О взаимосвязях между различными компонентами в пространствах модулей стабильных 2-расслоений на проективном пространстве

Размещено на http://www.allbest.ru/

О ВЗАИМОСВЯЗЯХ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ В ПРОСТРАНСТВАХ МОДУЛЕЙ СТАБИЛЬНЫХ 2-РАССЛОЕНИЙ НА ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

С.А. ТИХОМИРОВ, А.А. КЫТМАНОВ,

Н.Н. ОСИПОВ, Т.Л. ТРОШИНА

Аннотация

модуль расслоение проективный пространство

В данной работе представлены новые результаты, касающиеся взаимосвязей между различными компонентами в пространствах модулей стабильных 2-расслоений с первым классом Черна, равным нулю, на проективном пространстве. Впервые введено понятие компоненты Ведерникова-Эйна третьего типа. Приведены экспериментальные данные о компонентах Эйна и компонентах Ведерникова-Эйна трех типов. Доказано, что множество, являющееся объединением компонент Ведерникова-Эйна всех трех типов не совпадает с множеством компонент Эйна.

Ключевые слова: стабильное расслоение, пространство модулей, классы Черна, спектр, численные инварианты, проективное пространство.

Annotation

In this paper the new results concerning the relationships between different components in the moduli spaces of stable 2-bundles with the first Chern class equal to zero on the projective space are presented. The notion of Vedernikov-Ein components of the third type is introduced for the first time. The experimental data about Ein components and Vedernikov-Ein components of three types are given. It is proved that the set, which is a union of Vedernikov-Ein components of all the three types, does not coincide with the set of Ein components.

Keywords: stable bundle, moduli space, Chern classes, spectrum, numerical invariants, projective space.

Основная часть

Изучению различных свойств (полу)стабильных пучков на P³ и их разновидностей, а также компонент в пространствах (схемах, многообразиях) модулей таких пучков посвящен целый ряд публикаций за последнее десятилетие (см., например, работы [1]-[14], [16]-[25]). В настоящей статье мы представляем новые результаты о взаимосвязях между компонентами в пространствах модулей стабильных 2-расслоений с первым классом Черна, равным нулю, на трехмерном проективном пространстве.

В статье [16] авторами были рассмотрены компоненты суперкулькорреляционных расслоений, введенных В.К.Ведерниковым в работе [15]. Равенства =0, =0, c=k+1, указанные в [16], дают не только совпадение размерностей данных компонент с размерностями соответствующих компонент Эйна (что было показано в статье), но и, как нетрудно убедиться, совпадение спектров и других численных инвариантов соответствующих расслоений. А значит, эти равенства являются формулами перехода от компонент Эйна к компонентам супернулькорреляционных расслоений, которые мы будем называть далее компонентами Ведерникова-Эйна третьего типа (по поводу определений компонент Ведерникова-Эйна первого и второго типов и компонент Эйна см. работу [11]).

Реализация разработанных в [10] и [11] теоретико-числовых алгоритмов для нахождения компонент Эйна и Ведерникова-Эйна первого и второго типов, а также очевидного алгоритма для нахождения компонент Ведерникова-Эйна третьего типа (вычисления их размерностей, вторых классов Черна расслоений, классы которых их составляют, и параметров, их задающих) в пакете Maple позволила получить экспериментальные данные, приведем их для значений второго класса Черна с₂ от 1 до 25 включительно:

I. Компоненты Эйна (в квадратных скобках идут слева направо значения параметров и затем идет соответствующее значение второго класса Черна и, наконец, после фигурных скобок - размерность компоненты Эйна): [0, 0, 1, 1], 5; [0, 1, 2, 3], 21; [0, 0, 2, 4], 29; [0, 2, 3, 5], 40; [0, 3, 4, 7], 65; [1, 1, 3, 7], 55; [0, 1, 3, 8], 62; [0, 0, 3, 9], 69; [0, 4, 5, 9], 96; [0, 5, 6, 11], 133; [1, 2, 4, 11], 98; [0, 2, 4, 12], 104; [0, 6, 7, 13], 176; [1, 1, 4, 14], 117; [0, 1, 4, 15], 123; [0, 7, 8, 15], 225; [1, 3, 5, 15], 152; [0, 0, 4, 16], 129; [0, 3, 5, 16], 158; [0, 8, 9, 17], 280; [2, 2, 5, 17], 170; [0, 9, 10, 19], 341; [1, 4, 6, 19], 218; [0, 4, 6, 20], 224; [1, 2, 5, 20], 187; [0, 2, 5, 21], 192; [0, 10, 11, 21], 408; [0, 11, 12, 23], 481; [1, 1, 5, 23], 203; [1, 5, 7, 23], 296; [2, 3, 6, 23], 258; [0, 1, 5, 24], 208; [0, 5, 7, 24], 302; [0, 0, 5, 25], 213; [0, 12, 13, 25], 560;

II. Компоненты Ведерникова-Эйна первого типа (в квадратных скобках идут слева направо значения параметров и затем идет соответствующее значение второго класса Черна и, наконец, после фигурных скобок - размерность компоненты Ведерникова-Эйна первого типа): [1, 1, 3], 21; [1, 2, 5], 40; [1, 3, 7], 65; [2, 2, 8], 62; [1, 4, 9], 96; [1, 5, 11], 133; [2, 3, 12], 104; [1, 6, 13], 176; [1, 7, 15], 225; [3, 3, 15], 123; [2, 4, 16], 158; [1, 8, 17], 280; [1, 9, 19], 341; [2, 5, 20], 224; [1, 10, 21], 408; [3, 4, 21], 192; [1, 11, 23], 481; [2, 6, 24], 302; [4, 4, 24], 208; [1, 12, 25], 560;

III. Компоненты Ведерникова-Эйна второго типа (в квадратных скобках идут слева направо значения параметров и затем идет соответствующее значение второго класса Черна и, наконец, после фигурных скобок - размерность компоненты Ведерникова-Эйна второго типа): [1, 2, 7], 55; [1, 3, 14], 117; [2, 4, 17], 170; [1, 4, 23], 203.

IV. Компоненты Ведерникова-Эйна третьего типа (в квадратных скобках идут слева направо значение параметрa k, затем соответствующее значение второго класса Черна и, наконец, после фигурных скобок - размерность компоненты Ведерникова-Эйна третьего типа: [0, 1], 5; [1, 4], 29; [2, 9], 69; [3, 16], 129; [4, 25], 213.

Формулы перехода, предъявленные в работе [11], показывают, что компоненты Ведерникова-Эйна первого и второго типов также содержатся среди компонент Эйна.

В то же время внимательное сопоставление приведенных выше данных по различным компонентам позволяет обнаружить, что уже при значении второго класса Черна с₂=11 имеется 98-мерная компонента Эйна, соответствующая значениям =1, , c=4 и не являющаяся ни компонентой Ведерникова-Эйна первого типа, ни компонентой Ведерникова-Эйна второго типа, ни компонентой Ведерникова-Эйна третьего типа.

Проверим это аналитически, используя упомянутые выше формулы перехода: 1) равенства =0, невыполнимы, поскольку значение параметра (как и значение параметра ), задающего нашу компоненту Эйна, является ненулевым, т.е. наша компонента Эйна не может быть супернулькорреляционной компонентой; 2) равенства =0, невыполнимы опять же потому, что значение параметра задающего нашу компоненту Эйна, является ненулевым, тем самым, она не может быть компонентой Ведерникова-Эйна первого типа; 3) равенства =, также невыполнимы, поскольку значения параметров и задающих нашу компоненту Эйна, заведомо различны, а значит, она не может быть компонентой Ведерникова-Эйна второго типа.

Таким образом, нами доказана следующая

Теорема. Компоненты Ведерникова-Эйна всех трех типов содержатся среди компонент Эйна, но множество, являющееся их объединением, не совпадает с множеством компонент Эйна.

Список литературы

1. Bruzzo U., Markushevich D., Tikhomirov A.S. Symplectic instanton bundles and t'Hooft instantons. European journal of mathematics. 2 (1): 73-86. 2016.

2. Hauzer M., Langer A. Moduli spaces of framed perverse instanton sheaves on P³. Glasgow mathematical journal. 53: 51-96. 2011.

3. Huybrechts D., Lehn M. The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves, 2nd ed. - Cambridge university press, Cambridge. 2010.

4. Ivanov A.N., Tikhomirov A.S. Semistable rank 2 sheaves with singularities of mixed dimension on P³. Journal of geometry and physics. 129: 90-98.2018.

5. Ivanov A.N., Tikhomirov A.S. The moduli component of the space of semistable rank 2 sheaves on P³ with singularities of mixed dimension. Doklady Mathematics. 96 (2): 506-509. 2017.

6. Jardim M., Maican M., Tikhomirov A. S. Moduli spaces of rank 2 instanton sheaves on the projective space. Pacific journal of mathematics. 291 (2): 399-424. 2017.

7. Jardim M., Markushevich D., Tikhomirov A.S. New divisors in the boundary of the instanton moduli space. Moscow mathematical journal. 18 (1): 117-148. 2018.

8. Jardim M., Markushevich D., Tikhomirov A.S. Two infnite series of moduli spaces of rank 2 sheaves on P³. Annali di matematica pura ed applicata. 196 (4):1573-1608. 2017.

9. Jardim M., Verbitsky M. Trihyperkahler reduction and instanton bundles on CP³. Compositio mathematica. 150:1836-1868. 2014.

10. Kytmanov A.A., Osipov N.N., Tikhomirov S.A. Finding Ein components in the moduli spaces of stable rank 2 bundles on the projective 3-space. Siberian mathematical journal. 57 (2): 322-329. 2016.

11. Osipov N.N., Tikhomirov S.A. On the number of Vedernikov-Ein irreducible components of the moduli space of stable rank 2 bundles on the projective space. Siberian mathematical journal. 59 (1): 107-112. 2018.

12. Tikhomirov A. S. Moduli of mathematical instanton vector bundles with even c₂ on projective space. Izvestiya: Mathematics. 77 (6): 1331-1355. 2013.

13. Tikhomirov A. S. Moduli of mathematical instanton vector bundles with odd c₂ on projective space. Izvestiya: Mathematics. 76 (5): 991-1073. 2012.

14. Tikhomirov S.A. Families of stable bundles of rank 2 with c1=-1 on the space P³. Siberian mathematical journal. 55 (6): 1137-1143. 2014.

15. Vedernikov V. The moduli of super-null-correlation bundles on P₃. Mathematische Annalen.276: 365-383. 1987.

16. Тихомиров С.А., Кытманов А.А., Осипов Н.Н., Трошина Т.Л. О супернулькорреляционных расслоениях на трехмерном проективном пространстве. Математика и информатика, астрономия и физика, экономика и совершенствование их преподавания: материалы международной конференции «Чтения Ушинского» физико-математического факультета. Ярославль: Изд-во ЯГПУ. 25-30. 2017.

17. Тихомиров С.А., Кытманов А.А., Осипов Н.Н., Трошина Т.Л. О гипотезе Хартсхорна-Рао для специального класса стабильных 2-расслоений на трехмерном проективном пространстве. Математика и информатика, астрономия и физика, экономика и технология и совершенствование их преподавания: материалы международной конференции «Чтения Ушинского» физико-математического факультета. Ярославль: Изд-во ЯГПУ. 26-31. 2015.

18. Тихомиров С.А., Ляпин А.П. О стабильных 2-расслоениях с классами Черна с₁=0, с₂=12 и 13 на комплексном проективном пространстве. Научные ведомости Белгородского государственного университета, серия «Математика. Физика». Т. 36, № 19 (190): 105-111. 2014.

19. Тихомиров С.А. О стабильных расслоениях ранга 2 с нулевым первым классом Черна на пространстве . - Материалы международной научно-практической конференции, посвященной 150-летию Д.А.Граве. Вологда: ВГПУ. 36-38. 2013.

20. Тихомиров С.А., Ляпин А.П., Рузанов Е.А. О многообразиях модулей и стабильных 2-расслоений с классами Черна , и на комплексном проективном пространстве. - Ярославский педагогический вестник, серия «Естественные науки». № 4:13-18. 2012.

21. Тихомиров С.А. Стабильные расслоения ранга 2 с классами Черна с₁=0, с₂=2 на P³ и гиперквадрики Понселе. Журнал СФУ, серия «Математика и физика». № 4(4): 551-555. 2011.

22. Тихомиров С.А. Симплектические инстантонные расслоения на пространстве : некоторые новые результаты. Математика и физика, экономика и технология и совершенствование их преподавания: материалы международной конференции «Чтения Ушинского» физико-математического факультета. Ярославль: Изд-во ЯГПУ. 13-15. 2008.

23. Тихомиров С.А. К вопросу о поиске компонент в пространствах модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 на P³ с классами Черна и . Математика и информатика, физика, астрономия и экономика: материалы международной конференции «Чтения Ушинского» физико-математического факультета. Ярославль: Изд-во ЯГПУ. 7-10. 2008.

24. Тихомиров С.А. Замыкания Понселе и многообразие М(0,2) модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 на пространстве P³. I. Ярославский педагогический вестник. №1: 35-39. 2007.

25. Тихомиров С.А. Замыкания Понселе и многообразие М(0,2) модулей стабильных векторных расслоений ранга 2 на пространстве P³. II. Ярославский педагогический вестник. №2: 25-31. 2007.

Размещено на Allbest.ru