяжения (отталкивания) закона Кулона, под действием которых частицы будут вращаться вокруг общего центра масс с постоянным угловым моментом.

Покажем, что при учете сил второго порядка малости, механический угловой момент не остается постоянным, и в случае приближённо-эллиптической орбиты движения частиц, колеблется между минимумом в перигелии и максимум в афелии.

Примем центр масс зарядов в качестве начала координат и обозначим, как и радиус-вектора 2-х частиц, отвечающих массе и заряду - и . Пусть - расстояние между 2-мя частицами, и - угол в плоскости орбиты, которая линия, соединяющая частицы, делает с некоторой фиксированной линией. Вычислим из уравнения (11) электромагнитный угловой момент относительно центра масс:

Но , и, если есть приведенная масса, то

что учитывает увеличение . Однако, поскольку рассматривается движение, отвечающее учёту членов нулевого порядка, величину можно считать положительной константой и выражение (13) может быть преобразовано к виду:

водород заряд динамика

Если заряды имеют противоположные знаки, сила нулевого порядка есть сила притяжения и является положительной величиной, достигающей своего максимального значения, когда частицы максимально сближены друг с другом. Таким образом, поскольку сумма механических и электромагнитных угловых моментов должна оставаться постоянной, механический угловой момент при максимальном сближении частиц имеет минимальное значение.

В случае эллиптической орбиты величина механического углового момента колеблется между наименьшим значением в перигелии и наибольшим в афелии. С другой стороны, когда заряды имеют одинаковые знаки и силы нулевого порядка малости являются силами отталкивания, становиться отрицательной величиной и по этой причине при максимальном сближении частиц электромагнитный угловой момент принимает минимальное (алгебраическое) значение, а механический угловой момент - максимальное. Так как механический угловой момент нулевого порядка малости в любом случае выражается как , уравнение (14) можно рассматривать, как выражающее электромагнитный угловой момент в единицах механического углового момента нулевого порядка при расстоянии r между частицами. Если от задачи для 2-х заряженных частиц перейти к задаче с одной заряженной частицей, удалив другую на бесконечность, то величина исчезает, как и ожидалось.

В качестве следующего примера рассчитаем взаимный электромагнитный момент для двух отдельных замкнутых цепей на рис.3, которые обозначим индексами «1» и «2». Расчёту подлежит не взаимный момент 2-х элементов одной и той же цепи, а момент пары токовых элементов, в которой один является частью первой цепи, а другой - частью второй.

Вначале рассмотрим случай, когда отсутствует нейтрализация электрического поля движущегося заряда равным ему по величине стационарным зарядом противоположного знака.

Заменив (е1) и (е2) в уравнении (8) на (dе1) и (dе2) и используя соотношение получим после интегрирования уравнения (8) по цепи «2»:

Затем, для вычисления циркуляции по контуру (2) положим . Далее, используя тождество,

что позволяет в выражении для объединить два последних интеграла. Выполняя следующее интегрирование по контуру «2» и поступая таким же образом с первыми двумя интегралами нового выражения, получим окончательно для электромагнитного линейного момента двух контуров,

Пока токи неизменны, величина также постоянна и, следовательно, силы действия и противодействия между цепями «1» и «2» равны по величине и противоположны по направлению.

Наконец, если, как и в обычной цепи постоянного тока, движущийся заряд в каждом контуре отвечает равному по величине и противоположному по знаку неподвижному заряду, то статическое электрическое поле повсюду равно нулю, а, следовательно, также равны нулю, как величина , так и её производная по времени. Поэтому закон действия и противодействия остаётся неизменным для 2-х рассматриваемых контуров с постоянным током.

В заключение упомянем еще два примера, детали которых можно будет найти в нашей «Electrodynamics». Рассмотрим заряженный конденсатор (рис.4) с параллельными друг другу пластинами, расположенными перпендикулярно оси Y. Конденсатор помещён в однородное магнитное поле, параллельное оси Z. Пусть часть электронов поверхностного слоя верхней отрицательно заряженной пластины станет свободной, например, под действием фотоэлектрического эффекта. В результате влияния комбинированных э/м полей свободные электроны будут описывать циклоиды, показанные на рис.4. В нижней точке циклоиды они будут приобретать линейный механический момент в направлении, параллельном оси X.

Рис.4. Движение электронов в перпендикулярных полях

Можно легко показать, что приобретаемое таким образом увеличение механического линейного момента свободных электронов точно соответствует уменьшению величины их электромагнитного линейного момента в направлении оси Х. Последнее обусловлено ослаблением напряженностей электрического и магнитного полей вследствие перемещения и движения свободных электронов.

Наконец, рассмотрим сферу (рис.5), которая равномерно намагничена в направлении SN и так же имеет на своей поверхности равномерно распределенной положительный электрический заряд.

Рис.5. Намагниченная и заряженная сфера.

На рис.5 изолинии магнитного поля обозначены сплошными линиями, а изолинии электрического поля - пунктирными.

Очевидно, что электромагнитное поле обладает положительным угловым моментом относительно SN-магнитной оси. Теперь предположим, что отрицательный ион, ранее находящийся в в состоянии покоя, приближается к сфере под электрическим притяжением положительных зарядов её поверхности. Находясь под действием отклоняющих сил магнитного поля, ион приобретёт положительный угловой момент относительно SN-магнитной оси. Этот момент он может передать сфере при столкновении с ней. Можно без труда показать, что механический угловой момент, приобретённый сферой при её столкновении с отрицательным ионом, будет равен электромагнитному угловому моменту, потерянному сферой в результате ослабления её электрического поля из-за присоединения отрицательного иона.

Размещено на Allbest.ru