Свободное падение в гравитационной теории

Размещено на http://www.allbest.ru/

Свободное падение в гравитационной теории

Аннотация: Пояснение Эйнштейна о движении перигелия Меркурия было проверено астрономическими наблюдениями. Его формула также может быть получена в метрике Шварцшильда и опубликована уже в 1898 году. Движение вдоль прямой геодезической, а именно, свободное падение в гравитационный центр с исчезающим угловым моментом, неправильно описывается как уравнениями Эйнштейна, так и уравнением движения Шварцшильда. Физическое решение для свободного падения может быть получено путем учета зависимости массы от скорости в гравитационном законе Ньютона, принятой в физике ускорителей

свободный падение гравитационный теория

Введение

В 1915 году Эйнштейн опубликовал свою знаменитую статью об объяснении движения перигелия Меркурия как первого приложения его новой теории гравитации[1]. Он пришел к той конкретной формуле для продвижения перигелия, которую Гербер получил в 1898 году [2] на основе зависимого от скорости гравитационного потенциала. Зависимость скорости, выбранная Эйнштейном, была несколько иной, но в приближении рассматривался его результат, согласованный с Гербером. С тех пор соответствие формулы Гербера и астрономических наблюдений на орбите Меркурия рассматривается как краеугольный камень, подтверждающий геометризированную теорию гравитации Эйнштейна (ОТО), который был опубликован в 1916 году (ссылка 3), цитируя предыдущую статью 1915 года.

В этой статье мы покажем в гл. II, что Эйнштейн фактически не использовал свое уравнение равновесия ОТО, но использовал уравнение Ньютона с небольшой модификацией гравитационного потенциала, когда он вычислил аномальную орбиту Меркурия. Таким образом, его теория страдает от того же недостатка, что и у Ньютона, а именно, при падении свободных масс достигают сверхсветовых скоростей в зависимости от их начальной скорости на бесконечности.

Эта проблема не возникает в решении Шварцшильда 1916 г. [4], которое мы обсудим в гл. III. Это приводит к уравнению движения, которое отличается от Эйнштейна, но оно также приводит к формуле Гербера. В двух письмах к Эйнштейну и Зоммерфельду Шварцшильд назвал это «чудом», что его абстрактная идея приводит к такому же практическому результату, опубликованному Гербером в 1898 году и Эйнштейном в 1915 году.

Однако если применить уравнение движения Шварцшильда к свободному падению массивной точки с исчезающим угловым моментом, можно найти, что кинетическая энергия точки массы уменьшается, а частица останавливается на радиусе Шварцшильда. Это решение позволяет избежать сверхсветовых скоростей, но оно все-таки не является физическим.

В разд. IV, мы модифицируем уравнение движения Ньютона путем введения зависящей от скорости массы, которая хорошо описывает поведение частиц в ускорителях частиц и позволит избежать решения, предсказывающее преодоление светового барьера при свободном падении. Кинетическая энергия частицы неограниченно возрастает, когда она попадает в предполагаемую особенность при r = 0. Обсуждаются последствия для замкнутых орбит. Будет получена опережающая поправка к перигелию, которая составить одну треть, получаемой из формулы Гербера-Эйнштейна.

I. Формула Эйнштейна 1915 года для перигелия

В главе IIсвоей статьи по перигелию [1]В названии статьи читаем: Erklarung der Perihelbewegung des Merkuraus der allgemeinen Relativitatstheorie (Explanation of the Perihelion Motion of Mercury from General Relativity Theory).Как будет показано в гл. II и в Приложении, это не соответствующее истине название, поскольку вывод Эйнштейна формулы Гербера ошибочно. Его "объяснение" не имеет силы. Эйнштейн вывел уравнения движения (7 E) точки массы в гравитационном поле. В низшем порядке уравнения идентичны с ньютоновскими, но в более высоком порядке Эйнштейн находит из своей теории уравнения движения

Вместе с точным сохранением углового момента

и определением

получаем (7b E)

Эйнштейн заявляет, что этот результат может быть записан в виде:

но это неверно, кроме как при выполнении условия

Это относится к исчезающей полной энергии А = 0, соответствующей параболической орбите. Однако уравнение Эйнштейна,

которое он вывел из (7bE) относится к замкнутым орбитам. Это не следует из его геометризируемого закона тяготения, но следует из уравнения движения Ньютона с модифицированным зависящим от скорости потенциалом

Когда он вычислил продвижение перигелия из уравнения (11 E), он не подсчитал последний интеграл, но он переформулировал свой конечный результат таким образом

что он стал идентичен формуле Гербера. Трудно проследить, почему он трансформировал свой прямой и более простой результат

путем введения орбитального периода T в форму (14 E), которая ему не была известна в соответствии с его собственным утверждением.

Для случая B = 0, который соответствует свободному падению точки замерзания с исчезающим угловым моментом, уравнение движения Эйнштейна (7c E) совпадает с уравнением Ньютона и имеет тот же недостаток. Для начальной радиальной скорости на бесконечности, очень близкой к скорости света, получается из уравнения Ньютона для энергии

приводящие к сверхсветовой скорости, например, для космических излучений. Это результат отмены массы в законе Ньютона, так что зависимость скорости игнорируется. Вернемся к этой проблеме в гл. IV. Но прежде мы обсудим решение Шварцшильда и его последствия для движения планет.

II. Движение планет в метрике Шварцшильда

Уравнение Эйнштейна Rij = 0 в пустом пространстве имеет решение в виде элемента Шварцшильда [7]

Порожденного точечной массой М, где G - гравитационная постоянная и - удвоенный радиус Шварцшильда. Для движения в плоскости = /2 необходимо решить следующее уравнение

с интегралом

отражающим факт сохранения углового момента, и

с интегралом

Сохранение энергии следует из (2) в виде

Подставив интегралы (4) и (6), и используя

получаем уравнение (11 Е) Эйнштейна, если подставить константу C2 = 1 + 2A. Корректно интегрируя это уравнение, получаем низший порядок по формулы Гербера (14 Е), как это было дано Эйнштейном.

Это было то удачное совпадение, что позволило Шварцшильду говорить о чуде. Однако если вычислить движение вдоль прямой геодезической в метрике Шварцшильда, например, свободное падение на гравитационный центр при исчезающем угловом моменте, получается результат, очень отличающийся от результата Эйнштейна. При vr = dr/dt уравнение (7) становится

Постоянная интегрирования может быть выражена через начальную скорость v2, где К = 1, так что радиальная скорость становится

По мере приближения массивной точки к радиусу Шварцшильда скорость стремится к нулю, а падающая масса останавливается с исчезающей кинетической энергией. Это не физическое решение, так как опыт показывает, что падающие объекты постоянно приобретают кинетическую энергию.

Необходимо сделать вывод, что ни версия Эйнштейна, ни версия Шварцшильда ОТО-решения для движения по геодезической прямой не согласуются с известными фактами. Очевидно, что необходимо учитывать зависимость массы от скорости, так как она применяется в физике ускорителей. Это будет рассмотрено в разделе IV.

III. Свободное падение массы, зависящей от скорости

Согласно закону Ньютона для массы, зависящей от скорости

Дифференцирование и скалярное умножение на вектор скорости дают

Интегрирование по времени приводит к виду (в терминологии Эйнштейна)

где постоянная интегрирования А выражена через начальную скорость на бесконечности. Уравнение (13) гарантирует, что радиальная скорость свободного падения никогда не может превышать скорость света. С другой стороны, энергия частицы увеличивается бесконечно при приближении к центру тяжести r 0

Решение (12) не согласуется как с решением Эйнштейна-Ньютона (1), так и с результатом Шварцшильда (9), но оно соответствует зависимому от скорости увеличению массы, установленному в физике ускорителей.

Наконец, вычислим влияние скорости, зависящей от массы, на движение перигелия для замкнутых орбитА< 0. Из сохранения углового момента следует

и мы имеем из (12),

Исключая касательную скорость, мы получаем для орбиты с r = 1/x

Подставляя константы параметрами эллипса Кеплера, где p-фокальный параметр, а e- эксцентриситет, получаем

Разложение этого выражения по << 1 дает

Интегрирование по х между нулями dx/dt дает для смещения перигелия за весь период

Эта величина составляет одну треть от величины, получаемой из формулы Гербера-Эйнштейна (13 Е). Тот же самый результат был получен Герольдом фон Глейхом уже в 1925 году Глубокий обзор теорий относительности можно найти в: GeroldvonGleich, EinsteinsRelativitatstheorienundphysikalischeWirklichkeit,JohannAmbrosiusBarth, Leipzig 1930. Репринт в подготовке

Заключение

Наш анализ показал, что проблема свободного падения на гравитационный центр не адекватно описана в рамках ОТО, будь то версия Эйнштейна или Шварцшильда. Мы также обнаружили, что Эйнштейн на самом деле не использовал уравнения движения, которые он получил в своей теории геометризованной гравитации, когда он вывел формулу опережения перигелия Меркурия, которая была опубликована Гербером за семнадцать лет до этого.

С учетом этих выводов сомнительно, способна ли геометризованная гравитационная теория, напоминающая законы Кеплера, описать динамические явления гравитационными силами. На практике только центр тяжести планеты может двигаться по геодезической линии в пространстве-времени, что практически совпадает с орбитой Кеплера, но все остальные массовые точки от этой линии исключены внутренним напряжением. Приливные силы вряд ли можно описать свободным от сил движением в пространстве-времени.

В равновесии, очевидно, необходимо сбалансировать гравитационные силы с упругими силами, которые держат объекты на поверхности земли, например. ОТО ничего не говорит нам, как эффекты изгиба пространства-времени связаны с повседневным опытом бесчисленных сил. Потребовались столетия, чтобы разработать чрезвычайно полезную и успешную физическую концепцию сил. Не стоит отказываться от нее с легким сердцем.

Приложение. Попытка решить уравнение Эйнштейна, чтобы получить формулу Гербера

Использование Эйнштейном переменной "s" в статье [1] не является однозначным. Это может привести к путанице, которую, однако, можно избежать путем устранения этой переменной и попытки прямого вывода его уравнения (11) из его уравнения движения (7b).

Эйнштейн находит с точностью до второго порядка

которое вместе с определением

дает эквивалентное уравнение

Скалярное умножение на компоненты dx/ds и суммирование дает:

Для x = 1/rи после исключения s получаем дифференциальное уравнение первого порядка

Из уравнений (8) и (10) мы имеем

так что «решение» Эйнштейна (11)

становится равным:

Это выражение не является решением уравнения (*).

В то время как формула Гербера может быть рассчитана из (11), это уравнение само по себе не является выводимым из уравнения движения, полученного Эйнштейном, вопреки утверждению в названии его знаменитой статьи [1].

Литература

A. Einstein, Koniglich-PreussischeAkademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte 1915 (part 2), p. 831.

2P. Gerber, Z. Math.Phys. 43, 93 (1898).

3A. Einstein, Ann. Phys. (Ser. 4) 49, 769 (1916).

4K. Schwarzschild, Koniglich-PreussischeAkademie der Wissenschaften,Sitzungvom 3.Februar 1916, p. 189.

5K. Schwarzschild, “Letter to Einstein,” The collected papers ofAlbert Einstein, Vol. 8, Part A: Correspondence 1914-1917, p. 224,Document 169.

6K. Schwarzschild, “Letter to Sommerfeld,” SelbstzeugnissegroBerWissen-schaftler, Kultur&Technik, Heft 4, 1987, VerlagDeutsches Museum,Miinchen.

7H. Bucerius and M. Schneider, HimmelsmechanikII (BibliographischesInstitut, Mannheim, 1967).

8G. von Gleich, Ann. Phys. Bd. 383, 498 (1925).

9M. Planck, Verhandl.Deutsch.Phys.Gesellschaft8, 136 (1906).

Размещено на Allbest.ru