К вопросу описания турбулентных потоков в трубе

Размещено на http://www.allbest.ru/

К вопросу описания турбулентных потоков в трубе

Т.В. Волынкина - магистр

В.С. Слободянюк - докт. физ.-мат. наук

Particular solution of gas motion equation on developed area in pipe is observed in this work. Possible mechanisms of turbulent structures generation, corresponding to that solution are discussed.

При изучении природы турбулентности течение в круглой трубе уже более 160 лет вызывает интерес исследователей. Накоплен большой экспериментальный и теоретический материал, характеризующий свойства и особенности этого течения [1-3]. Однако попытки построить из огромного количества фактов, теоретических посылов, построений и выводов единую мозаику турбулентности наталкиваются на определенные трудности и противоречия [4]. По мнению автора [4] ":поток с достаточно высоким значением числа Рейнольдса нельзя замедлить до состояния покоя стационарным образом. Торможение всегда приводит к образованию вихрей и возникающие между ними взаимодействия настолько чувствительны к исходным условиям, что результирующая картина потока меняется со временем, причем, как правило, хаотическим образом". Это обстоятельство, является свидетельством "потенциальной беспомощности" второго начала термодинамики, если исходить из широко распространенного представления о том, что в цепочке явлений "неподвижная жидкость > ламинарное течение >турбулентное движение" наиболее хаотичным является последнее. При этом именно переход от турбулентного движения к состоянию покоя кажется противоречащим закону возрастания энтропии.

Однако существует и другая точка зрения [5, 6], согласно которой наиболее хаотичным является состояние покоя, переход же к ламинарному, а затем и к турбулентному течениям увеличивает степень упорядоченности в системе и соответственно приводит к уменьшению ее энтропии. В этом случае приведенное выше описание процесса торможения потока полностью согласуется со вторым началом термодинамики.

Еще одно противоречие, существующее со времен опытов Рейнольдса, отмечается в [1, 4]. Это противоречие между теоретическим решением Стокса для течения Пуазейля в трубе и фактом существования двух режимов течения: ламинарного и турбулентного. Решение Стокса, формально справедливое при любых числах Рейнольдса, хорошо описывает ламинарный режим, но оказывается непригодным для описания турбулентного.

Чтобы понять сущность этого противоречия, рассмотрим изотермический вязкий поток на участке установившегося течения цилиндрической трубы радиусом R. Запишем уравнения движения и неразрывности текучей среды на этом участке с учетом ламинарности и одномерности потока. Они выглядят следующим образом:

Здесь (1) - уравнение неразрывности, а (2) и (3) - уравнения движения в проекциях на оси z и r, соответственно. Обозначение переменных общепринятое.

Система (1-3) дополняется граничными условиями:

u = 0 при r = R - условие прилипания к стенке;

при r = 0 - условие (4)

ограниченности скорости на оси потока;

u = u(r) при z = 0 - условие в начальном сечении установившегося течения.

Здесь z = 0 - начальное сечение участка установившегося течения.

Уравнения (1-3) с условиями (4) при h = const имеют решение Стокса:

Оно не содержит числа Рейнольдса

и, таким образом, формально не зависит от него.

Однако следует иметь в виду, что число Рейнольдса дает сравнение только порядков величин сил инерции

и сил внутреннего трения:

Здесь U - характерный масштаб скорости, L - характерный масштаб длины. Такой критерий для рассматриваемой задачи оказывается просто неприменимым, поскольку система уравнений (1-3) не содержит вообще сил инерции и, следовательно, в данном случае отношение сил инерции к силам вязкости равно 0, т. е. Re = 0. Таким образом, течение Пуазейля в канале представляет собой четко выраженное ползущее течение [1]. Это обстоятельство снимает отмеченное выше противоречие.

Как указывается в [7], уже в опытах Хагена было обнаружено, что профили скорости (5) формируются только в случае достаточно большой вязкости и малой средней скорости, т. е. при малых Re.

Нетрудно видеть, что уравнения (2, 3) выражают условия равновесия действующих сил, а уравнение (1) показывает, что течение на развитом участке является движением среды по инерции. Этим, в частности, можно объяснить известные утверждения [1-3] об устойчивости течения Пуазейля к малым возмущениям, так как в потоке нет причин для нарастания последних и, следовательно, он обладает некоторым запасом устойчивости. Тогда, в соответствии с принципом Ле-Шателье-Брауна, внешние воздействия, выводящие систему из состояния равновесия, вызывают в ней процессы, ослабляющие это воздействие.

Зависимость характеристик потока от числа Рейнольдса, определяемого по параметрам входного сечения, формируется на начальном участке трубы. Именно в этой области под действием сил инерции, градиента давления и сил вязкости формируется режим течения. При этом силы инерции, будучи максимальными вблизи входного сечения, постепенно уменьшаются по величине с ростом z и исчезают на участке установившегося течения.

Можно сказать, что значение Re, вычисленное по параметрам входного сечения, определяет расстояние от входа в трубу до начального сечения z = 0 полностью развитого потока. Отметим, что это расстояние для турбулентного режима значительно меньше, чем для ламинарного [1].

На рис. 1 показан вид радиальных профилей скорости в сечении z = 0 установившегося течения, качественно верно передающий отличия ламинарного и турбулентного вариантов потока, наблюдаемые в экспериментах и получающиеся в расчетах [8]. Эти профили, сформировавшись на начальном участке трубы, должны сохраняться затем в области установившегося течения.

Последнее утверждение, как показывают уравнения (1-3), является верным для ламинарного течения. Для установившегося турбулентного течения в трубе уравнения (1-3) сохраняют свой вид, но с двумя существенными оговорками.

Рис. 1. Радиальное распределение скорости при ламинарном (1) и турбулентном (2) режимах течения.

Во-первых, коэффициент вязкости в них заменяется либо на коэффициент турбулентной вязкости, либо на эффективный коэффициент, являющийся суммой ламинарной и турбулентной вязкостей.

Во-вторых, система уравнений (1-3) описывает поведение осредненной скорости, а не локальной, как в ламинарном случае.

Такая запись уравнений гидродинамики носит название уравнений Рейнольдса и представляет собой способ регуляризации исходных уравнений [5]. Последнее обстоятельство отражает еще одну проблему в теоретическом описании турбулентности. Как известно, регуляризация - это способ построения устойчивых к исходной информации приближенных решений некорректно поставленных задач. Однако существует широко распространенная точка зрения, впервые высказанная Ж.Адамаром (1923 г.), о том, что математическая задача, соответствующая некоторой физической или технической задаче, должна быть корректной. В противном случае возникают трудности в физической интерпретации решений, чувствительных к малым изменениям исходных данных, и в использовании приближенных методов решения [9].

Первое требование корректности задачи для системы уравнений Рейнольдса, содержащих нелинейную вязкость, - существование решения - доказано в [10] и отмечается в [5]. Что же касается двух других требований - устойчивости решения к малым возмущениям граничных условий и его однозначности, то им не удовлетворяют прежде всего сами реальные характеристики потока. Это связано с тем, что турбулентность является результатом потери устойчивости ламинарным течением, ее структуры (турбулентные вихри) также неустойчивы и подвержены постоянным трансформациям под воздействием малых изменений в граничных условиях. В таком случае математическая модель должна допускать, например, переход к турбулентности через бифуркации и ветвление решений [3], т. е. неоднозначность решений. Следовательно, математическая задача описания турбулентных течений действительно является некорректной задачей, а физическая трактовка приближенных решений оказывается достаточно непростым делом.

Применим уравнение (2) для прогнозирования некоторых свойств турбулентности, не прибегая к обсуждаемой выше регуляризации, а лишь видоизменяя граничные условия (4) аналогично тому, как это делается в [11] для начального участка трубы. В [11] показано, что существование разрыва потока на поверхности стенки входного сечения трубы приводит к появлению тангенциального разрыва скорости в развивающемся течении начального участка. Разрыв этот является неустойчивым и распадается на вихревые структуры турбулентного следа [3, 7]. Последние, при соответствующих условиях в сдвиговых течениях, способны превращать кинетическую энергию потока во вращательную энергию собственного вихревого движения, трансформируясь тем самым в энергосодержащие турбулентные вихри.

Для системы уравнений (1-3) с граничными условиями (4) решение Стокса является единственным решением в классе непрерывных функций. Вместе с тем, можно указать несколько решений уравнения (2) в классе разрывных функций, которые дают радиальные профили скорости ламинарных потоков, внешне похожие на профили осредненной скорости турбулентных течений.

Общее решение уравнения (2) имеет вид:

турбулентный поток труба

где С и С1 - произвольные постоянные. Из (6) следует, искомые разрывные решения могут быть составлены из кусков параболы, логарифмической кривой и постоянной. Различные профили могут различаться способами сращивания указанных решений на границах разрывов. В частности, в решении Стокса логарифмическая зависимость исключается из рассмотрения вторым условием (4). Отметим также, что уравнения (2) и (3) не содержат плотности ? и поэтому пригодны для описания как несжимаемых, так и сжимаемых текучих сред.

Заменим второе условие (4) требованием, чтобы

Тогда решение (2) принимает вид:

Таким образом, решение (8) описывает течение в трубе без перепада давления, обусловленное только динамическим напором на входе в трубу и вязким торможением потока о стенку.

Из (8) нетрудно видеть, что в точке r = r* терпят разрыв первая и вторая производные скорости по r и, следовательно, эта поверхность представляет собой поверхность слабого разрыва скорости, а также и силы трения, и ее первой производной. При этом сила трения со стороны приосевой области разрыва равна 0.

На рис. 2 показана зависимость r*/R от числа Re, полученная из требования, чтобы течение в трубе с профилем скорости (8) при выбранном r*/R удовлетворяло закону сопротивления Блазиуса (а) или универсальному закону Прандтля (б) для гладких труб [1]. Видно, что для Re ? 105 величина r*/R чрезвычайно слабо зависит от числа Re и составляет 0,98ч0,99, при Re < 105 возрастающая зависимость, r*/R = f (Re) оказывается более сильной.

Рис. 2. Зависимость r*/R от числа Re.

Для воздуха атмосферного давления, протекающего через трубу диаметром 1 см, при температуре 300 К и скорости потока, равной скорости звука, число Re ? 2·105. Тогда можно предполагать, течение при Re ? 105 - сверх-звуковое, а при Re < 105 - дозвуковое. Так как число Re вычисляется по параметрам входного сечения, то сверхзвуковое течение в канале реализуется только, если скорость на входе в канал была сверхзвуковой.

Поскольку причиной возникновения слабых разрывов являются нелинейные процессы, то для детального их описания необходимо использовать соответствующие нестационарные нелинейные уравнения, например, уравнения Бюргерса [12]. Однако исходя из утверждения о существовании слабого разрыва, можно дать качественную картину некоторых процессов, протекающих в рассматриваемом турбулентном потоке. Для этого необходимо использовать известные закономерности, присущие слабым разрывам. Воспользуемся описанием этих закономерностей данным в [3].

Рассмотрим область течений с Re?105. В этом случае слабый разрыв может появиться при стационарном движении газа. При этом поверхность разрыва неподвижна относительно системы координат, газ протекает через нее, а нормальная составляющая к поверхности скорости равна скорости звука. Появление нормальной к поверхности скорости означает возникновение радиального перетока текучей среды из логарифмического пристенного подслоя в ядро течения, обусловленного вытеснением газа за счет пристенного торможения потока. Поверхность разрыва является характеристической поверхностью, вдоль которой распространяются малые возмущения.

Наличие вязкости и теплопроводности приводит к размытию слабого разрыва в переходный слой. Ширина слабого разрыва ?~(ас2l)1/2, где l - расстояние от места, из которого исходит разрыв; с - скорость звука, положительный коэффициент; а - выражается через коэффициенты вязкости и теплопроводности. При этом область возмущения, сконцентрированного первоначально в малом элементе объема, при перемещении расширяется.

Среди малых возмущений есть возмущения энтропии газа и завихренности потока, которые переносятся со скоростью элемента среды, в которой они возникают, а не со скоростью звука. Это так называемые тангенциальные слабые разрывы, при которых возникает слабый разрыв скорости касательной к поверхности вихря. Вязкость и теплопроводность и в этом случае формируют из разрыва переходный слой, который "отделяет" вихрь от окружающей среды, делая его "зародышем" турбулентных вихрей.

В случае Re<105 нестационарные возмущения, приходящие из начального участка трубы, приводят к возникновению нестационарных слабых разрывов. Поверхности этих разрывов перемешаются относительно газа со скоростью звука. При этом вблизи поверхности разрыва возникают малые пульсации давления. Ширина разрыва растет со временем по закону [3] ?~(ас3t)1/2, где t - время, характеризующее "возраст" разрыва. Эта зона также является источником турбулентных возмущений.

Как отмечается в [3], произвольное возмущение складывается из энтропийно-вихревой и звуковой волн. Выше было сказано, что энтропийно-вихревая волна в сдвиговых течениях может трансформировать часть кинетической энергии потока в кинетическую энергию собственного вращения, превращаясь при этом в турбулентный вихрь. Вероятность такого события наибольшая в пристенной области потока, где велики градиенты скорости. Давление во внешней области вихря оказывается выше, чем в потоке. Оценить градиент давления в вихре можно из соотношения

где w - скорость вращательного движения, z - радиус вихря. При z = 10-3м, w = 1 м/c,

Следовательно, вихрь обладает определенной упругостью формы и при перемещении его в область с более быстрым течением поток обтекает вихрь (рис. 3).

В точке А (рис. 3) происходит распад линии тока и рождение двух новых линий тока. При этом свойства их не будут одинаковыми для различных координат в окрестности точки А.

Рис. 3. Пример бифуркации в плоском течении.

Точка А является точкой бифуркации, а процесс потери устойчивости старой линией тока и ветвления решений называют локальной бифуркацией. Завихренности новых линий тока не равны нулю и противоположны по знаку. При этом струйка тока 1 "ускоряет" вращение верхней части исходного вихря, а струйка 2 "тормозит" его нижнюю часть. При этом возможны два исхода, либо вихрь ускорит свое вращение и "покатится" по линии тока 2, либо распадется на два вихря противоположного вращения. В последнем случае, в силу закона сохранения момента количества движения, вихри должны быть примерно одинаковыми. Если вновь "рожденные" вихри повторяют судьбу исходного, то возможна "цепная реакция" генерации турбулентных вихрей (рис. 4). Такой сценарий турбулентности был предложен Л.Д.Ландау [3, 13, 14].

Рис. 4. "Цепной" процесс генерации турбулентных вихрей.

Отметим еще один механизм, который, не оказывая практически никакого энергетического воздействия на поток газа в трубе, может играть заметную роль в процессе вихревого структурообразования в пристенном пограничном слое турбулентного потока.

Речь идет об акустических течениях, возникающих в стоячем звуковом поле потока вблизи ограничивающих его стенок [15]. Это регулярное вихревое течение обусловлено тем, что переносимый звуковой волной импульс при поглощении волны передается среде.

Сделаем некоторые оценки. Пусть в трубе радиуса R = 1 см течет воздух атмосферного давления, имеющий температуру Т = 300 К. В соответствии с рис. 2 выберем толщину пристенного пограничного слоя d~0,01 R. Принимая толщину акустического пограничного слоя равной d, с помощью соотношения [3]

определим частоту w звуковой волны, которая может создать вихрь масштаба d. Оценки дают w ?4 кГц, скорость на периферии вихря u ? wd ? 0,4 м/c. Соответствующая плотность энергии в вихре

Таким образом, в пристенной зоне дуги формируются вихри с очень малым запасом энергии. Но они находятся в области очень больших градиентов скорости сдвигового течения и могут легко "напитаться" энергией из основного потока.

Рассмотрим еще один вариант комбинированного профиля в трубе:

В этом случае сила трения на поверхности r = r* имеет разрыв не только по величине, но и по направлению. Подставив (10) в (2), можно убедиться, что терпит разрыв также величина , а, следовательно, и давление P. Но тогда этот разрыв представляет собой ударную волну. Однако ударная волна сжатия может возникнуть только на выходе из трубы [2]. Следовательно, можно предположить, что разрыв в точке r = r* будет волной разрежения. Такая волна механически неустойчива из-за того, что она распространяется по невозмущенному газу (r < r*) с дозвуковой скоростью, и возмущение от скачка давления будет обгонять ударную волну, "размывая" при этом разрыв [16]. При этом также возникают энтропийно-вихревые волны.

В разреженном газе при r > r* волна разрежения распространяется со сверхзвуковой скоростью и не испытывает воздействия процессов, происходящих за ней [16]. В результате нарушается причинная связь явлений и могут формироваться стохастические структуры, что будет означать уменьшение энтропии [16].

Таким образом, в данном случае механизм формирования турбулентности можно представить как некоторое периодическое возникновение волн разрежения, распадающихся на стохастические вихревые структуры.

Итак, кусочно-непрерывные решения (8, 10) уравнения (2), дающие радиальные профили скорости для участка полностью развитого течения, не описывая всей сложности реальных процессов в области разрывов, позволяют качественно представить природу этих явлений. При этом скорость, определяемую (8), (10) и подобными им профилями, естественно представлять как скорость некоторого осредненного движения.

Литература

1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974. - 711 с.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1978. - 756 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. - М., 1980. - 535 с.

4. Липманн Г.У. Взлет и падение идей в турбулентности //УФН. -1984. - Т. 143. - Вып. 4. - С. 641-656.

5. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. - М.: Наука, 1982. - 608 с.

6. Климонтович Ю.Л. Критерии относительной упорядоченности открытых систем // УФН. - 1996. - Т. 166. - № 11. - С. 1231-1243.

7. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. - Ч.1. - М.: Наука, 1965. - 560 с.

8. Шлихтинг Г. Возникновение турбулентности. - М.: И.Л, 1962. - 203 с.

9. Математическая энциклопедия. - Т. 3. - М.: С.Э. - 1982. - С. 930-937.

10. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. - М.: Наука,1970.

11. Лапочкина Т.М., Слободянюк В.С. Течение газа на начальном участке канала // Сб. научн. тр. (по материалам международной научн.-теор. конф., посвящ. 5-летию образования КРСУ). Секция физики. - Бишкек: КРСУ, 1998. - С. 14-21.

12. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. - М.: Мир,1977. - 622 с.

13. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР. - Т. 44. - Вып. 339, 1944. - М.: Наука, 1969. - С. 447-452.

14. Рабинович М.И., Сущик М.М. Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости //УФН. - 1990. - Т. 160. - Вып. 1. - С. 3-64.

15. Физика и техника мощного ультразвука / Под. ред. Л.Д.Розенберга. Кн. 1-3. - М., 1967. - 70 с.

16. Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. - М.: ФМЛ, 1963.- 632 с.

Размещено на Allbest.ru