Электромагнитное поле излучения в пустоте. Геометрическая оптика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Электромагнитное поле излучения в пустоте. Геометрическая оптика



1. Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Энергия электромагнитной волны

В предыдущих главах мы познакомились со свойствами электрического и магнитного полей, которые обнаруживаемы по результатам их воздействия на заряженные частицы. Кроме того, проявляется взаимное влияние этих поле друг на друга в той её части, которая касается взаимосвязи переменных электрического и магнитного полей [§ 4.1]. При описании этих полей центральное место занимали физические величины, присущие только электромагнитному полю, но отсутствующие у частиц. Поэтому здесь мы должны сосредоточить внимание на фундаментальных физических величинах - плотности и потоке энергии, характерных для сплошных сред, и показать, что квазистационарное электромагнитное поле ими также обладает, хотя соответствующие выражения выглядят весьма специфично. Это позволит трактовать квазистационарное электромагнитное поле как отличную от частиц, качественно новую физическую реальность - сплошную среду.

Здесь уместно напомнить, ранее понятие электромагнитного поля (электрического) нами было введено как удобный математический приём, позволяющий описать взаимодействие неподвижных заряженных частиц [3, с. 83]. Обогащаясь новым содержанием оно, однако, приобретает черты физической реальности. К числу таких черт можно отнести: 1) инвариантные свойства компонент электромагнитного поля, которые не зависят от наличия пробного заряда (гл. 4); 2) возникновение магнитного и электрического полей за счёт электромагнитной индукции (и магнитоэлектрической), т. е. без воздействия со стороны заряженных частиц; 3) возможность введения для электромагнитного поля фундаментальных физических характеристик - плотности энергии и плотности потока энергии.

Переход к рассмотрению электромагнитного поля как реальной сплошной среды требует отказа от упрощений. А именно, следуя общему подходу в модели сплошной среды, нужно перейти к её локальному описанию [3, см. § 6.3]. Переход к локальному описанию в модели сплошной среды включает замену взаимосвязей между потоками и циркуляциями соответствующих поле на взаимосвязи между самими полями и их производными, отражающими «темп» изменения соответствующего поля. Другими словами, нужно перейти от интегральных характеристик этого поля к дифференциальным характеристикам.

Обратимся к гипотезе Максвелла. Ток смещения (4.2), как и ток проводимости, образует магнитное поле, если отлична от нуля производная от электрического поля , т. е. когда имеется меняющееся со временем электрическое поле. Всякое меняющееся со временем электрическое поле связано с наличием магнитного поля, тоже переменного. Таким образом, пространство заполненное переменным электрическим полем, одновременно заполнено переменным магнитным полем.

Дальнейшие рассуждения показывают - переменное магнитное поле (, t), в свою очередь, обусловливает образование электрического поля (4.9), тоже переменного. Отсюда следует, пространство, заполненное переменным магнитным полем, одновременно заполнено и переменным электрическим полем. Таким образом, переменные - электрическое и магнитное - поля связаны друг с другом и образуют единое электромагнитное поле. Будучи первоначально связаны с зарядами и токами, переменные электрическое и магнитное поля могут затем существовать независимо от зарядов и токов (отделяться от них) и, порождая друг друга, перемещаться в пространстве.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Приступая к изучению качественно нового физического объекта - электромагнитного поля излучения - ограничимся простейшими состояниями поля излучения, бегущими линейнополяризованными гармоническими электромагнитными волнами (рис. 1) (нормальными модами [3, § 6.1]; понятие нормальных мод, введённое тогда как способ описания системы взаимодействующих частиц и имевшее смысл «квазичастиц» коллективного типа, в этом случае полностью теряет связь с какими-либо частицами). По гипотезе Максвелла ток смещения, как и ток проводимости, играет одинаковую роль в образовании магнитного поля. Так как мы предположили, что волна плоская, а напряжённость магнитного поля, созданного током смещения, всегда перпендикулярна к направлению тока, ток смещения (рис. 1) связан лишь с проекцией напряжённости магнитного поля Н_х. Почему? Если электрическое поле распространяется в плоскости Z0Y, то магнитное поле - в плоскости Х0У. Оставшиеся компоненты поля, благодаря симметрии задачи, равны нулю. Здесь появляется возможность перейти от интегральных характеристик описания поля к его дифференциальным характеристикам. Для этого выберем систему координат и поместим её в некоторую точку пространства (рис. 1), где распространяется электромагнитное поле. Исходя из гипотезы Максвелла и следуя уравнениям (3.19) и (4.2) . Поскольку интеграл по замкнутому контуру применим для контура любой формы, выберем прямоугольный контур (рис. 1) со сторонами dx и dy, а его обход при вычислении интеграла обозначим пунктирной линией со стрелкой. Поскольку векторы и являются функциями не только времени, но и координат, их значения в разных точках пространства будут отличаться. Поэтому для контура малых размеров возможно разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точек выбранного контура; их значения определены и представлены на рис. 1 в соответствующих точках контура.

Поскольку напряжённость магнитного поля перпендикулярна к току, циркуляция вектора Н_уdl на горизонтальных участках, параллельных оси у, равна нулю. В то же время на участках перпендикулярных оси у, циркуляция вектора напряжённости запишется:

т.е.

, с

окращая на dS, приходим к выражению:

.

Проведя такие же рассуждения относительно вектора поля (читатель может проделать процедуру на этом же чертеже, не забывая, || оси Z), приходим к системе уравнений вида:

. (1)

Таким образом, обозначенную выше проблему перехода к описанию электромагнитного поля через его дифференциальные характеристики, но не через интегральные, удалось преодолеть. Перейдём к поиску фундаментальных физических характеристик нового поля, но прежде найдём волновое уравнение этого - электромагнитного - поля. С этой целью дифференцируя первое уравнения (1) повторно по времени t, а второе - повторно по координате y (что необходимо проделать самостоятельно) проделали? Нетрудно видеть, выражая из первого уравнения смешанную производную и подставляя её в правую часть повторно дифференцированного второго уравнения системы, приходим к одномерному волновому уравнению вида:

. (2)

Действуя аналогично в отношении магнитного поля, можно получить одномерное волновое уравнение и для магнитного поля плоской волны. Убедимся, что уравнению (2) удовлетворяет решение вида:

; . (2. а)

Найдём вторые производные от вектора Е по времени t и по координате у:

Подставим значения производных и в уравнение (2) и, проведя сокращения, приходим к соотношению: , позволяющему определить скорость распространения электромагнитного поля плоской волны:

. (3)

Таким образом, решение уравнения (2) представляет собой плоскую волну, распространяющуюся со скоростью, которая определяется (3). В вакууме, когда 1 и 1, скорость распространения определяется мировыми постоянными _о и _о и численно равна 310⁸ м/с.

Перейдём, наконец, к нахождению плотности энергии электромагнитного поля излучения. Из механики волновых процессов известно [3, форм. (6.13)], при прохождении бегущей упругой волны вдоль некоторой оси происходит распространение энергии. Бегущие электромагнитные волны - не исключение. Из рассуждений в предыдущих главах, нам известны объёмная плотность энергии электрического и магнитного полей, что позволяет записать плотность энергии электромагнитного поля в виде:



. (4)

Установим соотношение между напряжённостями полей и . С этой целью дифференцируем уравнение (2. а) для вектора напряжённости магнитного поля по координате у, , а для вектора напряжённости электрического поля по времени t: . Правые части этих производных подставим в первое уравнение системы (1), получаем: , сократим уравнение на . Учитывая, что может быть заменено значком Н, тождественно равным Н(у,t) и, наконец, учитывая выражение для скорости электромагнитного поля через характеристики среды (3), приходим к уравнению: , или . Здесь нетрудно увидеть, что

, (5)

подставляя результаты преобразований в уравнение (4), плотность электромагнитной энергии может быть выражена следующим образом:

, или . (6)



Из уравнения (6) очевидна возможность введения ещё одной характеристики нового поля - плотности потока электромагнитной энергии. Если её обозначить через S, то энергия, протекающая за время dt через единицу площади, перпендикулярно к направлению распространения волны, выразится формулой:

Sdt dt, (7)

где - скорость распространения волны. Поскольку векторы и в плоской электромагнитной воле взаимно перпендикулярны, то плотность потока запишется:

S EH. (8)

В заключение параграфа заметим, с учётом формулы (5) плотность потока может быть представлена в виде:

. (9)

Представление плотности потока энергии, переносимой электромагнитной волной, через электрическую составляющую поля нам сгодится при изучении волновых свойств света.

2. Уравнения Максвелла и геометрическая оптика

Из предыдущего параграфа следует, электромагнитная волна называется плоской, если векторы напряжённости и электромагнитного поля имеют одну и ту же величину во всех точках любой плоскости (5), перпендикулярной направлению распространения волн (рис. 1). При этом поверхностями постоянной фазы в плоской волне являются плоскости, расположенные перпендикулярно направлению распространения волн. Если векторы напряжённости электромагнитного поля изменяется во времени по гармоническому закону, волну принято называть монохроматической. Убедимся в том, что теория Максвелла не противоречит экспериментальным законам геометрической оптики, но подтверждает их.

Граничные условия для векторов электромагнитной волны в задаче о преломлении и отражении плоских волн на границе раздела двух сред.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Пусть на границу раздела двух сред с показателями преломления n₁ и n₂ со стороны первой среды падает электромагнитная волна (рис. 2) с волновым вектор ₁₀. На границе раздела волна частично отражается в первую среду с n₁, а частично преломляется и проникает во вторую среду с n₂. Для напряжённости электрического поля падающей, отражённой и преломлённой волн запишем соответствующие уравнения (2. а):



,

,

; (10)

здесь k - волновой вектор, равный /. Очевидно, такой же вид имеет и напряжённость магнитного поля волны (почему?).

Следуя уравнению (1.37), граничные условия непрерывности тангенциальных составляющих вектора электрической напряжённости для падающей, отражённой и преломлённой волны (рис. 2) запишутся:

; (11)

здесь граничные условия записаны для некоторой точки границы раздела сред, где они определяются. Например, это точка падения волны, где вектор поля является функцией только времени t (ср. с (10)). Убедимся в сохранении частоты при отражении и преломлении электромагнитных волн. Для этого дифференцируем обе части равенства (11) по времени t, приходим к уравнению вида:

. (11 а)

Поскольку равенство (11) должно выполняться тождественно для всех значений t, то, как следует из (11 а), это возможно при условии: .

Таким образом, частота при отражении и преломлении не изменяется. Однако заметим, это не всегда так. И с этим нам придётся встретиться позднее. Действительно, внимательный читатель заметил, в большинстве случаев мы вынуждены оговариваться, что работаем в линейных полях. Предыдущие главы - электричество и магнетизм, тому подтверждение.

Теория электромагнитных волн Максвелла убеждает в том, что падающий, отражённый и преломлённый лучи лежат в одной плоскости. Предпримем усилия убедиться в этом. В уравнениях вида (10) или (2 а) присутствует пространственный параметр , представляющий собой радиус-вектор точки поверхности раздела сред. Выберем начало координат в одной из точек поверхности раздела и, учитывая, что нас интересует расположение падающего, отражённого и преломлённого лучей в пространстве в заданный момент времени запишем граничные условия с учётом поставленной задачи. Для этого зафиксируем момент времени, приняв t 0, и запишем граничные условии непрерывности (11) только с учётом координаты (10), а именно, является функцией :

, (12)

здесь, как оговаривалось ранее, , , и - волновой вектор, соответственно падающей, отражённой и преломлённой волны. Поскольку речь идёт о пространственном расположении, удобно воспользоваться операцией скалярного произведения (). Применим её к обеим частям равенства (12):

; (13)



здесь оператор набла применяется к вектору для каждой бегущей электромагнитной волны , а затем осуществляется операция скалярного произведения векторов .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Заметим, равенство (13) имеет силу при любых произвольных векторах , но расположенных в плоскости раздела сред n₁ и n₂ (рис. 3). Однако, как следует из равенства (13), это возможно лишь при выполнении условия:

. (14)

Отсюда следует, векторы , , и лежат в одной плоскости. Действительно, вектор лежит в плоскости раздела сред, но в остальном произволен. Зададим его в направлении перпендикулярном, например, вектору . Тогда условие (14) приобретает вид:



.

Но это означает, что векторы и также перпендикулярны вектору , т. е. лежат в той же плоскости, что и вектор . Таким образом, падающий, отражённый и преломлённый луч лежат в одной плоскости.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим соотношение между углами падения, отражения и преломления. Закон Снеллиуса. Выберем начало системы координат на поверхности раздела двух сред в точке падения рассматриваемого луча (рис. 4). Через эту точку проходит пунктирная линия, перпендикулярная границе раздела двух сред с показателями преломления n₁ и n₂. Единичные векторы , и характеризуют направления распространения соответствующих лучей. Заданные угол падения , отражения и преломления указаны на рис. 4.

Обратим внимание на то, что равенство справедливо в произвольной системе координат с началом отсчёта в точке раздела сред. Выберем начало отсчёта так, чтобы вектор по направлению совпадал с положительным направлением оси Х. Тогда скалярные произведения: k₁₀rcos ( - ), cos ( - ), ( - ). Полученные значения скалярных произведений подставим в равенство (14), сократим на r, учтём, что cos ( - ) sin, и тогда приходим к равенству, позволяющему получить немало полезной информации:

k₁₀ sin k₁₁sin k₁₂sin. (15)

Действительно, если выразить волновые вектора через частоту электромагнитного поля и скорость его распространения:

, , , (15 а)

и учесть, что падающая и отражённая волна распространяются в одной среде, то _{10 11 1} - скорости электромагнитного поля в первой среде. С учётом этого, из равенств (15 а) следует, что . И тогда из равенства (15) немедленно следует sin sin. Следуя рис. 4, и переходя на знаковый язык, это означает - угол падения равен углу отражения .

Обратим внимание на вторую пару равенства выражения (15). Заменяя волновой вектор через частоту и скорость электромагнитного поля, учитывая равенство частот падающей, отражённой и преломлённой волн приходим к выражению:

; (16)

здесь обозначение скорости ₁₂ было заменено символом ₂, что указывает на то, что преломившись на границе раздела сред, электромагнитное поле распространяется во второй среде.

Следуя рис. 4, читатель обратил внимание на то, что в школьном курсе физики угол назывался углом падения и обозначался символом -альфа, тогда как угол преломления называли углом преломления и обозначали -бета. Таким образом, равенству (16) можно придать вид:

. (16 а)

В заключение заметим, в предыдущем параграфе была установлена зависимость скорости распространения электромагнитного поля от электрических и магнитных свойств среды, формула (3):

. (17)

В научной и учебной литературе принято выражение обозначать буквой n и называть показателем преломления. Причина здесь в том, что, попадая в оптически более плотную среду (или наоборот), электромагнитное поле изменяет свой направление распространения из-за изменения скорости. На границе раздела это воспринимается как излом, преломление. Вернувшись к уравнению (16 а) и равенству (17), отношение углов падения и отражения может быть представлено в виде:

, (18)

т. е. отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равняется показателю преломления второй среды относительно первой (закон Снеллиуса).

3. Геометрическая оптика как предельный случай волновой

В первых параграфах данной главы невольно были подняты вопросы распространения электромагнитного поля, что не в последнюю очередь обусловливалось предыдущими главами. Как правило, бегущее электромагнитное поле связывают с распространением света. Тем не менее, в повседневной жизни, и не только, волновой характер света можно игнорировать, с чем, кстати, читатель встречался в школьном курсе физики. При этом предполагалось, что энергия света распространяется вдоль определённых линий, называемых световыми лучами. Её движение также уподобляют движению неких частиц. При таком подходе законы распространения света формулируются на языке геометрических соотношений [3], а раздел физики принято называть геометрической оптикой.

Разумеется, понятие луча естественно появляется в теории плоских волн (предыдущие параграфы), а также сферических и цилиндрических волн в однородной среде. Его направление задаётся волновым вектором и, как мы убедились ранее (8), совпадает с направлением распространения энергии электромагнитного поля.

Однако здесь возникает вопрос о границах применимости геометрических представлений о свете. Иными словами, нас интересует, при каких условиях энергетический поток электромагнитного поля ещё можно представлять в виде световых лучей и где заканчиваются границы этих условий. По-видимому, искать ответ необходимо в волновой природе света. Почему? Электромагнитные колебания, распространяясь в среде, представляют собой волновой процесс. Для бегущего волнового процесса характерна повторяемость в пространстве. Естественно ожидать, если размеры препятствия на пути распространения волнового процесса сопоставимы с пространственным периодом волны, это будет искажать прямолинейное распространение электромагнитного поля.

Итак, для выяснения пространственного распределения волнового поля в случае неоднородной среды, обратимся к волновому уравнению электромагнитного поля. Для упрощения записи ограничимся одномерным случаем уравнения (2) в направлении оси х, т. е.:

; или ;

здесь произведена замена , а , см. (17). Так как интерес представляет пространственное распределение поля, для исключения временной зависимости в волновом уравнении, найдём вторую производную по времени t от уравнения электрической компоненты поля и подставляя в волновое уравнение, приходим к равенству:

; (19)

здесь внимательный читатель обнаруживает, что повторное дифференцирование компоненты электрического поля Е(t) приводит к появлению знака «минус»(?), а вместе с этим у второго слагаемого уравнения (19) появляется знак «плюс». Кроме того, появление частоты ², равной (2/Т)², ведёт к появлению в знаменателе произведения сТ - длине волны бегущего электромагнитного поля. Учитывая, что в числителе от ² осталось (2)², а в знаменателе ², в уравнении (19) появляется волновой вектор k 2/ [5, форм.(6.7) и пояс. к ней]; k² - надо полагать, появилось в результате повторного дифференцирования компоненты электрического поля E(t) электромагнитной волны. Итак, нам удалось сконструировать волновое уравнение, включающее параметры обозначенной проблемы - это длина волны и свойства среды n, в которой распространяется электромагнитное поле.

Для неоднородной среды, в которой находится электромагнитное поле, электрическая компонента принимает вид: ; здесь k - волновой вектор в неоднородной среде, равный k 2/, а с/n; поскольку при вхождении волны в другую среду частота не изменяется с/n /n. Отсюда k 2/ 2/(/n) 2n/, или волновой вектор k (2/)n kn, а уравнение электрической компоненты бегущего электромагнитного поля принимает вид: . Здесь мы учли исключённую выше зависимость Е(х,t) от времени. Заметим, в преобразованной компоненте электрической составляющей бегущего поля в среде произведение nх есть не что иное как положение фазовой поверхности или фронта волны в данной точке среды в заданный момент времени, что и отображено на рис.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поскольку показатель преломления в точке среды, которой достигло бегущее электромагнитное поле, n и этот показатель чувствителен к положению в этой среде - как-то изменяется в пространстве, введём обозначение для положения бегущего поля в той или иной точке среды в виде nх L(x). Уравнение электрической составляющей поля претерпит изменения и запишется в виде:

, (20)

это и есть предполагаемое решение волнового уравнения (19). Подстановка этого решения в уравнение (19) даёт надежду на нахождение ответа в обозначенном выше вопросе. Для этого дифференцируем дважды по х (20). Первое дифференцирование ведёт к изменению функции, а дифференцирование её аргумента к появлению волнового числа k и производной L(х)/х. Другими словами:

. (21 а)

Повторное дифференцирование произведения уже двух функций воспроизводит действия первой производной, сопровождающиеся появлением квадратной зависимости и знака «минус». Дифференцирование второй функции заканчивается произведением продукта первой производной с повторно дифференцируемым продуктом аргумента. Другими словами:

. (21 б)

Подстановка выражений (21 б) и (20) в волновое уравнение (19) ведёт к выражению:

,

выбрав пространственное положение L(x) таким образом, чтобы sin и cos были равны, что сопровождается сокращением и, разделив на k², получим:

. (22)

Проанализируем полученный результат. Допустим, что

, (23)

тогда уравнение (22) переходит в равенство:

, или . (24)

Учитывая последнюю запись, представим неравенство (23) в виде:

,

отсюда следует:

. (25)

Следовательно, геометрическая оптика применима, если длина волны много меньше расстояний - х х, на которых заметно изменяется показатель преломления, т. е. n n. Графически это представлено на рис. 5, где отмечено изменение направления распространения фронта волны. Въедливый читатель в этом может убедиться. Как? Согласно принципу Гюйгенса каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн даёт положение фронта в следующий момент (рис. 4, там, где среда предполагается неоднородной - скорость волны в нижней части рисунка справа, больше, чем слева).

Таким образом, лучом может быть названа линия, направление которой в каждой точке пространства совпадает с направлением потока энергии электромагнитного поля. В лучевом приближении распространение поля описывается четырьмя законами геометрической оптики: 1. Независимость световых лучей; 2. Прямолинейное распространение в однородной среде; 3. Отражение на границе двух сред; 4. Преломление на границе двух сред. Все эти законы следуют из свойств электромагнитных волн. В этом настойчивый читатель имел возможность убедиться самостоятельно.

4. Тонкие линзы

Предыдущие разделы убедили нас в том, что многие оптические явления могут быть рассмотрены исходя из представления о световых лучах. Хорошим примером здесь являются оптические приборы (системы).

Любая оптическая система осуществляет преобразование световых пучков. Если система не нарушает параллельности световых лучей, то лучи, вышедшие из точки Р, пересекутся в одной точке Р. Эту точку принято называть оптическим изображением точки Р. Изображение называется действительным, если световые лучи в точке Р действительно пересекаются (рис. 6) слева, и мнимыми, если в точке Р пересекаются продолжения лучей, проведённые в направлении, обратном распространению света (рис. 6) справа. Действительные изображения дают на экране соответствующее освещение, мнимое изображение такого освещения произвести не может. Вследствие обратимости (хода) световых лучей источник света Р и изображение Р могут поменяться ролями.

Оптическая система представляет собой совокупность отражающих и преломляющих поверхностей, отделяющих друг от друга оптически однородные среды. Как правило, эти поверхности бывают сферическими или плоскими, но применяются и более сложные, но имеющие ось симметрии поверхности, например эллипсоид.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если оптическая система образована сферическими поверхностями, её называют центрированной; если только центры всех поверхностей расположены на одной прямой. Эту прямую принято называть оптической осью системы. Перейдём к рассмотрению простейшей оптической системы - тонкой линзы.

Линзами принято называть прозрачные для данного излучения тела, ограниченные двумя поверхностями различной формы (сферической, цилиндрической и др.). Линза называется тонкой, если её толщина значительно меньше радиусов кривизны образующих поверхностей. В тонкой линзе можно пренебречь смещением а лучей, проходящих через её центральную часть см. (рис. 7). Лиза является собирающей, если она преломляет проходящие через неё лучи в сторону оптической оси, и рассеивающей, если она отклоняет лучи от оптической оси.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Переходя к рассмотрению хода лучей в тонкой линзе, обратим внимание сначала на то, для чего всё-таки линзы появились. Разумеется, для того, чтобы уменьшить ограниченность восприятия человеком окружающей реальности. Тогда обратите внимание на вход светового пучка в оптическую систему человека - глаз. Что он собой представляет? Если ещё не рассматривали внимательно глаза, посмотрите в зеркало или в глаза маме. Кроме нежности и любви к Вам, что ещё увидели? Правильно! Зрачки. Обратили внимание на его размеры? Не успели. Тогда понаблюдайте за своими глазами, прикрывая и открывая возможность попадания светового пучка на глаз. Что происходит со зрачком? Правильно, его размеры изменяются. Оценить размеры смогли? Трудно? Но всё-таки можно. Пусть будет диаметр зрачка 8 мм, для простоты вычислений возьмём 10 мм. Почему? Расстояние нормального видения предмета порядка 250 мм. Подведём итог проведённого эксперимента, вычислим тангенс угла максимального видения глаза. Для этого, как догадался настойчивый читатель, нужно 5/250 и перевести радианы в градусы. Нетрудно догадаться, это малые углы; их ещё называют приосевыми, в научной литературе - параксиальными.

Подводя итог проведённому эксперименту, принимаем решение, что tg sin . Теперь обратим внимание на рис. 8. Несмотря на то, что символы углов -альфа, -бета, -кси и -фи, введённые на рисунке, отображены большими (для удобства восприятия); однако при аналитической записи будем считать их малыми, т.е. приосевыми.

Итак, что представлено на рис. 8: тонкая линза (или хрусталик глаза), О₁О₂ - оптическая ось линзы, распространяясь вдоль которой световой пучок не испытывает преломления?;

углы -кси - отображают кривизну сферических поверхностей линзы, которые ответственны за преломление лучей;

углы -альфа - отображают углы падения(преломления) луча на сферическую-(кой) поверхность-(и), если учитывать обратимость хода лучей - углы меняются местами, а именно, падающийпреломлённым, преломлённыйпадающим;

углы -бета - отображают преломление лучей на сферической поверхности линзы;

углы -фи - отображают положение предмета и его изображения от линзы;

пунктирные отрезки Н отображают удалённость от оптической оси точки падения (преломления) луча на сферическую(ой) поверхность(и) линзы.

Воспользуемся концептуальным аппаратом геометрии: внешние углы являются несмежными по отношению к внутренним углам и ; другими словами, получаем систему из двух уравнений, не забывая, что имеем дело с параксиальными, т. е. приосевыми лучами:



, (26 а)

; (26 б)

здесь уместно обратить внимание на то, что правая часть уравнений связывает малые углы с расстояниями предмета (d) и его изображения (f) от линзы; назначение пунктирного отрезка Н пояснено выше. Заметим также, здесь учтено то, что сумма внутренних углов треугольника равна внешнему углу не смежному с ними, проверили? Система уравнений (26) связала между собой радиусы кривизны преломляющих поверхностей с удалённостью предмета и изображения от линзы; где находятся соответствующие объекты, читатель определит по направлению стрелок, правильнее - по направлению распространения светового луча.

Перейдём к установлению связи между показателями оптических свойств сред и преломляющими углами, обусловленными сферическими поверхностями. Воспользуемся приобретёнными ранее уравнениями (16), (17) и (18); не забывая о приосевых лучах, приходим к уравнениям вида:

электромагнитное поле геометрическая оптика

, или , (27 а)

, или . (27 б)

Нетрудно видеть, при подстановке уравнений (27) в систему уравнений (26) и проведя арифметическое действие сложения, удаётся связать все, интересующие нас параметры: d, f, n₁, n₂, R₁, R₂:



. (28)

Вместе с тем, возникает необходимость исключения углов преломления . Однако рис. 8 даёт подсказку; действительно, треугольники с углами ₁, ₂ и ₁, ₂ имеют одинаковый вертикальный угол, это даёт возможность записать: _{1 2 1 2}? Становится ясным, исключить из (28) неизвестные параметры удалось, результатом является уравнение вида:

.

Вспоминая о параксиальных (приосевых) лучах, сокращая на Н и, группируя параметры так, чтобы приблизить равенство к виду школьного уравнения для линзы, приходим к уравнению:

. (29)

Сравнивая результат со школьной формулой, нетрудно видеть 1/F равно правой части уравнения (29). Это отношение обозначают символом 1/F D, называют оптической силой линзы и измеряют в диоптриях. При расчёте оптической силы линзы следует соблюдать правило знаков: радиусы кривизны выпуклых поверхностей подставлять со знаком плюс, вогнутых - со знаком минус.



Библиографический список

1. Бондарев, Б.В. Курс общей физики. В 3 кн. Кн. 1. Механика: учеб. пособие / Б.В. Бондарев, Н.П. Калашников, Г.Г. Спирин. - 2-е изд. - Москва: Высш. шк., 2005. - 352 с.

2. Суханов, А.Д. Фундаментальный курс физики. Учеб. пособие для вузов. В 4-х томах. Том 2. Континуальная физика / А.Д. Суханов. - Москва: Агар, 1998. - 709 с.

3. Мултановский, В.В. Курс теоретической физики: Классическая электродинамика: учеб. пособие для студентов физико-математических. факультетов педагогических институтов / В.В. Мултановский, А.С. Василевский. - Москва: Просвещение, 1990. - 272 с.

4. Савельев, И.В. Курс общей физики: Т.3: Оптика, атомная физика, физика атомного ядра и элементарных частиц / И.В. Савельев. - Москва: Наука, 1973. - 528 с.

5. Лебедев, Я.Д. Физика: учебное пособие в 3-х ч. Часть 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика, электростатика / Я.Д. Лебедев; Мин-во обр. и науки РФ; Вологод. гос. ун-т. - Вологда, ВоГУ, 2015. - 144 с.

6. Геворкян, Р.Г. Курс физики: учеб. пособие / Р.Г. Геворкян. - Москва: Высшая школа, 1979. - 656 с.

7. Китайгородский, А.И. Введение в физику / А.И. Китайгородский. - Москва: Наука, 1973. - 688 с.

8. Минасян, Л.А. Единая теория поля: Философский анализ современны проблем физики элементарных частиц и космологии. Опыт синергетического осмысления / Л.А. Минасян. - Москва: КомКнига, 2005. - 176 с.

9. Савельев, И.В. Курс общей физики: Т.2: Электричество / И.В. Савельев. - Москва: Наука, 1973. - 431 с.

10. Лебедев, Я.Д. Пропедевтический курс по физике: учебное пособие / Я.Д. Лебедев. - Вологда: ВоГУ, 2014. - 86 с.

Размещено на Allbest.ru

...