Хаотическое движение динамических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«БРЕСТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ А.С. ПУШКИНА»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА ОБЩЕЙ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по специализации «Компьютерное моделирование физических процессов»

Хаотическое движение динамических систем

Выполнил студент физико-математического факультета группы КФ-31

Боярчук Виктор

Брест, 2018



Оглавление

Введение

Простое одномерное отображение

Удвоение Периода

Универсальные свойства нелинейных отображений

Хаотическое поведение в классической механике

Заключение



Введение

Понятия, которые будут использованы в этой работе, основываются на применении компьютера в качестве инструмента для проведения эмпирических наблюдений.

Большинство явлений природы, по сути своей, нелинейны. Модели погоды и турбулентный режим движения жидкостей являются общеизвестными примерами нелинейных процессов. Несмотря на то, что мы отдаем себе отчет в значимости нелинейных эффектов во многих физических явлениях, некоторые основные понятия легче объяснить, если рассмотреть задачи теоретической экологии. В дальнейшем анализируется разностное уравнение с одной переменной:

(1)

Где является отношением численности популяции n-го поколения к численности предыдущего. Мы обнаружим, что динамические свойства уравнения (1) чрезвычайно сложны и играют важную роль в разработке более общей теории нелинейных явлений. Важность последних результатов выражается нижеследующей цитатой эколога Роберта Мэя:

«…Исследование этого уравнения не требует познаний, выходящих за рамки элементарного анализа. Такое исследование развивает интуицию студента, касающуюся нелинейных систем. Не только в науке, но и в повседневной политической и экономической жизни мы делали бы меньше ошибок, если бы большинство людей осознало тот факт, что простые нелинейные системы необязательно обладают простыми динамическими свойствами». динамический одномерное отображение хаотический



Простое одномерное отображение

Многие биологические популяции состоят из одного поколения, которое не перекрывается ни с предыдущим, ни с последующим. В качестве примера представим остров с популяцией насекомых, которые плодятся и откладывают яйца летом, а следующее лето выводятся новые особи. Поскольку процесс популяции дискретен, то более уместно описывать развитие популяции разностными, а не дифференциальными уравнениями. Простая модель популяции не зависящая от плотности, связывающая численность популяции в (n+1) поколении с предыдущими n поколением, записывается в виде:

(2)

Где - некоторая постоянная. Из разностного уравнения следует что, если >1, то численность каждого поколения будет в раз больше предыдущего. Это приводит к геометрическому росту и, в конце концов, к неограниченной численности популяции. Представляется естественным сформулировать более реалистичную модель, в которой численность популяции ограничена пропускной способностью окружающей среды.

(3)

Заметим, что выражение (3), иногда называемое «логистическим» разностным уравнением, нелинейно из-за наличия квадратного члена . Первый член представляет естественный прирост численности популяции; квадратичный член представляет уменьшение естественного прироста, например, за счет перенаселения или болезней.

Положим, что =( /) и переписав уравнение (3) в виде



(4)

Переход от к изменит систему единиц, используемую для определения различных параметров. Введем параметр роста /4 и получим

(5)

(6)

Функция, записанная в новых переменных (6), обладает желательным свойством, которое заключается в том, что ее поведение определяется единственным параметром, который можно менять. Поскольку переводит любую точку отрезка в некоторую другую точку того же самого отрезка, функция называется одномерным отображением(далее как «стандартное»).

Много интересных свойств стандартного отображения были открыты Фейгенбаумом в 1978г. с помощью программируемого калькулятора. Последовательность значений называется орбитой значений.

В приведенной ниже программе вычисляется орбита одномерного отображения . В программе map_table значения распечатываются в формате восемь иттераций в строке. Значение r можно изменить нажатием любой клавиши. В программе map_plot строится график x в зависимости от номера итерации n. В процессе построения графиков можно изменить значение r на некоторую величину , нажав клавиши `i'(увеличение) или `d'(уменьшение).

Program map_table !итерации одномерного отображения f(x)

Do

Call initial(x,r)

Call map(x,r)

Input prompt «продолжить? (y/n - да/нет)»:choice$

Loop until choice$ = “n”

End

Sub Initial(x,r)

Input prompt «параметр роста (0<r<1)=”:r

Input prompt «начальное значение х (0<x<1)=”:x

End Sub

Sub map(x,r)

Let iterations = 0

Do

Let x=4*r*x*(1-x)

Let iterations=iterations+1

Print using “#.######”:x;

If mod(iterations,8)=0 then Print

Loop until key input

Print

Print “число итераций =»; iterations

End Sub

Program map_plot

Call initial(x,r,nmax)

Call plot_output(x,r,nmax)

End

Sub initial(x,r,nmax)

Input prompt «начальное значение параметра роста r=”:r

Input prompt «начальное значение x=”:x

Input prompt «максимальное количество итераций=”:nmax

Set Window -.1+nmax,nmax,-.1,1.1

Plot Lines: 0,1; 0,0; nmax,0

End Sub

Sub plot_output(x,r,nmax)

Declare Def f

Let dr = 0.01

For I = 1 to nmax

If key input then

Get Key k

If k=ord(“i”) then Let r=r+dr

If k=ord(“d”) then Let r=r+dr

Set cursor 1,1

Print using “r=##.#####”:r

End If

Let x=f(x,r)

Plot Points: i,x

Next i

End Sub

Def f(x,r)=4*r*x*(1-x)

Удвоение Периода

Для понимания зависимости динамического поведения от параметра r представим простой и элегантный графический метод итерирования .



Рис(1)

На рисунке представлен график . Для значения параметра r=0.6. Наклонная прямая соответствует y=x, пересекает кривую y= в двух неподвижных точках и , что для данных значений дает постоянную последовательность. Если х0 не является одной из неподвижных точек, можно найти орбиту следующим образом. Следует сначала провести вертикальную прямую из точки {x=x0,y=0} до пересечения с кривой y= в точке {x0,y0=f(x0)}. После чего, проводим горизонтальную прямую из точки {x0,y0} до пересечения с наклонной прямой в точке {y0, y0}. Поскольку на этой наклонной прямой значение у равно х, то значение х в точке пересечения является первой итерацией х1=у0. Аналогично и с х2, из чего следует алгоритм нахождения итераций:

Двигаемся по вертикали до пересечения с кривой y=

Двигаемся по коризонтали до пересечения с наклонной прямой y=x

Повторяем 1) и 2) бесконечное число раз.

Этот графический метод иллюстрируется на рисунке для х0=0,05 и r=0.6. Можно заметить, что если начинать итерации из любой точки х0(исключая точки с х0=0 и х0=1) процесс сходится к неподвижной точке . Такие неподвижные точки называются устойчивыми( аттрактор с периодом 1). По сравнению с этим, независимо от близости х0 к неподвижной точке х=0, итерационный процесс будет расходиться. Такая неподвижная точка называется неустойчивой.

Как можно объяснить качественное различие между двумя неподвижными точками и для параметра r=0.6? Локальная кривизна кривой определяет горизонтальное смещение при каждой итерации f. Крутой наклон (более р/4) приводит к удалению х от начального значения. Следовательно, критерий устойчивости неподвижной точки заключается в том, что величина наклона в неподвижной точке должна быть менее р/4, то есть если |df(x)/dx|x=x*<1, то точка x* является устойчивой и, наоборот, если |df(x)/dx|x=x*>1, тогда точка х* неустойчива. Изучение функции , изображаемой на рисунке (1), показывает, что х=0 - неустойчивая точка, поскольку тангенс угла наклона кривой в точке х=0 больше единицы. В противоположность этому, значение производной в точке меньше единицы.

устойчива для 0<r<1/4 (7a)

неустойчива для 1/4<r<3/4 (7a)

Таким образом, для значений 0<r<3/4 конечное поведение известно. Если же r лежит в интервале 3/4<r<1, то, из наблюдений, что по мере роста r неподвижная точка функции f становится неустойчивой и приводит к рождению цикла с периодом 2.

xi=f(f(xi)) i=1,2 (8)

И аттракторы функции f(x) являются неподвижными точками функции g(x)=f(f(x). При еще большем увеличении параметра r величина наклона неподвижных точек g(x) достигнет единичного значения и неподвижные точки удвоятся. Теперь период f равен 4 и можно изучить устойчивость неподвижных точек четырежды итерированной функции h(x)=g(g(x))=f(f(f(f(x)))). Эти неподвижные точки, в конце концов, также удваиваются и наблюдается удвоение периода.

В нижеприведенной программе map_graph применяется графический анализ f(x). Обратите внимание на то в описании функции f(x,r,iterate) вторая и четвертая итерации определяются с помощью рекурсии, то есть обращения функции к себе самой. Значение iterate равно 1,2 и 4 для функций f(x), g(x) и h(x) соответственно.

Program map_graph

Call parameter(x,r,iterate)

Call graph(r,iterate)

Call map(x,r,iterate)

End

Sub parameter(x,r,iterate)

Input prompt “r=”:r

Input prompt “начальный х=”: x

Input prompt “итерации f(x)=”: iterate

End Sub

Sub graph(r,iterate)

Declare Def f

Let n=200

Let delte = 1/n

Let margin = 0,1

Set window -margin,1+margin,-margin,1+margin

Plot Lines: 0,0:1,1

Plot Lines: 0,1:0,0:1,0

Plot

For i=1 to n

Let x=x+delte

Let y=f(x,r,iterate

Plot x,y

Next i

End Sub

Sub map(x,r,iterate)

Declare Def f

Let n=100

Let y0=0

Let x0=x

For i=1 to n

Let y=f(x,r,iterate)

Plot Lines: x0,y0; x0,y; y,y

Let x0=y

Let yo=y

Let x=y

Next i

End Sub

Def f(x,r,iterate)

If iterate > 1 then

Let y=f(x,r,iterate-1)

Let f=4*r*x*(1-x)

End If

End Def

Универсальные свойства нелинейных отображений

До сих пор было только одно простое отображение (6). Для выяснения общих закономерностей удвоения периода, рассмотрим другие два одномерных отображения.

Другие одномерные отображения

f(x)=xer(1-r) (9)

f(x)=[1-(2x-1)4] (10)

Для отображения (10) r и начальное значение х должны лежать между 0 и 1. Проявляют ли эти отображения сходные качественные свойства, например, удвоение периода и существование хаотической области? Отображение (9) использовалось экологами для изучения популяции, ограниченной при больших плотностях эпидемиями. Несмотря на то, что данное отображение является более сложным по сравнению с (6), у него имеется одно важное преимущество, состоящее в том, что численность популяции всегда положительна, независимо от выбранного начального значения. Не существует никаких ограничений на максимальное значение r, но если она становится достаточно большой, то х, в итоге, будет фактически равняться нулю, следовательно, популяция вымирает.

Удобно определить «порядок» отображения, в дальнейшим, эти слова будут подтверждены. Пусть хmax - значение, при котором f(x) достигает максимума, то есть df/dx=0 при x=xmax. Если при x=xmax производные dmf/dxm=0 для m<n, а dnf/dxn<, то f(x) является отображением n-го порядка.

Приведу качественные соображения, свидетельствующие о том, что некоторые качественные свойства стандартного квадратичного отображения (6), в режиме удвоения периода, присущи также всем квадратичным отображениям. Рассмотрим f(x,r) при таком значении r, что f(x,r) равен 4(рис. 2)



Рис.2

Теперь, рассмотрим вторую итерацию g(x,r)=f(f(x,r)) (рис.3) для того же самого значения r. Ясно, что g(x,r) имеет период 2 и при начальном значении х0=0,5 осциллирует между обеими неподвижными точками х1*=0,373 и х2*=0,512. Можно видеть, что g(x,r) качественно ведет себя подобно f(x,r'), где r' - меньшее значение r, для которого f(x,r') имеет период 2.

Рис.3

На (Рис.4) показана f(x,r') для произвольно выбранного значения r'=0,8. Следует заметить, что f(x,r'=0,8), колеблется между значениями 0,513 и 0,799.

Рис.4

Теперь сравним форму g(x,r'=0,8), внутри циркуляционного прямоугольника, показанного на рисунке 3 и f(x,r'=0,8) внутри циркуляционного прямоугольника, показанного на рисунке 4. Видно, что если повернуть g вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр прямоугольника, а затем увеличить g так, чтобы циркуляционные прямоугольники для f и g имели одинаковые размеры, то обе функции внутри прямоугольников будут качественно одинаковы. Можно определить коэффициент увеличения б, заметив, что диапазон изменения g(x,r=0,8) равен 0,512-0,373=0,139, а диапазон изменения f(x,r=0,8) равен 0,799-0,513=0,286. Следовательно, если выбрать б=0,286/0,139=2,06, то обе функции будут вести себя сходным образом. Эта процедура иллюстрируется на рисунке 5, где наложены циркуляционные прямоугольники функций f(x,r=0,8) и g(x,r)=0,8.

Рассмотренный выше множитель представляет собой пример масштабного множителя; чтобы сравнить f с g, мы отмасштабировали g и изменили(перенормировали) значение r. Данные доводы были наводящими, так как не объяснялось r'=0,8. Оказывается, достаточно сравнить циркуляционные прямоугольники для значений r, соответствующие неподвижной точке х=1/2 и неподвижной точке, ближайшей к х=1/2. Более строгий подход показывает, что если продолжить сравнение итераций более высокого порядка, например h(x) и g(x) и так далее, то для всех отображений, одного и того же порядка, совмещение функций будет сходиться к некой универсальной функции, не зависящей от вида начальной функции f(x).

Рис.5

Рис.6

Число б можно определить из родственных соображений. Для этого следует обратить внимание на рисунки 1 и 6. Заметно, что каждый камертон порождает «двойню» новых поколений, более плотно упакованных, по сравнению с предыдущим поколением. Для количественной характеристики роста плотности неподвижных точек рассмотрим поведение функции f(x) при значениях r=r(n), для которых одна из неподвижных точек равна 1/2. Например, r(1)?0.809 и r(2)?0.875. Одной из мер плотности может служить величина dn=x*n-1/2, где x*n - значение неподвижной точки, ближайшей к неподвижной точке x*=1/2. Первые два значения dn показаны на рисунке 6, где d1?0,309 и d2?-0,117. Следует заметить, что неподвижная точка, ближайшая к х=1/2, переходит с одной стороны прямой х=1/2 на другую. Определим величину б с помощью соотношения

(11)

Оценка б=0,309/0,117=2,64 согласуется с предыдущими оценками и асимптотическим пределом б=2,5029078750958928485…(Целый ряд десятичных цифр приведен для того, чтобы показать, что это число известно с большой точностью!)

Мы можем количественно описать процесс удвоения периода с последующим переходом к хаосу. Напомню, что rn является значением r, при котором впервые появляются 2n циклов. Значения r1=0.75 r2?0.862 r3?0.880. Фейгенбаум показал (с помощью калькулятора), что по мере роста n значение rn приближается к предельному значению rс по простому закону:

(12)

Замечательный результат работы Фейгенбаума заключается в том, что постоянная д, как и б, является универсальной, то есть д не зависит от детальных свойств f(x), а зависит только от порядка отображения. Напротив, постоянная А зависит от детальной структуры функции f(x). Из формулы (12), непосредственно, выводится, что д можно также определить с помощью соотношения

(13)

Используя, что r1=0.75 r2?0.862 r3?0.880, получим д?6,22; асимптотическое значение равно д=4,66920160910299097… .

Из приведенных выше рассуждений, можно сделать вывод о том, что существуют универсальные постоянные б и д, не зависящие от конкретного вида f(x). Почему универсальность бифуркаций и существование универсальных постоянных относится к чрезвычайно редким явлениям? Одна из причин заключается в том, что едва ли популяция будет эволюционировать в точном соответствии с отображением (6) или любым другим из ранее рассмотренных. Однако, если поведение не зависит от деталей функции, описывающей его, то могли бы существовать реальные системы, динамика которых была бы аналогична поведению простых отображений, которые рассмотрены ранее. Если бы динамика была аналогичной, то мы бы узнали, что динамику системы со многими степенями свободы можно, при определенных условиях, упростить.

Конечно, физические системы, обычно, описываются дифференциальными, а не разностными уравнениями. Может ли происходить в таких ситуациях удвоение периода? Некоторые исследователи (Теста и другие) сконструировали нелинейную RLC-цепь, присоединенную к генератору гармонического напряжения. Выходное напряжение испытывало бифуркации, а измеренные значения б и д согласовываются со значениями, предсказанными для простого квадратичного отображения.

Поскольку электрические цепи можно описать с помощью нескольких переменных, то не могло не вызвать удивления, что они ведут себя подобным образом. Более интересный случай представляет собой природа турбулентности в жидкости, которая является одной из главных областей исследования учеными различных специальностей. Рассмотрим, например, поток воды, обтекающей несколько препятствий. Из опыта известно, что при малых скоростях поток является регулярным, и постоянным во времени и называется ламинарным течением. По мере роста скорости потока(определяемой с помощью безразмерного параметра, который называется Числом Рейнольдса) появляются завихрения, но движение, все еще, постоянно. Если еще более увеличить скорость потока, то вихри опрокидываются и начинается течение нижних слоев. Поток, который мы наблюдаем, находясь на уступе, становится нестационарным. Если и дальше скорость увеличивается, то поток становится очень сложным и выглядит хаотическим. Мы говорим, что течение воды совершило переход из ламинарного режима в турбулентный.

Это качественное описание перехода к хаосу в гидродинамических системах, внешне, выглядит аналогично описанию простого квадратичного отображения. Можно ли гидродинамические системы проанализировать с помощью простых моделей такого типа, которые упоминались ранее? В некоторых, частных, случаях, таких как турбулентная конвекция в подогретом соуснике, удвоение периода и других, наблюдались переходы в турбулентный режим. Вообще, такого типа теория и анализ, который проведен ранее, породили новые концепции и переходы. Тем не менее, истинное представление природы турбулентных потоков остается предметом многих современных исследований.

Хаотическое поведение в классической механике

Поскольку, по крайней мере, некоторые качественные особенности квадратичного отображения наблюдаются в лабораторных условиях, интересно рассмотреть динамические свойства механических систем, описываемых дифференциальным, а не разностным уравнением. Общей задачей классической механики является определение координат и скоростей системы частиц, подверженных действию определенных сил. Например, задача двух тел в небесной механике, которая позволяет предсказать движение в любой момент времени. Удивительным является то, что мы не в состоянии предсказать долговременное поведение для большинства орбит. Для многих механических систем, характер движения можно определить приблизительно, комбинируя аналитические и численные методы. При определенных условиях, эти системы проявляют хаотическое поведение, то есть их траектории оказываются очень чувствительными к начальным данным и к любым приближениям, сделанными в ходе вычисления траектории. Классическая механика не так проста, как это описано в большинстве традиционных учебников!

Специальный случай нелинейной системы, который далее рассмотрим, представляет хорошо знакомый математический маятник. Чтобы движение такого маятника было более интересным, предположим, что маятник с затуханием и точка подвеса движется вертикально. Второй закон Ньютона для этой системы записываются, исходя из работ Маклафлина и Персиваля Ричардса, в виде:

(14)

Где и - угол, образуемый маятником с вертикальной осью, - коэффициент затухания, =g/L - собственная частота осциллятора, а щ и А - частота и амплитуда внешней силы. Можно заметить, что эффект вертикального ускорения точки подвеса эквивалентен зависимости гравитационной силы от времени.

Конечно, в принципе, можно найти решения, описывающие динамику такой системы, но как проанализировать результаты? Предположим, известны результаты исследования движения гармонического осциллятора с помощью фазовой плоскости, то есть с помощью графиков скорости в зависимости от координаты. Если скорость постоянна, то траектория представляет собой горизонтальную прямую на фазовой плоскости. Возможно ли, чтобы траектория была вертикальной прямой на фазовой плоскости? Для простого, гармонического, движения, траекторией на фазовой плоскости является эллипс. Если имеется затухание, то траектория представляет собой скручивающуюся спираль. Какой будет траектория, на фазовой плоскости, мяча, падающего вертикально вниз в воздухе? График траектории не фазовой плоскости может принимать разнообразный вид. Если сила не зависит от времени, то, как показано в книге ДЖ.Мариона, график траектории не может пересекать себя. Фазовые кривые, которые замкнуты, называются периодическими.

Какое движение ожидается в случае математического маятника с затуханием под действием вынуждающей силы? Поскольку маятник с затуханием, то предполагается, что, в отсутствие внешней силы, маятник возвратится в состояние покоя, то есть точка {x=0, v=0} является устойчивым аттрактором. Для больших значений А можно ожидать установившееся периодическое движение, то есть предельный цикл с периодом внешней силы T=2р/щ. Проявляет ли система аналогичное поведение при еще больших значениях А? Поскольку нас, главным образом интересуют неподвижные точки (устойчивые или неустойчивые), то простой способ анализа движения заключается в отмечании точки на фазовой плоскости в моменты времени, кратные периоду внешней силы. Таким образом, будет построен график dи/dt в зависимости от и в моменты времени, равные nT. Такой график в фазовом пространстве называется Отображением Пуанкаре. Если у системы имеется период Т, то отображение Пуанкаре состоит из единственной точки. Если период равен nT, то это отображение состоит из n точек.

В программе nonlinear строится график отображения Панкаре для математического маятника, описываемого уравнением (14). Значения и и dи/dt печатаются в моменты времени nT, а квадратик строится в точке {и, dи/dt}. Если система имеет период 1, то есть если наносятся те же самые значения {и, dи/dt} в моменты времени nT, то квадратик будет мерцать, указывая на то, что в этой точке уже есть квадратик. Клавиши `i' и `d' можно использовать для увеличения или уменьшения величины A и dA. Так как несколько первых значений {и, dи/dt} соответствуют переходному процессу, может оказаться желательным очистить экран и начать построение графика нового отображения Пуанкаре, не меняя значений A, и или dи/dt. Стирание экрана выполняется нажатием любых клавиш i', `s' и `d'. При этом `s' останавливает выполнение программы.

Program nonlinear

Call initial(theta, ang_vel,gamma,A,n,dt,dA,r)

Do

Call Euler(theta, ang_vel,gamma,A,n,dt)

Call Poincare(theta, ang_vel, A,k,dA,r)

Loop Until k=ord(“s”)

End

Sub initial(theta, ang_vel,gamma,A,n,dt.dA,r)

Input prompt “начальный угол = “:theta

Input prompt “начальная угловая скорость = “:ang_vel

Input prompt “Постоянная затухания = “:gamma

Input prompt “амплитуда внешней силы = “:A

Let dt=0.1

Let n=pi/dt

Let t=0

Let dA=0.01

Set window -4,4,-4,4

Print using “A = ###.#####”: A

Plot Lines: -4,0; 4,0

Plot Lines: 0,-4;0,4

Let r=0.05

End Sub

Sub Euler(theta, ang_vel,gamma,A,n,dt)

For i=1 to n

Let accel=-gamma*ang_vel

Let accel=accel-(1+2*A*cos(2+t))*sin(theta)

Let ang_vel=ang_vel+accel*dt

Let theta=theta+ang_vel*dt

If theta>pi then Let theta=theta-2*pi

If theta<-pi then Let theta = theta+2*pi

Next i

End Sub

Sub Poincare(theta,ang_vel,A,k,da,r)

Box Clear theta-r,theta+r,ang_vel-r,ang_vel+r

Box Area theta-r,theta+r,ang_vel-r,ang_vel+r

Set cursor 2,1

Print using “theta = ###.#####”:theta

Print using “ang_vel = ###.#####”:ang_vel

If key input then

Get Key k

If k = ord(“i”) then Let A=A+da

If k = ord(“d”) then Let A=A-da

Clear

Plot Lines: -4,0;4,0

Plot Lines: 0,-4;0,4

Print using “A = ###.#####”:A

End If

End Sub



Заключение

Развитие теории динамических систем во второй половине ХХ века привело к грандиозным последствиям не только в теоретической физике и математике, но и в естествознании в целом -- открытию динамического хаоса и связанными с ним свойствами. Оказалось, что многие нелинейные системы, несмотря на полную детерминированность, т.е. отсутствие шумов, стохастических возмущений и т.п., могут демонстрировать поведение, подобное случайным процессам. Тем самым возникающая статистика поведения систем определяется исключительно особенностями динамики. И хотя предпосылки такой идеологии наметились еще более ста лет назад в работах А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре, основные открытия и осмысление этого явления были сделаны в 60-80-х годах прошлого века. Необходимо отметить, что для изучения хаотических систем классические аналитические средства, такие, например, как ряды теории возмущений, асимптотические методы и т.п., оказались непригодными. Так, подкову Смейла, с которой в известном смысле началось современное исследование хаотических явлений, невозможно описать соотношениями в математическом стиле XIX века. Для построения и анализа таких конструкций потребовалось разработать совершенно новые методы, развитие которых и привело к крупным открытиям в теории динамических систем.

Главные достижения теории хаотических динамических систем можно кратко резюмировать следующим образом.

Доказано, что даже очень простые системы (как, например, система Лоренца) могут проявлять случайные свойства. Это в корне поменяло представление о случайности, которая, как предполагалось, может возникать только в системах с большим числом степеней свободы.

Посредством анализа бильярдных задач был достигнут значительный прогресс в понимании происхождения случайности в газе твердых сфер и, как следствие, в обосновании эргодический гипотезы Больцмана.

На основе теории хаотических динамических систем удалось частично решить проблему возникновения необратимости в обратимых детерминированных уравнениях движения.

Доказано, что хаос может рождаться универсальными путями, независимо от природы системы. Это выдающееся открытие, подтвержденное также и экспериментально. Оно, в частности, привело к созданию метода ренорм-группы в теории динамических систем. Найдено, что случайность может быть обусловлена как внутренними свойствами, так и внешними факторами, которые влияют на рассматриваемые системы. При этом посредством исследования временных рядов наблюдаемых всегда можно отличить случайное, стохастическое поведение систем от детерминированного хаоса и тем самым установить конечномерность изучаемого процесса.

Разработанные методы анализа временных рядов позволили практически использовать результаты теории динамических систем для расчета таких характеристик, как энтропия, показатели Ляпунова и размерность. Это дало возможность, используя только экспериментально полученные данные, определять горизонт прогноза рассматриваемого процесса и в определенных случаях предсказывать дальнейшую эволюцию системы.

Данное направление в настоящее время приобретает все большую популярность в таких чисто прикладных областях, как финансовый анализ и медицина. Наконец, нельзя не сказать и об эстетической привлекательности полученных результатов. Благодаря публикациям книг Б.Мандельброта, Х.-О.Пайтгена и П.Рихтера компьютерные изображения фрактальных множеств, странных аттракторов и их областей притяжения открыли художественную сторону теории хаоса.

Размещено на Allbest.ru

...