Методика расчета параметров провисания тяжелой гибкой нити

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Исторически так сложилось в России, что канатные дороги как транспорт не попали в сферу активного исследования и производства как, например, автомобильный и железнодорожный транспорт. Не были учреждены соответствующие институты, не были выпущены ГОСТы и программы - методики расчетов канатных дорог.

Вместе с этим, работы по созданию канатных дорог велись. Существовали такие организации как «Союзпроммеханизация», «Союзлифтмонтаж». Издавались книги [1, 2] по тематике расчета, проектирования и монтажа канатных дорог. Однако, в изданных в России книгах, излагалась теория расчета канатных дорог без выделения строгой методики расчета. Давались бессистемные рекомендации по выбору параметров, использования тех или иных формул.

Отсутствие в недавнем прошлом вычислительной техники требовало упрощения расчетных формул. Цепная линия заменялась параболой, сосредоточенные нагрузки на канат равномерно распределялись по его длине и т.д.

В настоящее время даже на простых инженерных калькуляторах есть гиперболические функции, а в математических программах Mathcad, Mathematica, Maple, Mathlab и т.п. не сложно построить и рассчитать не только статическую модель канатной дороги, но и динамическую модель для анализа, например, воздействия переменной ветровой нагрузки или экстренного торможения, или сброса каната с роликовой батареи.

Задача 1

Гибкая тяжелая нить заданной длины подвешена на разновысоких опорах.

Рассмотрим решение этой задачи упрощенным методом и точным методом, считая нить абсолютно гибкой. Упрощенный метод основан на том, что предполагается для подъемников величина провисания каната мала по сравнению с расстоянием между опорами и, поэтому можно считать, что нить не имеет веса, но на нее давит распределенная по горизонтали равномерная нагрузка, равная погонному весу каната. Точный метод не вводит этого упрощения и решением задачи является уравнение цепной линии.

В обоих методах при рассмотрении нагрузок в канате появляется вывод: проекция силы натяжения в канате на горизонталь есть величина постоянная - Н. Поэтому в низшей точке линии провисания, в которой касательная к ней горизонтальна, натяжение также равно Н.

В указанных методах с целью упрощения вида уравнений и уравнения линии провисания выбираются различные оси координат.

Схема провисания каната представлена на Рис. 1

Рис. 1. Тяжелая нить на разновысоких опорах

Упрощенный метод

Для удобства вычислений расположим оси координат, как показано на Рис. 2

Рис. 2. Упрощенная модель провисания тяжелой нити

Дано:- координаты точек А и В: (хА,уА), (хВ,уВ);

- вес погонного метра каната: q;

- длина каната: l;

Найти:

- уравнение линии провисания каната;

- положение низшей точки каната (вершины линии провисания), в том числе величину максимального провеса;

- усилия натяжения нити в опорах;

- горизонтальную составляющую натяжения в нити.

Приведем формулы решения этой задачи для определения параметров нити:

(1)

Очевидно

.

Рассмотрим числовой пример этой задачи: .

Решая последовательно, получим:

.

Отсюда:

Легко находится и расстояние f по вертикали от нижней точки каната до хорды

Максимальный провес относительно хорды находится посредине пролета

цепной нить натяжение провес

Метод цепной линии.

Если не пренебрегать наклоном каната по отношению к горизонтальной поверхности. То окажется, что нагрузка на канат неравномерно распределена, а зависти от указанного угла наклона. Чем больше угол, тем больше нагрузка. В низшей точке провисания каната его линия параллельна горизонтальной плоскости, угол наклона линии каната к горизонту равен нулю и нагрузка на элемент длины каната минимальная. Около опоры канат имеет гораздо больший угол наклона и нагрузка на элемент длины каната возрастает. Учитывая это обстоятельство, уравнение равновесия каната описывает не параболу, а цепную линию. Поэтому метод «цепной линии» точнее, чем «метод параболы». Конечно, канат - не абсолютно гибкая нить, поэтому метод цепной линии тоже имеет погрешность, но значительно меньшую метода параболы.

Прейдем к решению Задачи

Дано:- координаты точек А и В;

- вес погонного метра каната: q;

- длина каната: l;

Найти:

- уравнение линии провисания каната;

- положение низшей точки каната (вершины линии провисания), в том числе величину максимального провеса;

- усилия натяжения нити в опорах;

- горизонтальную составляющую натяжения в нити.

Для получения боле компактной формулы линии провисания, система координат помещается в точку О, в которой точка максимального провеса каната имеет координаты х=0; у=c+ fА, где fА - провес каната относительно горизонтальной линии, проходящей через нижнюю опору, т.е. А, а с - параметр линии провисания, т.е. цепной линии. Этот параметр еще предстоит найти, поэтому неопределенность положения центра координат перед составлением уравнений является одной из трудностей для освоения метода. Схема расположения каната и системы координат показана на Рис. 3.

Рис. 3. Система координат для вывода уравнения цепной линии

В этих координатах уравнение линии провисания каната имеет вид

(2)

При этом угол наклона касательной к кривой провисания в любой точке определяется зависимостью

(3)

А натяжение Т в любой точке каната можно определить по формуле

(4)

Длина линии провисания определяется формулой

(5)

Пусть в этих осях координат положение точек А и В имеет координаты:

А - (хА,уА), В - (хВ,уВ). Поскольку уравнение линии у нас есть, то нам надо определить только параметр с и положение точек А и В.

Составим систему трех уравнений, для их определения

(6)

Эту систему уравнений относительно неизвестных с, хА, хВ можно решать методом Ньютона - Рафсона (см. Приложение 1) либо в одном из математических пакетов, например, в Mathcad.

Приведем решение поставленной задачи в Mathcad при ранее заданных числовых значениях: .

Заменим для унификации обозначения неизвестных переменных

.

В Mathcad будем решать задачу с помощью блока функций Given - Find.

Шаг. Вводим начальные приближения переменных и исходные данные

.

2. Шаг. Вводим функцией Given систему уравнений

3. Шаг. Вводим функцию Find и получаем решение системы уравнений

После набора знака равенства после r появляется вектор-столбец решений.

Ниже приведен листинг решения рассматриваемой задачи с построением графика линии провисания в координатах с началом в низшей точке закрепления каната, а также определением всех требуемых величин: усилий на опорах, координат нижней точки каната, величины максимального провеса каната.

Рис. 4. Листинг решения Задачи 1 в Mathcad

Как видим из приведенного листинга нагрузки в точках А и В определяются

В системе координат с нулем в точке низшей опоры график лини провисания имеет, очевидно, формулу

При этом ордината нижней точки равна , а величина провеса нижней точки каната от оси ОХ в этой системе координат равна .

Расстояние от низшей точки каната до хорды очевидно, будет

Сравним полученные значения искомых параметров линии провисания и усилий в канате, посчитанные разными методами:

Сравнение результатов расчета

Таблица 1

В данном случае можно считать, что погрешность по усилиям не велика: менее 1% , но по геометрическим параметрам близка к 6%.

Задача 2

Гибкая тяжелая нить подвешена на разновысоких опора и натянута силой на одной из опор.

Рассмотрим решение этой задачи опять упрощенным методом и точным методом, считая нить абсолютно гибкой.

Аналогично решению предыдущей задачи с целью упрощения вида уравнений и уравнения линии провисания выбираются различные оси координат.

Схема провисания каната представлена на Рис. 5.

Рис. 5. Тяжелая нить на разновысоких опорах

Упрощенный метод

Для удобства вычислений расположим оси координат, как показано на Рис. 6.

Рис. 6. Упрощенная модель провисания тяжелой нити

Дано:

- координаты точек А и В: (хА,уА), (хВ,уВ);

- вес погонного метра каната: q;

- усилие натяжения каната в точке В: ТВ;

Найти:

- уравнение линии провисания каната;

- положение низшей точки каната (вершины линии провисания), в том числе величину максимального провеса;

- усилия натяжения нити в опорах;

- горизонтальную составляющую натяжения в нити.

Приведем формулы решения этой задачи для определения параметров нити:

 (7)

Рассмотрим числовой пример этой задачи: .

Решая последовательно, получим:

.

Метод цепной линии

Рассмотрим решение задачи 2 методом цепной линии, т.е. более точным методом.

Систему координат введем аналогично той, которая введена при решении задачи 1:

Рис. 7. Система координат для вывода уравнения цепной линии

В данном случае справедливы следующие формулы:

Вводя также переменные

,

Решим задачу средствами Mathcad - см. Рис. 8

Рис. 8. Листинг решения Задачи 2 в Mathcad

Сравним полученные данные двух методов решения задачи:

Сравнение результатов расчета

Таблица 2

В данном случае погрешность по усилиям велика: около 25% , и по геометрическим параметрам она близка к 23%, что существенно.

Литература

1. Дукельский А.И. Подвесные канатные дороги и кабельные краны. Изд-во «Машиностроение», Ленинград,1966 г., 484 стр.

2. Мацелинский Р.Н. Статический расчет гибких висячих конструкций. М-Л, Стройиздат, 1950 г., 192 стр.

Размещено на Allbest.ru