Неявний метод розрахунку перехідних процесів суміщеного синхронного генератора на основі сплайн-функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

НЕЯВНИЙ МЕТОД РОЗРАХУНКУ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ СУМІЩЕНОГО СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА НА ОСНОВІ СПЛАЙН-ФУНКЦІЙ

В.С. Маляр, М.В. Хай, кандидати техн. наук

Сучасні синхронні генератори характеризуються високим рівнем використання активних матеріалів і дальше покращення їх масо-габаритних показників може бути досягнено за рахунок виконання збудника та генератора в єдиному магнітопроводі, тому ця проблема є перспективною і привертає увагу все більшої кількості дослідників [3, 5]. Однак незважаючи на велику кількість авторських свідоцтв та винаходів різних конструктивних рішень по створенню безконтактних суміщених синхронних генераторів (БССГ), вони не знайшли широкого застосування, оскільки є малодослідженими. При суміщенні збудника з основною машиною необхідно, щоб основні робочі характеристики БССГ були не гірші від таких для генераторів традиційного виконання, а це вимагає проведення цілого комплексу досліджень для кожної запропонованої конструкції, і в першу чергу методами математичного моделювання.

Відомі [3] математичні моделі БССГ базуються на цілому ряді допущень, зокрема не враховується насичення магнітопроводу, а це призводить до того, що отримані з використанням таких математичних моделей розрахункові дані вимагають перевірки на фізичних моделях.

Слід відзначити, що в обмотках БССГ знаходяться вентилі, а це створює додаткові труднощі при математичному моделюванні перехідних процесів. Так, при їх розрахунку з використанням явних методів інтегрування диференційних рівнянь вентилі апроксимуються (R-L)-ланками, значення параметрів яких приймаються малими у відкритому стані й великими у закритому при незмінному співвідношенні L/R. Однак наявність штучно введеної індуктивності може істотно впливати на моменти відкривання вентилів і тим самим призвести до значних похибок при розрахунках. Крім того, у зв'язку з великим розкидом сталих часу задача розрахунку є "жорсткою", а це вимагає інтегрування з малим кроком. Перелічених недоліків позбавлені неявні методи, серед яких найбільш поширеним є метод формул диференціювання назад (ФДН) [6], в основі якого лежить апроксимація інтегральної кривої поліномом ступеня p. Побудова полінома не викликає труднощів, однак при комутації вентиля необхідно кожен раз здійснювати так званий "розгін", починаючи з методу ФДН першого порядку. Крім того, практика розрахунків з використанням методу ФДН з автоматичним вибором кроку та степені полінома показує, що останній, як правило, не перевищує трьох. В статті запропоновано використовувати сплайн-апроксимацію [1, 4] інтегральної кривої, зокрема кубічними сплайнами. Така апроксимація є гладкою (має неперервні першу й другу похідні) і забезпечує порядок точності такий, як і метод ФДН при p=3.

Об'єктом дослідження візьмемо БССГ неявнополюсної конструкції (рис.1), який має на статорі основну трифазну обмотку (A, B, C), що увімкнена на активно-індуктивне

Рис. 1. Принципова електрична схема БССГ навантаження й додаткову трифазну обмотку (a, b, c), яка через трифазний випрямляч живить розташовану також на статорі розподілену однофазну обмотку (s) збудження збудника.

Перші дві обмотки мають кількість пар полюсів p1, а остання - p2 (p2 = kp1; k=2,3,...). На роторі розташована трифазна обмотка (x, y, z) якоря збудника з кількістю пар полюсів p2 (вона живить через трифазний випрямляч обмотку збудження f з кількістю пар полюсів p1 ) і розподілена демпферна обмотка d з кількістю пар полюсів p1. Таким чином, БССГ має дві групи обмоток з різною кількістю пар полюсів, між якими внаслідок насичення існує електромагнітний зв'язок, тому при математичному моделюванні необхідно розглядати їх спільно.

Представимо вентилі випрямлячів активними опорами, які приймають велике значення в закритому стані й мале у відкритому. Тоді система рівнянь електричного стану контурів БССГ матиме вигляд:

(1)

де

(r_нА, r_нВ, r_нС, L_нА, L_нB, L_нC - активні опори й індуктивності навантаження фаз статора БССГ); _k, i_k, r_k (k=A, B, C, a, b, c, s, x, y, z, f, d) - потокозчеплення, струми та активні опори відповідних контурів статора та ротора; активні опори, якими представлені вентилі у відповідних контурах.

Потокозчеплення кожного k-го контура апроксимуємо кубічним сплайном, який на j-ій часовій ділянці h_j = t_j-t_j-1 описується рівнянням

(2)

де a_kj, b_kj, c_kj, d_kj - коефіцієнти сплайна.

Як відомо [1], поліноми (2) на сусідніх ділянках разом із своїми першою та другою похідною з'єднані неперервно, тобто є гладкими. Математично ці умови записуються так [4]:

(3)

Приймемо в точці t=t_j коефіцієнт c_j=0. Це означає, що ми будуватимемо так званий [1] природний кубічний сплайн, який має властивість мінімальної кривизни. З урахуванням цього з системи (3) рівнянь знаходимо

(4)

Легко побачити, що

(5)

Припустимо, що значення і відомі з попереднього кроку інтегрування. Тоді рівняння (4) зв'язує між собою шукане значення функції і її похідної в крайньому правому вузлі. Це значить, що за своїм математичним змістом вираз (4) є інтерполяційним, так само, як і в методі ФДН [6].

Використавши вираз (4) з урахуванням (5), здійснимо алгебризацію системи (1). В результаті отримаємо

(6)

де q=2h_j /3; e = h_j/3.

Система (6) алгебричних рівнянь нелінійна, оскільки нелінійні залежності потокозчеплень контурів від струмів. Для її розв'язування скористаємось ітераційним методом Ньютона, згідно з яким (l+1)-е наближення вектора струмів контурів визначається за формулою

(7)

де - поправка, яка обчислюється шляхом розв'язку лінійної системи алгебричних рівнянь, що породжується системою (6) і яка має вигляд

(8)

синхронний генератор електричний математичний

де - вектор нев'язок, який обчислюється шляхом підстановки в них значень струмів та потокозчеплень, обчислених за l-им наближенням вектора ; W=L+R - матриця Якобі системи (6), в якій підматриці L та R мають вигляд (9, 10).

На першій ітерації (l=1) початкове наближення приймається рівним обчисленому в результаті виконання попереднього кроку інтегрування (t=t_j-1), а ітерації продовжуються до тих пір, поки поправки не стануть меншими деяких завчасно заданих значень.

У зв'язку з наявністю вентилів в контурах БССГ важливим питанням при розрахунку перехідних процесів є проблема визначення моментів їх комутації. Це пов'язано з тим, що при закриванні (відкриванні) вентиля його опір змінюється миттєво. Нехай у процесі інтегрування системи (1) встановлено, що на j-ому кроці струм k-го вентиля змінює знак. Очевидно, що результат розрахунку від моменту зміни знаку струму є неправильним. Для визначення моменту переходу струму через нуль можна застосувати ітераційний процес шляхом дроблення кроку. Однак більш вдалим в порівнянні з ітераційним методом є спосіб, що базується на розв'язуванні алгебричного рівняння, складеного за однією з інтерполяційних формул. Нами прийнята сплайн-інтерполяція [1] кривої струму вентиля, який комутує. Для визначення коефіцієнтів сплайна використовується значення струмів у трьох останніх вузлах, включаючи j-ий. Побудувавши сплайн для j-ої ділянки, підставляємо значення k-го струму i_kj=0 і знаходимо час t_k, який відповідає нульовому значенню струму. Далі відкидаємо останній j-ий крок інтегрування і здійснюємо обчислення значення координат з кроком h = t_k t_j-1, після чого продовжуємо інтегрування, змінивши опір вентиля у відповідності з його новим станом, до наступної комутації.

Як видно з (9), елементами матриці Якобі є диференційні індуктивності контурів БССГ. Алгоритм їх розрахунку, а також потокозчеплень контурів БССГ описано в [2]. Для цього магнітопровід БССГ представляється розгалуженою заступною схемою в межах подвійної полюсної поділки p₁, що дає змогу розраховувати криву індукції в повітряному проміжку генератора з урахуванням насичення магнітопроводу.

З використанням розробленого алгоритму виконані розрахунки перехідних процесів в БССГ, спроектованого на базі серійного дизель-генератора СГД-2-250 (S_н = 250 кВА, U_н=400 В, p₁=2) шляхом заміни ротора і укладання нової обмотки. Запропонований алгоритм розрахунку відноситься до неявних, є А-стійкий і має швидкодію приблизно у два рази вищу порівнянно з тією, що забезпечується методом ФДН з автоматичним вибором кроку та порядку полінома.

Як приклад, на рис.2 наведені результати математичного моделювання перехідного процесу самозбудження генератора.

Рис. 2. Розрахункові осцилограми процесу самозбудження Х,Y,Z - струми у відповідних фазах

Список використаної літератури

Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. - М.: Мир, 1972.- 316 с.

Глухівський Л.Й., Маляр В.С., Хай М.В. Електромагнітні параметри безконтактної суміщеної неявнополюсної машини //Технічна електродинаміка. - 1995. - №1-2.- С.25-29.

Караваев В.Т. Специальные электрические машины с частичным совмещением (элементы теории, схемы и конструкции): Автореф. дис.... д-ра техн. наук.- Екатеринбург, 1998. - 40 с.

Маляр В.С. Основные положения сплайн-метода расчета периодических режимов работы электрических цепей // Электроника и связь. - 1998. - Вып.5. - С.11-14.

О применении совмещенного индукторного возбудителя в бесщеточной системе возбуждения явнополюсных синхронных двигателей. А.А. Пульников, А.Т. Пластун, В.И. Денисенко, Э.М. Фриман.//Электричество. - 1996. -№3. - С.36-45.

Чуа Л.О., Лин Пен-Мин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы: Пер. с англ. - М.:Энергия, 1980. - 640 с.

Размещено на Allbest.ru