Расчет смещений границ зоны проводимости при механическом воздействии

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Расчет смещений границ зоны проводимости при механическом воздействии

Е.М. Аксютина, С.А. Гинзгеймер, Р.В. Клюквин, С.В. Рыбкин ^1,2,3,4Калужский филиал Московского государственного технического университета им. Н.Э.Баумана

В случае, если на кристаллическую структуру, имеющую свободные электроны в зоне проводимости (электронная проводимость), или при неполном заполнении электронами валентной зоны (дырочная проводимость) действует внешнее электрическое поле, приводящее к нарушению состояния термодинамического равновесия, то оно порождает процесс переноса заряда. Носители заряда под действием электрического поля дрейфуют в направлении противоположном направлению электрического поля для электронной проводимости и в направлении, совпадающим с направлением поля, в случае дырочной проводимости. Коэффициент , связывающий компоненты дрейфовой скорости носителей с компонентами внешнего электрического поля называется подвижностью:

,(1)

Плотность электрического тока связана с дрейфовой скоростью:

, (2)

где - концентрация носителей заряда, а - величина заряда одного носителя.

Тогда компоненты вектора плотности тока могут быть выражены:

,. (3)

Входящая в состав правой части (3) компонента - называется удельной проводимостью и является величиной обратной удельному сопротивлению:

.(4)

При деформации кристаллических структур наблюдается зависимость удельного сопротивления от механического напряжения (тензорезистивный эффект).

Области тензорезистивного эффекта в указанном случае соответствует диапазон малых давлений, в котором сопротивление линейно падает с ростом . Численно эта зависимость может быть выражена:

,(5)

где и - удельное сопротивление и удельная проводимость недеформированного проводника, и - изменения этих величин, вызванные деформацией, - компоненты тензора пьезосопротивления 4-го ранга, - компоненты тензора механического напряжения 2-го ранга. Вследствие симметрии тензор является симметричным и имеет только 6 независимых компонент, которые можно считать компонентами шестимерного вектора:

, , , , , ,(6)

то же самое справедливо для тензоров и . Тогда в шестимерном пространстве:

.(7)

В случае гидростатического давления:

.(8)

Зависимость удельной проводимости от напряжения может быть выражена:

.(9)

Однако, данные о влиянии давления на концентрацию носителей заряда в диапазоне малых значений (до 10⁸Па) говорят об очень слабой зависимости , таким образом можно считать . Тогда из (9) следует:

,(10)

что позволяет оценить влияние механического напряжения на подвижность носителей заряда, исходя из экспериментальных данных о пьезоспротивлении материала.

Тогда для случая гидростатического давления:

, (11)

что дает для электронной проводимости для дырочной проводимости , при этом необходимо учитывать, что принимает отрицательные значения в случае сжатия и положительные в случае растяжения.

Деформации кристаллических структур вносят существенные изменения в их физические свойства. Изменяется электропроводность материала, подвижность носителей заряда, проявляется тензорезистивный эффект. Это связано с деформацией кристаллической решетки, изменением межатомного расстояния, а, следовательно, сдвигом энергетических зон, определяющих электрические свойства вещества. Действительно, взаимное расположение и ширина валентной и запрещенных зон, а также зоны проводимости характеризует проводник, диэлектрик или полупроводник.

Напряжение и деформация в кристаллах описываются тензорами 2-го ранга, которые связаны между собой тензором упругости 4-го ранга:

.(12)

Для расчета деформации при известных значениях напряжений используется:

,(13)

где - компоненты тензора податливости, который связан с тензором упругости:

. (14)

В состав каждого из тензоров и входит 81 компонента, однако вследствие симметрии независимыми являются только 21 из них, в этом случае более удобным является представление в следующем виде:

,(15)

.(16)

Для кристаллов кубической сингонии, к которым относятся алмазоподобные кристаллы, их количество сокращается до 3: c₁₁, c_12, c₄₄ и s₁₁, s_12, s₄₄ :

(17)

(18)

где компоненты отличные от нуля связаны между собой:

(19)

Усилие, приводящее к деформации кристалла, может прикладываться в произвольном направлении и, поэтому, его пересчет в систему координат, связанную с осями кристалла.

Если усилие прикладывается в направлении вектора (x',y',z'), то для его перевода в систему координат (x,y,z) понадобится матрица трансформации , которая определяется двумя поворотами: сначала плоскость xy поворачивается вокруг оси z на угол -ц, а затем вокруг оси y на угол -и:

(20)

Тогда тензор деформаций в системе координат, связанной с осями кристалла:

(21)

В настоящей работе были проведены расчеты тензоров деформации для алмазоподобных кристаллов на примере Si для случаев приложения усилия P вдоль осей [100] и [110]:

(22)

(23)

Деформации в кристаллических структурах приводят к изменению межатомного расстояния и, соответственно, параметров кристаллической решетки:

проводимость заряд тензор электрический

, ,(24)

где - вектор недеформированной решетки, а - вектор деформированной решетки, а - компоненты тензора деформаций.

Энергия электрона изменяется при деформации кристалла на величину:

, (25)

где - энергия при отсутствии деформации, - компоненты тензора деформационного потенциала, - компоненты тензора деформаций.

Известно, что минимумы зоны проводимости недеформированного кремния (долины) в пространстве квазиимпульсов при заданной величине энергии имеют вид эллипсоидов вращения и ориентированы вдоль осей. В общем виде выражение для определения смещение края зоны проводимости i-й долины j-го типа (j=X, L) при деформации выглядит:

, (26)

где единичный вектор i-ой долины минимальный для j-го типа, и - постоянные деформационного потенциала зоны проводимости j-го типа. Первое слагаемое сдвигает энергетические уровни все долин одинаково и пропорциональна гидростатическому напряжению . Разница в положениях энергетических уровней возникает благодаря второму слагаемому . Полученные значения для долин в случаях различных направлений одноосной деформации для кремния приведены в табл. 1.

Таким образом, имея значения компонент тензора деформаций, согласно (26) можно рассчитать смещения границы зоны проводимости в зависимости от прикладываемого усилия.

Таблица 1 Значения компонент тензора податливости

Полученные результаты показывают, что наблюдаются отличия в поведении границ зоны проводимости для разных энергетических зон и различных направлений приложения усилий. Это, в свою очередь, может позволить выбирать необходимую ориентацию кристаллической структуры с целью получения необходимых свойств материала.

Размещено на Allbest.ru