Дифракция света

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА



1. Дифракция в «широком» смысле слова. Дифракционное рассеяние

Из сведений, приведённых в предыдущей главе, следует, многие явления, связанные с распространением электромагнитных волн, можно объяснить, основываясь на интерференции волн от когерентных «первичных или вторичных» источников. Однако по мере увеличения числа этих источников и усложнения их конфигурации задача нахождения интерференционной картины неизбежно усложняется ввиду необходимости учёта запаздывания в распространении волн от каждого источника. Как следствие, описание распространения даже гармонических волн при наличии препятствий произвольной формы, размеров и расположения, т. е. в сильно неоднородной среде, становится, казалось бы, неразрешимой проблемой. Однако ещё в XVII столетии была высказана идея приближённого метода расчёта подобного рода явлений, основанная на использовании, наряду с реальными когерентными источниками их фиктивных аналогов. Этот метод оказался особенно эффективным при описании дифракции [2].

К дифракции (дословно «отклонение») в широком смысле слова принято относить все явления, связанные с распространением электромагнитных волн от когерентных источников при наличии препятствий независимо от величины их размеров. Поэтому для удобства анализа А.Д. Суханов [2] разделяет все дифракционные явления на три группы, связывая их с соотношением между «размерами» препятствия и длиной волны .

Первая группа явлений отвечает случаю d. Её принято называть дифракционным рассеянием и характеризуют тем, что препятствие практически не оказывает влияния на распространение электромагнитной волны. Вторая группа явлений отвечает случаю d и называется дифракцией в «узком» смысле слова или просто дифракцией. Для неё характерно огибание препятствий электромагнитной волной, когда она частично заходит в область геометрической «тени». В этом случае наличие препятствий оказывает сильное воздействие на характеристики волны. Третья группа явлений отвечает случаю d. Её принято называть лучевым приближением или геометрической оптикой. В этих условиях интерференция себя фактически не проявляет даже для волн от когерентных источников. Законы распространения электромагнитных волн при этом сводятся к простым геометрическим законам распространения лучей.

Начнём с относительно простого случая дифракционного рассеяния. О нём каждый имеет относительно наглядное представление, полученное от наблюдений за волнами на поверхности воды. В частности, волна, прошедшая «сквозь» торчащую из воды палку, не меняет своих свойств. В качестве препятствий для электромагнитных волн нам придётся рассматривать заряженные частицы, входящие в состав вещества, или линейные проводники; для частиц вещества условие d выполняется наверняка для любых электромагнитных волн.

Под действием падающей электромагнитной волны элементарные диполи (1.15), входящие в состав вещества, совершают вынужденные колебания по направлению электрического поля падающей волны с той же частотой , что и частота падающей волны. В то же время всякий колеблющийся заряд сам излучает гармоническую электромагнитную волну частоты (см. (3.19), (4.2) и § 5.1). Тем самым, он представляет собой новый (вторичный) источник, когерентный с первичным источником, поскольку все условия когерентности источников для него выполнены. Таким образом, результирующая электромагнитная волна является суперпозицией падающей волны и волны, излучаемой препятствием. Однако заметим, интенсивность излучения вторичного источника оказывается пренебрежимо малой и ею в большинстве случаев можно пренебречь. Убедимся в этом.

Для этого найдём полный средний поток энергии, излучаемый «диполем» вещества с зарядом q и массой m в точке 0 под действием гармонической электромагнитной волны. Обратимся к уравнению движения электрона в атоме под действием электромагнитной волны :

.

Если пренебречь затуханием, классическое решение уравнения колебаний электрона даёт: ^вын(t) e/m(_о² - ²), и тогда дипольный момент от времени вследствие вынужденных колебаний диполя принимает вид:

;

здесь и выше е - заряд электрона, - время релаксации, _о - собственная частота излучающего диполя (атома), - частота падающей электромагнитной волны, m - масса электрона.

Подставляя выражение в полный поток энергии, излучаемой диполем в виде расходящихся сферических электромагнитных волн нейтральной системы зарядов, приходим к уравнению вида [2]:

Ф_эм;

здесь пытливый читатель должен обратить внимание на то, что именно вторая производная определяет бегущее вихревое электрическое поле диполя; интегрирование производилось по полному телесному углу (см., например рис. 1.5); следует заметить, здесь использована система СГС, что упрощает запись.

В качестве меры величины дифракционного рассеяния принято выбирать [2] отношение среднего потока энергии (Ф_эм)_ср к средней плотности потока энергии в падающей электромагнитной волне, т. е. к интенсивности I. С учётом (5.9) и уравнения потока энергии оно равно:

; (1)

эту величину, имеющую размерность площади, принято называть сечением рассеяния; как и при рассеянии потока частиц [3, формула (7)], она характеризует эффективную площадь препятствия.

Оценим величину сечения рассеяния электромагнитных волн на разных частотах. Если , то имеет место рассеяние, названное томсоновским, на свободных зарядах; в этом случае сечение рассеяния от частоты не зависит и его величина определяется отношением квадрата заряда q² к массе m препятствия. Для всех реальных препятствий оно мало, в частности, для электрона: 10 -²⁴ см².

Если же имеет место рэлеевское рассеяние, в этом случае рассеяние сильно зависит от частоты . При одновременном рассеянии волн с разными частотами волны большей частоты рассеиваются интенсивнее. Именно это обстоятельство позволяет объяснить голубой цвет неба, наблюдающийся вследствие рассеяния солнечного света на неоднородностях атмосферы.

Таким образом, при дифракционном рассеянии энергия, излучаемая вторичным источником при любых частотах, много меньше энергии падающей электромагнитной волны.

2. Понятие о принципе Гюйгенса-Френеля

Перейдём к рассмотрению дифракции в «узком» смысле слова, когда d. Такое возможно, например, при прохождении электромагнитной волны через отверстие в сплошном экране или при огибании волной экрана конечных размеров. Основные законы электромагнетизма здесь также применимы. Однако возникает необходимость учитывать не только излучение первичных источников, но и вклады в результирующую волну от полей излучения вторичных источников, роль которых выполняют любые заряды в препятствиях. С учётом различия во времени запаздывания эти поля весьма сложны в задании граничных и начальных условий к исходным уравнениям, описывающим распространение электромагнитного поля. Таким образом, как анализ основных законов электромагнетизма для первичных источников, так и необходимый учёт наличия вторичных источников оптимизма в продвижении к цели не вселяют.

Однако для решения этой непростой задачи ещё в ХVII веке был предложен приближённый метод расчёта - принцип Гюйгенса: каждая точка пространства, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн даёт положение фронта в следующий момент времени; см, например (рис. 5.5 и 1). В начале XIX века О. Френель его усовершенствовал на основе представлений об интерференции.

Рис. 1. К вопросу о принципе Гюйгенса-Френеля. Пояснения в тексте.



Из принципа Гюйгенса-Френеля следует, при решении задач о распространении волн при наличии препятствий необходимо поступать следующим образом. Реальный первичный точечный источник волн нужно заменить совокупностью фиктивных вторичных источников (рис. 1), которые должны быть когерентны с реальным источником и они должны распределяться непрерывно по любой, охватывающей его, замкнутой поверхности. Тогда в качестве поля излучения в точке наблюдения можно рассматривать результирующее поле, возникающее вследствие интерференции полей, излучаемых только вторичными (фиктивными) источниками; здесь, надо полагать, уже формулируются условия распределения этих источников; чтобы состоялась интерференция, требуется задать определённую разность хода волн.

Разумеется, выбор поверхности, на которой целесообразно разместить эти (фиктивные) источники, определяется соображениями удобства. Естественно допустить, в качестве подобной поверхности удобно выбрать поверхность равных фаз, т. е. волновую поверхность; или куски таких поверхностей (рис. 1). В этом случае фиктивные источники между собой когерентны, разность фаз 0, а излучаемые ими волны способны интерферировать.

Как следует из рис. 1, этим способом проще всего найти направление распространения волны, для чего нужно построить огибающую элементарных волн от вторичных источников (на рис. 1 они отображены - точками для момента времени t_о). Она, огибающая, соответствует положению волнового фронта в последующий момент времени, т. е. в момент времени t t_о. Вследствие явления интерференции указанная огибающая - это такая поверхность, на которой результирующая волна в данный момент времени имеет максимальную интенсивность. Заметим, при этом принято считать, что фиктивные источники излучают вторичные волны лишь в направлении распространения первичной волны; отражённая волна отсутствует(?).

Рис. 2. Исследование поля излучения вдали от экрана с отверстием с привлечением фиктивных источников. Пояснения в тексте.

Таким образом, электрическое поле электромагнитной волны в точке наблюдения представляет собой суперпозицию вкладов волн от всех фиктивных источников . При сложении, однако не следует забывать о необходимости учёта разности фаз, запаздывания, образующегося за счёт различия в расстояниях до отдельных фиктивных источников от точки наблюдения. При этом предполагается, что амплитуда поля || от отдельного источника определяется площадью элемента поверхности S_i, занимаемой эти источником, а также углом, под которым этот элемент виден из точки наблюдения. Здесь также предполагается, что на поверхностях, совпадающих с препятствиями, фиктивные источники отсутствуют, а в отверстиях, имеющихся в препятствиях, они, фиктивные источники, такие же, какими они были бы при отсутствии препятствия. Разумеется, последнее справедливо, если поле излучения рассматривается вдали от препятствий. Убедимся в этом. Если имеется сплошной экран с одним отверстием (рис. 2), то электрическое поле за экраном представляет собой суперпозицию поля от первичного источника и полей от вторичных реальных источников в частях экрана, расположенных выше и ниже отверстия, т. е.:

. (2)

Закроем мысленно это отверстие пробкой. Тогда можно записать, что это же самое поле (рис. 2) (за экраном):

, (3)

где выражение в скобках приравнено к нулю потому, что экран с пробкой для электромагнитных волн непроницаем. Знак приближённого равенства здесь означает, что при удалении пробки остальные поля мало меняются, что, конечно, справедливо только вдали от отверстия. (Здесь внимательный читатель должен задуматься о появлении знака «-»).

Другими словами, электрическое поле излучения за экраном, определяемое первичным источником и реальными вторичными источниками в экране, совпадает с точностью до знака с полем излучения реальных источников в одной только пробке. При этом вдали от отверстия поле излучения этих источников от наличия экрана практически не зависит. Тем самым, с самого начала можно (было бы) забыть о существовании экрана и первичного источника и исследовать поле излучения бесконечно тонкой «пробки», состоящей из фиктивных источников, непрерывно распределённых по поверхности, «затягивающей» отверстие в экране. При этом, если интересоваться только полем излучения за экраном, то эта задача достаточно проста, ибо отражённую волну здесь рассматривать не нужно.

По мнению автора работы [2] принцип Гюйгенса-Френеля - это, по существу, гениально угаданный приближённый метод решения волновых уравнений, описывающих распространение электромагнитных волн при наличии препятствий. Вспомним в связи с этим наши рассуждения в параграфе 4.1, формула (4.7), где мы нашли взаимосвязь переменных электрического и магнитного полей нейтральной проводящей системы зарядов; пусть это будет плоскость S_о (рис. 3).

Рис. 3. Поля вблизи проводящей плоскости S_о.

Вдали от неё поля излучения и удовлетворяют волновым уравнениям (5.2), в которые характеристики зарядов не входят. Вблизи от плоскости S_о соответствующие поля были квазистационарными. Они создавались реальными источниками-зарядами, свободно движущимися в проводнике. Потребовав, чтобы эти поля плавно переходили бы друг в друга, мы добились того, чтобы поля и во всём пространстве представляли собой поля излучения вдали от системы зарядов, согласованные с квазистационарными полями вблизи плоскости S_о, состоящей из реальных источников и (рис. 3).

Поскольку волновые уравнения определяют (при заданных начальных условиях) поля и вблизи любой поверхности S, возможен другой способ решения этих уравнений. Вместо того чтобы поля излучения вдали от реальных источников согласовывать с квазистационарными полями и вблизи плоскости S_о, можно согласовывать поля излучения в точке наблюдения с уже известными полями излучения и вблизи любой промежуточной фиксированной поверхности S. При этом считается, что сами поля и найдены заранее путём их согласовывания с квазистационарными полями и вблизи плоскости S_о, состоящей из реальных источников. Иначе говоря, вся процедура нахождения полей излучения и в точке наблюдения разделяется как бы на два этапа: сначала находятся поля излучения вблизи промежуточной, удобной для расчёта поверхности S (рис. 4), а уж затем по этим полям находятся поля излучения в точке наблюдения. Именно такой поэтапный метод нахождения решений волнового уравнения при наличии препятствий соответствует принципу Гюйгенса-Френеля (рис. 4).

Рис.4. К нахождению решений волнового уравнения при наличии препятствий.

В частности, для согласования магнитного поля излучения в точке наблюдения с полем вблизи поверхности S, где нет реальных зарядов (), необходимо потребовать, чтобы это поле удовлетворяло закону (Ампера-Максвелла):

, (4)

где правая часть в формуле (4), как следует из начала фразы, считается известной. Если наряду с плотностью тока реальных зарядов ввести плотность тока фиктивных зарядов или плотность электрического тока «смещения», (см., например, (4.2)):

, (5)

то магнитное поле в точке наблюдения будет зависеть от вблизи поверхности S (рис. 4) так же, как оно зависело от вблизи плоскости S_о (рис. 3). Тем самым, для нахождения полей излучения в точке наблюдения задание поля излучения вблизи поверхности S эквивалентно заданию плотности тока фиктивных источников или тока смещения вблизи той же поверхности (рис. 5).

дифракция свет френель

Рис. 5. К нахождению поля в точке наблюдения. Пояснения в тексте.

Решение волновых уравнений в один или два этапа приводит, естественно, к одинаковым результатам, тем не менее, второй способ в сложных случаях оказывается проще за счёт возможности удобного выбора промежуточной поверхности. Таким образом, принцип Гюйгенса-Френеля - это действительно один из способов решения волновых уравнений; правда, в однородной среде - точный, при наличии препятствий - приближённый.

В заключение следует заметить, приведённый анализ позволяет осознать и некоторые особенности этого принципа, связанные с расчётом интерференции волн именно от фиктивных источников. Во-первых, согласно принципу причинности в качестве решения волнового уравнения можно использовать только волны, расходящиеся от точечного источника. Отсюда следует, фиктивные источники могут «излучать» только в направлении распространения волны; отражённая волна отсутствует. Во-вторых, в реальных источниках плотность тока свободных зарядов находится в фазе с электрическим полем (в согласии с законом Ома ). В то же время, из определения плотности тока фиктивных источников (5) следует, что _фикт /t, так что между _фикт и полем существует сдвиг фаз на /2 (почему? осознали; уравнение волны вспомнили?). Поэтому, используя в принципе Гюйгенса-Френеля фиктивные источники, необходимо этот сдвиг фаз учитывать особо.

3. Дифракция неплоской волны и лучевое приближение

В рассуждениях предыдущих глав мы убедились в том, что геометрическая оптика основана на принципе прямолинейности распространения света в однородной среде. Также принималось как самоочевидное, что световой пучок можно «разбить» на любое число бесконечно тонких лучей и рассматривать распространение каждого отдельно. При рассмотрении явления интерференции, эти лучи воспринимались нами как направления переноса энергии световых колебаний. Но какими могут быть размеры этих световых лучей? И достаточно ли наших представлений о процессе распространения световых волн?

Перейдём к обсуждению дифракции неплоских, сферических волн (дифракции Френеля). В основу метода решения конкретных задач в этом случае положен метод зон Френеля. Воспользуемся для нахождения амплитуды световых колебаний, возбуждаемых в точке Р сферической волной, распространяющейся в однородной среде из точечного источника S, рис. 6. Волновая поверхность такой волны симметрична относительно прямой SP. В этом методе поверхность фронта волны, на которой располагаются фиктивные источники, помещают между реальным точечным источником S и точкой наблюдения P. Допустим, что максимальное расстояние до фронта волны от реального источника S равно a, а от него до точки наблюдения равно b. Поскольку волновая поверхность симметрична относительно SP, в методе зон Френеля фронт волны принято делить на зоны следующим образом. Поместив мысленно один конец циркуля в точку наблюдения, другим его концом на сферической поверхности фронта волны проводят окружности, радиусы которых меняются по закону: b_m b m/2. В результате поверхность фронта волны разбивается на отдельные сегменты - зоны Френеля (рис. 6). Нетрудно понять, что в этом случае излучение фиктивных когерентных источников, расположенных в серединах соседних зон, будет интерферировать так, что в точке наблюдения волны от этих (соседних) зон взаимно погасят друг друга; соответствующий сдвиг фаз равен .

Рис. 6. Нахождение амплитуды светового колебания, возбуждаемого сферической волной в точке P. Пояснения в тексте.

Рис. 7. К нахождению площади зон Френеля.

Для оценки амплитуды волны, излучаемой m-й зоной, найдём площадь зоны. Как следует из рис. 6 и рис. 7, её площадь может быть найдена как разность между S_m и S_m-1, т. е. S S_m - S_m-1 [r_m² - r_m-1²], а r_m - е поможет найти рис. Действительно, из теоремы Пифагора r_m² a² - (a - h_m)² (b m/2)² - (b h_m)²; здесь а - радиус волновой поверхности, r_m - радиус внешней границы m-й зоны. Здесь нам пришлось «упаковать» параметры схемы измерения, что позволяет найти h_m. Пытливы читатель, проведя возведение в квадрат и осуществив преобразования в полученном для r_m² уравнении, приходит к равенству вида:

.

Принимая к сведению, что 10 -⁷ и бесконечно малыми второго порядка можно пренебречь, а рассмотрение m ограничим не слишком большими значениями (см. фор. (6.10) и поясн.), для h_m приходим к уравнению вида:

. (6)

После подстановки площадь сегмента S [r_m² - r_m-1²] примет вид:

S {2a(h_m - h_m-1) - (h_m² - h_m-1²)} . (7)

Как следует из полученного выражения, площадь зоны излучения фиктивных источников не зависит от m. Следовательно, при не слишком большом значении m площади зон Френеля приблизительно одинаковы.

Таким образом, для конечных значений a и b амплитуда волны, излучаемой m-й зоной и дошедшей до точки наблюдения, зависит не только от расстояния b_m, но также от площади зоны и угла между нормалью к элементу зоны и направлением на точку наблюдения. В конечном итоге вклад каждой зоны в амплитуду результирующей волны в точке наблюдения с ростом m убывает, так что эту амплитуду можно представить в виде знакопеременного ряда (?):

Е Е₁ - Е₂ Е₃ - Е₄ …, (8)

где Е_m - вклад в результирующую амплитуду от m-й зоны, при этом: Е₁ Е₂ Е₃ Е₄…. Если приближённо считать, что амплитуды колебаний, возбуждаемые зонами Френеля в точке наблюдения, образуют монотонно убывающую последовательность, то амплитуда Е_m колебания может быть представлена в виде: , и формула (8) запишется:

.

Здесь каждая скобка приближённо равна нулю, а вкладом от крайней зоны (с большим m) можно пренебречь. В результате в точке наблюдения при отсутствии препятствий амплитуда волны равна:

. (9)

Другими словами, амплитуда поля излучения реального источника в точке наблюдения эквивалентна половине амплитуды поля излучения фиктивных источников, расположенных симметрично около точки 0 на площади, равной первой зоны Френеля (рис. 6; и 7). Распространение волны от реального излучателя до точки наблюдения происходит в пределах достаточно узкого канала, т. е. практически прямолинейно. Пытливый читатель может в этом убедиться из следующих соображений. Если допустить, что расстояния a b L, где L , то радиус первой зоны Френеля (рис. 7), приближённо равен:

.

Тогда угол, определяющий угловую ширину канала, определяется условием:

. (10)

Очевидно, для любого значения и соответствующего выбора L этот угол может быть мал (/L) 1. Для видимого света добиться выполнения этого условия на практике не составляет труда. Именно поэтому волновая природа света в отсутствие препятствий себя не проявляет: свет распространяется практически прямолинейно.

Если же волна встречает на своём пути либо экран, либо отверстие в экране, сравнимые по площади с площадью нескольких зон Френеля, то в точке наблюдения будет иметь место либо увеличение интенсивности, либо её уменьшение в зависимости от того, чётное или нечётное число зон Френеля перекрывается экраном или отверстием. В частности, в центре геометрической тени за экраном может наблюдаться волна с заметной результирующей амплитудой. Наоборот, в центре освещённой поверхности за отверстием амплитуда результирующей волны может быть близкой к нулю.

Из проведённого рассмотрения следует, что описание распространения волн упрощается, если d, характерных размеров препятствия. Изучение распространения волн в таких условиях называется лучевым приближением или геометрической оптикой.

4. Дифракция Фраунгофера. Дифракционная решётка. Понятие о голографии

Учитывая материал, изложенный в параграфе 1, предпримем усилия по использованию принципа Гюйгенса-Френеля в практических целях. Важное преимущество принципа состоит в том, что он позволяет вместо расчёта сложной картины интерференции волн от реальных источников в ряде случаев ограничиться расчётом более простой картины интерференции волн от фиктивных источников. Её принято называть дифракционной картиной. Заметим, однако, чёткой границы между понятиями интерференционной и дифракционной картин нет. Расчёты интерференции волн от реальных и фиктивных источников в некоторых случаях сравнимы по сложности и приводят к одинаковым результатам. В них употребление терминов интерференционная или дифракционная картина равно уместно и определяется обычно исторической причиной.

Дифракционные явления в «узком» смысле слова, d, делятся на две группы. К одной из этих групп относят дифракцию плоской волны, наблюдаемой вдали от источников. Её называют дифракцией Фраунгофера. Этот случай наблюдается на опыте тогда, когда препятствие с отверстием в нём находится далеко как от источника, так и от точки наблюдения. Эффективность принципа Гюйгенса-Френеля проще продемонстрировать на примере именно дифракции Фраунгофера, в которой вычисления проще. Допустим, что в непрозрачном бесконечном экране имеется N одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние, щелей. Такой экран принято называть дифракционной решёткой. Если щели широкие, то дифракция волн на такой решётке сводится к рассмотрению интерференции излучения от точечных фиктивных источников, расположенных в середине каждой щели, с учётом модуляции интенсивности по ширине щели. Расстояние между серединами соседних щелей d принято называть периодом (или постоянной) решётки (рис. 8). Таким экраном (дифракционной решёткой) для читателя могут выступать его ресницы (убедитесь); управляя расстоянием между ресницами, можно добиться большей чёткости предмета, чем и пользуются некоторые.



Рис. 8. К выяснению характера дифракционной картины решётки.

Расположим параллельно решётке собирательную линзу, а в её фокальной плоскости поместим экран. Пусть на решётку падает плоская гармоническая электромагнитная волна. Выясним характер дифракционной картины, получающейся на экране при нормальном падении волны; волновую поверхность для простоты расчётов будем считать параллельной плоскости решётки. В этом случае каждая из щелей является когерентным фиктивным источником электромагнитных волн, а на экране будет волна с результирующей интенсивностью. Для нахождения амплитуды результирующей волны, найдём амплитуду волны каждой щели, т. е. фиктивного источника. В этом случае задача о дифракции на решётке сводится к задаче об интерференции N равноудалённых фиктивных источников.

Для нахождения амплитуды фиктивного источника, обратимся к рис. 9. Разобьём поверхность фиктивного источника на элементарные зоны, каждая из которых в любой точке экрана создаст колебание, амплитуда которого в точке P запишется: dE dx. Здесь dE - амплитуда колебания электромагнитной волны, возбуждаемой зоной щели ширины dx в любой точке экрана; E_о - амплитуда волны создаваемая щелью ширины b.



Рис.9. К нахождению амплитуды электромагнитной волны, порождаемой одной щелью.

Теперь сопоставим фазы колебаний, создаваемых в точке P элементарными зонами с координатами 0 и х (рис. 9). Оптические пути их отличаются на хsin. Если фазу колебания, примыкающего к левому краю зоны с координатой х 0, принять равной t, то фаза электромагнитного колебания с координатой х запишется: t - 2 t - -хsin; здесь - длина электромагнитной волны в данной среде. Таким образом, уравнение электромагнитной волны, создаваемой элементарной зоной dx в точке экрана P, запишется (рис. 9):

, (11)

а результирующее колебание, создаваемое всей щелью в точке P, найдём, проинтегрировав по ширине щели b:

.



Подставляя значения у_о t и у₁ t - bsin и, воспользовавшись тригонометрическим выражением sin - sin 2sin{( - )/2}cos{( )/2}, приходим к уравнению вида:

, где . (12)

Предпримем усилия по «прочтению» формулы (12). Обратим внимание на то, что , где k - волновой вектор, с которым мы познакомились в формуле (5.10), а bsin/2 разность хода волн с координатой х 0 и х b/2 (осевая линия, рис. 9), и тогда (12) запишется:

. (13)

Другими словами, поле излучения щели эквивалентно полю излучения одного фиктивного точечного источника, расположенного в её середине, амплитуда которого промодулирована по углу : E(,r,t) E()cos(t - kr)). График функции (13) имеет вид чередующихся максимумов и минимумов с ярко выраженным центральным максимумом (рис. 10); его интенсивность значительно превосходит остальные максимумы. Минимумы функции (13) находятся из условия: /2 m, где m 1, 2… Из него следует, что kbsin/2 (2bsin)/2 m, или bsin m. Поскольку |sin | 1, полное число минимумов ограничено: m b/. Как следует из (рис. 10), полная ширина центрального максимума равна 2/b.



Рис. 10. Распределение интенсивности на экране от одной щели. Пояснения в тексте.

Перейдём теперь к нахождению результирующей интенсивности решётки. Колебания электромагнитных волн являются когерентными (почему?) и для нахождения результирующей интенсивности нужно найти фазовые соотношения между колебаниями, достигающими экрана от щелей. Поскольку от каждой щели распространяется электромагнитная волна и её запаздывание определяется оптической разностью хода, то для направлений, удовлетворяющих условию:

bsin m, m1, 2, 3…(14)

амплитуды колебаний будут равны нулю; амплитуда результирующего колебания на экране также будет равна нулю.

Итак, условие минимума для одной щели также является условием минимума для решётки (14). Теперь обратим внимание на рис. 8; нетрудно видеть, что разность хода лучей от соседних щелей запишется: dsin. Так как сдвиг по фазе определяется 2 dsin, см. (11), то для направлений, у которых 2m, т. е. dsin 2m, из которого следует:



dsin m, m 0, 1, 2, … (15)

Таким образом, равенство (15) является условием максимума при котором электромагнитные колебания, достигшие экрана в соответствующей точке, взаимно усиливают друг друга, а результирующая амплитуда Е_мах NЕ. Подставляя её в (13), получаем, что интенсивность увеличивается в N² раз, т. е. I_мах N²I; здесь I - интенсивность, создаваемая одной щелью в направлении ; вспомним, здесь N - число щелей решётки.

Рис. 11. Интерференционная картина от дифракционной решётки.

Условие максимума (15) указывает на то, что между главными максимумами должны проявить себя дополнительные минимумы, кроме тех которые определяются условием (14). Действительно, условие типа:

dsin (m 1/N), (16)

определяет направления добавочных минимумов; здесь m - порядковый номер максимума, N - число щелей, d - постоянная решётки. Дифракционная картина, получающаяся от решётки, имеет вид, представленный на (рис. 11). Количество наблюдающихся главных максимумов определяется отношением периода решётки d к длине волны [4]. Положение главных максимумов зависит от длины волны . Поэтому при пропускании через решётку белого света максимумы (кроме центрального) разлагаются в спектр. Вспоминая равенство (15), нетрудно догадаться, фиолетовая часть дифракционного спектра располагается ближе к центру дифракционной картины.

Заметим, практический интерес представляет случай, когда расстояние между щелями равно ширине самих щелей, т. е.: b d, см. (рис. 8). При этом угловое расстояние между главными максимумами равно /2d, так что в пределах эффективной ширины огибающей помещаются только три главных максимума с m 0, 1 (рис. 11). Остальные главные максимумы практически не наблюдаемы [2, 4].

Настала пора обратить внимание на то, что любая интерференционная картина, зафиксированная на фотопластинке, может играть роль дифракционной решётки; при пропускании электромагнитной волны она даст дифракционную картину. Убедиться в этом можно, вернувшись к интерференционной картине от двух точечных источников (рис. 6.1). Если вместо экрана поместить фотопластинку, то после её проявления на ней возникает система периодически чередующихся относительно тёмных и светлых полос. Интенсивность их подчиняется уравнению вида (6.7), где (1 cos) 2cos²(/2), kdsin; d - расстояние между источниками, а ширина полос dsin. При освещении фотопластинки плоской волной возникает интерференционная картина похожая на рис. 11, на котором существенны лишь три главных максимума, dsin m, m 0, 1.

Рис. 12. Схема интерференции опорной и отражённой волн когерентного излучения лазера [7].

Последнее обстоятельство играет существенную роль в методе голографии, предложенном Д. Габором в 1947 г. Идея голографии состоит в том, что всякая фотография интерференционной картины волн от двух когерентных источников - исходной (опорной) волны и волны, отражённой предметом (предметной) - является голограммой, в которой полностью записаны амплитуда и фазы интерферирующих волн (рис. 12). В простейшей схеме часть плоского фронта лазерной волны закрыта призмой, формирующей опорную волну, а другая часть - рассеивающим объектом. Когерентное излучение лазера формирует на фотопластинке интерференционную картину, подобную представленной на рис. 13. Если рассеивающий объект (рис. 12) убрать, то интерференционная картина будет иметь вид линий параллельных ребру призмы (полосы равной толщины). Отсюда немедленно следует, рассеяние от объекта «промодулировало» эту простую интерференционную картину.

Рис. 13. Голограмма рассеивающего объекта на рис. 7.12.

Картина из чередующихся чёрных и светлых полос (рис. 13) представляет собой дифракционную решётку. Поэтому при пропускании света через голограмму (рис. 14) должен возникнуть неотклонённый луч, это волна, распространяющаяся в направлении центрального максимума (m 0) и обладающая свойствами опорной волны от источника (см. рис. 12). Волны, распространяющиеся в направлении остальных максимумов (m 1), обладают свойствами предметной волны, отражённой от предмета. Одна из этих волн (m 1) даёт при этом мнимое изображение, а другая (с m -1) - действительное изображение предмета. Первое изображение (m 1) можно наблюдать визуально (рис. 14), а второе сфотографировать. Таким образом, дифракция одной опорной волны на голограмме, которая представляет собой фотографию интерференционной картины опорной и предметной волн, даёт как саму опорную волну, так и предметную волну. При этом сама голограмма выступает в роли дифракционной решётки. Предметная волна, несущая информацию о предмете, который на последнем этапе (рис. 14) не излучает, может либо наблюдаться визуально, либо фотографироваться.

Рис. 14. Схема наблюдения голограммы.

В заключение заметим, волна, рассеянная каким либо объектом, несёт богатую информацию о свойствах объекта. Исходя из принципа Гюйгенса, можно убедиться, что распределение амплитуд и фаз волны на фронте волны в любое мгновение процесса её распространения, исчерпывающим образом характеризует рассеивающие свойства объекта; см., например, параграф 2, а также работу [2]. При фотографировании объекта часть информации, которую несёт волна, теряется, поскольку почернение фотопластинки пропорционально квадрату амплитуды волны, т. е. интенсивности, пришедшей в данную точку фотопластинки, и не зависит от фазы волны. Трёхмерное изображение картины фотопластинка преобразует в двумерное. Так происходит потеря информации об объекте при фотографировании.

В настоящее время можно наблюдать различные применения голографии, из которых следует, что голограммы могут передаваться на любые расстояния, а реконструкция изображения может производиться вдали от объектов. Кроме того, на одну и ту же пластинку разными длинами волн и при различных наклонах первичного луча могут быть записаны изображения разных объектов. Таким образом, голография является ёмким способом хранения информации.

Голографическая микроскопия свободна от огромного недостатка обычной микроскопии - необходимости фокусирования. Объёмную голограмму можно не торопясь рассматривать в микроскоп, изучать в деталях все срезы объекта, не смотря на то, что полученный снимок относится к какому-то фиксированному мгновению. Значимость такого метода исследования при наблюдении живых объектов очевидна [7].



Библиографический список

1. Бондарев, Б.В. Курс общей физики. В 3 кн. Кн. 1. Механика: учеб. пособие / Б.В. Бондарев, Н.П. Калашников, Г.Г. Спирин. - 2-е изд. - Москва: Высш. шк., 2005. - 352 с.

2. Суханов, А.Д. Фундаментальный курс физики. Учеб. пособие для вузов. В 4-х томах. Том 2. Континуальная физика / А.Д. Суханов. - Москва: Агар, 1998. - 709 с.

3. Мултановский, В.В. Курс теоретической физики: Классическая электродинамика: учеб. пособие для студентов физико-математических. факультетов педагогических институтов / В.В. Мултановский, А.С. Василевский. - Москва: Просвещение, 1990. - 272 с.

4. Савельев, И.В. Курс общей физики: Т.3: Оптика, атомная физика, физика атомного ядра и элементарных частиц / И.В. Савельев. - Москва: Наука, 1973. - 528 с.

5. Лебедев, Я.Д. Физика: учебное пособие в 3-х ч. Часть 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика, электростатика / Я.Д. Лебедев; Мин-во обр. и науки РФ; Вологод. гос. ун-т. - Вологда, ВоГУ, 2015. - 144 с.

6. Геворкян, Р.Г. Курс физики: учеб. пособие / Р.Г. Геворкян. - Москва: Высшая школа, 1979. - 656 с.

7. Китайгородский, А.И. Введение в физику / А.И. Китайгородский. - Москва: Наука, 1973. - 688 с.

8. Минасян, Л.А. Единая теория поля: Философский анализ современны проблем физики элементарных частиц и космологии. Опыт синергетического осмысления / Л.А. Минасян. - Москва: КомКнига, 2005. - 176 с.

9. Савельев, И.В. Курс общей физики: Т.2: Электричество / И.В. Савельев. - Москва: Наука, 1973. - 431 с.

10. Лебедев, Я.Д. Пропедевтический курс по физике: учебное пособие / Я.Д. Лебедев. - Вологда: ВоГУ, 2014. - 86 с.

Размещено на Allbest.ru

...