Повышение точности оценки параметров движения объекта при калмановской фильтрации в телевизионной следящей системе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Филиал ОАО “Корпорация “Комета”

ПОВЫШЕНИЕ ТОЧНОСТИ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТА ПРИ КАЛМАНОВСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В ТЕЛЕВИЗИОННОЙ СЛЕДЯЩЕЙ СИСТЕМЕ

В.Т. Фисенко

Л.Д. Вилесов

Рассматриваются методы оценки параметров движения объекта в задачах траекторной обработки. Выполнено сравнение эффективности рекурсивной оценки положения объекта по методам: расширенный фильтр Калмана и сигма-точечный фильтр Калмана. Исследованы методы повышения точности оценки положения при траекторной обработке.

В телевизионных (ТВ) следящих системах в каждом кадре производится измерение координат объекта. Фильтр Калмана позволяет получить оптимальную оценку вектора состояния системы по данным измерения в случае линейной динамической системы [1,2]. На выходе фильтра рекурсивно, от кадра к кадру, на основании измерений и предсказания вектора состояния системы, формируется информация о сглаженных параметрах движения объекта и прогноз на следующий кадр наблюдения. При этом шум системы и измерений описывается как гауссовский.

Разработаны методы аппроксимации оптимальной оценки состояния для нелинейной динамической модели системы, получившие название расширенных фильтров Калмана (extended Kalman filter Ї EKF). В основу фильтра EKF положена линеаризация модели нелинейной системы путем разложения нелинейного преобразования в ряд Тейлора и ограничения этого ряда первой производной. С целью повышения эффективности фильтра применяется 2 метода: итерационный EKF и EKF второго порядка (когда ряд Тейлора ограничивается производными первого и второго порядка).

Фильтром, позволяющим точнее учитывать нелинейность системы, является сигма-точечный фильтр (unscented Kalman filter Ї UKF) [3]. В этом случае вектор состояния системы подвергается нелинейному преобразованию, а для формирования статистики измерений формируются сигма-точки (векторы), не меняющее среднее значение оценки вектора состояния и определяемые в соответствии с матрицей ковариации вектора состояния.

Расширенный фильтр Калмана. Уравнения состояния системы и измерений имеют вид:

,

,

где k Ї номер временного интервала (кадра); Ї вектор скрытого состояния системы; Ї шум процесса; Ї вектор измерений; Ї шум измерений; Ї динамическая модель процесса; Ї динамическая модель измерений. Шум процесса и шум измерений являются статистически независимыми.

Блок-схема нелинейной дискретной во времени динамической системы представлена на рис.1. По заданным измерениям необходимо получить оценку вектора состояния системы . Получение оптимальной оценки в момент k по критерию минимума среднего квадрата ошибки состоит в оценке условного среднего значения вектора состояния системы по последовательности наблюдений, вплоть до момента k.

Расширенный фильтр Калмана реализуется как классический фильтр Калмана, динамическая нелинейная система заменяется линеаризованной динамической системой:

Рис.1. Блок-схема нелинейной дискретной во времени динамической системы

.

Основной недостаток фильтра EKF обусловлен ошибками, вызванными линеаризацией нелинейных моделей. Это можно проиллюстрировать на двумерном примере перехода из полярной системы координат (дальность D и пеленг ), в которой получают информацию от датчика в прямоугольную систему координат положения цели (x,y) (рис. 2a). Уравнение состояния в этом случае , уравнение измерений задается в виде:

.

Сравним результаты оценки статистических параметров случайной величины y в случае выполнения нелинейного преобразования над выборкой случайных величин, распределенных по нормальному закону, по методу Монте-Карло (ММК) в соответствии с (6) и по EKF.

; .

Создадим выборку из 1500 случайных векторов с параметрами (Їматематическое ожидание; Їсреднее квадратическое отклонение):. Оценка параметров распределения по выборке: . Для каждой случайной величины x выполним нелинейное преобразование в соответствии с (5) и получим оценку математического ожидания и матрицы ковариации по ММК.

Для EKF линеаризация нелинейной модели (5) выполняется в соответствии с уравнением:

.

; .

На рис.2 приведены результаты выполненного эксперимента. На рис. 2c) показаны эллипсы рассеяния при размере полуосей, равном . Пунктиром изображен эллипс, полученный при оценке параметров распределения по ММК, центр эллипса, соответствующий , обозначен «о», . Сплошной линией обозначен эллипс, полученный по методу EKF, центр эллипса Ї , обозначен «+», . Из рис. 2c) видно, что линеаризация функции привела к систематической ошибке по математическому ожиданию прогноза вектора измерений; ошибка составляет: .

Рис. 2. а) Системы координат; b) выборка вектора состояния; с) оценка вектора измерений по методам MMK, EKF и UT.

Сигма-точечный фильтр Калмана. Основу сигма-точечного фильтра [3] составляет сигма-точечное преобразование.

Сигма-точечное преобразование (unscented transformation Ї UT) Ї метод, позволяющий получить статистические характеристики случайной величины, подверженной нелинейному преобразованию. L-мерная случайная величина x, имеющая среднее значение и матрицу ковариации , аппроксимируется сигма-точками (векторами). При вычислении сигма-векторов используется разложение Холецкого. Поскольку матрица ковариации является симметричной и положительно определенной, используется ее представление в виде , где Ї нижняя треугольная матрица. Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной положительно-определённой матрицы. траекторный точечный фильтр калман

Сигма-векторы вычисляются в соответствии с уравнениями:

,

где Ї i-ый столбец матрицы ; ; Ї масштабирующий коэффициент, ; .

Для генерации сигма-векторов в соответствии с (9) необходимо предварительно выполнить факторизацию Холецкого для матрицы ковариации .

UT включает следующие шаги:

- нелинейное преобразование сигма-векторов в соответствии с уравнением:

, ;

- оценка среднего значения в виде взвешенной суммы нелинейно преобразованных сигма-векторов:

,

где , , ;

- оценка матрицы ковариации в соответствии с уравнением:

где ; ; ; для нормального распределения вектора состояния x.

В соответствии с алгоритмом UT продолжен эксперимент. Получены результаты моделирования для UT: и . Эллипс рассеяния с размером полуосей, равным , изображен точечной линией, он получился внешним по отношению к эллипсу ММК, и имеет форму, близкую к эллипсу ММК, а ошибка оценки математического ожидания составляет , что существенно меньше, чем ошибка, полученная по методу EKF. Этот численный эксперимент позволяет сделать вывод о большей точности оценок предсказания положения объекта в нелинейной динамической системе, получаемых по методу UT по сравнению с методом EKF.

В UKF производится рекурсивная оценка среднего значения и ковариационной матрицы вектора процесса и вектора измерений по методу UT. Рассмотрим UKF для случая аддитивных шумов процесса и измерений [4,5]:

,

.

Алгоритм UKF в этом случае состоит в следующей последовательности вычислений.

· Инициализация математического ожидания вектора процесса и матрицы ковариации процесса:

,

;

Далее рекурсивно в каждом k-ом кадре:

· Предсказание состояния:

- выборка сигма-векторов:

;

- предсказание статистических характеристик вектора состояния (UT):

нелинейное преобразование сигма-векторов:

,

априорная оценка математического ожидания состояния

,

и матрицы ковариации

;

· Обновление вектора измерения:

- новая выборка сигма-векторов:

;

- UT вектора измерений:

нелинейное преобразование сигма-векторов:

,

обновление статистических характеристик вектора измерений:

,

;

- расчет матрицы взаимной ковариации:

;

- обновление статистических характеристик процесса в соответствии с фильтром Калмана:

;

;

.

Экспериментальное исследование. Выполнено исследование рассмотренных методов по синтезированным последовательностям кадров для линейной модели процесса и нелинейной модели измерений и получены сравнительные оценки эффективности методов EKF и UKF для случая аддитивного шума. На рис. 3 представлены результаты исследования одной из таких последовательностей.

Рис. 3. Измерения (D,) и оценка этих измерений по методам: EKF Ї серая линия, UKF Ї черная пунктирная линия, исходные данные измерений Ї светло-серая линия.

СКО ошибок составляет: =(0,0018;0.0002), =(51,8; 0,108).

Выводы. Во всей серии экспериментов ошибки оценки, получаемой по методу EKF, превышают ошибки, обусловленные применением метода UKF при сопоставимой вычислительной сложности. Для повышения точности оценки параметров движения объектов целесообразно заменить алгоритм фильтрации EKF на UKF.

Библиографический список

1. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems//Transactions of the ASME, Journal of Basic Engineering, 82:34-45.

2. Фисенко В.Т., Вилесов Л.Д., Можейко В.И., Фисенко Т.Ю. Обнаружение маневра объекта и прогнозирование его траектории в телевизионной следящей системе// Известия вузов. Приборостроение, Вып.8, 2009 г., с. 1219.

3. Julier S.J., Uhlmann J. K. A New Extension of the Kalman Filter to Nonlinear Systems// Proc. of AeroSense: The 11th Int. Symp. on Aerospace/Defense Sensing, Simulations and Controls, Orlando, USA, 1997. P. 54-65.

4. Wan E.A., Merwe R. The unscented Kalman Filter, Chapter 7 in Kalman Filtering and Neural Networks, Haykin S. Ed. John Wiley & Sons, Inc. 2001. P.221-280

5. Liu Y., Yu A X., Zhu J B., Liang D N. Unscented Kalman filtering in the additive noise case//Science China. Technological Sciences, Vol. 53, №4, 2010. P.

Размещено на Allbest.ru