Изучение затухающих колебаний физического маятника

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 530.1(075)

Изучение затухающих колебаний физического маятника

Кейкиманова М.Т.

Кулманова С.Ж.

Таразский государственный университет им. М.Х. Дулати, г. Тараз

Данный учебный материал может быть использован при постановке одноименной лабораторной работы. Такая работа имеет ряд преимуществ:

1. Минимум оборудования для лабораторной установки.

2. Работа проста в выполнении и не требует громоздких математических вычислений.

3. Полный охват теоритического материала.

4. Обеспечение межпредметных связей с математикой.

Приведем пример такой лабораторной работы.

Теоретическая часть. Затухающими колебаниями называются колебания, амплитуда которых вследствие потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. Простейшим механизмом уменьшения энергии колебаний является её превращение в теплоту вследствие трения в механических колебательных системах. Обычно рассматриваются линейные системы - идеализированные реальные системы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходе процесса не изменяются. Линейной системой, например, является физический маятник при малых углах отклонения от положения равновесия.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде: затухающий колебание маятник

(1)

где: s - колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс (для физического маятника - это угол б его отклонения от положения равновесия); д = const - коэффициент затухания; щ₀ - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же системы, т.е. при д = 0 (при отсутствии потерь энергии).

В случае малых затуханий (д << щ₀) решение уравнения (1) имеет вид:

(2)

где:

(3)

- амплитуда затухающих колебаний, А₀ - начальная амплитуда,

(4)

- циклическая частота колебаний.

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическим и, строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако, если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся величины. Тогда период Т затухающих колебаний равен:

,

а с учетом (4):

(5).

Из (5) следует, что при малых затуханиях и - период незатухающих колебаний.

Для характеристики затухающих колебаний вводится понятие декремента затухания - отношение амплитуд двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающихся на период, то есть:

(6).

С учетом (3) выражение (6) примет вид: , откуда:

(7).

Логарифм выражения (7) называется логарифмическим декрементом затухания, т.е.: , откуда:

(8).

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента затухания и равна:

(9).

Описание установки и принцип выполнения работы. В данной работе используется физический маятник в виде стержня длиной l, способного совершать колебания с малым трением относительно оси, проходящей через один из его концов. Другой конец стержня снабжен указателем, который при колебаниях маятника перемещается вдоль шкалы горизонтальной линейки.

Рис. 1

В случае физического маятника дифференциальное уравнение (1) запишется в виде: . Его решение: , где б - угол отклонения маятника от положения равновесия в любой момент времени t,

(10)

- амплитудное значение угла б, т.е. максимальный угол отклонения маятника в момент времени t, б₀ - начальный угол отклонения маятника в момент времени t = 0.

Из рисунка находим: , где х - смещение конца маятника вдоль шкалы линейки в момент времени t. Для малых углов отклонение маятника и

(11).

Из (11) следует, что смешение конца маятника пропорционально его углу отклонения от положения равновесия и тогда выражение (10) можно заменить на общее выражение (3): (3), где А - амплитуда колебаний (максимальное смещение указателя в момент времени t), А₀ - начальная амплитуда (максимальное смещение указателя в момент времени t=0). Из выражения (3) следует: , откуда

и (12).

Период колебаний Т можно найти, разделив время колебаний tна число колебаний N за этот промежуток времени, т.е.

(13).

Подставляя значения д из (12) и Т из (13), в уравнение (8), находим логарифмический декремент затухания: , откуда:

(14).

При малом затухании период колебаний маятника можно также вычислить, исходя из его параметров, по формуле:

(15),

где I - момент инерции стержня, относительно оси, переходящей через его конец, m - масса стержня, - расстояние от центра масс стержня до оси вращения. Момент инерции Iвычислим по теореме Штейнера , откуда . Подставляя эти значения I и б в формулу (15), получим: . С учетом этого формула (8) примет вид:

(16).

Подставляя значение и из (14) в уравнение (9), находим добротность Q физического маятника:

(17).

Подставляя в (8) значение логарифмического затухания из (16), можно также найти добротность маятника по фолмуле:

(18).

Таким образом, из выражений (12), (14) и (17) следует, что определение коэффициента затухания, логарифмического декремента затухания и добротности физического маятника сводится к измерению начальной амплитуды колебаний А₀, амплитуды А через промежуток времени t от начала колебаний и подсчету числа полных колебаний N за этот промежуток времени.

Ход выполнения работы.

Задание 1. Определение коэффициента затухания физического маятника.

1. Отклонить маятник на небольшой угол от положения равновесия; при этом перемещение указателя по шкале линейки не должно превышать 10 см.

2. По положению указателя замерить начальную амплитуду колебаний А₀.

3. Отпустить маятник, который начнет совершать свободное затухающие колебания. С этого момента начать отсчет времени tполных колебаний маятника.

4. Когда амплитуда колебаний А уменьшится на 2-3 см. от первоначальной, зафиксировать эту амплитуду по шкале линейки, одновременно закончив отсчет времени колебаний.

5. По формуле (12) вычислить коэффициент затуханий д.

6. Меняя значения начальной амплитуды А₀, произвести вышеуказанные операции не менее пяти раз. Вычислить среднее значение коэффициента затухания. Результаты измерений вычислений и расчета погрешностей занести в таблицу.

Задание 2. Определение логарифмического декремента затухания.

Повторить операции, проделаные в задании 1, но вместо измерения времени колебании, произвести подсчет числа N полных колебаний для каждой операции. По формуле (14) вычислить логарифмическии декремент затухания и для каждой операции и найти его среднее значение. Результаты измерений, вычислений и расчета погрешностей занести в таблицу.

Вычислить логарифмический декремент затухания, подставляя в (16) среднее значение коэффициента затухания д_ср, найденного в задании 1. Сравнить полученное значение и с эксперементальным; сделать выводы.

Задание 3. Определение добротности физического маятника.

Подставляя поочередно значения и, получение в задании 2, в формулу (9), вычислить добротность Q маятника; найти среднее значение добротности. Результаты вычислении занести в таблицу. Вычислить добростность, подставляя в (18) среднее значение коэффициента затухания, найденного в заданий 1. Сравнить полученые результаты сделать выводы.

Контрольные вопросы:

1. Какие колебания называются затухающими?

2. Линейные колебательные системы.

3. Дифферинциальное уравнение затухающих колебаний и его решение.

4. Амплитуда, частота и период затухающих колебаний.

5. Декремент затухания. Логарифмический декремент затухания.

6. Связь логарифмического декремента затухания с коэффициентом затухания и периодом колебаний.

7. Добротность колебательной системы, её связь с коэффициентом затухания.

Литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высшая школа, 2001.

2. Коразов Т.А. Колебательные и волновые процессы. Основы акустики: Учебник. - Алматы: 2011.

3. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука т.3, 1978.

4. Яворский Б.М., Детлаф А.А., Милковская Л.Б. Курс физики. - М.: Высшая школа. Т. 3. - 1972.

5. Методические указания к выполнению лабораторных работ. - Тараз, 2006.

Размещено на Allbest.ru