Аналитическое решение задачи распространения волны в длинной линии, нагруженной на сопротивление, индуктивность и емкость

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Государственный университет Молдовы

Аналитическое решение задачи распространения волны в длинной линии, нагруженной на сопротивление, индуктивность и емкость

Пацюк В.И.

Аннотация

Получено точное, аналитическое решение задачи распространения волн в идеальной однопроводной линии, нагруженной емкостью, сопротивлением и индуктивностью (RLC-цепочка) на приемном конце. Решение получено путем использования римановых инвариантов. Разработана программа символьных вычислений в среде системы MatLab для автоматизации громоздких аналитических преобразований.

Ключевые слова: идеальная однопроводная линия, римановы инварианты, программа символьных вычислений в Matlab.

Paюiuc V.I. Soluюia analiticг privind propagarea undei оn linia lungг cu sarcinг

Rezumat. S-a obюinut soluюia analiticг precisг a problemei propagгrii undei оn linia idealг cu sarcinг capacitivг. Soluюia a fost obюinutг оn baza invariantelor Riemann. S-a elaborat programul de calcul оn media MatLab cu scopul utomatizгrii transformгrilor analitice voluminoase. Cuvinte-cheie: linia lungг idealг, invariantele Riemann, program de calcul simbolic, media MatLab.

Patsiuk V.I. Analytical solution for the problem of wave propagation in the long line loaded with capacity, resistance and inductance

Abstract. It was obtained the exact analytical solution for the problem of wave propagation in the ideal single-wire line, loaded with capacity, resistance and inductance on the receive end. The solution was obtained through Riemann invariants. It was elaborated the program of symbolic computing in the system MatLab for the automation of voluminous analytical transformation.

Keywords: ideal single-wire line, Riemann invariants, program of symbolic computing in the system MatLab.

Переходной процесс в линии передачи, нагруженной на сосредоточенное сопротивление на правом конце, моделируется следующей дифференциальной задачей. Функции напряжения и тока в линии длиной l являются решением системы дифференциальных уравнений в частных производных

(1)

где R, L, G и C - распределенные активное сопротивление, индуктивность, проводимость изоляции и емкость линии на единицу длины. Начальные условия предполагаются нулевыми

, (2)

а граничные условия на концах линии в общем случае нагружения сосредоточенными сопротивлениями имеют вид

(3)

В настоящей работе получено точное аналитическое решение задачи (1)-(3) в следующем частном случае: L = C = 1, R = G = 0, l = 1, f(t) = 1.

Тогда задача (1)-(3) принимает следующий вид

(4)

,(5)

,(6)

.(7)

В системе (4) перейдем к новым неизвестным функциям и , которые называются римановыми инвариантами

(8)

.(9)

уравнений (9) обладает тем преимуществом перед системой (4), что уравнения в (9) содержат только одну неизвестную функцию и позволяют выписать точное решение в виде “бегущей волны”

(10)

где - некоторые функции одного аргумента, конкретный вид которых определяется заданными начальными и граничными условиями (5)-(7). Таким образом, инварианты r и s принимают постоянные значения вдоль прямых линий и , которые называются характеристиками системы уравнений (4) или (9).

Такое свойство решения (10) позволяет построить точное решение задачи путем последовательного продвижения по области “снизу-вверх” вдоль полос, определенных характеристиками (фиг. 1).

Начальные и граничные условия (5) - (7) для неизвестных r и s принимают вид

, (11)

, (12)

Фиг. 1. Область определения решения

. (13)

Из формы решения (10) видно, что значения инварианта r принимают постоянные значения вдоль прямых () и значит, если двигаться по области решения D (фиг. 1) снизу-вверх, то значения r “передаются” снизу-вверх и слева-направо. Соответственно значения инварианта s “передаются” снизу-вверх и справа-налево вдоль характеристики . В силу этого, значения инварианта s считаются известными на левой границе , а значения r - известными на правой границе . Тогда граничные условия (11) принимают вид

,(14)

. (15)

Первое условие является алгебраическим и позволяет легко вычислять значения инварианта r по известным значениям s. Второе условие является дифференциальным и для определения значения инварианта s по известному значению r используется следующая процедура.

В предположении соотношение (15) преобразуется к виду

(16)

и дифференцируется по t. Тогда получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка, и решается задача Коши для этого уравнения с начальными условиями ,

, (17)

(18)

Конкретный вид решения этой задачи зависит от корней характеристического уравнения

, (19)

(20)

Если дискриминант , то уравнение имеет два различных вещественных корня , , если , то имеется один вещественный, кратный корень и, если , то корни - комплексно-сопряженные , , , .

В случае различных вещественных корней решение задачи Коши (17) имеет вид

, (21)

При определении начальных значений и следует иметь ввиду, что в силу несовпадения значений граничного (6) и начального (5) условий для функции при , решения задачи u, i и r, s в области D являются разрывными функциями. Только на правом конце в силу граничного условия (7)

функция тока i(1,t) является непрерывной функцией по переменной t, т.е. . Поэтому в точках при значения , . Значение определяется из условий и и имеет вид

(22)

Значение определяется подстановкой в формулу (16)

(23)

Таким образом, на правом конце интегро-дифференциальное условие (15) для функции заменяется явным выражением (21)-(23).

Если характеристическое уравнение (19) имеет комплексно-сопряженные корни , то решение задачи (17) имеет следующий вид

, (24)

,

, (25)

Если же характеристическое уравнение (19) имеет вещественный кратный корень , то решение задачи (17) имеет следующий вид

, (26)

,

, (27)

Далее, если и , то уравнения (7) и (16) принимают вид

, (28)

(29)

Тогда задача Коши для функции формулируется в виде дифференциального уравнения первого порядка

, (30)

(31)

Решение этой задачи имеет вид

, (32)

(33)

И, в случае , , функция вычисляется по формуле

(34)

Далее опишем алгоритм получения решения на границах области D: и (фиг. 1). Так как в зависимости от конкретных значений , на правой границе области функция вычисляется пятью различными способами: формулы (21)-(23), (24)-(25), (26)-(27), (32)-(33) и (34), то приведем алгоритм решения задачи в случае двух вещественных, различных корней .

1) Из нулевых начальных условий (11) имеем

.

2) На границе при (область ) инвариант , так как это значение “приносится” по характеристике из начального условия. Значения инварианта определяются из (21)-(23):

,

3) На границе при (область ) инвариант , так как это значение “приносится” по характеристике из начального условия. В области () инвариант , так как это значение “приносится” по характеристике из области . Тогда для (области и ) из граничного условия (14) имеем и следовательно

4) На границе при (области и ) значение инварианта , которое “приносится” инвариантом r из областей и . Значения инварианта определим из (21)-(23). Здесь , . Так как для , то из (22), (23) имеем , . Так как функция , то из (21)

Таким образом, для (области и ) получаем

, ,

,

волна идеальный однопроводной риманов символьный

5) На границе при (области и ) инвариант , так как это значение “приносится” по характеристике из областей и . Здесь следует учесть сдвиг по переменной t, так как должны совпадать значения при и при . Из граничного условия получаем

,

,

6) На границе при (области и ) , так как эти значения “приносятся” по характеристике из областей , . Здесь также учитывается сдвиг по переменной t, так как должны совпадать значения при и при . Значения инварианта определим из (21)-(23). Здесь , . Так как при , то из (22) и (23) имеем

,

Так как при , то

и из (21) получаем

,

Таким образом, для (области и ) получаем

,

.

7) На границе при (области , ) инвариант

,

так как эти значения “приносятся” по характеристике из областей , . Здесь учитывается сдвиг по переменной t, так как должны совпадать значения при и при . Из граничного условия получаем

,

,

.

Таким образом, в семи пунктах приведено решение задачи на интервале времени на границах области и .

Для получения решения внутри отрезка используется уже известное решение на границах. Приведем, например, решение задачи в заштрихованном квадрате на фиг. 1. Решение в этом квадрате определяется значениями инварианта при и при .

Инвариант , . Из формул (10) имеем , . Тогда . Таким образом, производя замену , получаем решение

Инвариант , . Из формул (10) имеем , . Тогда . Таким образом, производя замену , получаем решение

.

Таким образом, в заштрихованном квадрате на фиг. 1 получаем решение

, ,

,

.

При на отрезке решение имеет вид

,

Описанный выше метод позволяет получить решение задачи в области D для любого момента времени t. Для этого следует продолжить алгоритм, описанный выше в семи пунктах, до нужного момента времени. Однако, очевидно, что с возрастанием времени t сложность математических выкладок и формул будет возрастать, что представляет определенную трудность и повышает вероятность появление ошибки при проведении вычислений вручную. Для автоматизации этого процесса в системе MatLab была разработана программа символьных вычислений, которая позволяет получить аналитическое, точное решение задачи для любого момента времени. Программа вычисляет последовательно римановы инварианты для левой и правой границы области D до задаваемого значения момента времени Tmax.

Ниже приведен листинг этой программы в системе MatLab с поясняющими комментариями.

%RLC-цепочка (Корни вещественные и различные)

syms h z t tau

syms Rs Ls Cs k1 k2 Cs1

% Cs1=1/Cs

% Cu r0(i),s0(i) обозначены инварианты r,s для x=0

% Cu r1(i),s1(i) обозначены инварианты r,s для x=1

D=(1+Rs)^2-4*Ls*Cs1

%k1=(-(1+Rs)+sqrt(D))/(2*Ls)

%k2=(-(1+Rs)-sqrt(D))/(2*Ls)

%k1=subs(k1,{Rs,Ls,Cs1},{'0','1/2','0'})

%k2=subs(k2,{Rs,Ls,Cs1},{'0','1/2','0'})

%k1=subs(k1,{Rs,Cs1},{'0','0'})

%k2=subs(k2,{Rs,Cs1},{'0','0'})

%k1=simplify(k1)

%k2=simplify(k2)

%Ls=subs('1/2')

pause

% For 0<=t<=1; x=1

r10=t-t;

s10=t-t;

iz0=t-t;

% For 0<=t<=2; x=0

s00=s10;

subs(s00,t,t-1);

r00=2-s00;

%pause

% For 1<=t<=3; x=1

r1(1)=r00;

rab=diff(r1(1),'t');

b=1;

rab1=int(r1(1),sym(b),t);

f=-(k1+k2+2/Ls)*r1(1)+rab+k1*k2*rab1+2*k1*k2*iz0;

f1=diff(f,'t')

iz1=(r10-s10)/2 %Значение i(t0-0)

sN0=-2*iz1+r1(1)

rab=subs(f,t,sym(b));

sN1=rab+(k1+k2)*sN0

f1=subs(f1,t,tau);

rab=int(f1*exp(k1*(z-tau)),tau,sym(b),z);

rab1=int(rab*exp(k2*(t-z)),z,sym(b),t);

s=(sN1-k2*sN0)/(k1-k2)*(exp(k1*(t-sym(b)))-exp(k2*(t-

sym(b))))+sN0*exp(k2*(t-sym(b)))+rab1;

%rab1=subs(s,{'sN0'},{sN0})

%rab=subs(rab1,{'sN1'},{sN1})

s1(1) = simplify(s);

rab=(r1(1)+s1(1))/2;

u1(1)=simplify(rab);

rab=(r1(1)-s1(1))/2;

i1(1)=simplify(rab);

%pause;

fprintf('\n For %2d<=t<%2d; x=1',1,3);

fprintf('\n r(1,t)='); r1(1)

fprintf('\n s(1,t)='); s1(1)

fprintf('\n u(1,t)='); u1(1)

fprintf('\n i(1,t)='); i1(1)

% Tmax - значение момента времени, до которого решается задача

Tmax=11

i=0; time=1;

while time<=Tmax-2;

i=i+1;

time=time+2;

fprintf('\n i= %2d time=%4d',i,time);

% Граница x=0

fprintf('\n For %2d<=t<%2d; x=0',2*i,2*i+2);

s0(i)=s1(i);

s0(i)=subs(s0(i),t,t-1);

s0(i) = simplify(s0(i));

r0(i)=2-s0(i);

rab=(r0(i)+s0(i))/2;

u0(i)=simplify(rab);

u0(i)=factor(u0(i));

rab=(r0(i)-s0(i))/2;

i0(i)=simplify(rab);

i0(i)=factor(i0(i));

fprintf('\n r(0,t)='); r0(i)

fprintf('\n s(0,t)='); s0(i)

fprintf('\n u(0,t)='); u0(i)

fprintf('\n i(0,t)='); i0(i)

% Граница x=1

fprintf('\n For %2d<=t<%2d; x=1',2*i+1,2*i+3);

r1(i+1)=r0(i);

r1(i+1)=subs(r1(i+1),t,t-1);

r1(i+1) = simplify(r1(i+1));

rab=diff(r1(i+1),'t');

a=2*i-1;

b=2*i+1;

rab2=subs(r1(i+1),t,z);

rab1=int(rab2,z,sym(b),t);

iz0=iz0+int(i1(i),sym(a),sym(b));

f=-(k1+k2+2/Ls)*r1(i+1)+rab+k1*k2*rab1+2*k1*k2*iz0;

f1=diff(f,'t')

r1v=subs(r1(i),'t',sym(b));

s1v=subs(s1(i),'t',sym(b));

iz1=(r1v-s1v)/2

r1n=subs(r1(i+1),'t',sym(b))

sN0=-2*iz1+r1n

rab=subs(f,t,sym(b));

sN1=rab+(k1+k2)*sN0

f1=subs(f1,t,tau)

rab=int(f1*exp(k1*(z-tau)),tau,sym(b),z);

rab1=int(rab*exp(k2*(t-z)),z,sym(b),t);

s=(sN1-k2*sN0)/(k1-k2)*(exp(k1*(t-sym(b)))-exp(k2*(t-

sym(b))))+sN0*exp(k2*(t-sym(b)))+rab1;

%rab=subs(s,{'sN0'},{sN0});

%rab=subs(s,{'sN1'},{sN1});

s1(i+1) = simplify(s);

rab=(r1(i+1)+s1(i+1))/2;

u1(i+1)=simplify(rab);

u1(i+1)=factor(u1(i+1));

rab=(r1(i+1)-s1(i+1))/2;

i1(i+1)=simplify(rab);

i1(i+1)=factor(i1(i+1));

fprintf('\n r(1,t)='); r1(i+1)

fprintf('\n s(1,t)='); s1(i+1)

fprintf('\n u(1,t)='); u1(i+1)

fprintf('\n i(1,t)='); i1(i+1)

pause

end; %while

% Рисование графиков инвариантов S,R

% и напряжения U и тока I

% Графики рисуются, если заданы конкретные значения

% параметров Ls, Rs, Cs

imax=i+1;

T0 = 0:0.05:1;

S0=T0-T0; R0=T0-T0;

plot(T0,S0,'-b',T0,R0,'-.r','LineWidth',1)

h=legend('S','R',2);

title('Invariants S, R (x=1)');

xlabel('t'); grid;

hold on;

for i=1:imax; a=2*i-1; b=2*i+1;

T = a:0.05:b;

S = double(subs(s1(i),t,T)); R = double(subs(r1(i),t,T));

plot(T,S,'-b',T,R,'-.r','LineWidth',1); hold on;

end;

hold off;

fprintf('\n Pause: ');

pause;

T = 0:0.05:1;

U = T-T; I = T-T;

plot(T,U,'-b',T,I,'-.r','LineWidth',1); hold on;

for i=1:imax; a=2*i-1; b=2*i+1;

T = a:0.05:b;

u1(i)=(r1(i)+s1(i))/2; i1(i)=(r1(i)-s1(i))/2;

U = double(subs(u1(i),t,T)); I = double(subs(i1(i),t,T));

plot(T,U,'-b',T,I,'-.r','LineWidth',1); hold on;

end;

title(' voltage U, current I (x=1)')

legend('U','I')

xlabel('t'); grid;

hold off;

Размещено на allbest.ru

...