Приведены точные формулы для расчета предельных значений передаваемой мощности и КПД линий переменного напряжения с активной нагрузкой на приемном конце. Определены критические сопротивления и потери мощности в зависимости от длины ВЛ класса напряжения 500…750 кВ. Исследованы аварийные режимы в нагруженной электропередаче.

Ключевые слова: телеграфные уравнения, активная мощность, коэффициент полезного действия (КПД), коэффициент мощности (КМ), критические сопротивления.

Exact formulas for calculation of limiting values of transmitted capacity and efficiency of lines of a variable voltage with active loading on the reception end are resulted. Critical resistance and losses of capacity are determined depending on length Airlines of an electricity transmission of a class of a voltage 500 … 750 kV. Emergency operation in the loaded electricity transmission is investigated.

Keywords: cable equations, active capacity, efficiency, factor capacities, critical resistance.

Введение

Очевидно, что при = = 0, = получаем режим короткого замыкания: = 0, а условие соответствует холостому ходу линии: =0 (нагрузка отключена). Как известно, подобные вырожденные нагрузки (ХХ или КЗ) на практике встречаются сравнительно редко, однако их изучение представляет несомненный интерес как исходная ступень при переходе к реальным (невырожденным) нагрузочным режимам.

При решении начально-краевых задач целесообразно использовать безразмерные (нормированные) величины, переход к которым осуществляется по следующим формулам, причем начальные условия, как правило, полагаются нулевыми (электрический заряд в линии отсутствует):

(1.2)

.

В (1.2) приняты обозначения: - некоторое номинальное напряжение; - волновое сопротивление идеальной линии; - длина волны на частоте источника электропитания цепи; - время пробега волны по длине линии, равной : = /a; - скорость распространения электромагнитных возмущений вдоль линии; значок градуса присутствует у размерных величин.

При синусоидальном напряжении номинальное значение мощности определяем из соотношения в размерном или в безразмерном виде. При постоянном напряжении на входе линии: получаем или .

Для вторичных параметров длинной линии при синусоидальном напряжении (токе) и уравнений установившегося режима (УУР) в гиперболических функциях будем использовать следующие обозначения:

; ;

; ;

; (1.3)

; ;

где: = 2 - круговая частота; Z₀ - волновое сопротивление длинной линии с потерями; - постоянная распространения; Z_{S -} нагрузочное комплексное сопротивление; Z_{ВХ -} комплексное входное сопротивление цепи с распределенными и сосредоточенными параметрами; P - комплексная мощность.

2. Расчет потерь в режиме бегущих и стоячих волн

Для расчета нестационарных (нормальных, аварийных) и установившихся (нормальных, послеаварийных, ремонтных) режимов используется метод характеристик или универсальная разностная схема "Альбатрос", построенная на множестве узлов с целыми и полуцелыми индексами [10,11]:

;

,

где

;

;

.

Схема обладает нулевой разностной диссипацией и минимальной дисперсией. Многочисленные сопоставления с аналитическими решениями показали, что точность численных расчетов составляет не менее трех значащих цифр даже в окрестности фронтов волн (сильных разрывов). Баланс энергии на разностном уровне соблюдается абсолютно точно независимо от шага сетки.

Рассмотрим для определенности один провод (фазу) ВЛ 500 кВ Волгоград - Балашов - Липецк - Арзамас - Шагол с общей длиной 2858 км и параметрами: L = 0.9 мГн/км; С = 13 нФ/км; 22 мОм/км, 62 нСм/км; 5856 км; a = 292803 км/с; = 1/f = 0.02 с; 263.5 Ом; Z₀ = 263.37 - j8.23 Ом; лL = 5.27 Гн; лС = 76.13 мкФ. Если воспользоваться формулами (1.2), то в безразмерном виде имеем 0.488; L = C = a == 1; 5 0.48.

В таблице 2.1 приведены потери мощности при работе линии на чисто активную нагрузку, равную волновому сопротивлению идеальной линии: . При такой нагрузке имеет место квазиустановившийся волновой процесс, близкий к режиму бегущих волн и значение КПД полуволновой линии является максимально возможным. Заметим, что даже при работе линии на комплексную согласованную нагрузку Z₀ в режиме бегущих волн (натуральной мощности), потери оказываются немного выше.

Как видно из представленных результатов для линии переменного напряжения длиной 2858 км потери составляют 24.48%, что на 1.64% больше таковых, приведенных в [12]. Как известно в эксперименте 1968 г. по передаче 985 МВт мощности потери в полуволновой трехфазной линии 500 кВ составили 225 МВт (22.84%). Если пренебречь утечкой тока через изоляцию: , то потери снижаются до 20.85%. Полное совпадение расчетных и экспериментальных данных можно достичь, если задать = 32 нСм/км. Однако такое сопоставление вряд ли является правомочным, поскольку здесь не учитывается взаимовлияние проводов и в эксперименте 1968 г. полуволновая ВЛ 500 кВ явно работала в режиме смешанных, а не бегущих волн. На это обстоятельство указывает и амплитуда тока в начале линии, равняя 1.07 кА при напряжении 525 кВ. В режиме смешанных волн можно добиться увеличения передаваемой мощности, но относительные потери при этом тоже возрастут. Обратимся к другому источнику, где рассматриваются потери в полуволновой линии переменного и постоянного напряжения [13]. Чтобы получить для рассматриваемой линии 750 кВ Сургут - Чернобыль (3000 км) потери мощности порядка 13%, как это утверждается в [13], то, как минимум должно выполняться неравенство 12 мОм/км. При нарушении этого условия потери всегда будут больше чем 13%.

Для сравнения в последнем столбце таблицы 2.1 указаны потери мощности при ее передаче постоянным током. Как видим потери здесь всегда ниже, чем при переменном токе. Лишь для неискажающих линий, когда , в которых имеет место только диссипация волн и полностью отсутствует их дисперсия, эти результаты совпадают. Но в сильноточных электрических цепях, как правило, и поэтому отличия между КПД линии переменного и постоянного напряжения могут достигать нескольких процентов.

Таблица 2.1. Потери мощности для различных значений отрезков длин линии l, продольного активного сопротивления и поперечной проводимости изоляции G при .

На рис.2.1 показано изменение средних (безразмерных) значений генерируемой и передаваемой мощности (кривые 1;

2), КПД (3), КМ () источника и приемника (4;

5) в зависимости от длины линии x при Z_{0 (}a); (b); , G=R/5. Как видно из графиков с увеличением длины линии передаваемая мощность и КПД монотонно убывают, а генерируемая мощность остается практически неизменной, испытывая лишь незначительные (в пределах 1…3 %) флуктуации при .

Рис.2.1 Зависимость генерируемой и передаваемой мощности, КПД и КМ источника и приемника от длины линии x при Z_S = Z₀ (a); Z_В (b); R = 0.48; G = R/5.

На рис.2.2 представлена зависимость исследуемых величин от длины линии x при Z_В +jщL_S (a); Z_В - j/ (щC_S) (b); L_S =1/8 (0.66 Гн); C_S =1/5 (15.23 мкФ); R = 0.48; G = R/5. Наличие реактивных элементов в нагрузочном сопротивлении приводит к резкому изменению входного сопротивления цепи и как следствие все величины, характеризующие процесс передачи мощности переменным током испытывают колебания на десятки процентов. Для полуволновой линии передаваемая мощность и КПД являются максимальными, когда нагрузка на ее приемном конце чисто активная.

Рис.2.2 Зависимость генерируемой и передаваемой мощности, КПД и КМ источника и приемника от длины линии x при Z_S = Z_В +jщ L_S (a); Z_В - j/ (щ C_S) (b); L_S =1/8; C_S =1/5; R = 0.48; G = R/5.

Рис.2.3 отражает зависимость средней мощности генератора от длины линии при z = 1 (= ); - 1 (= 0); R = 0.48 (a); R = 4.8 (b); G = R/5.

В отличие от линии постоянного напряжения, где мощность генератора на холостом ходу всегда меньше, чем при коротком замыкании, здесь имеем по 4 точки пересечения этих кривых на каждом отрезке длины линии, равном l. Координаты этих точек по длине линии следующие:

Для любой неискажающей линии: мощности генераторов при ХХ и КЗ совпадают в точках x = l/8, 3l/8, 5l/8 и т.д. Если же , то вследствие дифракции волн эти кривые несколько смещаются вправо: x = 0.15l, 0.386l, 0.63l. Таким образом, отсюда вытекает, что максимальный отбор мощности от линии переменного напряжения на участке: 0.15l x 0.386l возможен в режиме, близком к ХХ, а на участках: 0 < x 0.15l и 0.386l x 0.63l в режиме, близком к КЗ. Такая ситуация повторяется через каждые отрезки длины линии, равные примерно l/4.

Рис.2.3 Зависимость от длины линии x мощности генератора P в режиме ХХ (1) и КЗ (2) при R = 0.48 (a); R = 4.8 (b); G = R/5.

3. Максимальная передаваемая мощность, КПД и КМ

Для постоянного напряжения на входе линии с ненулевым погонным сопротивлением (>0) и идеальной изоляцией (G = 0) максимальная потребляемая мощность достигается при выполнении условия = l, т.е. когда активное сопротивление нагрузки равно полному сопротивлению всей линии (теорема Ленца-Ботто, 1844г.). В этом случае КПД линии не зависит от ее длины и равен 0.5. Для переменного напряжения это не так даже для сравнительно коротких линий: ~/16.

В [10, 11] были получены замкнутые формулы для точного определения средних установившихся значений передаваемой мощности и КПД при работе линии переменного напряжения на чисто активную нагрузку с сопротивлением :

, ,

где

,

,

, , , , ,

,

,

, .

Поставим задачу определить значения сопротивления на приемном конце линии синусоидального напряжения, при которых передаваемая мощность и КПД максимальны. Если исследовать на экстремум указанные функции, то для сопротивления получим следующие выражения:

при ,

,

,

,

,

,

,

,

,

при

,

,

при .

На рис.3.1 представлено изменение генерируемой и передаваемой мощности, КПД и КМ источника и приемника (кривые 1-5) в зависимости от параметра z при l = 0.0516 (подстанция Балашов); R = 0.48 (a); 4.8 (b); G = R/5; . Эти графики наглядно иллюстрируют тот факт, что максимумы всех исследуемых здесь функций достигаются при различных значениях сопротивления нагрузки . С увеличением потерь в линии наблюдается "разбегание" критических сопротивлений для генерируемой и передаваемой мощности, тогда как точки максимума для КПД и КМ остаются практически неподвижными. Таким образом, при вариации параметра для любого отрезка длины линии можно получить полное представление о перетоках мощности, что позволяет выбрать оптимальный режим исходя из тех или иных критериев.

Рис.3.1 Зависимость генерируемой и передаваемой мощности, КПД и КМ источника и приемника от сопротивления нагрузки R_S при l = 0.0516; R = 0.48 (a); 4.8 (b); G = R/5; , где 1 - P₁; 2 - P₂; 3 - ; 4 - cosц₁; 5 - cosц₂

Рис.3.2 иллюстрирует зависимость генерируемой и передаваемой мощности, КПД и КМ источника и приемника от параметра z при ; C_S =1 (17.57мкФ). Здесь и в дальнейшем , G = R/5. Продольная компенсация параметров нагрузки для этой длины линии увеличивает максимальную передаваемую мощность, но уменьшает КПД и .

На рис.3.3 показана зависимость генерируемой и максимальной передаваемой мощности, КПД и критического сопротивления z_1k от длины линии (кривые 1-4).

Увеличению (уменьшению) передаваемой мощности по мере изменения длины линии всегда сопутствует уменьшение (увеличение) КПД. Для четвертьволновой линии максимум мощности имеет место в режиме, близком к ХХ (= 13.93), а для полуволновой линии в режиме, близком к КЗ (= 0.14).

Рис. 3.2. Зависимость от сопротивления нагрузки R_S генерируемой (1) и передаваемой мощности (2), КПД (3 ) и КМ источника (4) и приемника (5) при l = 0.0516; R = 0.48; G = R/5; ;C_S =1.

Рис. 3.3. Зависимость от длины линии x генерируемой (1), максимальной передаваемой (2) мощности, КПД (3) и критического сопротивления z_1k (4) при R = 0.48; G = R/5.

Зависимость генерируемой, передаваемой мощности, максимального КПД и критического сопротивления от длины линии x отражает рис.3.4 Здесь особенно заметно, что максимальному КПД, который ненамного выше, чем при работе линии на согласованную нагрузку, вовсе не соответствует максимум передаваемой мощности.

Рис.3.4 Зависимость генерируемой (1), передаваемой (2) мощности, максимального КПД (3) и критического сопротивления z_{? (}4) от длины линии x при R = 0.48; G = R/5.

4. Аварийные режимы в нагруженной электропередаче

Проведенная в [12] серия аварийных режимов в нагруженной полуволновой электропередаче показала относительно высокую устойчивость последней при динамических переходах. Внутренние перенапряжения на различных подстанциях не превосходили расчетного уровня изоляции ВЛ 500 кВ. Наибольшая зарегистрированная кратность перенапряжений в переходном процессе при КЗ длительностью 130…190 мс составила 1.75…1.95. Проверим, как эти экспериментальные данные согласуются с теоретическими расчетами на основе точных решений соответствующих краевых задач для телеграфных уравнений в динамической постановке.

Для большей наглядности и сравнительного анализа смоделируем две внезапные аварийные ситуации: ХХ (обрыв) и КЗ длительностью Дt = 6.5 (130 мс) на приемном конце линии в процессе ее работы на чисто активную нагрузку: . Результаты расчетов показаны на рис.4.1 в виде временных зависимостей напряжения (a) и потребляемой активной мощности (b) при ХХ и КЗ в точке подключения нагрузки на подстанции Шагол.

Рис.4.1 Мгновенные напряжения (a) и мощность (b) при ХХ и КЗ в точке подключения нагрузки на подстанции Шагол (2858 км).

Как легко можно заметить из графиков, кратность перенапряжений на нагрузке равна 3, а броски амплитуд мгновенной мощности после выхода из режима КЗ на порядок превышают таковые в установившемся нагрузочном режиме. Еще большие перенапряжения имеют место на подстанции Арзамас. Как видно из данных, представленных на рис.4.2 за время КЗ напряжение здесь становится почти в 6 раз выше номинального. Ситуация с перенапряжениями и бросками мощности радикально не меняется, если отбор мощности на подстанции Шагол уменьшить или увеличить, изменяя сопротивление нагрузки .

В этих результатах нет ничего неожиданного, если вспомнить, что в короткозамкнутой полуволновой линии максимальные напряжения в установившемся режиме наблюдаются в середине линии и кратность перенапряжений равна 7. При этом время выхода на установившийся режим не превышает 400 мс при рассматриваемых здесь потерях в линии [11].

Рис.4.2 Мгновенные напряжения на подстанции Арзамас (1572км) при КЗ на подстанции Шагол (2858 км).

Исследуем аналогичные аварийные ситуации для линии, несколько превышающей по длине четвертьволновую разместив для этого такую же нагрузку на подстанции Арзамас. Уменьшение длины линии при прочих равных условиях приводит к тому, что перенапряжения и броски мощности наблюдаются уже не при КЗ, а при обрыве. Причем амплитуды скачков напряжения и мощности повысились до 8 и 16 "номиналов" соответственно (см. рис.4.3). Таким образом, для четвертьволновых линий переход на режим ХХ практически невозможен, поскольку возникающие при этом перенапряжения даже превосходят таковые в короткозамкнутой полуволновой линии. Поэтому для четвертьволновых линий всегда применяются различные варианты компенсирующих устройств типа шунтирующих или управляемых реакторов трансформаторного типа в сочетании с продольной емкостной компенсацией индуктивного сопротивления линии [14].

Напрашивается теперь перемещение нагрузки в точку x = 3/8 с тем, чтобы определить какой из рассмотренных выше аварийных режимов является там наиболее опасным. Из временных диаграмм, изображенных на рис.4.4 видно, что здесь только на стадии ХХ имеют место относительно небольшие перенапряжения кратностью 2.2, а броски мощности в отличие от предыдущих вариантов отсутствуют и вовсе в послеаварийных режимах, вызванных разрывом линии или КЗ. Схожая картина наблюдается при укорачивании этой линии на четверть и более длины, т.е. для точек подключения нагрузки x ? 1/8.

Столь большие расхождения опытных и расчетных данных требуют тщательного анализа и дополнительных экспериментальных исследований. Возможно, моделирование ХХ или КЗ посредством мгновенного задания нулевых значений для тока или напряжения в точке аварии не вполне соответствует действительности и спад этих значений до нуля происходит не внезапно, а более "плавно".

Рис.4.3 Мгновенные напряжения (a) и мощность (b) при ХХ и КЗ в точке подключения нагрузки на подстанции Арзамас (1572км).

Рис.4.4 Мгновенные напряжения (a) и мощность (b) при ХХ и КЗ в точке x = 3/8 (2196 км).

В заключение приведем несколько примеров, существенно ограничивающих, на наш взгляд, область применения символического метода. В таблице 4.1 представлены ударные и установившиеся значения для амплитуд тока в начале линии при КЗ и ХХ. Используя УУР в гиперболических функциях (1.3) невозможно рассчитать переходной процесс, который всегда носит явно выраженный несинусоидальный характер. Однако, как видно из приведенных табличных данных, УУР дают неверные результаты и для установившихся вырожденных режимов в идеальных цепях. Такая же ситуация наблюдается и для чисто реактивных нагрузок, не содержащих активные (диссипативные) элементы.

И последнее замечание. Длительность нестационарных процессов пропорциональна длине линии и существенно увеличивается с уменьшением потерь в ней.

Например, для рассмотренных здесь случаев время выхода на установившийся режим достигает долей секунды, и это обстоятельство уже нельзя игнорировать как второстепенный фактор влияния. Также не следует забывать, что всякий установившийся процесс является следствием нестационарных явлений.

Таблица 4.1. Ударные и установившиеся значения амплитуд тока в начале линии синусоидального напряжения при КЗ и ХХ.

Заключение

1. На основе точных решений телеграфных уравнений получены замкнутые формулы для определения предельных значений передаваемой мощности, КПД и КМ источника переменного напряжения и приемника с чисто активной нагрузкой. Рассмотрены установившиеся режимы бегущих, стоячих и смешанных волн.

2. Исследовано влияние различных факторов, какими являются параметры линии и нагрузки, диссипация и дисперсия волн на потери мощности. В рамках развитого и строго обоснованного подхода впервые удалось выявить ряд нелинейных зависимостей и получить полную картину о процессах передачи мощности по цепям переменного и постоянного тока.

3. Следует различать режимы работы линии при максимальной передаваемой мощности, КПД, КМ и максимальной отдаче энергии генератором синусоидального напряжения.

4. Рассмотрены аварийные ситуации в нагруженной электропередаче. Показано, что в полуволновой и четвертьволновой линии кратность перенапряжений при ХХ и КЗ длительностью 130 мс доходит до 6…8.

Литература