Кватернионы и их применение при решении задач оптотехники
Показано, что применение кватернионов позволяет успешно решать задачу определения орта луча, отраженного произвольной системой плоских зеркал и положения изображения произвольной точки предмета, образованного этой системой. Способы умножение кватернионов.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.12.2018 |
| Размер файла | 968,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Кватернионы и их применение при решении задач оптотехники
Ежова К.В., Зверев В.А., Трусов И.А.
Университет ИТМО
Показано, что применение кватернионов позволяет успешно решать задачу определения орта луча, отражённого произвольной системой плоских зеркал, и положения изображения произвольной точки предмета, образованного этой системой.
Кватернионы образуют четырехмерную алгебру над полем действительных чисел с базой 1, i1, i2, i3 («базисные единицы»). Всякий кватернион может быть записан в виде: , где л0, л1, л2, л3 - действительные числа, называемые компонентами кватерниона , причем л0 есть множитель действительной единицы 1 (которая часто опускается в записи); величины i1, i2, i3 носят условное название мнимых кватернионных единиц. Множитель действительной единицы называется скалярной частью кватерниона : ; комбинация произведений действительных чисел с мнимыми единицами называется векторной частью кватерниона :
. При этом
Умножение кватернионов некоммутативно: . Кватернионное произведение векторов л и (кватернионов с нулевой скалярной частью) определяется формулой л? = - (л•) + лЧ. Всякому кватерниону можно поставить в соответствие сопряженный ему кватернион : . Нормой кватерниона называется произведение: . Кватернион называется нормированным, если норма . Кватернионом, обратным к , называется кватернион , определяемый из условия .
Пусть орт падающего луча на плоское зеркало определяется произвольным вектором а, а орт нормали к зеркалу - вектором n. Тогда в соответствии с законом отражения имеем:
-n•а n•а а•n; nЧа nЧа -аЧn
кватернион оптотехника луч
где а- орт отражённого луча. Сложив левые и правые части этих выражений, получаем: -n•а+ nЧа -( -а•n+ аЧn). Полученное выражение можно представить произведением кватернионов в виде: n?а - а?n. Отсюда находим, что орт отражённого луча равен а - n-1?а?n.
Пусть в выбранной прямоугольной системе координат определено направление нормалей системы плоских зеркал Nq, где q 1,2,3,…,k. Итак, аq - nq-1?аq?nq. Но аq аq+1. При этом аq+1 - nq+1-1?аq+1?nq+1 nq+1-1?nq? аq?nq?nq+1. Вполне очевидно, что направление орта, отражённого системой из k плоских зеркал, определится формулой вида:
аk (-1)k nk-1 ?nk-1-1?...?n2-1?n1-1?а1?n1?n2?...?nk-1?nk. Обозначим N n1?n2?...?nk-1?nk. При этом аk (-1)k N-1 ?а1? N.
В общем случае теоретический и прикладной интерес представляет не только направление отражённого от плоских поверхностей луча, но и положение изображения точки, образованного системой плоских зеркал. Для решения этой задачи необходимо знать не только направление нормалей n к плоским отражающим поверхностям S, но и расстояние l от начала координат до каждой из них. Из начала координат в точку О поверхности S проведём линию, перпендикулярную поверхности, как показано на рисунке;
при этом вектор l = ln. Положение произвольной точки предмета А относительно начала координат определим вектором с, а относительно точки О - вектором r с - ln. При этом находим, что положение изображения точки А , т.е. точки А , определяется выражением r - n-1?r?n или с - ln - n-1 ? (с - ln) ? n. Отсюда следует, что
с - n-1?с ?n + 2ln
Это выражение можно распространить на любое число отражений.
Заметим, что в рассматриваемом случае с1 с2, с2 с3, …, сk-1 сk. Для того, чтобы при известном положении точки А1 предмета найти положение её изображения в точке Аk , образованного системой из k отражающих поверхностей, важно исключить все промежуточные изображения точки. Для решения этой задачи удобно произведения кватернионов всех векторов нормалей Q = n1?n2?...?nk-1?nk представить в виде последовательности произведений:
Qk nk,
Qk-1 nk-1?Qk,
........................
Q n?Q+1,
........................
Q2 n2?Q3,
Q1 n1?Q2 Q.
При этом положение изображения точки, образованного системой из k отражающих поверхностей, определится вектором сk, равным
,
где r - вектор, независимый от с1; учитывая, что Q n?Q+1, получаем
,
где Qk+1 1.
Итак, кроме произведения кватернионов Q требуется вычислить вектор r, чтобы определить положение изображения точки А1, т.е. точки Ак, образованного системой плоских зеркалах S1, S2, …, Sк и (что особенно важно) без определения промежуточных точек изображения. Для решения этой задачи выполним следующее преобразование полученной формулы. Представим кватернионы Q и Q+1 состоящими из скалярной и векторной частей: Q q + q и Q+1 q+1 + q+1. При этом произведение кватернионов Q-1+1?Q представим в виде:
Q-1+1?Q n - Q ? Q-1+1 + Q-1+1 ? Q n - (q + q)?(q+1 - q+1) + (q+1 - q+1)?(q + q) n +q ? q+1 - q+1? q n +2q ? q+1
При этом при qk+1 0 формула, определяющая r, принимает вид
.
В отличие от предыдущей при применении формулы в таком виде для вычисления величины r при каждом значении перемножаются не два кватерниона, а только векторные части двух кватернионов.
Литература
1. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах ориентации твёрдого тела. М.: “Наука”, 1978 г., 320 стр. с илл.
2. Wagner H. Zur mathematischen Behandlung von Spiegelungen. “Optik”, 1951, 8, № 10.
3. Цуканов А.А. Применение кватернионов Гамильтона к решению задач зеркальной развёртки. Л. Труды ЛИТМО, вып. 78, 1974. Стр. 15 - 27.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Первый, второй и третий законы Ньютона. Инерциальные системы, масса и импульс тела. Принцип суперпозиции, импульс произвольной системы тел. Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы тел. Закон сохранения импульса.
лекция [3,6 M], добавлен 13.02.2016Три основных закона динамики Исаака Ньютона. Масса и импульс тела. Инерциальные системы, принцип суперпозиции. Импульс произвольной системы тел. Основное уравнение динамики поступательного движения произвольной системы тел. Закон сохранения импульса.
лекция [524,3 K], добавлен 26.10.2016Основная задача динамики, применение законов Ньютона. Применение основного закона динамики и дифференциальных уравнений движения материальной точки при решении задач. Основные свойства внутренних и внешних сил механической системы. Вычисление работы сил.
курсовая работа [347,8 K], добавлен 11.05.2013Решения задач динамики системы. Механическая система, находящаяся в равновесии под действием плоской произвольной системы сил. Реакции двух закрепленных точек твердого тела, возникающие при вращении твердого тела вокруг оси. Применение принципа Даламбера.
методичка [1,8 M], добавлен 03.12.2011Базовые сведения о необычном эффекте туннельной интерференции полей волн произвольной физической природы, проявление которой необходимо при изучении и физико-математическом моделировании условий распространения указанных волн в поглощающих средах.
реферат [43,6 K], добавлен 30.01.2008Принцип действия и разновидности лазеров. Основные свойства лазерного луча. Способы повышения мощности лазерного излучения. Изучение особенностей оптически квантовых генераторов и их излучения, которые нашли применение во многих отраслях промышленности.
курсовая работа [54,7 K], добавлен 20.12.2010Общие рекомендации по решению задач по динамике прямолинейного движения материальной точки, а также движения нескольких тел. Основные формулы и понятия. Применение теорем динамики к исследованию движения материальной точки. Примеры решения типовых задач.
реферат [366,6 K], добавлен 17.12.2010Сущность линзы, классификация ее выпуклой (собирающей) и вогнутой (рассеивающей) форм. Понятие фокуса линзы и фокусного расстояния. Особенности построения изображения в линзе в зависимости от пути луча после его преломления и местонахождения предмета.
презентация [1,2 M], добавлен 22.02.2012Физические основы метода гамма-гамма каротажа, применение этого метода при решении геологических и геофизических задач. Методы рассеянного гамма-излучения. Изменение характеристик потока гамма-квантов. Глубинность исследования плотностного метода.
курсовая работа [786,8 K], добавлен 01.06.2015Определение величины сил, приложенных к отдельным участкам конструкции, силы трения, нормальной реакции. Вычисление положения точки на траектории в рассматриваемый момент времени. Применение теоремы об изменении количества движения к механической системе.
контрольная работа [458,3 K], добавлен 23.11.2009Что такое задача, классы, виды и этапы решения задач. Сущность эвристического подхода в решении задач по физике. Понятие эвристики и эвристического обучения. Характеристика эвристических методов (педагогические приемы и методы на основе эвристик).
курсовая работа [44,6 K], добавлен 17.10.2006Принцип относительности Галилея. Связь между координатами произвольной точки. Правило сложения скоростей в классической механике. Постулаты классической механики Ньютона. Движение быстрых заряженных частиц. Скорость распространения света в вакууме.
презентация [193,4 K], добавлен 28.06.2013Способы преобразования звука. Применение преобразования Фурье в цифровой обработке звука. Свойства дискретного преобразования Фурье. Медианная фильтрация одномерных сигналов. Применение вейвлет-анализа для определения границ речи в зашумленном сигнале.
курсовая работа [496,8 K], добавлен 18.05.2014Основные положения и постулаты кинематики – раздела теоретической механики. Теоретические основы: определения, формулы, уравнения движения, скорости и ускорения точки, траектории; практические примеры в виде решения наиболее типичных задач кинематики.
методичка [898,8 K], добавлен 26.01.2011Сущность и физическое обоснование явления голографии как восстановления изображения предмета. Свойства источников: когерентность, поляризация, длина волны света. Классификация и типы голографии, сферы практического применения данного явления, технологии.
реферат [185,3 K], добавлен 11.06.2013Применение интерференции для проверки качества обработки поверхностей, "просветления" оптики, измерения показателя преломления веществ. Принцип действия интерферометра. Многолучевая интерференция света. Получение изображения объекта с помощью голографии.
реферат [165,6 K], добавлен 18.11.2013Описание технологической схемы водогрейной котельной с закрытой системой теплоснабжения. Энергобаланс системы за выбранный промежуток времени. Расчет потоков греющей воды, параметров потока после смешения и действия насосов. Тепловой баланс котла.
курсовая работа [386,0 K], добавлен 27.05.2012Расчетная схема балки. Закон движения точки. Определение составляющих ускорения. Кинематические параметры системы. Угловая скорость шкива. Плоская система сил. Определение сил инерции стержня и груза. Применение принципа Даламбера к вращающейся системе.
контрольная работа [307,9 K], добавлен 04.02.2013Определение фокусных расстояний линз и зеркал, наблюдение и оценка их аберраций. Свойства линз и сферических зеркал превращать расходящиеся гомоцентрические пучки лучей в гомоцентрические сходящиеся пучки, виды аберрации. Формула сферического зеркала.
лабораторная работа [59,3 K], добавлен 20.02.2010Особая точность электродинамических приборов, их разновидности и применение для определения тока и напряжения в цепях переменного и постоянного тока. Принцип действия ваттметра, устройство магнитоэлектрического логометра, их распространение и применение.
реферат [511,9 K], добавлен 25.11.2010
