Элементы квантовой механики

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Элементы квантовой механики



Корпускулярно-волновой дуализм

Квантовая механика - теория, устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц и их систем, а также связи величин, характеризующих частицы и их системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми на опыте.

До начала XIX века ученые считали, что свет - поток корпускул, мельчайших частиц. Но в 1818 году Френель, используя волновое представление природы света, объяснил все интерференционные, дифракционные, поляризационные явления. Победа волновой теории была окончательной и ее признание всеобщим.

Однако, ряд явлений не удавалось объяснить исходя из волновой природы электромагнитного поля. В частности, не удавалось объяснить фотоэффект и законы излучения абсолютно черного тела. Разрешить указанные противоречия удалось после того, как Макс Планк в 1900 году ввел понятие квантов энергии и объяснил законы излучения абсолютно черного тела, а Эйнштейн, используя гипотезу световых квантов - фотонов объяснил фотоэффект.

Согласно этим представлениям - любая электромагнитная волна, в частности свет, оптическое излучение, является потоком квантов энергии, фотонов излучения. Эти кванты энергии, фотоны ведут себя подобно материальным частицам. Они обладают энергией и импульсом:

Е = h , р = h/c = h/, (1.1)

где Е - энергия фотона, - частота излучения, с - скорость света, - длина волны излучения, р - импульс фотона, h = 6,63*10-34Дж с - постоянная Планка.

Таким образом, приходим к парадоксу - оптическое излучение, свет обладает одновременно свойствами, характерными как для волн, так и для дискретных частиц.

В 1924 году Луи де Бройль предположил, что двойственной природой обладает не только оптическое излучение, но и любые другие частицы микромира: электроны, протоны и т.д. То есть и для них должны выполняться соотношения:

Е = h , р = h/c = h/, (1.2)

здесь Е и р - энергия и импульс микрочастицы, - длина волны микрочастицы, - частота этой волны.

Гипотеза де Бройля подтвердилась в 1927 году, когда экспериментально наблюдали явление дифракции электронов на поверхности кристалла - чисто волновое явление.

Итак, всем объектам микромира свойственно проявление как волновых, так и корпускулярных свойств: корпускулярно-волновой дуализм (корпускулярно-волновая двойственность).

Причина двойственной природы поведения объектов микромира в том, что мы пытаемся объяснить то или иное явление с помощью наглядной картины, основанной на обыденном опыте человека. Классическая физика как раз и ограничивается рассмотрением явлений, которые имеют в языке адекватный словесный эквивалент.

Но для описания явлений микромира наши обыденные представления не подходят. Нет подходящего словесного описания для объектов микромира, которое бы объединяло и волновую и корпускулярную природу микрочастиц. Поэтому можно утверждать, что к волновому и корпускулярному описанию следует относиться как к равноправным и дополняющим друг друга. Проявление же волновых или корпускулярных свойств микрочастиц зависит от условий эксперимента. Эксперимент, предназначенный для описания волновых свойств частицы, автоматически исключает одновременное определение какого-либо корпускулярного свойства и наоборот.

Соотношение неопределенностей

Двойственная природа частиц выражается и в так называемых соотношениях неопределенностей, сформулированных в 1927 году Гейзенбергом.

Согласно этому соотношению невозможно одновременно точно определить положение микрочастицы и ее импульс. Это записывается следующим образом:

х р , (1.3)

где х - неопределенность координаты микрочастицы, р неопределенность ее импульса, = h2 . Отсюда следует: если точно известен импульс частицы р , т.е. р = 0, то невозможно определить ее положение и х . Аналогично для координаты микрочастицы.

Соотношение неопределенностей может быть записано и в следующем виде:

Е t , (1.4)

погрешность измерения энергии частицы определяется интервалом времени измерения в течении которого может быть произведено данное измерение.



Волны де Бройля

Любой микрочастице соответствует своя волна, определяемая соотношениями де Бройля (1.2):

Е = h , р = .

Сначала ученые предполагали, что волновым свойствам микрочастицы соответствует некое реальное физическое поле, подобное электромагнитному полю, излучаемому, например, антенной телецентра или радиолокационной станции.

Однако опыты по дифракции электронов на поверхности кристалла и интерференции на двух щелях показали, что вопрос значительно сложнее.

Из этих экспериментов был сделан вывод, что однозначно предсказать поведение отдельного электрона нельзя. Можно лишь говорить о том, что отдельный электрон с определенной долей вероятности попадет в то или иное место. И лишь при большом числе анализируемых электронов проявляются строгие закономерности их поведения - в данном случае проявление его волновых свойств.

Такое поведение частиц привело к статистическому толкованию волн де Бройля. Это толкование позволяет сочетать корпускулярные свойства частиц, их атомизм с волновыми явлениями.

При большом числе электронов, количество электронов, попавших в то или иное место, пропорционально интенсивности волн де Бройля в соответствующих направлениях.

Если же речь идет не о большом числе электронов, а об одном, то интенсивность волн де Бройля указывает вероятность попадания электрона в то или иное место, но вовсе не обязывает электрон к тому или иному поведению.

В таком понимании волны де Бройля не имеют ничего общего с волнами, рассматриваемыми в классической физике.

Итак, волны де Бройля дают статистическое описание движения микрочастиц: они определяют вероятность обнаружения частицы в данном месте пространства в данный момент времени.

Волновая функция. Уравнение Шредингера

Волновые свойства микрочастиц можно описать волновой функцией - (x,y,z,t). Вероятность обнаружить частицу в произвольный момент времени t в любой точке с координатами x,y,z пропорциональна квадрату модуля - (x,y,z,t)2, т.е. интенсивности волновой функции. Квадрат модуля используется для того, чтобы вероятность в любом случае была положительна. Волновая функция является математическим описанием волны де Бройля микрочастицы. Для простейших случаев вид волновой функции достаточно прост. Рассмотрим микрочастицу, движущуюся вдоль оси х от - до + (рис.1.6). Пусть импульс микрочастицы точно известен и равен р. Можно ли в качестве волновой функции взять

= Acos(kx - t) ?

Здесь: к - волновое число:

k = 2 = 2рh = (1);

= 2с ; - длина волны де Бройля; с - скорость света. В этом случае

2 = A2cos2(kx - t) . (1.5)

Видно, что в любой момент времени t на оси х нашлись бы точки, в которых невозможно обнаружить микрочастицу, тогда как в действительности ее можно с равной вероятностью найти в любой точке на оси. Это следует из соотношения неопределенностей хр : так как р точно известен, то р = 0 и х , что и означает равновероятное нахождение частицы в любой точке оси х. Поэтому для не подходят функции вида (1.5).

Попробуем в качестве волновой функции взять

= A (1.6)

Интенсивность волновой функции, поскольку она комплексная, определяется следующим образом:

2 = * = AA= А2 .

В данном случае получили, что интенсивность волновой функции не зависит от координаты х, т.е. микрочастица с равной вероятностью А2 может находится в любой точке оси х от - до + . Следовательно для свободно движущейся микрочастицы можно использовать волновую функцию в виде (1.6).

Волновая функция является решением соответствующего волнового уравнения, описывающего движение микрочастицы. Такое уравнение впервые угадал Шредингер. Вывести его он не мог. Вывести - это значит получить логическим путем из уже существующих законов, но они не применимы к принципиально новым подходам и понятиям в объяснении свойств микромира.

Если пренебречь зависимостью от времени, т.е. рассматривать стационарный случай, то уравнение Шредингера для случая одномерного свободного движения частицы с энергией Е вдоль оси х имеет вид:

, (1.7)

где:

к = . (1.8)

Если частица движется в потенциальном поле V(x), то волновое число принимает вид:

. (1.9)

Потенциальное поле V(х) характеризует действие внешних сил на микрочастицу.

Туннельный эффект

Пусть микрочастица с энергией Е движется в пространстве по оси х. На пути движения частицы потенциальное поле меняется в пространстве согласно условиям (рис.1.7):

х 0 V(x) = 0 ,

0 x d V(x) = V,

d x V(x) = 0.

Как видно, потенциальное поле меняется скачком от нуля до V в точке х = 0 и от V до нуля в точке х = d. Потенциальный барьер шириной d делит пространство на три области с разными значениями V(х).

Движение микрочастицы описывается уравнением (1.7), решение которого для области I имеет вид:

(1.10)

с волновым числом (1.8):

.

Первое слагаемое отвечает падающей на потенциальную ступень микрочастице, второе - отраженной. Поскольку микрочастица проникает в область II, то решение уравнения (1.7) для этой области имеет вид:

, (1.11)

с волновым числом (1.9):

.

Решение имеет одно слагаемое, поскольку в области II может существовать частица, прошедшая потенциальную ступень при х=0 и движущаяся только в направлении оси х

При анализе приведенных соотношений могут представиться два случая:

1. Е > V и 2. E < V.

1. Рассмотрим первый случай, так называемую низкий потенциальный барьер (E > V). В пределах потенциального барьера волна, соответствующая частице, остается гармонической, но с большей длиной волны (рис.).

Для получения непрерывной кривой на границе областей I и II, то есть в точке х=0, необходимо подобрать соответствующие коэффициенты А1, В1 и А2. Они могут быть получены из условий непрерывности в точке х=0 функций (х) и их производных ддх:

1(0) = 2(0) ; (1.12)

. (1.13)

Знание волновых функций (1.10, 1.11) позволяют определить основные параметры потенциального барьера: коэффициент отражения микрочастицы R и коэффициент прозрачности D.

Величина R характеризует вероятность отражения микрочастицы на границе областей и равна отношению потоков отраженной и падающей волн. Величина D характеризует вероятность прохождения микрочастицы во вторую область и равна отношению потоков прошедшей и падающей волн. Ясно, что должно выполняться равенство: 1 - R = D.

Простые расчеты для различных соотношений Е и V показывают, что существует конечная вероятность отражения частицы даже при значительном превышении энергии Е над высотой потенциального барьера V, что является следствием наличия у микрочастицы волновых свойств. С точки зрения классической механики при условии Е > V частица обязательно должна преодолеть барьер.

После прохождения частицей потенциального барьера ее длина волны становится прежней.

2. Рассмотрим второй случай E < V, высокий потенциальный барьер. В этом случае для области II волновое число k2 имеет вид:

.

Однако, волновая функция микрочастицы:

Видно, что характер волновой функции микрочастицы изменился: из периодической она стала экспоненциально-затухающей (Рис). Следовательно, по мере продвижения вглубь потенциальной ступени вероятность обнаружить частицу уменьшается. Относительная вероятность найти частицу в области II при каком-либо значении х будет определяться из выражения

==. (1.17)

Экспонента в (1.17) быстро убывает с ростом х, поэтому, например, при V-E = 1 эВ и х = 10 она составляет величину 10-8.

Расчет для коэффициента прозрачности потенциального барьера в этом случае приводит к соотношению:

. (1.18)

После прохождения потенциального барьера волновая функция микрочастицы будет определяться соотношениями:

, ,

из которых следует, что ее энергия и длина волны оказываются такими же, как и до прохождения барьера.

Итак, частица с какой то вероятностью может пройти барьер даже при V Е, не изменяя своей энергии. В этом сущность туннельного эффекта. В классической механике такое событие невозможно.

Туннельный эффект широко используется в полупроводниковых приборах и микросхемах - стабилитронах, туннельных диодах, омических контактах и т.д.

Микрочастица в прямоугольной потенциальной яме

частица квантовый волна неопределенность

Рассмотрим поведение частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме (рис.1.10), т.е. потенциальное поле характеризуется следующим распределением:

х 0 V(x) = ,

0 x V(x) = 0,

а x V(x) = .

Частица с энергией Е движется в потенциальной яме, отражаясь от стенок.

Волновая функция частицы

(х) = Аеikx + Be-ikx

является суммой отраженной и падающей волн. Поскольку глубина ямы - бесконечность, на границах ямы должны выполняться граничные условия:

1.(0) = 0, отсюда А = -В;

2.(а) =А(еika - e-ika) = 0 или coska + isinka - coska + isinka = 0, то есть

sinka = 0.

Последнее равенство выполняется, если к принимает значения:

, n = 1, 2, 3 …

Отсюда следует, что в рассматриваемой бесконечно глубокой потенциальной яме для микрочастицы разрешены только такие значения волнового числа кn, которые удовлетворяют приведенному равенству.

Так как волновое число к = 2, то получим, что должно выполняется условие:

.

Следовательно, на ширине ямы должно укладываться целое число полуволн де Бройля, что совпадает с условием возникновения стоячих волн.

Так как

рn = kn = ,

то видно, что импульс частицы в потенциальной яме может принимать лишь дискретный ряд значений. Соответственно, это относится и к энергии:

= . (1.19)

Таким образом энергия частицы в потенциальной яме принимает дискретный ряд значений в зависимости от величины n - квантового числа (рис.1.11). Этим значениям энергии соответствуют волновые функции:

n(х) = 2iAsin

Они характеризуют вероятность нахождения частицы в той или иной точке потенциальной ямы.

Следует обратить внимание, что случай с n = 0 исключается. При n=0 0 0, а это свидетельствует о отсутствии частицы в потенциальной яме, что противоречит условиям рассматриваемой задачи.

Эта задача представляет интерес, так как потенциальная яма является первым приближением к модели того силового поля, которое связывает электроны в атоме или атомы в кристаллической решетке.

Список литературы

1. Абрикосов, А. А. Методы квантовой теории поля в статистической физике / А.А. Абрикосов, Л.П. Горьков, И.Е. Дзялошинский. - М.: Добросвет, КДУ, 2006. - 512 c.

2. Боголюбов, Н. Н. Н. Н. Боголюбов. Собрание научных трудов в 12 томах. Квантовая теория. Том 10. Введение в теорию квантованных полей / Н.Н. Боголюбов. - М.: Наука, 2008. - 736 c.

3. Боголюбов, Н.Н. Введение в квантовую статистическую механику / Н.Н. Боголюбов, Н.Н.(мл.) Боголюбов. - М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства "Наука", 1984. - 384 c.

4. Вальков, К. И. Геометрические аспекты принципа инвариантной неопределенности / К.И. Вальков. - М.: Ленинградский ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительный институт, 1975. - 144 c.

5. Вильф, Ф. Ж. Логическая структура квантовой механики / Ф.Ж. Вильф. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 256 c.

6. Волошин, М. Б. Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц / М.Б. Волошин, К.А. Тер-Мартиросян. - М.: Ленанд, 2015. - 298 c.

7. Гейзенберг, В. В. Гейзенберг. Избранные труды / В. Гейзенберг. - М.: Едиториал УРСС, 2001. - 616 c.

8. Герцберг, Г. Спектры и строение двухатомных молекул: моногр. / Г. Герцберг. - М.: Книга по Требованию, 2012. - 418 c.

9. Гуревич, Г. С. Свет и тепло. Что излучает Солнце? Электромагнитные волны. Дифракция и интерференция (теория абсолютности) / Г.С. Гуревич, С.Н. Каневский. - М.: У Никитских ворот, 2012. - 397 c.

Размещено на Allbest.ru

...