Концентрация носителей заряда в невырожденном полупроводнике

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Концентрация носителей заряда в невырожденном полупроводнике

Концентрация электронов в зоне проводимости собственного или примесного полупроводника определяется в общем случае в соответствии с соотношениями (3.9, 3.10, 3.12):

; (4.1).

Здесь: V - объем кристалла; ER - энергия потолка зоны проводимости. Для невырожденных полупроводников функцию Ферми-Дирака можно заменить функцией Максвелла-Больцмана в случае Е-ЕFi>kT

Выполнив необходимые преобразования, получим для концентрация электронов в зоне проводимости выражение:

. (4.3)

Величина называется эффективным числом состояний в зоне проводимости, приведенным ко дну зоны. NC является одной из важнейших характеристик полупроводникового кристалла. Ее значение для разных полупроводников приводится в справочниках. Для Si NC=2,8*1019 см -3.

Подобный расчет для дырок валентной зоны приводит к выражению:

. (4.4)

NV - эффективное число состояний в валентной зоне, приведенное к потолку зоны. Для Si NV=1,04*1019 см-3. Все, что было сказано относительно n0, относится и к р0.

Из приведенных соотношений видно, что n0 и р0 чрезвычайно сильно зависят от температуры Т, поскольку она входит в показатель экспоненты. Видно так же, что концентрация носителей заряда в зоне проводимости и в валентной зоне определяется положением уровня Ферми EF относительно дна или потолка энергетических зон. Чем ближе уровень Ферми, например, ко дну зоны проводимости, тем выше в ней концентрация электронов и тем меньше концентрация дырок в валентной зоне.

Собственная концентрация носителей заряда

Исходя из уравнения электронейтральности можно найти собственную концентрацию носителей заряда ni:

Видно, что ni определяется исключительно параметрами полупроводника: NC, NV, Eg, а также температурой Т. Поскольку Eg и T входят в показатель экспоненты, то зависимость ni от этих величин очень сильная. Графически эта зависимость изображается следующим образом:

.

Видно, что зависимость lnni от обратной температуры отображается прямой, угол наклона которой определяется шириной запрещенной зоны полупроводника Eg (рис.4.4).

Еще раз вспомним, что равенство играет важную роль в теории полупроводников и полупроводниковых приборов.

Величина ni в Si при комнатной температуре T=300К примерно равна 1010 см-3. В Ge ni 2,5*1013см-3. Число атомов твердого тела в 1см-3 1022. Таким образом, в Si один электрон зоны проводимости и одна дырка валентной зоны приходятся на 1012 атомов, в Ge на 109 атомов.

Концентрация носителей заряда и положение уровня Ферми в примесном полупроводнике n-типа

В примесном полупроводнике n-типа, электронном полупроводнике

n0 >> ni >> p0 ,

в полупроводнике р-типа, дырочном полупроводнике

р0 >> ni >> n0 ,

но в любом случае остается справедливым соотношение:

.

В характере зависимости концентрации носителей заряда от температуры можно выделить три области:

область низких температур (область примесной проводимости);

область истощения примеси;

область высоких температур (область собственной проводимости).

Рассмотрим этим три области.

Область низких температур.

В области низких температур энергия тепловых колебаний кристаллической решетки кТ << Eg. Поэтому вероятность перехода электрона из валентной зоны в зону проводимости чрезвычайно мала. В то же время этой энергии достаточно для перехода электронов с уровня донора в зону проводимости в силу того, что ЕД невелика и тоже много меньше Еg. Поэтому в зоне проводимости появляются электроны только за счет ионизации донорной примеси. Концентрацией дырок в валентной зоне в силу их чрезвычайной малости можно пренебречь.

Проводя вычисления, подобно случаю собственного полупроводника, можно получить, что концентрация электронов в зоне проводимости определяется соотношением:

n0 = . (4.15)

Видно, что n0 зависит от энергии ионизации примеси ЕД (энергии активации примеси), от температуры и, естественно, от концентрации примеси NД.

Область истощения примеси.

При некоторой температуре Тs все электроны с уровня донора перейдут в зону проводимости, то есть донорная примесь будет полностью ионизирована и концентрация электронов в зоне проводимости станет равной концентрации донорной примеси: n0 = NД. Концентрацией собственных носителей заряда, возникающих за счет перехода электронов из валентной зоны в зону проводимости, по прежнему пренебрегаем, в силу их малости. Возникает явление истощения примеси.

Температура TS составляет величину порядка 50К или -223оС. Выше TS концентрация электронов в зоне проводимости сохраняется практически неизменной и равной NД.

Область высоких температур.

Высокими считаются температуры, при которых происходит столь сильное возбуждение собственных носителей заряда, что их концентрация становится больше примесных:

ni > nпр = NД.

Поэтому концентрацию электронов в зоне проводимости можно считать равной концентрации дырок в валентной зоне.

Температура Тi составляет величину порядка Тi 660 К или 3900С..

Аналогичные соотношения можно получить для полупроводника р-типа, например, для концентрации дырок в валентной зоне для рассмотренных областей температур:

Аналогичные соотношения можно получить для полупроводника р-типа, например, для концентрации дырок в валентной зоне для рассмотренных областей температур:

1.; 2. ; 3. .

График зависимости, например, n0 от температуры строят в полулогарифмических координатах:

1. ;

2. ;

3. .

Видно (рис.4.6), что график образован тремя прямыми. В области низких температур угол наклона прямой определяется энергией активации примеси. В области температур истощения примеси концентрация электронов не зависит от температуры и график отображается горизонтальной прямой. В области высоких температур концентрация электронов сильно возрастает с повышением температуры и график отображается прямой, угол наклона которой определяется шириной запрещенной зоны.

Из приведенных примеров видно, что область истощения примеси лежит в температурном интервале примерно от -200 до +400оС. Полупроводниковые приборы работают, за редким исключением, в интервале температур -60 +150оС. Поэтому все электрофизические характеристики полупроводника в них определяются концентрацией примеси.

Исключительная чувствительность полупроводников к наличию примесей требует специальных методов выращивания чистых кристаллов. Так для собственного кремния концентрация примеси не должна превышать величины 1010 см-3, то есть один атом примеси приходится на 1012 атомов Si, что соответствует содержанию примеси 10-10 % - очень высокая степень очистки.

Полупроводники, содержащие одновременно донорную и акцепторную примеси

В технологии полупроводниковых приборов и интегральных микросхем широко используют полупроводники, которые содержат как донорную, так и акцепторную примеси. Зонная диаграмма таких полупроводников представлена на рисунке (4.7). Электроны стремятся занять состояния с минимальным значением энергии, поэтому они, прежде всего, переходят с уровня донора на акцепторный уровень. Происходит ионизация атомов примеси. В полупроводнике возникают неподвижные заряды ионов примеси: положительные на уровне донора и отрицательные на уровне акцептора. Если концентрация доноров NД > NA, то все акцепторные уровни будут заняты электронами с донорных уровней. Электроны валентной зоны потеряют возможность переходить на уровень акцептора. В то же время оставшаяся часть NД - NA атомов донорной примеси могут отдавать свои электроны в зону проводимости. Полупроводник будет иметь проводимость n-типа. Происходит как бы компенсация акцепторов донорами.

Если же NА > NД, то все электроны с уровня донора перейдут на уровень акцептора. Донорная примесь потеряет возможность отдавать электроны в зону проводимости. В то же время оставшаяся часть NА - NД атомов акцепторной примеси сможет захватывать электроны из валентной зоны. В этом случае имеем полупроводник р-типа - компенсация донорной примеси.

В принципе возможна полная компенсация примесей. Это возможно при NД = NА. Такой полупроводник подобен собственному с n0=р0=ni.

Дрейфовая проводимость полупроводников

Электрический ток в полупроводнике обусловлен движением носителей заряда под действием внешнего электрического поля с напряженностью Е. Для определенности будем рассматривать электрический ток, вызванный движением электронов, а затем полученные результаты обобщим на движение дырок.

Существование у реальных полупроводников электрического сопротивления - результат нарушения периодичности кристаллической решетки. Нарушения периодичности кристаллической решетки вызывается тепловыми колебаниями атомов - фононами и дефектами решетки: ионами примесей, дислокациями, дислоцированными атомами, вакансиями и так далее. На этих нарушениях решетки происходит рассеяние электронов, при которых они теряют свою энергию. Потери энергии и обуславливают электрическое сопротивление.

В отсутствии внешнего электрического поля, то есть E = 0, электроны зоны проводимости хаотически движутся в кристаллической решетке полупроводника, рассеиваясь на дефектах решетки (рис.5.1).

Пусть теперь к полупроводнику приложено постоянное электрическое поле с напряженностью Е. В этом случае наряду с хаотическим движением электронов зоны проводимости будет наблюдаться их упорядоченное движение в направлении противоположном полю. Возникает некоторая отличная от нуля средняя скорость упорядоченного движения электронов (рис.5.1). Эту скорость принято называть средней скоростью дрейфа электронов vдр.

Ясно, что она линейно зависит от напряженности электрического поля:

vдр = - nE,

здесь µn - коэффициент пропорциональности, который получил название подвижность электронов. Из соотношения видно, что подвижность - это дрейфовая скорость в электрическом поле единичной напряженности.

Плотность электрического тока - количество заряда переносимого через единичную площадку в единицу времени. Поэтому для плотности дрейфового тока электронов в полупроводнике можно записать

jn = qn0vдр = qn0nE.

Из сравнения приведенного выражения с законом Ома в дифференциальной форме:

j = E ( - проводимость, = 1),

следует, что электронная проводимость полупроводника равна:

n = qn0n. (5.3)

Аналогично можно рассмотреть движение дырок и для них записать соотношение для дырочной проводимости:

p = qр0p, (5.4)

где р - подвижность дырок..

Под действием электрического поля с напряженностью E в полупроводнике будет протекать ток, вызванный в общем случае движением электронов и дырок. Знаки зарядов и дрейфовых скоростей этих частиц противоположны, поэтому соответствующие токи складываются и

j = jn + jp = q(n0n + p0p)E,

Величина

q(n0n + p0p) = n + р = (5.5)

представляет удельную объемную проводимость полупроводника.

Эффект Холла

Эффектом Холла называется явление, состоящее в том, что при протекании тока вдоль проводящей пластинки, помещенной перпендикулярно силовым линиям внешнего магнитного поля, возникает поперечная разность потенциалов вследствие взаимодействия носителей заряда с магнитным полем.

Пусть имеется пластинка полупро-водника n-типа. Размеры пластинки: а - ширина; в - толщина; l - длина. По пластинке под действием внешнего электрического поля с напряженностью E в направлении оси Y протекает электрический ток плотности:

заряд полупроводник электрон

j = - qn0vдр . (5.11)

Знак « - » учитывает, что направление тока противоположно направлению скорости дрейфа электронов. Концентрацией дырок пренебрегаем.

Поместим пластинку в магнитное поле, направленное по оси Z с индукцией В. Тогда на электроны, движущиеся в магнитном поле, будет действовать сила Лоренца:

=.

Угол между и равен 900. Поэтому численное значение силы Лоренца:

Fл = qvдрВ. (5.12)

Она направлена согласно правилу «левой руки» по оси Х. Под действием силы Лоренца Fл электроны будут отклоняться в направлении оси Х. Боковая поверхность С пластинки при этом получит избыточный отрицательный заряд. На противоположной боковой поверхности D возникнет дефицит электронов, что приведет к появлению некомпенсированного положительного заряда ионов донорной примеси. Зарядка поверхностей С и D приведет к возникновению электрического поля, направленного от D к С и равного

Eн = , (5.13)

где Uн - э.д.с. Холла - разность потенциалов между точками C и D. Напряженность поля Eн будет расти до тех пор, пока сила, обусловленная этим полем

F = qEн,

не скомпенсирует силу Лоренца Fл (5.12)

qEн = qvдрВ.

Учитывая (5.13) и то, что vдр = , получим: Uн =jBa. Величина

Rн =

называется постоянной Холла и

Uн = RнjBa .

Учитывая, что j = J/ba, для постоянной Холла Rн получим:

Rн = ,

где J - полный ток, протекающий через пластинку полупроводника. Видно, что Rн - величина, которая может быть определена экспериментально.

В случае полупроводника р-типа направление силы Лоренца Fл остается прежним, так как направление вектора плотности тока не изменилось. Но теперь эта сила действует на дырки - положительные заряды и поэтому грань С окажется под положительным потенциалом относительно точки D. Следовательно, по знаку Uн можно определить знак носителей заряда в примесном полупроводнике. Для полупроводника р-типа

Rн = .

В случае собственного полупроводника с n0 = р0 =ni

.

Эффект Холла является мощным экспериментальным средством определения свойств носителей заряда в полупроводниках. Измерив постоянную Холла RН, можно определить концентрацию основных и неосновных носителей заряда

n0 =1qRн или р0 = 1qRн и n0р0 = ni2,

а по направлению э.д.с. Холла определить их знак.

Особую ценность имеют измерения зависимости постоянной Холла и проводимости полупроводника от температуры. Это позволяет изучить температурные зависимости концентрации носителей заряда. Далее, если, например, для полупроводника р-типа, определены Rн и проводимость р, то легко найти подвижность дырок, поскольку Rнр=р. Отсюда можно определить характер рассеяния носителей заряда. Зная (T), можно найти энергию ионизации примеси Еприм. и ширину запрещенной зоны полупроводника Еg.

Список литературы

1. Абрикосов, А. А. Методы квантовой теории поля в статистической физике / А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский. - М.: Добросвет, КДУ, 2006. - 512 c.

2. Боголюбов, Н. Н. Н. Н. Боголюбов. Собрание научных трудов в 12 томах. Квантовая теория. Том 10. Введение в теорию квантованных полей / Н.Н. Боголюбов. - М.: Наука, 2008. - 736 c.

3. Боголюбов, Н.Н. Введение в квантовую статистическую механику / Н.Н. Боголюбов, Н.Н.(мл.) Боголюбов. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1984. - 384 c.

4. Вальков, К. И. Геометрические аспекты принципа инвариантной неопределенности / К.И. Вальков. - М.: Ленинградский ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительный институт, 1975. - 144 c.

5. Вильф, Ф. Ж. Логическая структура квантовой механики / Ф.Ж. Вильф. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 256 c.

6. Волошин, М. Б. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц / М.Б. Волошин, К.А. Тер-Мартиросян. - М.: Ленанд, 2015. - 298 c.

7. Гейзенберг, В. В. Гейзенберг. Избранные труды / В. Гейзенберг. - М.: Едиториал УРСС, 2001. - 616 c.

8. Герцберг, Г. Спектры и строение двухатомных молекул: моногр. / Г. Герцберг. - М.: Книга по Требованию, 2012. - 418 c.

9. Гуревич, Г. С. Свет и тепло. Что излучает Солнце? Электромагнитные волны. Дифракция и интерференция (теория абсолютности) / Г.С. Гуревич, С.Н. Каневский. - М.: У Никитских ворот, 2012. - 397 c.

Размещено на Allbest.ru