Применение метода итераций для исследования длительного взаимодействия бегущей волны с потоком носителей заряда в полупроводниках

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Применение метода итераций для исследования длительного взаимодействия бегущей волны с потоком носителей заряда в полупроводниках



Основные уравнения

При рассмотрении процессов взаимодействия дрейфующих электронных потоков в твердых телах с электрическим полем бегущей волны должна быть решена задача о наведении ВЧ - полей в различных электродинамических структурах. Последние, в зависимости от конкретных типов приборов, могут представлять собой различного вида замедляющие системы. В частности, в твердотельных усилителях бегущей волны, как правило, используются металло-диэлектрические покрытия на поверхности кристалла [1]. В акустоэлектрических усилителях своеобразной замедляющей системой является кристаллическая решетка, обладающая пьезоэлектрическими свойствами [2].Независимо от конкретного типа электродинамической структуры проведем анализ лишь для согласованных с обоих концов волноведущих структур, а для решения поставленной задачи воспользуемся уравнением возбуждения, описывающим только попутную с носителями волну электрического поля, бегущую в направлении х [3]:

пьезополупроводник электрический воле волна

E'(x)+jb_oE(x)= - K_ob_o²I(x)/2, (1)

где b_o - фазовая постоянная бегущей волны, K_o - сопротивление связи, I(x) - переменная составляющая конвекционного тока носителей.

При составлении уравнения для сгруппированного тока носителей в твердом теле воспользуемся следующими усредненными уравнениями, справедливыми для гидродинамической модели одномерного потока заряженных частиц [4]:

V' + nV + р'(х) V_t²/р = h[Е(х) + E_q(x)], (2)

I'(x) + p'_t = 0, (3)

E_q'(x) = p/e_o, (4)



В дальнейшем ограничимся режимом малого сигнала, предполагая для всех основных параметров временную зависимость вида exp [jwt]. В этом приближении получаем следующее выражение для переменной составляющей сгруппированного тока [4]:

(l-V_t/V) I» (x)+(2jb_e+b_n) I'(x) - (b2_e-b2_p) I(x)=jBE(x), (5)

где b_e = w/V, b_n = n/V, b_р = w_р/u, В = e_ow.

Заметим, что при выводе уравнения (5) использована связь кулоновского ноля пространственного заряда с током в предположении и бесконечно широкого потока.

Анализ невозмущенных электронных волн

При выводе уравнения (5) предполагалось, что на входе в пространство взаимодействия электронный поток не модулирован ни по скорости ни по плотности. При решении задачи в общем виде в полный интеграл уравнения (5) должны входить слагаемые, являющиеся общим решением однородной части уравнения и представляющие собой волны пространственного заряда. Постоянные распространения этих волн могут быть представлены в виде:

b₁ = b_e - b_pn - jb_n/2, (6)

b₂ = b_e + b_pn - jb_n/2, (7)

где: b_pn = [b2_р - (b_n/2)²]^1/2.

Из соотношений (4) - (7) следует, что характер процессов в электронном потоке определяется соотношением между эффективной частотой столкновений и удвоенной плазменной частотой.

При условии 2w_р > v волны пространственного заряда имеют одинаковые декременты затухания и различные фазовые скорости, а в случае, когда 2w_р < v, волны имеют одинаковые по модулю фазовые скорости, равные средней скорости дрейфа и различные декременты затухания. Причина такого изменения проясняется если записать уравнение для сгруппированного тока в системе координат, движущейся со средней скоростью дрейфа носителей:

I» + nI' + w_р²I = 0. (8)

Это уравнение описывает собственные затухающие колебания с частотами

w_1,2 = -n/2 ± [(n/2)² - w_р²]^1/2. (9)

Из (9) следует, что при условии, когда удвоенная плазменная частота больше чем эффективная частота столкновений в системе распространяются затухающие плазменные колебания, а при нарушении этого условия плазменные колебания отсутствуют и волны пространственного заряда можно рассматривать как процесс переноса релаксационных колебаний.

Поскольку учет тепловых скоростей в общем случае существенно усложняет рассмотрение, дальнейший анализ проведем для практически важного случая, когда частота столкновений велика, а средняя скорость теплового движения носителей значительно превосходит их дрейфовую скорость. Тогда выражения для постоянных распространения волн пространственного заряда приобретают вид:

b₁ = b_е - jb_c(1 +w²/w_cw_d), (10)

b₂=-b_e + jb_?[V/V_t]². (11)

где: w_d = V²/D_n, b_c = w_c/V

Как следует из (11), одна из волн пространственного заряда является встречной. Исключим ее из дальнейшего рассмотрения т.к. нас интересует только длительное т.е. синхронное взаимодействие с бегущей в волноведущей системе волной. Тогда для рассматриваемого случая частное решение (5) имеет вид:

I(x) = jb_cwe_oj?E(x) exp[-jb₁(x-x)] dx. (12)

Необходимо отметить, что наличие тепловых скоростей при определенных условиях приводит к сильному затуханию прямой волны пространственного заряда. Это связано с параметром, который можно определить так:

w²/w_dw_с = [2pVl_d/V_ol]², (13)

где: l - длина волны в волноведущей системе, l_d - радиус Дебая.

Из выражения (13) следует что когда длина волны в волноведущей системе значительно превосходит дебаевский радиус, влияние диффузии на процесс затухания прямой волны пренебрежимо мало, в то время как при l < l_d, действие диффузии становится определяющим, в результате чего прямая волна пространственного заряда сильно затухает. Таким образом, диффузия оказывает существенное влияние только на достаточно высоких частотах. Отсюда вытекает, что дебаевский радиус определяет ту характерную длину, в пределах которой электронные сгустки полностью разрушаются вследствие хаотического теплового движения носителей заряда.

Анализ взаимодействия носителей заряда с прямой волной электрического поля

Рассмотрим в качестве исходных уравнения (1) и (14) и воспользуемся методом последовательных приближений. За нулевое приближение примем поле волны, распространяющейся в волноведущей системе при отсутствии направленного потока носителей заряда:



Е(х) = E(0) exp[-jb_ox]. (14)

Подставляя (14) в правую часть (1), используем полученный результат для решения уравнения возбуждения (1). Это позволяет получить в первом приближении выражение для поля волны в конце волноведущей системы в следующем виде:

E(L) - E(0) exp[-jb_oL] {l - (2пDN)²F}, (15)

где D² = K_oSb_ew_сe_o, N = b_oL / 2p, S - площадь поперечного сечения взаимодействия

Функция F, определяющая среднюю за период комплексную электронную мощность взаимодействия сгруппированного тока с полем волны постоянной амплитуды имеет вид:

F = Re + Jm, (16)

где: Re =2 Ф_оО_c [O_c + exp(-O_c) cosФ_о-l]/(Ф_о²+Oc²), (17)

Jm =2Ф_оО_c [Ф_о - exp(-O_c) sin Ф_о]/(Ф_о² + O_c²), (18)

где Ф_о=(b_e-b_o) L, O_c=b_cL [l+w²/w_c--w_d].

Наиболее простой вид функция F приобретает в случае, когда параметр О_с равен нулю, т.е. без учета диффузии и пространственного заряда:

Re = [Ф_о - sin Ф_о] / Ф_о² (19)

Jm = [1 - cos Ф_о] / Ф_о² (20)

В режиме оптимального усиления (Re F минимальна):

Фо = - п (21)



Физически условие (21) означает, что электронный сгусток на протяжении всего пространства взаимодействия проходит исключительно тормозящий полупериод поля, отдавая волне свою энергию. Учет пространственного заряда и диффузии приводит к более сложному пространственному резонансу:

Ф_О = - О_с (22)

Это означает равенство времени релаксации электронного сгустка и периода изменения поля бегущей волны, что соответствует резонансу собственных релаксационных колебаний и колебаний поля в движущейся с электронами системе координат.

Необходимо особо отметить, что условие (22) соответствует режиму оптимального усиления лишь при достаточно больших значениях параметра О_с. При этом значительно упрощаются выражения (17) и (18), которые принимают вид:

Re = Ф_о /(Ф_о²+O_c²) (23)

Jm = O_c/(Ф_о²+O_c²) (24)

Из полученных выражений видно, что рост как пространственного заряда, так и диффузии ведет к значительному снижению эффективности усиления.

Все полученные в первом приближении результаты справедливы лишь для небольших значений параметра DN. С ростом величины этого параметра необходимо обращаться к высшим приближениям. В частности, выражение для электрического поля волны в волноведущей системе во втором приближении приобретает вид:



E(L)=E(O) exp[-jb_oL] {1 - (2пDN)²F+(2nDN)²F/2!}. (25)

Следует отметить, что все приведенные выше соотношения могут быть использованы и для описания акустоэлектрического взаимодействия. При этом роль сопротивления связи выполняет следующая комбинация параметров:

Ко = kV / Swe_о, (26)

где: k - коэффициент электромеханической связи.

Тогда выражение для полного поля в конце линии передачи приобретает вид:

E(L) = E(O) exp{-jb_oL - kb_oLF}. (27)

Полученное выражение в точности совпадает c результатом, полученным в теории Вайта на основании метода дисперсионного уравнения для достаточно большой длины пространства взаимодействия [2].

Анализ взаимодействия носителей заряда с обратной волной

Полученные выше результаты могут быть использованы и для анализа приборов с обратной волной (твердотельных аналогов ЛОВ). Для этого во всех соотношениях достаточно изменить знак перед сопротивлением связи. Тогда выражение для полного поля бегущей волны в первом приближении приобретает вид:

Е(х) = Е(0) exp[-jb_ox] {1+ (2пDN)²F}. (28)

Из (28) следует, что все процессы усиления и затухания, обусловленные взаимодействием носителей заряда с обратной волной, определяются экспоненциально меняющейся по амплитуде волной. Иначе обстоит дело, если рассматривать усиление в вакуумной ЛОВ. Как показано в [3], в ЛОВ усиление происходит благодаря интерференции парциальных волн. В этом заключается принципиальное различие между вакуумной и твердотельной ЛОВ, которое физически связано с необратимым процессом потерь в твердотельных приборах рассматриваемого типа.

Анализ пространственного заряда для образцов конечной толщины

Исследованию характера волнового движения в полупроводниковых образцах конечной толщины посвящено достаточно много работ, среди которых особо следует выделить [3]. Но как правило анализ проводится либо для случая, когда полупроводниковый образец либо покрыт слоем диэлектрика, либо для случая, когда к поверхности образца прилегает металлическая пластина. В настоящей работе удалось получить выражения для постоянных распространения волн пространственного заряда в полупроводниковом образце конечной толщины для практически важного случая, когда имеется диэлектрическое покрытие, к которому непосредственно прилегает металлическая пластина. Коэффициент ослабления продольной составляющей поля пространственного заряда рассчитан в режиме слабого сигнала (линейное приближение).

В качестве исследуемой модели рассмотрим полупроводниковый образец, имеющий конечные размеры в направлениях Y и Z. На образец нанесен слой диэлектрика, поверхность которого покрыта идеально проводящей металлической пластиной. Постоянное дрейфовое поле приложено в направлении оси Z.

В режиме слабого сигнала решение ищем в виде:

exp j [wt - bz - jГy], (29)

где: Г = у', - jb = z'.

Считаем также, что выполняется условие однородности потока носителей:

x' = 0 (30)

Выражения для переменной плотности тока в направлении осей Y и Z имеют вид

I_z=GE_z + Vp - D_np_z', (31)

I_y = GE_y - D_np_y', (32)

где: G = mp, m - дифференциальная подвижность.

Выражения (31) и (32) вместе с уравнениями Максвелла образуют систему для решения задачи о малых возмущениях электронного потока. В случае, когда образец помещен в сильное фокусирующее магнитное поле можно считать, что поперечные движения зарядов практически отсутствуют.

Решим задачу в электростатическом приближении, т.е. ограничимся рассмотрением волн, фазовая скорость которых близка к средней дрейфовой скорости носителей. Граничные условия для полей определяются с учетом того, что поверхность диэлектрика покрыта идеально проводящей металлической пластиной:

E_1Z(у = d₁) = 0, (33)

E_1Z (у = d) = E_Z(у = d), (34)

e₁E_1Y(y = d) = eE_Y(у = d), (35)

где: d - толщина полупроводника, d₁ - толщина диэлектрика, e_l - диэлектрическая проницаемость диэлектрика, e - диэлектрическая проницаемость полупроводникового образца

Выражения для полей внутри и вне области полупроводника приобретают вид:



E_Z = A ch Гу exp[-jbz], (36)

E_1Z = B sh b (d₁ - у) exp[-jbz], (37)

где: А, D - константы, определяемые из граничных условий (33), (34).

Подставляя (36), (37) в (33), (34), получаем дисперсионное уравнение относительно постоянной распространения:

Г thГd thb(d₁ - d) / b + e₁/e = 0. (38)

Остановимся на важнейших частных случаях:

1. Металлическая пластина достаточно далеко отстоит от поверхности образца.

Тогда (38) можно записать так:

Г thГd / b + e₁/e =0. (39)

Сравнивая полученное уравнение с аналогичным для бесконечно широкого потока приходим к следующему выражению для коэффициента ослабления поля пространственного заряда:

R = db_e/[e₁/e + db_e]. (40)

2. Металлическая пластина находится достаточно близко к поверхности образца. В этом случае коэффициент ослабления поля следует считать по формуле:

R = db_e/[db_e + d/(d₁-d)]. (41)



Анализ процессов в полупроводнике с отрицательной дифференциальной подвижностью

При помещении кристалла GaAs в сильное электрическое поле обнаруживаются принципиально новые эффекты, связанные с отклонением вольт-амперной характеристики от линейности [6]. Причину такого отклонения Ридли и Уоткинс объяснили используя двухдолинную модель зоны проводимости [5]: при достижении приложенным полем некоторого порогового значения происходит переход электронов из состояния с меньшей энергией и большей подвижностью в состояние с большей энергией и меньшей подвижностью. Энергию, необходимую для такого перехода, электроны черпают из внешнего поля. При этом при полях, превышающих пороговое значение, в образце GaAs развивается доменная неустойчивость в том смысле, что небольшая начальная флуктуация поля нарастает в пространстве и во времени. Предположим, что время пролета (т.е. время от начала формирования флуктуации до момента ее ухода в анод) приблизительно можно определить так:

Т = L / V. (42)

Рассмотрим режим, при котором флуктуация поля переносится в анод, не успев преобразоваться в домен. Если время формирования домена равно t_O, то за время пролета флуктуация не преобразуется в домен, если выполняется условие:

t_O > Т. (43)

Длительность времени формирования домена зависит от поперечных размеров образца, характеристик диэлектрических и металлических покрытий, что физически означает уменьшение продольной составляющей поля пространственного заряда.

Волны объемного заряда в полупроводнике с отрицательной дифференциальной подвижностью

Для описания процессов в материале с отрицательной дифференциальной подвижностью используем модель, в которой предполагается, что средняя дрейфовая скорость носителей и коэффициент диффузии зависят только от напряженности поля. Будем исходить из основных уравнений для бесконечно широкого потока (2), (3), (4) с учетом того, что полное поле - есть сумма дрейфового поля и поля пространственного заряда. В дальнейшем рассматривается линейная задача, т.е. предполагается, что на стационарные значения накладываются малые возмущения. В этом случае для скорости получаем:

V(E) = V_O +mE. (44)

В результате для переменной составляющей поля пространственного заряда получаем уравнение:

E_q» - b_eE_q' - b_e(jb_e + b_с) Е_q = 0. (45)

Будем искать решение (45) в виде exp[Гx], тогда дисперсионное уравнение записывается так:

Г - b_e (Г + jb_e+ b_с). (46)

В результате его решения для постоянных распространения волн пространственного заряда получаем следующие выражения:

Г₁ = - jb_e - [b_с + b_e w--/--w_d], (47)

Г₂ = jb_e + b_с w_d--/--w. (48)



Из (47) видно, что обратная волна, связанная только с диффузией сильно затухает, а прямая волна в материале с отрицательной дифференциальной подвижностью будет нарастать только при условии:

w²--<--w_cw_d. (49)

Очевидно, что характерное время формирования домена при этом увеличивается и критерий стабильности образца выполняется даже с некоторым запасом. Следует особо отметить тот факт, что на частоте, квадрат которой равен произведению частот зарядовой и диффузионной релаксации, затухание, связанное с диффузией полностью компенсируется нарастающей волной пространственного заряда! В этом и заключается значительное преимущество полупроводников с отрицательной дифференциальной подвижностью по сравнению с другими полупроводниковыми материалами, в которых процесс диффузионных потерь невосполним.

Анализ длительного взаимодействия бегущей волны электрического поля с дрейфующими носителями заряда в полупроводнике с отрицательной дифференциальной подвижностью

Предположим, что электрическое поле в полупроводниковом образце распределено однородно и рассмотрим уравнение возбуждения без учета обратного излучения [8].Для переменной составляющей сгруппированного тока с учетом того, что дифференциальная подвижность отрицательна, получаем уравнение:

I'(х) + [jb_e + b_с] I(x) = - jb_eGE(x). (50)

Уравнения (1) и (50) представляют собой самосогласованную систему, описывающую в рамках линейной теории все процессы, происходящие при взаимодействии электрического поля бегущей волны с потоком носителей заряда в материале с отрицательной дифференциальной подвижностью. В дальнейшем считаем, что при отсутствии волны в линии передачи полупроводниковый образец устойчив, причем устойчивость оценивается по критерию (43).Условием совместности уравнений системы (1), (50) является дисперсионное уравнение:

(b - b_o) [j(b_e - b) + b_c] + (b_oC)² = 0, (51)

где: C²=SGK_ob_e/2.

Найдем решение (51) методом теории возмущений. В рамках этой теории выражения для определяющих усиление мнимых частей имеют вид:

Jmb₁L = (2пCN)²Ф_o / (Ф_о² + O_c²), (52)

Jmb₂L = [O_c - (2пCN)² Ф_о /(Ф_о² + O_c²)]. (53)

Из соотношений (52) и (53) следует, что если средняя дрейфовая скорость электронов превышает фазовую скорость волны в линии передачи, то бегущая волна затухает, однако инкремент нарастания волны объемного заряда при этом увеличивается. Следовательно, волна в линии передачи стимулирует процесс формирования домена т.к. ее энергия идет на переход электронов в состояние с большей энергией и меньшей подвижностью. Таким образом, усиление в этом случае будет происходить исключительно за счет нарастающей волны объемного заряда и, т.к. это нарастание в соответствии с требованием устойчивости не может быть больше чем в е раз, коэффициент усиления, оцененный в одноволновом приближении, не превышает 8,6 db [6].

В случае, когда средняя дрейфовая скорость носителей меньше фазовой скорости волны в линии передачи, бегущая волна нарастает, а инкремент нарастания волны объемного заряда уменьшается т.к. электроны отдают бегущей волне свою энергию, переходя в состояние с меньшей энергией и большей подвижностью. Таким образом, усиление происходит за счет подавления образующегося домена. Максимальное усиление достигается при условии:

Ф_о = О_с (54)

При этом из (52) и (53) следует, что при небольших значениях параметра CN усиление определяется обеими волнами т.к. волна объемного заряда является нарастающей. Однако, если CN велико, волна объемного заряда становится затухающей и усиление бегущей волны значительно возрастает исключительно за счет длительного взаимодействия с носителями заряда:

W = 8,6 (2пCN)²/2О_с (55)

Диффузия носителей увеличивает характерное время формирования домена до тех пор, пока выполняется условие:

w--<--[w_cw_d]^1/2--(56)

Однако на достаточно высоких частотах волна объемного заряда сильно затухает и следовательно усиление в этом случае с достаточной степенью точности можно рассчитать в одноволновом приближении. Максимум усиления достигается при условии (54) и поскольку на высоких частотах условие (56) нарушается, то коэффициент усиления на СВЧ меньше, чем на низких частотах.

Таким образом, если сравнивать усиление, которое дает усилитель, созданный на основе полупроводника GaAs, с показателями всех прочих твердотельных аналогов ЛБВ, первый имеет значительные преимущества, проявляющиеся в диапазоне СВЧ. Физически это связано с тем, что в полупроводниках типа CdS, JnSb, LiNbO₃, имеющим чисто «омическую» вольт - амперную характеристику, диффузия увеличивает затухание и без того сильно затухающей волны пространственного заряда, в то время как в усилителе с отрицательной дифференциальной Подвижностью диффузия лишь уменьшает амплитуду нарастающей волны объемного заряда. Именно поэтому усилители на основе полупроводника GaAs с длительным взаимодействием являются более перспективными по сравнению с прочими твердотельными аналогами ЛБВ (10, 11).

Как показано в настоящей работе, усилители с длительным взаимодействием на основе полупроводника GaAs, значительно превосходят по своим параметрам и так называемые «проходные» усилители (12), работающие лишь в режиме нарастающей волны объемного заряда, что ограничивает их применение в диапазоне СВЧ.

Следующий важный вывод, вытекающий из анализа усиления электромагнитных волн в области СВЧ, - это способность усилителей с длительным взаимодействием на основе GaAs успешно конкурировать с вакуумными ЛБВ. Обладая гораздо меньшими габаритными размерами по сравнению с вакуумными приборами, усилители на основе GaAs нуждаются лишь в эффективной тепловой защите, которая может быть обеспечена путем применения специальных алюминиевых радиаторов (11).

Весьма перспективным является также использование твердотельных аналогов ЛБВ в качестве линий задержки благодаря набольшим габаритам полупроводниковых устройств по сравнению и их вакуумными аналогами (10).

Все результаты, полученные в настоящей работе, должны привлечь внимание разработчиков СВЧ - с длительным взаимодействием, поскольку лабораторные испытания подобных устройств (9, 11) убедительно доказали их перспективность.



Список литературы

пьезополупроводник электрический воле волна

1. Freeman I.C., Newhouse V.I. and Gunshor R.L. Interaction between slow circuit waves and drifting carriers in InSb. Applyed Phys. Lett. v. 22, 1973

2. Мак-Фи-Дж. Распространение и усиление звуковых волн в пьезополупроводниках., Физическая акустика, М., «Мир», 4, 1973.

3. Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ М., «Сов. Радио», 1970.

4. Зюрюкин Ю.А., Копошилко В.П., Шевчик В.Н. Применение метода последовательных приближений для анализа твердотельных приборов СВЧ с длительным взаимодействием., Вопросы электроники СВЧ., 10, 1977.

5. Ridley B.K., Watkins T.B/ The possibility of negative resistance., Proc. Phys. Soc., v78, 1971.

6. Кэрролл Дж. СВЧ - генераторы на горячих электронах., М., «Мир», 1972.

7. Копошилко В.П., Шевчик В.Н. Взаимодействие бегущей волны с потоком носителей заряда в полупроводнике с отрицательной подвмжностью. Вопросы электроники СВЧ, 2, 1978.

8. Копошилко В.П., Шевчик В.Н. К вопросу о вычислении коэффициента редукции для полупроводниковых образцов конечной толщины. Вопросы электроники СВЧ, 2,1979.

9. Зюрюкин Ю.А., Копошилко В.П. Акустоэлектрическое взаимодействие в полупроводнике LiNbO₃. Вопросы электроники СВЧ, 10, 1979.

10. Зюрюкин Ю.А., Копошилко В.П. Распространение и отражение упругих волн в анизотропных кристаллах. Вопросы электроники СВЧ, 3,1979.

11. Копошилко В.П., Шевчик В.Н. Взаимодействие дрейфующих носителей заряда с электрическим полем бегущей волны в кристалле GaAs. Вопросы электроники СВЧ 7, 1978.

Размещено на Allbest.ru

...