Энергия электрического поля. Постоянный электрический ток

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Энергия электрического поля. Постоянный электрический ток

1. Энергия электрического поля. Плотность энергии электрического поля

В работе мы познакомились с энергией системы взаимодействующих зарядов и убедились в том, что в случае N зарядов потенциальная энергия системы равна:

. (1)

Если заряд q находится, например, на полой проводящей сфере, его можно рассматривать как систему точечных зарядов dq обладающих энергией, равной работе, которую необходимо совершить, чтобы «собрать» все заряды dq на поверхности проводника. Таким образом, работа dA dq идёт на увеличение энергии проводника. Поскольку - потенциал проводника, обусловленный имеющимся на нём зарядом q, а электрическая ёмкость его С, энергия проводника, с учётом формулы (1.9), запишется: dW qdq/С. Переходя к интегрированию, получаем выражение для энергии заряженного проводника:

.

Если учесть соотношение между ёмкостью, зарядом и потенциалом проводника (1.9), его энергия может быть представлена в виде:

. (2)

В этом пытливый читатель может убедиться, если заряд q₁ поместит, например, справа листа, т. е. в бесконечности - ; слева листа поместите заряд q₂ и на расстоянии r₁₂ от него выберет точку, в которой этот заряд создаёт потенциал, формула (1.6), Осталось найти работу по перемещению заряда q₁ из точки в точку r₁₂, т. е. энергию взаимодействия W₁₂ q_ii/ Теперь поменяйте местами заряды и снова определите работу, т.е. энергию взаимодействия. Сложите их, не забыв разделить результат на два(?), получаете (2): W q_ii/2 q /

Применим формулу (1) к вычислению энергии взаимодействия зарядов в конденсаторе (рис. 1.2). В этом случае q₁ S q₂ -S q и общая формула (1) энергии взаимодействия зарядов на пластинах конденсатора:

, (3)

где U - разность потенциалов на обкладках конденсатора.

Вспоминая определение взаимной ёмкости конденсатора (1.10), формуле (3) можно придать вид:

. (4)

Если область между обкладками конденсатора заполнена однородной диэлектрической средой с диэлектрической проницаемостью , то, как следует из (1.2), ёмкость конденсатора С возрастает в раз. Тогда энергия электрического взаимодействия на обкладках конденсатора (4) при неизменных значениях разности потенциалов U возрастает в раз, т. е. W ^вз СU²/ 2 W_о^вз, где W_о^вз - энергия взаимодействия незаполненного средой конденсатора. Возрастание W ^вз происходит за счёт работы внешнего источника, обеспечивающего неизменные значения потенциалов на обкладках конденсатора. Нетрудно догадаться, если остаются неизменными значения зарядов q_i на обкладках, то энергия взаимодействия наоборот уменьшается в раз (4): W ^вз q²/2C q²/2C q²/2C W_о^вз/. Убыль энергии взаимодействия в этом случае связана с тем, что часть её расходуется на работу против электрических сил по заполнению конденсатора диэлектрической средой.

Все обсуждавшиеся выше формулы полностью соответствовали концепции «дальнодействия», справедливой для системы неподвижных зарядов. Продолжая дальнейшее обобщение, запишем теперь формулу (4) для энергии электрического взаимодействия W ^вз через силовую характеристику электрического поля . Тем самым мы прилагаем здесь усилия для перехода к эквивалентной концепции «близкодействия». Для плоского конденсатора, заполненного однородной диэлектрической средой при неизменной разности потенциалов U на его обкладках, это сделать проще всего. В этом случае разность потенциалов на его пластинах связана с электрическим полем выражением (1.8), а электрическая ёмкость конденсатора на основании формул (1.9) и (1.12) равна: C q/U q/(Ed) q/{ [q/_оS]d }. Тогда энергия взаимодействия зарядов плоского конденсатора принимает вид:

, (5)

где V - объём пространства между обкладками, в котором поле отлично от нуля, а величину принято называть плотностью энергии электрического поля.

Несмотря на эквивалентность выражений (1), (4) и (5) для энергии взаимодействия зарядов в плоском конденсаторе, формула (5) отличается тем, что в неё не входит заряд q и энергия взаимодействия W ^вз выражается только через электрическое поле между пластинами конденсатора. Иначе говоря, одну и ту же величину можно трактовать либо в духе концепции «дальнодействия» как энергию взаимодействия удалённых друг от друга зарядов (1), либо в духе концепции «близкодействия» (5), когда та же энергия может считаться как нелокализованная, т. е. размазанной по объёму между проводниками всюду, где поле 0. Другими словами, здесь мы имеем электрическое поле с источниками, силовые линии которого начинаются и заканчиваются на зарядах соответствующих знаков.

2. Движение носителей заряда в веществе в стационарном состоянии. Дифференциальная (локальная) форма закона Ома

Приведённые в предыдущих параграфах рассуждения позволяют утверждать - разделённые электрические заряды противоположного знака обладают вполне определённым запасом электрической энергии. Что же нужно предпринять для её успешного использования? Поскольку энергией обладают только разделённые заряды, а противоположные по знаку заряды стремятся к объединению, то и вернуть затраченную при разделении зарядов энергию можно лишь создав условия для их движения (к объединению). Таким образом, чтобы «взять» энергию электрического поля заряженного конденсатора, необходимо обеспечить направленное движение зарядов. При этом положительные заряды двигаются к «минусу», в направлении поля, отрицательные - к «плюсу», в направлении противоположном полю.

Итак, если есть значительный резервуар разделённых электрических зарядов и тела, не препятствующие движению этих зарядов, запасённую электрическую энергию можно использовать. Как это может быть реализовано? Из наблюдаемой на опыте способности макроскопических тел относительно просто терять и приобретать заряд путём трения, следует, что все тела могут быть разделены на проводники, имеющие свободные носители заряда, диэлектрики или изоляторы, не содержащие свободных носителей заряда и полупроводники, проявляющие способность обеспечить движение зарядов при определённых условиях. Под действием электрического поля резервуара - внешнего силового поля , носители заряда в проводнике участвуют в упорядоченном движении. Такое явление называется электропроводностью или переносом электрического заряда. Так возникает необходимость описать движение системы взаимодействующих заряженных частиц вещества путём столкновений при наличии внешнего воздействия со стороны электрического поля .

При прохождении частиц через вещество мы имеем дело с изолированной системой, состоящей из пучка заряженных частиц и совокупности хаотически расположенных «атомов» вещества, с которыми заряженные частицы взаимодействуют кратковременно. Отсутствие полноты описания исходного состояния отдельной частицы пучка, носителя заряда, и точных данных о характере каждого столкновения, это взаимодействие ранее нам удалось прописать лишь в среднем с помощью средней длины свободного пробега и среднего времени свободного пробега , «чувствительных» к сечению рассеяния [2; 3, с. 107]. Такой подход не позволяет сколько-нибудь подробно прописать движение каждой частицы вещества, входящей в исходный пучок. Физики-теоретики [2, 9] для приближённого описания системы взаимодействующих объектов предложили концепцию «квазичастиц». Суть её состоит в том, что система взаимодействующих частиц заменяется эквивалентной ей системой независимых «частицеподобных» объектов - «квазичастиц», движущихся либо свободно, либо в условиях известного непрерывного внешнего воздействия. Другими словами, сложную проблему описания движения в системе взаимодействующих частиц можно свести к типичной проблеме динамики одной частицы.

В нашем случае мы перешли от системы частиц к системе «квазичастиц», выбрав на эту роль частицеподобный объект - заряженную частицу, имеющую массу и движущуюся со скоростью , характерной для пучка частиц в целом. Здесь, фактически, мы имеем дело с коллективным типом движения. Почему? Несмотря на то, что характеристики «квазичастицы» совпадают с характеристиками частицы, движущейся в веществе, тем не менее, это не та заряженная частица, которая движется со скоростью , сталкиваясь хаотически с «атомами» вещества. Это одна из частиц коллективного движения, в котором все «квазичастицы» движутся согласованно с переменной скоростью , испытывая непрерывное воздействие со стороны электрического поля .

Как известно, во многих случаях в веществе имеются подвижные заряженные частицы. Природа носителей заряда может быть различной. Наиболее распространённый случай - металлические проводники, в которых носителями заряда служат электроны. Кроме носителей заряда, в веществе много и других частиц, которые лишь создают трудности движению заряженных частиц. Их принято называть частицами фона. В металлах роль фона играют положительные ионы, образующие кристаллическую решётку.

Приступая к рассмотрению движения носителя заряда как заряженной «квазичастицы» в стационарном состоянии, предположим, что концентрация их однородна, т. е. n/x 0. Каждая заряженная частица в веществе, взаимодействующая путём столкновений, под действием электрического поля движется в установившемся режиме с некоторой дрейфовой скоростью. Действительно, уравнение её движения в устойчивом стационарном состоянии имеет вид:

, (6)

что обеспечивает выполнение условия const. Тогда при условии, что время наблюдения значительно больше времени свободного пробега квазичастицы (t ), устанавливается режим её движения с дрейфовой скоростью, равной:

; (6 а)

здесь - подвижность «квазичастицы» как коллективного носителя заряда, а - предельная скорость установившегося движения в стационарном состоянии. Коэффициент пропорциональности между скоростью движения «квазичастицы» в стационарном состоянии и полем определяется только подвижностью и зарядом q. Тогда стационарный поток заряженных частиц с концентрацией n можно описать, введя вектор плотности вынужденного потока частиц:

; (7)

здесь - разность потенциалов на концах проводника, подключённого к резервуару разделённых электрических зарядов.

Поскольку нас интересует перенос не частиц, а собственно электрического заряда, то необходимо ввести вектор плотности электрического тока, умножив формулу (7) на электрический заряд q:

. (8)

Модуль вектора имеет смысл количества зарядов, переносимого в единицу времени через единичную, перпендикулярную площадку, а его направление указывает направление движения положительно заряженных частиц. Отсюда немедленно следует, количество заряда, переносимого в единицу времени через некую поверхность S_о является количественной характеристикой электрического тока:

(9)

Изучение электропроводности целесообразно начать с простейшего случая, когда концентрация заряженных частиц n const. В этих условиях всё явление сводится к вынужденному потоку заряженных частиц, возникающему под действием внешнего электрического поля -.

Формула, определяющая вектор плотности электрического тока в случае чисто вынужденной диффузии в постоянном электрическом поле:

, (10)

называется законом Ома в локальной [2] (дифференциальной) форме. В свою очередь вещественный коэффициент при const запишется:

, (11)

и называется коэффициентом электропроводности. Пытливый читатель может проверить преобразования в [3, формулы (7.9), (7.10)] и, кстати, убедиться в том, что электропроводность, по существу, пример вынужденной диффузии. Нетрудно видеть, что формула (7) внешне напоминает формулу Фика для плотности потока частиц [3, формула (7.13)].

Теперь убедимся в том, что закон Ома в локальной форме приводит к известному из школьного курса физики закону Ома для однородного участка электрической цепи.

Упражнение 1. Используя формулу (10), вывести закон Ома для однородного участка цепи.

Решение. Применим закон Ома в локальной форме (10) к тонкому проводнику длиной L и сечением S. Для этого разделим обе части формулы (10) на коэффициент электропроводности и проинтегрируем их по :

().

Стоящее справа выражение имеет смысл работы электрической силы по перемещению единичного заряда вдоль участка цепи и, как известно, называется напряжением U на концах этого участка L. Поскольку участок цепи однороден - отсутствуют батареи и др. элементы цепи - то напряжение совпадает с разностью потенциалов на концах проводника L:

.

В левой части формулы () интеграл

.

Здесь учтено, что произведение плотности тока j на площадь S равно силе тока I на участке цепи L; (1/) _уд - удельное сопротивление участка цепи; _удL/S R - сопротивление участка цепи, проводника. Таким образом, из интегрального уравнения () следует формула:

U IR. (12)

Удобство полученной формулы состоит в том, что она связывает величины, легко измеряемые на опыте.

В заключение параграфа заметим, поскольку механизм столкновений частиц одного и того же сорта одинаков, коэффициенты всех процессов переноса должны быть связаны друг с другом. В нашем случае для газа заряженных частиц важной величиной оказывается отношение коэффициентов теплопроводности ж и электропроводности . Оба эти коэффициента пропорциональны концентрации частиц n, и их отношение не должно зависеть от специфических характеристик частиц, взаимодействующих путём столкновений. Воспользовавшись формулой (7.16) из работы [5] и формулой (11) данного параграфа, запишем отношение этих коэффициентов в виде:

ж/ / . (13)

Здесь для простоты учитывалось только поступательное движение заряженных частиц и, что заряд q e - заряду электрона. Формула (13) называется законом Видемана-Франца. Из неё следует, отношение ж/ не зависит от индивидуальных характеристик частиц, а также от характеристик газа в целом и определяется только одной его равновесной характеристикой - температурой T.

3. Дифференциальная (локальная) форма закона Ленца-Джоуля

В предыдущем параграфе нам удалось прописать движение заряженной частицы в веществе под действием внешнего постоянного электрического поля. Успех был обусловлен тем, что мы воспользовались концепцией «квазичастицы» [2], в которой система взаимодействующих частиц заменяется эквивалентной ей системой независимых «частицеподобных» объектов - «квазичастиц», движущихся либо свободно, либо в условиях известного непрерывного внешнего воздействия. Решение уравнения (6) для стационарного состояния привело к выводу, что действующая на носитель заряда электрическая сила F_эл совершает работу, увеличивающую его кинетическую энергию. В то же время сила сопротивления F_сопр, учитывающая в среднем столкновения реальных заряженных частиц с атомами вещества - фоном, приводит к уменьшению кинетической энергии носителя заряда. В конечном итоге при t за счёт энергии источника электрического поля возрастает энергия хаотического движения частиц фона, а энергия носителей заряда в стационарном состоянии не изменяется. Это указывает на то, что мощность внешних сил, воздействующих на «квазичастицу» как носитель заряда, в установившемся режиме равна нулю, а представление его на символическом языке не противоречит этому:

, (14)

поскольку . Таким образом, процессы обмена энергией, происходящие при прохождении стационарного электрического тока через вещество, представляют определённый интерес. Он обусловлен тем, что за счёт энергии источника электрического поля возрастает энергия хаотического движения частиц вещества. На опыте это проявляется в том, что проводник, по которому идёт постоянный электрический ток, нагревается. Можно считать, что в установившемся режиме энергия источника электрического поля непосредственно переходит в энергию хаотического движения, а стационарный поток заряженных частиц играет роль переносчика этой энергии. Переходя к количественной оценке процессов обмена энергией в установившемся режиме, будем интересоваться плотностью мощности, приобретённой носителями заряда в единице объёма под действием электрической силы .

Доля мощности, приобретённая носителем заряда за счёт работы , определяется произведением силы на скорость: w_эл . В установившемся режиме, с учётом (6 а): w_эл (q)(q) (q) Плотность мощности, приобретённая под действием электрической силы носителями заряда в единице объёма n, запишется: w_эл nw_эл n(q) Принимая во внимание формулу (10), что nq² есть удельная электропроводность, а её умножение на силовую характеристику внешнего электрического поля равно плотности тока: , плотность мощности, приобретённую под действием внешней электрической силы носителями заряда в единице объёма, можно представить в виде:

w_эл nw_эл n(q)² . (15)

Если мы имеем дело со стационарным электрическим током в веществе, то в установившемся режиме и при отсутствии других потерь энергии в формуле (15) с помощью закона Ома (12) можно заменить либо поле , либо вектор плотности электрического тока . В результате получим:

w_погл w_эл ²/_{уд уд}J (16)

Формулу (16) называют законом Ленца-Джоуля в локальной (дифференциальной) форме. Она характеризует плотность мощности, выделяемой в стационарном режиме в виде тепла в результате столкновений носителей заряда с частицами вещества. Теперь убедимся в том, что закон Джоуля-Ленца в локальной форме приводит к известному из школьного курса физики закону Джоуля-Ленца для однородного участка электрической цепи.

Упражнение 2 Найти величины w_эл и w_погл для однородного участка электрической цепи объёмом V LS.

Решение. Мощность, получаемая носителями заряда от внешнего электрического поля в объёме V LS, запишется (15):

. (16 а)

Чтобы найти мощность, которая в установившемся режиме пойдёт на нагревание проводника при отсутствии других источников или носителей энергии, воспользуемся законом Ома (10). Тогда w_погл w_эл w_поглV w_элV (E²/_уд)LSL/L U²/R. Пытливы читатель, проделав со второй частью формулы (16) аналогичные преобразования придёт к выражению вида: w_поглV w_элV _удj²LS I²R. (16 б)

Здесь уместно заметить, что если первая из полученных в упражнении формул справедлива всегда, то вторая имеет место только при отсутствии других источников и потребителей энергии, кроме хаотических столкновений носителей заряда с другими частицами вещества. В том случае, когда часть энергии внешнего электрического поля используется для совершения полезной работы, мощность, поглощаемая в виде тепла, w_погл w_эл IU.

энергия электрическое поле

4. Электронный газ в металлах и границы применимости корпускулярной физики

Ранее, в работе [3, гл. 7, 8], в рамках корпускулярной физики на основе идей А.Д. Суханова нами были рассмотрены явления переноса - диффузии, теплопроводности, вязкости. В предыдущих параграфах на основе этих идей мы рассмотрели и явление электропроводности. На первый взгляд, полученные формулы с наибольшим успехом в получении результата должны применяться к самым лучшим проводникам - металлам. Действительно, опыт показывает, что типичный металл можно представить, с некоторым приближением, как кристаллическую решётку, образованную ионами, с совокупностью электронов, находящихся в общем потенциальном поле решётки. Оценка средней кинетической энергии электронов показывает, что К W^вз, и это означает, что их взаимодействием между собой можно пренебречь. Таким образом, совокупность электронов в металле действительно можно моделировать идеальным электронным газом, находящимся в сосуде, роль которого играет решётка из ионов. Другими словами, если совокупность электронов в металле - это газоподобная система, то для описания её свойств вполне применимы все результаты, полученные в указанных выше главах.

Однако сравнение с опытом показывает, что это далеко не всегда так. Например, рассмотренный выше локальный закон Ома (10), как правило, имеет качественное согласие, тогда как количественные предсказания для металлов не верны. В частности, из опыта следует, что удельное сопротивление металлов, как правило, имеет вид:

(17)

где _прим - доля сопротивления, обусловленная столкновениями электронов с атомами примесей в решётке;

_прим (18)

- доля сопротивления, обусловленная столкновениями электронов с хаотически движущимися ионами решётки, а D - коэффициент диффузии [3, (7.14)]. Формуле (17) можно придать вид, подтверждаемый на опыте:

. (19)

На первый взгляд, формула (19) вполне согласуется с обсуждавшимся механизмом электропроводности (11). Однако для достаточно «чистого» металла _прим 0. Заметим, что с уменьшением температуры также 0, см. формулу (18). Таким образом, для «чистого» металла при сверхнизких температурах . Иначе говоря, на опыте электроны, участвующие в поступательном движении внутри металла, дающие вклад в электрический ток, вообще не испытывают никаких столкновений. Возникает вопрос, почему при Т 0 регулярная решётка, ионы которой «упакованы» достаточно плотно, не оказывает на пучок электронов тормозящего воздействия.

Упражнение 3. Оценить среднюю длину свободного пробега электронов в металлах.

Решение. При комнатной температуре для электронов в металле среднее время пробега 10 - ¹⁴ с, а их средняя скорость _ср 10⁵ м/с. Отсюда следует, средняя длина свободного пробега 10 - ⁹ м, что в десять раз больше характерного расстояния между ионами. Разумеется, при понижении температуры будет возрастать в сотни и более раз. (Формулы для расчёта можно найти по ссылкам)

Явления электропроводности и теплопроводности металлов определяются движением электронов. Естественно ожидать, электронный газ в металлах должен был бы давать существенный вклад и в их теплоёмкость. Однако из опыта следует, теплоёмкость металлов определяется исключительно движением ионов кристаллической решётки. Получается так, что электроны в металле как будто, одновременно и движутся и не движутся.

Противоречивость проявляется и в законе Видемана-Франца. Почти во всём интервале температур вследствие большой подвижности электронов вкладом решётки в теплопроводность металла можно пренебречь. Применимость закона (13) не должна вызывать сомнений. Вместе с тем, опыт показывает, зависимость от температуры в формуле (13) подтверждается для всех металлов, но численный коэффициент пропорциональности оказывается другим, но одинаковым для многих металлов.

Таким образом, хотя поведение электронов в ионизованном газе и в металлах качественно одинаковое, сравнение экспериментальных данных с результатами вычислений в рамках корпускулярной физики показывает, для металлов они, как правило, не совпадают.

В чём же принципиально отличается совокупность электронов в ионизованном газе от электронного газа в металлах? Физики-теоретики считают [2], описание механизма взаимодействия путём столкновений, ведущее к законам электропроводности и теплопроводности, в основном справедливо во всех случаях. Вместе с тем, описания состояния совокупности свободных электронов между столкновениями в случае ионизованного газа и электронного газа в металлах, сильно различаются. В частности, отсутствие вклада электронного газа в металлах в его, металла, теплоёмкость косвенно указывает на несовпадение его состояния с состоянием электронов в ионизованном газе.

Другими словами, понятие состояния свободной частицы, лежащее в основе корпускулярной физики, приближённо применимо и к электронам, если они движутся в областях макроскопических размеров (например, в конденсаторе). Однако оно непригодно для описания движения электронов в областях микроскопических размеров (например, в атоме r_ат 10 - ¹⁰ м). Здесь роль характерного параметра, определяющего применимость понятий корпускулярной физики к электронам, играет не размер проводника, а среднее расстояние r_ср между электронами. Для металлов оно соответствует характерному размеру атома r_ат, что и определяет неприменимость к электронному газу в металлах понятия состояния, характерного для корпускулярной физики. В этом пытливый читатель может убедиться, если вспомнит, концентрация n электронов в металле n 10 ²⁷ м - ³, тогда как в ионизованном газе для электронов n 10¹⁵ м - ³. Не трудно видеть, в то время как среднее расстояние между электронами в металле r_ср n - ^1/3 10 - ⁹ м, в ионизованном газе r_ср 10 - ⁵ м. Поэтому переход к новому описанию состояния свободных электронов в металлах оказывается неизбежным. К знакомству с ним мы перейдём в квантовой физике.

Библиографический список

1. Бондарев, Б.В. Курс общей физики. В 3 кн. Кн. 1. Механика: учеб. пособие / Б.В. Бондарев, Н.П. Калашников, Г.Г. Спирин. - 2-е изд. - Москва: Высш. шк., 2005. - 352 с.

2. Суханов, А.Д. Фундаментальный курс физики. Учеб. пособие для вузов. В 4-х томах. Том 2. Континуальная физика / А.Д. Суханов. - Москва: Агар, 1998. - 709 с.

3. Мултановский, В.В. Курс теоретической физики: Классическая электродинамика: учеб. пособие для студентов физико-математических. факультетов педагогических институтов / В.В. Мултановский, А.С. Василевский. - Москва: Просвещение, 1990. - 272 с.

4. Савельев, И.В. Курс общей физики: Т.3: Оптика, атомная физика, физика атомного ядра и элементарных частиц / И.В. Савельев. - Москва: Наука, 1973. - 528 с.

5. Лебедев, Я.Д. Физика: учебное пособие в 3-х ч. Часть 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика, электростатика / Я.Д. Лебедев; Мин-во обр. и науки РФ; Вологод. гос. ун-т. - Вологда, ВоГУ, 2015. - 144 с.

6. Геворкян, Р.Г. Курс физики: учеб. пособие / Р.Г. Геворкян. - Москва: Высшая школа, 1979. - 656 с.

7. Китайгородский, А.И. Введение в физику / А.И. Китайгородский. - Москва: Наука, 1973. - 688 с.

8. Минасян, Л.А. Единая теория поля: Философский анализ современны проблем физики элементарных частиц и космологии. Опыт синергетического осмысления / Л.А. Минасян. - Москва: КомКнига, 2005. - 176 с.

9. Савельев, И.В. Курс общей физики: Т.2: Электричество / И.В. Савельев. - Москва: Наука, 1973. - 431 с.

10. Лебедев, Я.Д. Пропедевтический курс по физике: учебное пособие / Я.Д. Лебедев. - Вологда: ВоГУ, 2014. - 86 с.

Размещено на Allbest.ru