Моделирование по закону Гука в теории упругости. Несимметричность тензора напряжений

Размещено на http://www.allbest.ru/

5

Размещено на http://www.allbest.ru/

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПО ЗАКОНУ ГУКА В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ. НЕСИММЕТРИЧНОСТЬ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИЙ

К.Б. Джакупов

Институт математики и математического моделирования

МОН РК, Алматы, Казахстан

Аннотация

Ключевые слова: растяжение, касательное напряжение, нормальное напряжение, тензор, уравнения.

Непосредственно из закона Гука выведены компоненты тензора напряжений твердого деформируемого тела. Установлены прямые связи касательных и нормальных напряжений с законом Гука. Доказана несимметричность тензора напряжений твердого деформируемого тела. Выведены новые уравнения теории упругости.

Показано, что в гипотезе Ламе используется только симметричная половина неполного дифференциала смещения, антисимметричная половина которого отбрасывается, следствием чего является симметричность тензора напряжений Ламе. Для новых уравнений построена явная схема 2-го порядка точности, с применением которой рассчитано упругое состояние плоского бруска при действующих в середине верхней грани нормальном и касательном напряжениях. Такая же схема применена для уравнений Ламе. Полученные картины распределения смещений наглядно демонстрируют различие решений сравниваемых систем уравнений упругости, а также неадекватность решения уравнений Ламе данному состоянию деформируемого тела.

Annotation

MODELING HOOKE'S LAW IN THE THEORY OF ELASTICITY. UNSYMMETRICAL STRESS TENSOR

K.B. Jakupov

Institute of mathematics and mathematical modeling, Almaty, Kazakhstan.

Keywords: tensile, shear stress, normal stress, tensor, equations.

Directly from Hooke's law derived stress tensor components tions of deformable body. A direct link, and tangent normal stresses with Hooke's law. asymmetrical stress tensor is proved tions of deformable body. We derive new equations of elasticity theory.It is shown that the Lama hypothesis is only symmetrical half incompletely thе offset differential, antisymmetric half of which is discarded, resulting in a symmetric tensor Lama stresses. For new equations constructed explicit scheme 2nd order accuracy with which the Numbers elastic state of a flat bar with the current in the middle of the upper verge of normal and tangential stresses. The same scheme is applied to the equation Lame tions. These pictures demonstrate displace ment distribution making a difference compared systems of equations of elasticity, as well as inadequate solutions of the Lame equations of this deformable body.

1. Связь касательных напряжений с законом Гука

По закону Гука «каково натяжение таково растяжение» силы , действующие параллельно плоскости в положительном направлении оси х, вызывают растяжения , - зависящий от свойств материала коэффициент. На слое сила и растяжение равны , соответственно, на слое .

Приращения: сил и растяжений . Пусть , в этом случае .

Вводится линейная плотность приращения как отношение . По определению вектор касательного напряжения параллелен и одинаково направлен с силами, вызывающими данное напряжение, . Через коэффициент пропорциональности образуется связь , . Данное выражение умножается скалярно на орт : .

В результате получаются необходимые соотношения

Равенства , в пределе дают касательное напряжение , где обозначено . Обобщения на другие направления дают соответствующие касательные напряжения

2. Связь нормальных напряжений с законом Гука

Аналогичными рассуждениями устанавливается формула составляющей нормального напряжения . Пусть силы Гука равны: в точке и в точке , ,. Имеет место параллельность для случая когда модуль верхней силы больше .

Через линейную плотность образуются равенства ,. Данное выражение умножается скалярно на орт : . По определению . В результате получается , откуда следует . В пределе вытекают формулы составляющих нормальных напряжений , где введено естественным образом .

Аналогично выводятся составляющие нормальных напряжений и по другим направлениям:

Таким образом, закону Гука соответствует несимметричный тензор напряжений в твердом деформируемом теле:

(2.1)

- вектор перемещения. В нормальных напряжениях член , установленный Ламе, сохраняется,- символ Кронеккера.

3. Уравнения теории упругости для несимметричного тензора напряжений в твердом деформируемом теле

Уравнения упругости твердого деформируемого тела [1], [2], [3]

(3.1)

построены по гипотезе Ламе с симметричным тензором напряжений

(3.2)

,коэффициенты Ламе, .

Подстановкой компонент несимметричного тензора в уравнения динамики динамики сплошной среды в напряжениях

упругость деформируемый напряжение гук

получается соответствующее скорректированное уравнение

, (3.3)

значительно отличающееся от уравнения Ламе (3.1).

Проекции данного уравнения в декартовых координатах имеют вид:

4. О гипотезе Ламе

Ламе, при выводе своего уравнения (3.1), исходил из гипотезы о том, что элементы тензора напряжений

, (4.1)

должны быть пропорциональны удвоенной первой половине формулы (4.1) [1] (вторая антисимметричная часть (4.1) игнорируется). Формула (4.1) искусственно образована из неполного дифференциала смещений

(4.2)

(Полный дифференциал имеет вид ).

Вытекающие из закона Гука несимметричные элементы (2.1) тензора напряжений, очевидно, непосредственно пропорциональны коэффициентам неполного дифференциала (4.2).

5. Явная схема уравнений теории упругости

Рассматривается задача Коши-Дирихле для новых уравнений

,

с начальными условиями в момент времени :

и краевыми условиями на границе :

В области интегрирования задается равномерная сетка

с внутренними узлами

и граничными узлами

Начальные условия задаются на сетке :

,

граничные условия 1-го рода в узлах сетки :

Явная разностная схема имеет вид:

,

в граничных узлах :

Данная явная схема имеет погрешность 2-го порядка по всем переменным . Устойчивость схемы обеспечивается выполнением условия Куранта:

6. Сравнение численного решения уравнений Ламе с численным решением новых уравнений

Фиг.1

Для сравнения решений уравнения Ламе с решением уравнения с несимметричным тензором напряжений (3.3) выполнен расчет перемещений в плоском деформируемом бруске размером 0.5м на 0.1м.

Фиг.2

Вектор внешней силы направлен перпендикулярно к плоскости бруска. На фиг. 1 и 2 представлены поля векторов перемещений в плоском бруске, на фиг. 3 и 4 эпюры поперечной скорости на верхней стороне бруска, всё на момент времени t=121.38 с. Плотность тела . На верхней стороне бруска у=0.1м от 0.2м до 0.3м приложено напряжение . Конкретно положено _уу=-1 Н/м², _ух=1 Н/м². Остальные грани бруска жестко закреплены, смещения на них равны нулю.

Фиг. 3 Фиг.4

Коэффициенты Ламе выбраны равными кг/(с²м)кг/(с²м).

Обе системы уравнений реализованы по явным схемам [5] на сетке 100х100 с шагом по времени равным 0.00051с. Налицо явное различие между численными решениями, в особенности фиг. 3 и 4. На фиг. 4 замечено парадоксальное перемещение вверх: на участке [0.2м, 0.24м] имеются положительные значения поперечных перемещений v>0, тогда как на фиг. 3 на данном участке перемещения отрицательные v<0.

Выводы

Детальный вывод из закона Гука нормальных и касательных напряжений доказывают несимметричность тензора напряжений в твердом деформируе- мом теле. Конкретный пример численного расчета состояния упругого тела при наложенных напряжениях убедительно показывают неадекватность и несостоятельность гипотезы о симметричности тензора напряжений сплошной среды и соответственно уравнений теории упругости Ламе.

Литература

[1]. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред. М.: Мир, 1974г. 318с.

[2]. Седов Л.И. Механика сплошной среды, т.1. М.: «Наука»,1973г. 315с.

[3]. Лурье А.И. Теория упругости. М.: «Наука»,1970г. 984с.

[4]. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды.М.: Изд-во МГУ, 1978г. 287с.

[5]. Джакупов К.Б. Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды.-

Алматы: Изд-во «?ылым ордасы», 2015г. С.376.

[6]. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термо-вязко-упругости.

М.: «Наука»,1970г. 547с.

[7]. Ilyushin A.A., Lenski V.S. Strength of Materials. N.Y. Pergamon press, 1967.

[8]. Eringen A.C. Mechanics of Continua.N.Y., Wiley, 1967.

[9]. Новацкий В. Теория упругости. М.: «Мир», 1975.

[10].Ломакин В.А. Теория упругости неоднородных тел. М.: Изд-во МГУ, 1976.

References

[1]. Mase G.E. Theory and Problems of Continium Mechanics. M.: “Mir”, 1974. P.318.

[2]. Sedov L.I. Continuum Mechanics, Vol.1. M.: "Science", 1973. P.315.

[3]. Lurie A.I. The theory of elasticity. M.: "Science", 1970. P.984.

[4]. Ilyushin A.A. Continuum Mechanics sredy.M.: MGU, 1978. P.287.

[5]. Jakupov K.B. Correction of continuum mechanics theoretical paradoxes - Almaty: publishing

house «?ылым ордасы», 2015г. P.376.

[6 ]. Ilyushin AA Pobedria BE Fundamentals of the mathematical theory of thermo - viscoelas

ticity. M.: "Science", 1970. 547s.

[ 7]. Ilyushin A.A., Lenski V.S. Strength of Materials. N.Y. Pergamon press, 1967.

[8]. Eringen A.C. Mechanics of Continua.N.Y., Wiley, 1967.

[9]. Nowacki W. Theory of Elasticity. M.: "Mir", 1975.

[10]. Lomakin V.A.Theory of elasticity of inhomogeneous bodies. M.: MGU, 1976.

Размещено на Allbest.ru