Применение свойств циклоиды для определения наикратчайшего спуска
Особенности использования циклоиды для описания кинематических и динамических свойств материальных тел. Кинематическое и тавтохронное (одинаковое время) свойства обыкновенной циклоиды. Расчет быстрейшего перехода точки из одного положения в другое.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.02.2019 |
| Размер файла | 87,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Таразский государственный университет им. М.Х. Дулати, г. Тараз
Применение свойств циклоиды для определения наикратчайшего спуска
Сатаев Л.О., Адильбаев А.А., Айтуаров Н.
Для описания кинематических и динамических свойств материальных тел очень удобно использовать свойства геометрических тел, таких как циклоида. Циклоидой называется линия, которую описывает точка (рис. 1), закрепленная в плоскости круга (производящий круг), когда этот круг катится (без скольжения) по некоторой прямой KL (направляющая).
Если точка М, описывающая циклоиду, взята внутри производящего круга (т.е. расстояние CM=d от центра С меньше радиуса r), то циклоида называется укороченной (рис. 1.в); если вне круга (т. е. d >r), -удлиненной (рис. 1.б); если же точка М лежит на окружности (т.е. d=r), то линия, описываемая этой точкой, называется обыкновенной циклоидой (рис. 1.а) или чаще просто циклоидой.
Пример. Когда вагон движется по рельсам, внутренняя точка колеса описывает укороченную циклоиду, точка на ободе - удлиненную, а точка окружности колеса - обыкновенную циклоиду.
А и В - начальные точки циклоиды, D - вершина циклоиды, АВ - основание циклоиды, DF - высота. Дуга ADB, описываемая точкой М, называется аркой циклоиды. UV - линия центров циклоиды (описывается центром С производящего круга).
Рис. 1. Построение обыкновенной циклоиды
Особенности формы и узловые точки.
По направлению прямой KL циклоида в обе стороны простирается в бесконечность. Циклоида симметрична относительно прямых АС0 и DF.
Циклоида заключена внутри полосы, ограниченной прямыми у = r+d и у =r - d.
Удлиненная циклоида всегда обладает узловыми точками А1 и В1.
Эти точки можно найти, решив уравнение:
(1)
где .
Параметрическое и натуральное уравнение циклоиды.
Параметрические уравнения циклоиды имеют вид:
, (2)
где - угол поворота производящего круга, отсчитываемый от того положения, в котором точка М совпадает с начальной точкой А. Для обыкновенной циклоиды (d=г):
, (3)
Натуральное уравнение обыкновенной циклоиды (в пределах одной арки):
, (4)
Дуги отсчитываются от начальной точки. Если за начало дуг принять вершину, то натуральное уравнение будет:
,(5)
Циклоида обладает следующими свойствами:
1) кинематическое свойство обыкновенной циклоиды: если обыкновенная циклоида катится (без скольжения) по прямой АВ, то центр кривизны точки касания движется по окружности (уравнение 4);
2) тавтохронное (одинаковое время) свойство циклоиды. Материальная точка, движущаяся под действием силы тяжести по обыкновенной циклоиде ADB (рис. 2), обращенной вогнутостью вверх, достигает низшего положения D за промежуток времени [1]:
циклоида кинематический материальный тело
(6)
где: r - радиус производящего круга, g-ускорение силы тяжести. Этот промежуток не зависит от начального положения точки (Гюйгенс, 1673).
Поэтому период T колебания циклоидального маятника (T=4t) не зависит от его амплитуды (круговой маятник практически обладает этим свойством лишь при малых колебаниях). Нить циклоидального маятника, сконструированного Гюйгенсом, укрепляется в начальной точке К другой циклоиды АКВ, являющейся эволютой циклоиды ADB (циклоида, конгруэнтная с данной, но смещенная на половину АВ и опущенная под основание, равное высоте циклоиды);
3) свойство брахистохрона (кратчайшее время) - линия, по которой осуществляется быстрейший переход точки из одного данного положения в другое (задача о разыскании «линии кратчайшего спуска»).
Брахистохрона точки, перемещающейся под действием силы тяжести (в среде, сопротивлением которой можно пренебречь) из данной точки А в нижележащую точку В (не расположенную на одной вертикали с А), есть обыкновенная циклоида (рис. 3).
Продолжительность t быстрейшего спуска определяется по формуле:
(7)
где цВ - угол поворота производящего круга, соответствующий точке В.
Рис. 2. Циклоидальный маятник
Рис. 3. Траектория наикратчайшего спуска
Пример. Точка В ниже точки А на 0,83 м, а по горизонтали находится на расстоянии 1,54 м от А. Найти продолжительность быстрейшего ската из А в В.
Решение. Построим на координатной плоскости XOY циклоиду и прямую.
За единицу масштаба примем 1 м. Тогда координаты точки D будут:
x1=1,54, y1=0,83 (8)
Циклоида, обеспечивающая быстрейший скат, представляется уравнениями:
, (9)
Из условия (8) можно найти радиус r производящего круга и значение, соответствующее точке В. Для этого, исключая r из (9), решаем уравнение:
(10)
Решая (10), получим ц ? 195° (3,40 радиана). Теперь из второго уравнения (9) находим r ? 0,42 (м).
Наконец, по формуле (7), полагая g = 9,8 (м/сек2), находим:
(сек).
Спуск из А в В по наклонной плоскости продолжался бы 0,87 сек, т. е. почти на 25% дольше.
Действительно, рассмотрим спуск без сопротивлении по прямой.
На тело действую следующие силы [2]: сила тяжести:
(11)
сила реакции опоры:
(12)
ускоряющая сила:
(13)
где
Под действием силы FC тело приобретает ускорение:
(14)
Из кинематики поступательного движения [3]:
(15)
Отсюда
или . (16)
Подставляя числовые значения, получим:
Рассмотренная геометрическая фигура циклоида обладает свойствами, которые имеют актуальное значение в практическом применении, в том числе и в области физики (на примере циклоидального маятника и метода наикратчайшего времени спуска).
Анализируя вышесказанное, можно сделать следующие выводы:
1. Циклоида является одной из замечательных кривых, заинтересовавший почти всех ученых естественных наук, начиная с эпохи Галилея.
2. Простота построения циклоиды (с помощью производящего круга) и особенности формы.
3. Тавтохроническое свойство циклоиды - независимость периода колебания циклоидального маятника от его амплитуды, в отличие от круговых (для них это свойство характерно только для малых углов).
4. Свойство брахистохрона (кратчайшее время) - линия, по которой осуществляется быстрейший переход точки из одного данного положения в другое.
Литература
1.Трофимова Т.И. Курс физики. - М: Высшая школа, 2001.
2. Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, Физматлит, 1998.
3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М,: Высшая школа, 1999.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Построение траектории движения точки. Определение скорости и ускорения точки в зависимости от времени. Расчет положения точки и ее кинематических характеристик. Радиус кривизны траектории. Направленность вектора по отношению к оси, его ускорение.
задача [27,6 K], добавлен 12.10.2014Сущность и порядок внедрения экспериментального метода построения частотных характеристик для сложного объекта автоматического регулирования, его особенности и расчеты. Применение аппаратных средств определения амплитудно-фазовых характеристик звеньев.
лабораторная работа [399,5 K], добавлен 26.04.2009Отклонение свойств реального газа от идеального. Расчет свойств реальных газов. Процесс перехода твердого вещества непосредственно в пар. Испарение жидкости в ограниченном пространстве. Определение массы сухого пара во влажном и массы влажного пара.
реферат [246,1 K], добавлен 24.01.2012Характеристика кристаллической структуры оксида титана с точки зрения кристаллографических и кристаллофизических свойств. Расчет рентгенограмм для двух материалов: диоксида олова и теллурида свинца. Пиролитический и пьезоэлектрический эффект в кристаллах.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 24.06.2011Теоретические сведения о свойствах полупроводников. Предоставление энергетических диаграмм p-n перехода в условиях равновесия. Получение вольтамперной и вольтфарадной характеристик по заданным значениям напряжения и тока. Расчет концентрации примеси.
лабораторная работа [141,4 K], добавлен 21.01.2011Исходные понятия реологии. Описание методов изучения реологических свойств аномальной нефти. Рассмотрение состава и свойств асфальтенов. Определения вязкости нефти и нефтепродуктов. Особенности применения капиллярных и ротационных вискозиметров.
реферат [502,9 K], добавлен 20.01.2016Изучение свойств пористых материалов. Исследование изменения диэлектрических характеристик и температуры фазового перехода сегнетовой соли и триглицинсульфата, внедрённых в Al2O3. Получение оксидных плёнок с нанометровыми порами анодированием алюминия.
дипломная работа [3,2 M], добавлен 28.09.2012Электрические методы исследования электрофизических и фотоэлектрических свойств полупроводников. Метод нестационарной спектроскопии глубоких уровней, фотопроводимость. Шумовые свойства фоторезисторов при совместном действии напряжения и фоновой засветки.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 02.10.2015Структура электромеханической системы. Приемы составления математического описания процессов электромеханического преобразования энергии. Анализ свойств двигателей в системах электропривода. Условия коммутации тока на коллекторе машин постоянного тока.
реферат [2,5 M], добавлен 03.01.2010Динамика и теплоемкость кристаллической решетки. Особенности объяснения зависимости теплоемкости от температуры с помощью закона Дюлонга–Пти, модели Эйнштейна, модели приближения Дебая. Основные положения квантовой теории гармонического кристалла.
реферат [123,6 K], добавлен 06.09.2015Источники инфракрасного, ультрафиолетового и оптического излучений, методы их обнаружения и измерения, определение оптических свойств и применение. Лазеры и лазерные световые пучки. Поляризационные и энергетические характеристики световых пучков.
курсовая работа [587,2 K], добавлен 20.09.2013Особенности использования магнитомягких материалов для постоянных и низкочастотных полей. Определение свойств ферритов и магнитодиелектриков. Применение магнитострикционных материалов для изготовления сердечников электромеханических преобразователей.
реферат [25,2 K], добавлен 30.08.2010Физика полупроводников. Примесная проводимость. Устройство и принцип действия полупроводниковых приборов. Способы экспериментального определения основных характеристик полупроводниковых приборов. Выпрямление тока. Стабилизация тока.
реферат [703,1 K], добавлен 09.03.2007Основное свойство жидкости: изменение формы под действием механического воздействия. Идеальные и реальные жидкости. Понятие ньютоновских жидкостей. Методика определения свойств жидкости. Образование свободной поверхности и поверхностное натяжение.
лабораторная работа [860,4 K], добавлен 07.12.2010Агрегатное состояние тела, его виды и характеристика. Процессы перехода из одного состояния в другое. Плавление - переход вещества из кристаллического (твёрдого) состояния в жидкое. Удельная теплота плавления, температура плавления и кипения воды.
реферат [1,0 M], добавлен 08.01.2011Изучение фотоэлектрических свойств полупроводников для выявления физических закономерностей в различных структурах. Полупроводниковые свойства хлопковых волокон. Рассмотерние особенностей сорта электрических свойств хлопковых волокон "Гульбахор".
реферат [13,0 K], добавлен 22.06.2015Определение инерционных свойств средств измерений. Построение временных (переходных) характеристик СИ. Конструкция и динамические свойства термометра сопротивлений. Экспериментальное определение динамических характеристик звена первого и второго порядка.
контрольная работа [106,4 K], добавлен 01.02.2013Краткое описание функциональной схемы электропривода с вентильным двигателем. Синтез контура тока и контура скорости. Датчик положения ротора. Бездатчиковое определение скорости вентильного двигателя. Релейный регулятор тока RRT, инвертор напряжения.
курсовая работа [3,4 M], добавлен 30.03.2011Расчет показателей преломления и дисперсии при заданных составах стекла. Показатель преломления и средняя дисперсия. Коэффициенты для перехода от массовых единиц к объемным долям. Зависимость показателя преломления от содержания в стекле диоксида кремния.
контрольная работа [524,4 K], добавлен 05.12.2013Анализ свойств цепей, методов их расчета применительно к линейным цепям с постоянными источниками. Доказательство свойств линейных цепей с помощью законов Кирхгофа. Принцип эквивалентного генератора. Метод эквивалентного преобразования электрических схем.
презентация [433,3 K], добавлен 16.10.2013
