Размещено на http://www.allbest.ru/

проводники и диэлектрики в электрическом поле



1. Проводники в электрическом поле. Электрическая ёмкость проводника, взаимная ёмкость

При рассмотрении электрического поля системы проводников [2; 3, с. 142] нам удалось убедиться в том, что внутри заряженной замкнутой проводящей поверхности вектор напряжённости , а потенциал электрического поля (при отсутствии там свободных зарядов). Заметим, выбор поверхности проводника был несимметричным. Тем не менее, есть основания утверждать, что этот факт справедлив и для сферы; он не зависит от формы этой поверхности и имеет важное прикладное значение. В частности, в качестве защиты от постоянного электрического поля используют замкнутую проводящую поверхность, под которую электрическое поле не проникает. Кроме того, проверка его на опыте [2] с высокой степенью точности служит подтверждением справедливости закона Гаусса для постоянных электрических полей и лежащего в его основе закона Кулона. Если бы в законе Кулона модуль силы убывал не как , то поле внутри проводящей сферы было бы отлично от нуля. (Как в этом можно убедиться?)

До сих пор мы молчаливо пользовались заряженными проводниками, толщиной которых можно было пренебречь. При этом результирующее поле, создаваемое системой таких проводников, можно найти исходя из принципа суперпозиции. Убедиться в этом можно на простейшей системе проводников - пары бесконечных параллельных плоскостей, заряженных соответственно разноимённо при одинаковой величине плотности заряда . Ранее мы уже отмечали, электрическое поле у поверхности проводника всегда перпендикулярно этой поверхности независимо от её формы [3, с. 142]. Каждая из плоскостей создаёт однородное поле вида:



, (1.1)

направленное от положительно заряженной плоскости - сплошная линия к отрицательно заряженной плоскости - пунктирная (рис. 1.1).

Действительно, из закона Гаусса [3, с. 137] следует, поток электрического поля бесконечно заряженной плоскости с учётом его симметрии может быть записан:

. (1.2)

В качестве поверхности интегрирования S выберем цилиндр любой формы с осью, перпендикулярной плоскости, и основаниями, равноудалёнными от неё (рис. 1.1). Здесь - площадь кусочка заряженной плоскости, попадающей внутрь выбранной поверхности цилиндра интегрирования; величина электрического поля одинакова на его обоих основаниях и равна по соображениям симметрии, а на боковой поверхности цилиндра равна нулю. Поэтому площадь S в уравнении интегрирования (1.2), пронизываемая силовыми линиями заряженной плоскости, равна удвоенной плоскости основания цилиндра, т. е. , так что после несложных преобразований пытливый студент придёт к выражению (1.1).

Такую пару разноимённо заряженных плоскостей принято называть плоским конденсатором. Поскольку слева и справа системы из двух плоскостей поля и равны по величине и направлены навстречу друг другу, результирующее поле (рис. 1.1):

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Вместе с тем, между плоскостями результирующее электрическое поле запишется (рис. 1.1.):

, (1.3)

т. е. модуль результирующего поля удваивается, а его направление совпадает с . Иначе говоря, результирующее электрическое поле системы из двух противоположно заряженных проводников полностью сосредоточено между плоскостями; пластинами конденсатора.

Теперь допустим, что мы рассматриваем систему противоположного типа, когда заряды двух плоскостей одинаковы не только по величине, но и по знаку. Нетрудно догадаться, по принципу суперпозиции результирующее поле между плоскостями системы равно нулю: (рис. 1.2) тогда как вне системы слева и справа оно удваивается:

. (1.4)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Другими словами, в этом случае результирующее поле полностью сосредоточено снаружи от обеих плоскостей, а его величина также превышает вдвое поле одной плоскости. Поскольку результирующее поле между плоскостями равно нулю, подобно полю внутри проводника, рассмотренная система может служить моделью массивного заряженного проводника - бесконечно проводящей пластины, ограниченной этими плоскостями. Здесь уместно обратить внимание на то, что поле у плоской поверхности массивного проводника вдвое больше поля у поверхности бесконечно тонкого проводника. Иначе говоря, заряженная плоскость с плотностью заряда эквивалентна заряженной пластине с плотностью . Тем не менее, изменение нормальных компонент поля Е _n при переходе через поверхность и в том, и другом случае одно и то же: (Е _n) ₂ - (Е _n) ₁ . Для массивного проводника (Е _n) ₂ и (Е _n) ₁ 0, а для плоскости (Е _n) ₂ и (Е _n) ₁ . (При проверке утверждения пытливый читатель должен сообразить, что у массивного проводника две плоскости.)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поместим теперь в поле заряженной плоскости с плотностью заряда незаряженный проводник, представляющий собой бесконечную проводящую пластину с плоскостями, параллельными исходной заряженной плоскости (рис. 1.3). Здесь принципом суперпозиции не воспользоваться; почему? Как следует из предыдущего абзаца, незараженная пластина-проводник при помещении её во внешнее поле также даёт вклад в результирующее поле. Поэтому расчёт электрического поля в присутствии незаряженных проводников более сложная задача. Действительно, под действием электрического поля плоскости свободные заряды - электроны - внутри проводящей пластины придут в движение, и будут двигаться внутри проводника до тех пор, пока внутри него (пластины) поле не обратится в нуль. Очевидно, плоскости пластины окажутся заряженными разноимённо с одинаковыми, но пока неизвестными, плотностями зарядов (рис. 1.3). Естественно ожидать, ближайшая плоскость пластины зарядится противоположным по знаку зарядом () (?) (рис. 1.3, её поле обозначено стрелкой с пунктирной линией). Нетрудно понять, противоположная плоскость пластины приобретёт заряд с плотностью () (рис. 1.3, её поле обозначено стрелкой со сплошной линией). Появление этих зарядов необходимо для того, чтобы поле внутри проводника (пластины) обращалось в нуль. Очевидно, величина поверхностных плотностей зарядов () зависит от величины поля заряженной плоскости (). По существу, здесь мы имеем дело с комбинацией заряженной плоскости и конденсатора (с. 6). Вне пластины, справа от плоскости с зарядом (рис. 1.3), по принципу суперпозиции результирующее поле равно:

, (1.5)

а внутри пластины, как мы знаем, результирующее поле должно быть равно нулю (см. рис. 1.2):

.

Отсюда немедленно следует, заряд . Для нас здесь важно то, что источниками результирующего поля (1.5) вблизи проводящей пластины является совокупность зарядов на всех проводниках, но не только заряды, появившиеся на пластине. Однако заметим, после того как плотность зарядов найдена, формулу (1.5) пытливый читатель может прописать по принципу суперпозиции, соответствующему формуле (1.3), и совпадающему для поля у поверхности любого заряженного проводника (см. с. 7).

Проведённый анализ системы проводников показал - их взаимное электрическое воздействие приводит к тому, что плотности зарядов на каждом проводнике определяются полями, создаваемыми всеми проводниками, а результирующее поле определяется распределением зарядов по всем проводникам. Не будем забывать, выше рассматривались проводники лишь специальной формы и конфигурации, и закон Гаусса приводил к простейшим зависимостям распределения плотности зарядов , отвечающим однородным полям. Для проводников произвольной формы задача нахождения плотности зарядов гораздо более сложна. Однако её решению способствует следующий (нетривиальный) факт - как бы ни зависели плотности зарядов и электрические поля от формы, размеров и конфигурации проводников, заряды каждого проводника и потенциалы их поверхностей в условиях равновесия всегда являются постоянными. Это значительно упрощает изучение системы проводников, если перейти от зависимостей к установлению взаимосвязей между зарядами и потенциалами всех проводников. По сути, нас интересует взаимосвязь электрических характеристик поля проводника через его пространственные характеристики; иными словами, физическое свойство, определяющее его поведение в электрическом поле.

Для простоты рассмотрения ограничимся полой сферой и плоским конденсатором. Сообщим проводящей сфере радиуса заряд , который распределяется по её поверхности так, чтобы напряжённость поля внутри неё была равна нулю (рис. 1.4), а потенциал сферы, в силу сферической симметрии, определяется выражением [3, с. 134]:

. (1.6)

Если сфере сообщить ещё заряд такой же величины, то он распределиться точно таким же образом (?); при условии, что увеличение заряда на проводящей сфере не вызывает изменений в распределении заряда на окружающих телах. Таким образом, потенциал уединённой сферы (проводника) пропорционален находящемуся на ней заряду; а именно, увеличение заряда в некоторое число раз приводит к увеличению в то же число раз потенциала. Подобные суждения справедливы и в отношении силовой характеристики электрического поля, напряжённости , которая вне сферы имеет вид:

, (1.7)

где R больше или равно .



Размещено на http://www.allbest.ru/

Поскольку увеличение заряда на проводнике (сфере) в некоторое число раз сопровождается увеличением потенциала (и ) в то же число раз в каждой точке пространства, окружающем сферу, то во столько же раз возрастает и работа по переносу заряда на поверхность проводника. Таким образом, для уединённого проводника, в частности, для сферы, отношение заряда к потенциалу есть величина постоянная и определяемая геометрическими параметрами проводника (R ²) и свойствами окружающей его среды (_о).

Для плоского конденсатора /_о q/(S_о) (см. с. 6), тогда для разности потенциалов, с учётом того, что - d /dl [3, с. 134], пытливый читатель, проведя интегрирование, приходит к выражению:

₁ - ₂ U Еl Е d , (1.8)

где d - расстояние между пластинами конденсатора (рис. 1.1).

Общей особенностью формул (1.6), (1.8) является пропорциональность потенциалов и зарядов проводников, а коэффициенты пропорциональности при этом зависят лишь от геометрических параметров - r (1.6), S, d (1.8). Надо полагать, это справедливо и для произвольного проводника. Почему? Плотность зарядов в каждой точке поверхности проводника должна быть такой, чтобы внутри него поле Е_внутр. 0. Поэтому, хотя увеличение заряда проводника в n раз (Q nQ) приводит к увеличению плотности заряда в каждой точке в то же число раз ( n), форма функции остаётся неизменной. Тем самым, в n раз увеличиваются пропорциональные плотности модуль электрического поля (Е nЕ) и электрический потенциал на поверхности проводника ( _пов. n_пов.).

Таким образом, с учётом этих соображений для каждого проводника существенны не значения заряда и потенциала сами по себе, а только их отношение. Так появляется характеристика поведения уединённого проводника в электрическом поле - электроёмкость С (рис. 1.4):

. (1.9)

Для электронейтральной системы из двух проводников с зарядами q₁ - q₂ q отношение абсолютной величины заряда к разности потенциалов U ₁ - ₂ между проводниками называется взаимной ёмкостью:

. (1.10)

Формулу электрической ёмкости уединённой заряженной сферы пытливый читатель может получить из уравнения (1.9), воспользовавшись выражением для потенциала сферы (1.6):



, (1.11)

а для плоского конденсатора взаимная ёмкость из уравнения (1.10) с учётом формулы для разности потенциалов (1.8) принимает вид:

. (1.12)

Единицей измерения электрической ёмкости в системе СИ является -фарад (Ф). Это очень крупная единица; так, например, ёмкость проводящего шара с радиусом, равным радиусу Земли, составляет всего 700 мкФ 710 - ⁴ Ф.

Электрическое поле вне атома

Как было показано в работе [3, гл. 9] и в предыдущем параграфе, источником постоянного электрического поля могут служить любые неподвижные заряды, к которым применима модель частицы. Наиболее элементарными среди них являются «бесструктурные» электроны и ядра атомов. Поэтому рассматриваемое до сих пор электрическое поле фактически было определено всюду вне электронов и ядер, т.е. было микроскопическим. Поскольку в большинстве случаев электрическое поле интересует нас только вне атомов или молекул, целесообразно выразить наблюдаемое на опыте электрическое поле в присутствии атомов или молекул непосредственно через «электрические» характеристики этих структурных «составляющих» вещества. Этот шаг соответствует переходу от микроскопического электрического поля, заданного в каждой точке пространства, к среднему макроскопическому полю, определённому в физически малом элементе объёма вещества атомного масштаба, что согласуется с описанием, принятым в модели сплошной среды [2].

При рассмотрении «электрических» свойств атомов (молекул) мы не будем вдаваться в детали их внутреннего устройства. Для этих целей воспользуемся современным вариантом модели атома Томсона. Другими словами, в соответствии с опытом предположим, что в изолированном атоме бесструктурное положительно заряженное ядро находится в центре отрицательно заряженной по объёму сферы, полный заряд которой равен суммарному заряду всех электронов атома. В изолированной молекуле совокупность ядер образует систему точечных положительных зарядов, «погружённых» в отрицательно заряженную по объёму фигуру той или иной формы. Однако, в том и другом случае размеры областей, в которых распределены отрицательные заряды, ограничены и близки к экспериментально наблюдаемым эффективным радиусам атомов или молекул.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Электрический потенциал атома (молекулы) определяется, согласно (9.10) [3, с. 134], совокупностью зарядов электронов и ядер, расположенных в ограниченной области пространства размера . Однако этот потенциал интересует нас не всюду, а только на расстояниях, которые превосходят размеры атома, (рис. 1.5). Воспользуемся этим упрощением и приступим к преобразованию выражения (9.10), поместив для удобства начало отсчёта в центр инерции атома. Тогда расстояния отдельных зарядов от начала отсчёта будут много меньше расстояния до точки, где вычисляется потенциал (рис. 1.5, *). Это обусловлено тем, что электроны в пределах атома (молекулы) движутся с огромной скоростью, непрерывно изменяя своё положение относительно ядер. Поэтому действие каждого электрона на внешние заряды будет примерно таким, как если бы он находился в покое в некоторой точке, полученной усреднением положения электрона по времени. При непрерывном распределении зарядов объёмная плотность зарядов электронов и ядер принимает положительные значения на ядрах и отрицательные - во всех остальных местах внутри атома (молекулы). Таким образом, заменяя в формуле (9.10) операцию суммирования на интегрирование(?), для электрического потенциала атома при приходим к выражению вида:

. (1.13)

Здесь, рис. 1.5, , где - угол между векторами и , dV - физически малый элемент объёма внутри атома, а интегрирование идёт по объёму атома V_ат.

Условие r r позволяет разложить в формуле (1.13) величину (R ) -¹ в ряд Тейлора по малому отношению r /r. Действительно, если пренебречь бесконечно малой второго порядка и извлечь из-под корня квадратного r ², то, проведя преобразования, легко убедиться в том, что . Наконец учтём, что для бесконечно малых 1/. Отсюда немедленно следует, что интеграл (1.13) распадается на два интеграла:

.

Поскольку r - величина постоянная, степени r - ⁿ из-под знака интеграла (1.13) можно вынести. Это позволяет представить электрический потенциал атома в виде ряда по r - ⁱ с коэффициентами _i const:

. (1.14)

Нетрудно видеть, что для нейтральных атомов или молекул и вклад первого члена ряда (1.14) в потенциал атома равен нулю. В этом настойчивый читатель может убедиться, если возьмёт интеграл вида:

; (1.14 а)

не забывая представленные пояснения к выражению (1.13). С учётом формулы (1.14 а) первый член в разложении (1.14) совпадает с выражением (9.10) [3, с. 134] для потенциала заряда на расстоянии r от него.

Перейдём к выявлению вклада в электрический потенциал нейтральных атомов на достаточно больших расстояниях второго члена разложения в ряд (1.14):

. (1.14 б)

Нетрудно видеть, что под знаком интеграла стоит новая физическая величина - вектор дипольного электрического момента системы одинаковых по величине, но противоположных по знаку зарядов и равная произведению заряда на его плечо . Плечо диполя - величина векторная, имеющая направление от отрицательного заряда к положительному и обозначается символом ; т. е. . Заметим, для нейтральных атомов (молекул) электрический дипольный момент важнейшая характеристика электрических свойств системы зарядов. На фундаментальное значение этой величины указывает и тот факт, что величина дипольного момента не зависит от выбора начала отсчёта. Дипольный момент - важнейшая характеристика нейтральной системы зарядов по отношению к воздействию на неё внешнего электрического поля. Внимательный и пытливый читатель может убедиться в этом, обратившись к работе [3, с. 115, 3-й абзац], где нам удалось «поймать» возможный механизм взаимодействия молекул и количественно его ценить.

Из выражения (1.14 б) следует, для нейтральных атомов (молекул) электрический потенциал на достаточно больших расстояниях от них определяется вторым членом разложения (1.14) и отличен от нуля:

. (1.15)

Сравнивая потенциал атома в дипольном приближении с потенциалом точечного заряда , нетрудно видеть, что выражение (1.15) с ростом r убывает быстрее (как r - ²); кроме того, он обладает ярко выраженной асимметрией (см. пояснения к (1.13) и рис. 1.5). Потенциал (1.15) максимален в направлении вектора и обращается в нуль, в перпендикулярных ему направлениях, независимо от величины расстояния r от атома. В этом можно убедиться, выразив силовую характеристику электрического поля нейтрального атома на больших расстояниях от него. Для этого, как мы знаем [3, с. 132, формула (9.7)], необходимо вычислить градиент от потенциала вида (1.15). Проще всего это сделать, применив формулу Лейбница для производной от произведения. Учитывая, что вектор const, а производная , приходим к выражению:

Во втором члене равенства 1/r ³ необходимо дифференцировать как сложную функцию, в которой r . Проделав преобразования типа



,

результат поиска уравнения силовой характеристики принимает вид:

. (1.16)

диэлектрик проводник электрический поле

Размещено на http://www.allbest.ru/

Здесь в скобках скалярное произведение дипольного электрического момента атома и радиус-вектора до интересующей нас точки (рис. 1.6). Нетрудно видеть, в любом направлении электрическое поле нейтрального атома или молекулы в дипольном приближении убывает как r - ³ и действительно обладает асимметрией (рис. 1.6). В частности, вдоль оси Y поле параллельно дипольному электрическому моменту атома d_ат, а его модуль .

Насколько пригодна рассматриваемая модель для описания «электрических» свойств реальных атомов и молекул? Учёт движения электронов методами квантовой физики показывает [2], что в нормальных условиях эта асимметрия сглаживается, и отрицательный заряд в любом изолированном атоме распределён симметрично. Тем самым, для изолированного атома (рис. 1.5) и равен нулю. Для многих молекул (например, H₂CO₃) распределение зарядов также обладает одинаковой симметрией и для них 0. Однако существует довольно много молекул (NaCl, CO, H₂O…), в которых распределения положительных и отрицательных зарядов обладают разной симметрией. В них, как известно, дипольный момент в состоянии покоя отличен от нуля, и такие молекулы принято называть полярными. Таким образом, только покоящиеся полярные молекулы способны создавать микроскопическое электрическое поле вида (1.16). Во всех остальных случаях подобное поле возникает лишь тогда, когда воздействие внешнего электрического поля нарушает симметрию в распределении зарядов или способствует ориентации направления вектора дипольного электрического момента в пространстве.

В заключение параграфа заметим, положение центра тяжести зарядов определяется так же, как и положение обычного центра тяжести, но с заменой масс частиц их зарядами. Центры тяжести положительных и отрицательных зарядов могут либо совпадать - что характерно для нейтральных атомов, либо - не совпадают, что характерно для полярных молекул. Более глубокое рассмотрение данного вопроса можно найти в [2].

Электрическое поле нейтрального диэлектрика. Поляризация диэлектрика

В главе 9.5 [5] и параграфе 1.1 данной работы проводники послужили нам примерами веществ, позволяющих реализовать системы свободных зарядов. Иными словами, источников электрического поля в вакууме, в роли которых выступали бесструктурные электроны или ионы. Несмотря на то, что электроны и ядра в нейтральном атоме или молекуле «связаны», а заряды противоположных знаков распределены довольно симметрично, атом или молекула, как мы убедились в предыдущем параграфе 1.2, также способны создавать вокруг себя электрическое поле. Вещества, состоящие из нейтральных структурных элементов - атомов или молекул - принято называть диэлектриками. Разумеется, в них могут находиться свободные электроны или ионы. Однако они всегда «закреплены» и при воздействии не слишком сильного электрического поля остаются неподвижными. Перейдём к нахождению электрического поля в диэлектрике.

Казалось бы, в этом случае особых проблем не возникает, поскольку формула (1.13) применима и здесь. Однако с практической точки зрения она бесполезна, поскольку точное выражение для плотности , как правило, неизвестно; но даже при известной функции вычислить соответствующий интеграл не удаётся. Но дело не только в этом. Не будем забывать, формула (1.13), по существу, подразумевает, что электрический потенциал в ней определён в сколь угодно малой области пространства внутри диэлектрика. Однако используемые нами приборы в большинстве случаев таковы, что способны реагировать лишь на воздействия со стороны зарядов находящихся в элементах объёма, содержащих достаточно много атомов, 1. Это значит, при описании электрического поля в диэлектриках неизбежно использование модели сплошной среды, когда все её характеристики, включая электрический потенциал, зависят от более грубой переменной - положения элемента среды в пространстве; здесь - физически малый элемент объёма.

Переход в формуле (1.13) от микроскопического потенциала к макроскопическому потенциалу в модели сплошной среды,

(1.17)

усреднённому по физически малому объёму , осуществим из следующих соображений. Учтём реальную структуру системы зарядов, образующих диэлектрик. Чтобы не рассматривать суперпозицию (сложение) потенциалов от заряда каждого ядра или электрона, сгруппируем мысленно эти заряды в отдельные атомы или молекулы и выразим электрический потенциал диэлектрика через «электрические» параметры этих структурных элементов вещества. Потеряв возможность применять полученные формулы внутри атома (молекулы), мы упростили их для потенциалов вне атома. «Ситуация здесь аналогична той, когда при описании гравитационного взаимодействия в планетной системе мы переходим от рассмотрения взаимодействия между отдельными атомами к взаимодействию совокупностей атомов, объединённых в планеты в целом» [2].

Выше, параграф 1.2, мы получили, что вне одиночного неподвижного атома (молекулы) электрический потенциал в общем виде имеет вид:

; (1.18)

пытливый читатель в этом может убедиться, обратившись к формулам (1.14, 1.15). Обратим внимание на то, что выражение потенциала зависит только от расстояния r до центра инерции атома, т. е. от «грубой» переменной. Вместе с тем, распределение зарядов внутри атома скрыто в имеющих наглядный физический смысл параметрах - , .

Теперь мысленно перегруппируем выражение для электрического потенциала диэлектрика (1.17), представив его в виде суперпозиции потенциалов (1.18) составляющих его атомов. Тем самым, мы переходим к модели сплошной среды, в которой роль электрического потенциала играет средний потенциал (1.17), зависящий от грубой переменной , фиксирующей положение центра инерции атома:

; (1.19)

здесь - расстояние от точки измерения потенциала до центра инерции соответствующего атома; в скобках второй суммы стоит скалярное произведение векторных величин и . Поскольку атомов (молекул) не намного меньше, чем электронов и ядер, в полученном выражении (1.19) можно перейти к приближению сплошной среды и выражение (1.18) принимает вид:

; (1.20)

здесь интегрирование выполняется по объёму диэлектрика V_диэл, а элемент объёма dV - это его физически малый элемент объёма, но не атома; скалярная величина характеризует распределение заряда в диэлектрике, но не в атоме и зависит от «грубых» переменных - координат центров инерции ионов; вектор принято называть вектором поляризации диэлектрика или атомной поляризованности и имеет смысл дипольного момента единицы объёма. Через него дипольный момент всего диэлектрика может быть записан в виде:

, (1.21)

где вновь величина зависит от «грубой» переменной , фиксирующей положение физически малого объёма V . Здесь уместно заметить, эта формула справедлива лишь тогда, когда можно пренебречь движением и взаимодействием атомов.

Учёт движения и взаимодействия реальных атомов просматривается на этапе перехода от микроскопического потенциала (1.13) к среднему макроскопическому потенциалу (1.17). Его можно произвести, если смоделировать диэлектрик газоподобной системой. В ней совокупность «квазичастиц» - атомов (молекул) находится в тепловом равновесии в смешанном состоянии (векторы электрического дипольного момента разнонаправлены). Ранее нам удалось установить [3, гл. 7, с. 101], при отсутствии воздействия внешних полей в условиях теплового равновесия газ в целом можно описать двумя величинами - внутренней энергией и давлением. Давление характеризовало механическое воздействие на газ, связанное с наличием стенок сосуда. Поскольку внешнее электрическое поле оказывает аналогичное воздействие на отдельные частицы, оно тем самым должно как-то влиять и на свойства газоподобной системы - диэлектрик в целом. Следить за поведением каждой частицы (атома, молекулы) диэлектрика не имеет смысла. Целесообразно ввести характеристики диэлектрика моделируемого газоподобной системой, учитывающие его реакцию на дополнительное механическое воздействие, вызываемое внешним электрическим полем . Эти характеристики несколько напоминают давление, что даёт нам надежду опираться на эту аналогию.

Напомним, понятие давления нам удалось ввести, связав его с механической работой по расширению газа [10, с. 64]. Действуя аналогично, рассмотрим поведение газа-диэлектрика в электрическом поле. Средняя механическая работа A газа-диэлектрика над электрическим полем равна:

A A _мех.ср - , (1.22)

где - электрический заряд частицы (электрона или иона), а - её смещение во внешнем поле . Теперь предположим, что каждый атом состоит из одного электрона и атомного остатка (иона), что позволяет ввести в формуле (1.22) под знак дифференциала и тогда (1.22) принимает вид:

A - . (1.23)

Здесь под знаком первой суммы мы имеем дело с электрическим дипольным моментом k-того атома диэлектрика. Поскольку атомы диэлектрика, по отношению к внешнему электрическому полю в тепловом равновесии, находятся в смешанном состоянии целесообразно ввести средний дипольный момент диэлектрика, что представлено в последнем равенстве (1.23); смешанное состояние предполагает направление векторов по всем возможным направлениям к вектору электрического поля . Таким образом, усреднив обе части формулы (1.21) по смешанному состоянию в тепловом равновесии мы пришли к тому, что вектор дипольного момента диэлектрика:

, (1.24)

где - вектор поляризованности диэлектрика, от которого и зависит средний электрический потенциал диэлектрика в формуле (1.20). В свою очередь вектор атомной поляризованности диэлектрика можно записать в виде: n_о, где - среднее арифметическое дипольных моментов атомов, находящихся в единичном объёме , n_о - число атомов в единице объёма; другими словами, это характеристика поляризация единицы объёма диэлектрика во внешнем электрическом поле.

Итак, формула (1.20) для макроскопического потенциала внутри диэлектрика в тепловом равновесии упрощается, если положить, что в первом члене её 0; предыдущий параграф 1.2 этому не противоречит. При обсуждении второго члена формулы ограничимся однородно поляризованным диэлектриком, когда вектор атомной поляризованности во всём его объёме одинаков. Не будем также интересоваться особенностями атомов (молекул) и способом, позволяющим создавать дипольные моменты и обеспечивать наличие однородной поляризованности диэлектрика. Преимущество формулы (1.20) так же в том, что точное выражение для вектора поляризованности , как правило, хорошо известно, поскольку оно может быть найдено из независимых вычислений. Всё это указывает на то, что при вычислении макроскопического потенциала диэлектрика можно дополнительно привлекать соображения симметрии, упрощающие вычисление интеграла (1.20).

Размещено на http://www.allbest.ru/

С этой целью выберем наиболее удобный по форме элемент объёма диэлектрика, например, в виде бесконечной пластины, ограниченной в направлении оси Z двумя параллельными плоскостями, и поляризованной однородно вдоль оси Z (рис. 1.7). В случае однородной поляризации диэлектрик любой формы целесообразно мысленно расчленить на элементарные стержни малого сечения, ориентированные вдоль оси вектора поляризации (рис. 1.7). Тогда вычисление потенциала диэлектрика произвольной формы в целом сводится к вычислению вкладов в потенциал (1.20) от каждого элементарного стержня. Простейший пример стержня из однородно поляризованного диэлектрика представлен на рис. 1.8, а вектор поляризации стержня ориентирован вдоль оси Z. Тогда выражение (1.20) при принимает вид:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Здесь мы вынуждены учесть то, что при делении вектора на скаляр , пояснения к этому можно найти в выводе формулы (1.16); кроме того, выделенный физически малый объём поляризованного диэлектрика dV dzdS. С учётом этого потенциал диэлектрика принимает вид:



. (1.25)

Сравнение формулы (1.25) с формулой для электрического потенциала системы зарядов (9.10) из [5] указывает на то, что потенциал однородно поляризованного стержня из диэлектрика эквивалентен потенциалу двух разноимённо заряженных малых параллельных пластинок площади S_z с поверхностными зарядами (рис. 1.8):

q_связ P_zS_z P_nS, (1.26)

где P_n - проекция вектора поляризации на нормаль к поверхности торца стержня (рис. 1.8). Отсюда следует, величина

(1.27)

имеет физический смысл поверхностной плотности «связанных» зарядов. Заряды называются «связанными», поскольку они, как заряды одного знака, по отдельности себя не проявляют. Их появление на поверхности однородно поляризованного диэлектрика косвенно связано с пространственным раздвижением положительных и отрицательных зарядов в атомах (молекулах) под действием внешнего электрического поля. Внутри однородного диэлектрика «связанные» заряды разных знаков друг друга компенсируют и _связ 0. Нескомпенсированными остаются лишь «связанные» заряды разных знаков на его поверхности.

Таким образом, введение «связанных» поверхностных зарядов оказывается неплохим приёмом, позволяющим свести вычисление электрического потенциала нейтрального диэлектрика к уже известным задачам об электрическом потенциале проводников, заряженных по поверхности. Но, как утверждает А.Д. Суханов [2], для вычисления электрического потенциала диэлектрика на основе формулы (1.25) и принципа суперпозиции также требуется учёт симметрии задачи. Не в последнюю очередь это обусловлено тем, что величина P_n на поверхности диэлектрика зависит от угла между вектором поляризации и нормалью в данной точке поверхности.

В качестве примера вычислим электрическое поле плоско поляризованной пластины из однородно поляризованного диэлектрика.

Решение: Бесконечная пластина из диэлектрика, ограниченная в направлении оси Z двумя параллельными плоскостями, рис. 1.9, и поляризованная однородно вдоль оси Z, эквивалентна плоскому конденсатору (см. рис. 1.1, с. 6) с поверхностными плотностями заряда Р_z. Это позволяет утверждать, потенциал пластины как вне, так и внутри неё постоянен. Соответственно, электрическое поле вне пластины равно нулю, в чём пытливый читатель может убедиться, вернувшись к рис. 1.1 на с. 6. Внутри пластины электрическое поле однородно, направлено противоположно вектору поляризации (рис. 1.9); по модулю равно /_{о св}/_о Р_z/_о. В этом читатель также может убедиться самостоятельно, если обратится к формуле (1.3) и (1.27), и учтёт, что _связ.



Размещено на http://www.allbest.ru/

В заключение заметим, в научно-технической литературе электрическое поле поляризованного диэлектрика записывается в виде:

. (1.28)

Итак, для плоскопараллельной пластины из однородно поляризованного диэлектрика (рис. 1.9) , а .

Система заряженных проводников в однородной диэлектрической среде. Электрическое поле на границе двух диэлектриков

Основной результат проведённого рассмотрения в предыдущем параграфе состоит в том, что предварительно поляризованный нейтральный диэлектрик также создаёт электрическое поле как и заряженный проводник или неполяризованный заряженный диэлектрик. Тем самым, электрическое поле системы произвольных проводников и диэлектриков, с учётом их взаимного влияния, является весьма сложной суперпозицией полей, создаваемых каждым из них по отдельности.

Наиболее простая система из проводников и диэлектриков, доступная для исследования, имеет место, когда диэлектрик конечного размера ограничен системой проводников. Комбинация таких случаев реализуется в плоском конденсаторе. Подчеркнём, речь здесь идёт о среднем макроскопическом электрическом поле в диэлектрике, которое зависит от «грубой» переменной - положения физически малого элемента объёма V и вектора электрической поляризации .

В качестве примера однородной диэлектрической среды рассмотрим плоский конденсатор, в котором пространство между пластинами полностью заполнено неполяризованным диэлектриком. Под влиянием электрического поля свободных зарядов на пластинах конденсатора атомы диэлектрика поляризуются, что можно описать вектором поляризации , параллельным электрическому полю свободных зарядов (рис. 1.10). Тогда результирующее поле конденсатора представляет собой суперпозицию двух полей - поля свободных зарядов на пластинах конденсатора в вакууме и поля поляризованной диэлектрической пластины . Вне пластин конденсатора оба этих поля равны нулю, а между пластинами результирующее поле запишется (рис. 1.10):

- 4k; (1.29)



Размещено на http://www.allbest.ru/

где - вектор поляризации единицы объёма диэлектрика , см. (1.28). Другими словами, из формулы (1.29) следует, первоначально неполяризованная диэлектрическая среда всегда ослабляет поле, создаваемое заряженным проводником, по сравнению со значением того же поля в вакууме. Этот факт - следствие частичной «экранировки» зарядов проводника внутриатомными зарядами диэлектрика. Таким образом, физический смысл формулы (1.29) состоит в том, что вектор характеризует вклад зарядов на проводниках в среднее электрическое поле в диэлектрике; или зарядов ионов или электронов в диэлектриках. Заряды на проводниках принято называть «свободными» (внешними). Их поверхностная плотность легко измеряется на опыте и определяет поле независимо от присутствия диэлектрика. Заряды, входящие в состав нейтральных атомов (молекул) диэлектрика, принято называть «связанными» или внутренними. Их вклад, , в среднее поле в присутствии атомов диэлектрика определяется другими характеристиками диэлектрика, также легко измеряемыми на опыте. Убедимся в этом.

Известно, что внутреннее поле в диэлектрике /_о, где - поверхностная плотность связанных зарядов диэлектрика (рис. 1.10); в этом читатель может убедиться, обратившись к формулам (1.27) и (1.28). Кроме того, вектор поляризации диэлектрика , может быть представлен в виде:

; (1.30)

где n₁ - вектор поляризации цепочки атомов , например, по толщине диэлектрической пластины (рис. 1.10, справа) и тогда n₁ - длина цепочки; а общее число таких цепочек в элементе объёма V обозначим буквой N.

Поскольку мы рассматриваем линейные процессы, т. е. внешнее поле значительно меньше внутреннего поля атома, вектор поляризации диэлектрика может быть представлен в виде (поле атома оценили?):

_о; (1.31)

где - диэлектрическая восприимчивость, _о - электрическая постоянная вакуума, - поле между пластинами. Подставляя (1.31) в (1.29) и не забывая, что k 1/4_о пытливый читатель приходит к уравнению вида:

(1 ) . (1.32).

Так появляется характеристика электрических свойств диэлектрика. Выражение в скобках принято называть диэлектрической проницаемостью вещества и обозначать символом - -эпсилон:

1 . (1.32 а)

Для однородной среды диэлектрическая проницаемость постоянна и наглядно демонстрирует ослабление поля свободных зарядов в среде в раз, по сравнению с их полем в вакууме /.

Итак, если в системе имеются как свободные, так и «связанные» заряды, то электрическое поле определяется всей совокупностью зарядов. В этих условиях электрическое поле носит вспомогательный характер. Линии напряжённости его обладают тем свойством, что они тянутся в пустоте непрерывно от одних зарядов до других (или уходят в бесконечность). Не так обстоит дело в диэлектриках. Под воздействием поля в них возникают «связанные» поверхностные заряды и часть линий напряжённости поля будет на них кончаться или с них начинаться (рис. 1.11). Линии напряжённости поля не пройдут непрерывно границу раздела диэлектрика. Физики-теоретики, например [2, 9], обошли это затруднение, введя вспомогательную величину - вектор электрического смещения (электрической индукции), определяемую соотношением:

, (1.33)

что позволило сохранить и смысл теоремы Остроградского-Гаусса. В этом можно убедиться, поработав с формулой (1.29) и (1.31).

Рис. 1.11 Пластина из однородного диэлектрика в поле разноимённо заряженных

Из соотношения (1.33) следует, что вектор индукции (электрического смещения) направлен в каждой точке так же, как и вектор напряжённости поля , однако по численному значению он в раз больше напряжённости . Для пустоты - вакуума векторы и совпадают. Линии вектора индукции строятся тем же способом, что и линии вектора напряжённости. Направление линии считается совпадающим в каждой точке с направлением вектора индукции в этой точке. Количество проводимых линий индукции подчиняется требованию, чтобы отношение числа линий dN, пересекающих площадку dS, перпендикулярную к линиям индукции, к площадке dS численно равнялось значению вектора индукции в области этой площадки, т. е.:

. (1.33а)

Отсюда немедленно следует, поток вектора (электрической) индукции N может быть записан в виде:

. (1.34)

Заметим, из (1.33) следует, линии индукции непрерывны, другими словами, поток вектора электрического смещения внутри пластины D _оE равен электрическому смещению внешнего поля D_{о о}E_o, если учесть (1.32). Рис. 1.11 [9] отображает эту ситуации, если принять, что 3; в соответствии с этим густота линий в диэлектрике в три раза меньше, чем вне пластины.

На практике довольно часто приходится иметь дело с двумя диэлектриками, разделёнными граничной поверхностью; при этом одним из них может быть вакуум. Поэтому представляет интерес проанализировать поведение электрического поля на границе двух диэлектриков.

Обратим внимание на то, что мы имеем дело с полем неподвижных - свободных и «связанных» - зарядов. Это поле, как мы знаем [3, с. 132], безвихревое, потенциальное, а интеграл по замкнутому контуру . В то же время, как показано выше (1.33; 1.34), поток вектора электрической индукции этого поля может быть приведён к виду:

, (1.35)



Размещено на http://www.allbest.ru/

где - полный сторонний заряд, охватываемый соответствующей поверхностью Гаусса [3, с. 139]. На знаковом (словесном) языке - поток электрического поля сторонних (связанных) зарядов ослабляется в раз по сравнению с вакуумом. Соответственно электрический потенциал [3, с. 134] в однородной диэлектрической среде также убывает в - эпсилон раз: , а ёмкость конденсатора (1.12) возрастает в раз. Таким образом, для прояснения поведения электрического поля на границе двух диэлектриков воспользуемся выражением для циркуляции поля , иными словами, контурным интегралом по всем элементам длины dl, и потоком поля :

. (1.36)

Рассмотрим два однородных плоских слоя диэлектриков с диэлектрическими постоянными ₁ и ₂. Пусть напряжённость электрического поля свободных зарядов составляет угол с границей раздела диэлектриков (рис. 1.12). На границах раздела диэлектриков возникнуть связанные поверхностные заряды с плотностью ₁ и ₂, которые вызовут напряжённость поля Е₁ и Е₂, направленную перпендикулярно к поверхности соприкосновения и в сторону, противоположную нормальной составляющей свободных зарядов Е _оn (рис. 1.12). Эти добавочные напряжённости и , вызванные связанными зарядами, изменяют лишь нормальные составляющие Е _оn поля свободных зарядов ; поляризующего поля (рис. 1.12). Таким образом, тангенциальные составляющие вектора результирующего поля в обоих диэлектриках должны быть одинаковыми:

. (1.37)

В справедливости выражения (1.37) можно убедиться, рассмотрев циркуляцию вектора (1.36). Для этого необходимо выбрать контур интегрирования в виде малого прямоугольника на границе диэлектриков в плоскости, перпендикулярной границе; причём l₁-линия контура, параллельная границе диэлектриков, должна быть много больше l₂-линии контура, перпендикулярной к границе диэлектриков, и записать интеграл по контуру с учётом того, что l₁ l₂; интегрирование ведёт к равенству (1.37).



Размещено на http://www.allbest.ru/

Перейдём к нахождению соотношения между нормальными составляющими и векторов в диэлектриках. Учтём, диэлектрические постоянные пластин ₁ и ₂ разные, естественно, плотности зарядов на пластинах ₁ и ₂ также будут различными (рис. 1.12). Следовательно, на поверхности соприкосновения пластин возникнет избыточный связанный заряд q_изб. Вспомним, линии электрической индукции (1.33) непрерывны. Естественно ожидать, поток электрического смещения через поверхность раздела двух диэлектриков не прерывается, другими словами, . В этом пытливый читатель может убедиться, поработав с формулами (1.29), (1.31), (1.32), (1.33), при этом, не забывая, что имеет дело с нормальными составляющими полей Е _оn и (рис. 1.12). Переходя на язык символов с учётом формул (1.29), (1.32) и (1.33) поток электрического смещения (1 ₁)_оЕ_{1 о1}Е_1n. Проведя такие же рассуждения для второй диэлектрической пластины, поток электрического смещения запишется: (1 ₂)_оЕ_{2 о2}Е_2n. Таким образом, при отсутствии на границе свободных зарядов () условия изменения электрических характеристик при переходе из одного диэлектрика в другой принимают вид:

; _о1Е_{1n о2}Е_2n. (1.38)

Другими словами, тангенциальная составляющая напряжённости электрического поля непрерывна при переходе через границу диэлектрика, тогда как нормальная составляющая напряжённости поля терпит разрыв при переходе через границу диэлектрика (рис. 1.13). Пограничные условия (1.38) для вектора в силу соотношения (1.33) позволяют получить пограничные условия для вектора индукции :

, . (1.39)

Нормальная составляющая вектора индукции непрерывна при переходе через границу раздела диэлектриков, а тангенциальная составляющая терпит разрыв непрерывности.

Пограничные условия (1.39) для вектора индукции соответствуют непрерывности линий индукции, пересекающих границу раздела двух диэлектриков. Настойчивый читатель в этом может убедиться, если воспользуется формулой (1.34) на границе раздела диэлектриков и, записав выражение для потока и , не забудет про условие (1.39).



Библиографический список

Основной список

1. Бондарев, Б.В. Курс общей физики. В 3 кн. Кн. 1. Механика: учеб. пособие / Б.В. Бондарев, Н.П. Калашников, Г.Г. Спирин. 2-е изд. Москва: Высш. шк., 2005. 352 с.

2. Суханов, А.Д. Фундаментальный курс физики. Учеб. пособие для вузов. В 4-х томах. Том 2. Континуальная физика / А.Д. Суханов. Москва: Агар, 1998. 709 с.

3. Мултановский, В.В. Курс теоретической физики: Классическая электродинамика: учеб. пособие для студентов физико-математических. факультетов педагогических институтов / В.В. Мултановский, А.С. Василевский. Москва: Просвещение, 1990. 272 с.

4. Савельев, И.В. Курс общей физики: Т.3: Оптика, атомная физика, физика атомного ядра и элементарных частиц / И.В. Савельев. Москва: Наука, 1973. 528 с.

5. Лебедев, Я.Д. Физика: учебное пособие в 3-х ч. Часть 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика, электростатика / Я.Д. Лебедев; Мин-во обр. и науки РФ; Вологод. гос. ун-т. Вологда, ВоГУ, 2015. 144 с.

Вспомогательный список

6. Геворкян, Р.Г. Курс физики: учеб. пособие / Р.Г. Геворкян. Москва: Высшая школа, 1979. 656 с.

7. Китайгородский, А.И. Введение в физику / А.И. Китайгородский. Москва: Наука, 1973. 688 с.

8. Минасян, Л.А. Единая теория поля: Философский анализ современны проблем физики элементарных частиц и космологии. Опыт синергетического осмысления / Л.А. Минасян. Москва: КомКнига, 2005. 176 с.

9. Савельев, И.В. Курс общей физики: Т.2: Электричество / И.В. Савельев. Москва: Наука, 1973. 431 с.

10. Лебедев, Я.Д. Пропедевтический курс по физике: учебное пособие / Я.Д. Лебедев. Вологда: ВоГУ, 2014. 86 с.

Размещено на Allbest.ru

...