Несинусоидальные напряжения при синусоидальном токе на входе разомкнутой линии с потерями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Несинусоидальные напряжения при синусоидальном токе на входе разомкнутой линии с потерями

Пацюк В.И.

Институт энергетики Академии наук Молдовы

Государственный университет Молдовы

patsiuk@usm.md

Аннотация. Методом рядов Фурье решены классические задачи теоретической электротехники, какими являются включение разомкнутых (короткозамкнутых) линий на переменное напряжение (ток). Выявлены условия, при которых в линиях с ненулевыми потерями формируются несинусоидальные установившиеся режимы.

Ключевые слова: телеграфные уравнения, несинусоидальные напряжения и токи, полуволновые и четвертьволновые линии.

Tensiuni nesinusoidale create de curenюii sinusoidali la intrarea liniilor cu perderi оn regimE deschise. Paюiuc V.I.

Rezumat. Utilizвnd metoda seriei Fourier sunt soluюionate problemele clasice ale electrotehnicii cгtre care pot fi aliniate conexiunea liniilor (circuitelor) deschise єi scurtcircuite la surse de tensiuni alternative (curent). Sunt determinate condiюiile cвnd оn liniile (circuitele) cu pierderi apar regimuri stabile nesinusoidale.

Cuvinte-cheie: ecuaюiile telegrafiєtilor, tensiuni єi curenюi nesinusoidali, linie (circuite) cu lungimea de o doime єi o pгtrime de undг.

The no sinusoidal voltages under the sinusoidal current at the entry of the open-ended line with real loss. Patsiuk V.I.

Abstract. The classical problems of the theoretical electrical engineering, such as open-ended (or short-circuited) line energization on alternating voltage (or current), are solved by means of Fourier series method. The conditions of creation of no sinusoidal steady-state regimes in the lines with nonzero loss are discovered.

Key words: The telegraph equations, no sinusoidal voltage and current, half-wave and quarter-wave transmission lines.

В [1] показано почему нельзя использовать метод комплексных амплитуд (МКА) для расчета установившихся режимов электрических цепей, в которых отсутствует потери на эффект Джоуля - Ленца. В качестве примеров было рассмотрено подключение идеальных разомкнутых и короткозамкнутых линий к источнику синусоидального напряжения. Однако совершенно неожиданно выяснилось, что и в линиях с потерями при определенных условиях, которые нельзя считать столь уж экзотическими, тоже могут возникать вопреки традиционным представлениям несинусоидальные режимы.

Аксиоматическую структуру теории линейных электрических цепей с распределенными и сосредоточенными параметрами составляют законы Ома и Кирхгофа, из которых неоспоримо вытекает следующее дедуктивное заключение. Если непосредственно к зажимам источника синусоидального напряжения (тока) подключить сосредоточенное устройство, состоящее из произвольного набора RLC - звеньев, то, исходя из решения обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

,

синусоидальный напряжение ток

ток (напряжение) также будет изменяться во времени по синусоидальному закону [2]. Наличие в электрической цепи элементов с распределенными параметрами в виде длинной линии (соединительных проводов) делает такое утверждение далеко не столь очевидным даже для установившихся режимов. Его проверка на основе строго обоснованных решений корректно сформулированных начально-краевых задач для телеграфных уравнений привела к несколько парадоксальным результатам, которые требуют тщательного и всестороннего анализа.

Рассмотрим задачу определения функции напряжения и тока , удовлетворяющие системе гиперболических уравнений

при

и следующим начальным и граничным условиям:

;

.

Так как в случае КЗ приемного конца линии переменного напряжения граничные условия формулируются только в терминах напряжения , то исключая из - функцию тока , получаем задачу относительно напряжений

при ;

;

.

Здесь напряжение в начале линии задается в комплексной форме с использованием следующих обозначений: , , .

Решение задачи будем находить методом разложения его в ряды Фурье [3], что предполагает переход к нулевым граничным условиям. С этой целью переформулируем задачу - относительно новой функции :

при ;

;

;

;

.

Положим , и подставим эти выражения в . Тогда для амплитуд получаем обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

,

,

общее решение которого при условии выполнения неравенства имеет вид

;

,

а в случае кратных корней получаем:

;

.

Числа , являются корнями характеристического уравнения :

, .

Значения констант находим из условия удовлетворения начальным условиям

.

Тогда решение задачи - принимает следующий вид:

или после некоторых преобразований

.

Функцию тока получим подстановкой выражения в первое уравнение



.

Формулу можно существенно упростить. Ряды, содержащие в качестве множителя компоненту , взаимно сокращаются, а выражение в последней круглой скобке можно просуммировать. В результате получаем следующую формулу:

.

Здесь комплексы и обозначают коэффициент распространения электромагнитной волны и волновое сопротивление линии.

Для получения вещественного решения задачи - следует взять мнимые части формул и .

Исследуем асимптотические свойства решения для установившихся значений тока в начале линии, когда . Так как корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть, если или , то при выполнении условия последний член в стремится к нулю, и получаем решение вида

,

где через I0 обозначена комплексная амплитуда тока.

Далее, если , то в пределе получаем решение

,

которое совпадает с решением, получаемым по методу комплексных амплитуд (МКА). Если же и , то установившееся решение имеет вид

,

которое уже отличается от решения МКА на постоянную составляющую .

Рассмотрим также частный случай решения для идеальной линии () при . В этом случае , , и корни характеристического уравнения имеют вид , где - время пробега волны по длине линии. Тогда ряд в можно представить в виде

.

Поскольку , то из получаем вещественное решение для идеальной линии

.

Формула представляет собой алгебраическую сумму трех членов, каждый из которых является периодической функцией, но с разными периодами. Первый член- это константа; второй - содержит функцию , т.е. периодическую функцию с периодом , и третий член представлен в виде ряда, который также является периодической функцией с периодом . Поэтому функция тока будет периодической функцией с периодом T, если существуют два целых положительных числа и , для которых выполняется соотношение

или.

Таким образом, если и ? является рациональным числом, то решение будет периодической функцией с периодом . Формуле можно придать и замкнутую форму. Разложением в ряд Фурье нетрудно показать, что функция на отрезке представима в виде ряда

.

Так как является периодической функцией с периодом , то для любого значения t сумму ряда в можно записать как

и тогда преобразуется к виду

После несложных преобразований для формулы имеем следующее представление:

Идентичное выражение для тока было получено методом характеристик в параграфе 7 монографии [1]. В частности, для четвертьволновой линии (, ,) с учетом получаем из совсем простенькое решение

Из получим решение и для неискажающей линии () при . В этом случае , , и корни характеристического уравнения имеют вид , где - время пробега волны по длине линии. Тогда формулу в точке можно представить в виде

.

Непосредственным разложением в ряд Фурье нетрудно показать, что ряд в формуле для любых значений t можно представить в следующей конечной форме:

Заменяя этим выражением ряд в формуле , получаем конечное представление для тока в начале линии

В частности, для четвертьволновой линии (, ) из имеем вещественное решение

,

,

которое совпадает с таковым, полученным по методу характеристик [1].

Рассмотрим теперь задачу определения искомых величин в разомкнутой линии, когда на ее входе задан синусоидальный ток. Итак, требуется определить функции напряжения и тока , удовлетворяющие системе телеграфных уравнений

при

и следующим начальным и граничным условиям:

;

.

В случае ХХ линии граничные условия формулируются только в терминах тока. Поэтому, исключая из - функцию напряжения , получаем следующую начально-краевую задачу относительно :



при

;

.

Задача - также решается методом разложения в ряды Фурье и ее решение можно представить в виде

.

.

Формулу можно существенно упростить. Ряды, содержащие в качестве множителя , взаимно сокращаются, а выражение в последней круглой скобке можно просуммировать. В результате получаем следующее представление для функции напряжения:



.

Для получения вещественного решения задачи - следует взять мнимые части формул и .

Рассмотрим решение в начале линии () в установившемся режиме, когда . Так как корни характеристического уравнения имеют отрицательную вещественную часть, если или , то при последний член в стремится к нулю и получаем решение вида

,

где через U0 обозначена комплексная амплитуда напряжения.

Далее, если , то в пределе приходим к решению

,

совпадающему с решением, получаемым по МКА. Если же и , то установившееся оно имеет вид

.

Это решение уже отличается от решения МКА на постоянную величину .

Рассмотрим частный случай решения для идеальной линии () при . В этом случае , и корни характеристического уравнения таковы: , где - время пробега волны по длине линии. Тогда ряд в можно представить в виде

.

Тогда с учетом, что , из получаем вещественное решение для идеальной линии

.

Формула представляет собой алгебраическую сумму трех членов, каждый из которых является периодической функцией, но с разными периодами. Первый - константа; второй содержит функцию , т.е. периодическую функцию с периодом ; третий член представлен в виде ряда, который также является периодической функцией с периодом . Поэтому функция напряжения будет периодической функцией с периодом T, если существуют два целых положительных числа и , для которых выполняется соотношение

или.

Таким образом, если и ? является рациональным числом, то решение будет периодической функцией с периодом . Формулу можно представить в конечном виде. Разложением в ряд Фурье нетрудно показать, что функция на отрезке представима в виде ряда

.

Так как является периодической с периодом , то для любого значения t сумму ряда в можно записать в форме

Поэтому можно представить как

После несложных преобразований формулу можно привести к виду

В частности, для четвертьволновой линии (, ,) с учетом получаем из решение

Рассмотрим частный случай решения для неискажающей линии () при . В этом случае , , и корни характеристического уравнения имеют вид , где - время пробега волны по длине линии. Тогда формулу при можно представить в виде

.

Непосредственным разложением в ряд Фурье нетрудно показать, что ряд в формуле для любых значений t можно представить в следующей конечной форме



Заменяя этим выражением ряд в формуле , получаем конечное представление для напряжения в начале линии

В частности для четвертьволновой линии при , из получаем вещественное решение

,

.

Итак, выражения для напряжений на входе идеальной и неискажающей линии и идентичны решениям, полученным по методу характеристик [1].

Для большей наглядности представим найденные решения для вырожденных режимов в графическом виде и проведем параметрический анализ влияния потерь на переходные и установившиеся процессы в ненагруженной линии. На рис. 3.1 представлено изменение во времени напряжений на входе разомкнутой четвертьволновой линии при R = G = 0 (a); R = 0.48, G = 0 (b); R = 0.48, G = R/5 (c); R = G = 0.48 (d); R = 4.8, G = 0 (e); R = 4.8, G = R/5 (f). Установившиеся синусоидальные режимы формируются только в тех случаях, когда имеет место утечка тока через изоляцию линии (G > 0) и эти режимы могут быть рассчитаны по МКА (см. рис.1 c,d,f). При совершенной изоляции (G = 0) получаем смещение напряжения на постоянную составляющую, которая что интересно зависит только от длины линии и не зависит от величины ее погонного активного сопротивления: .

Рис. 1. Динамика напряжений на входе разомкнутой четвертьволновой линии при R = G = 0 (a); R = 0.48, G = 0 (b); R = 0.48, G = R/5 (c); R = G = 0.48 (d); R = 4.8, G = 0 (e); R = 4.8, G = R/5 (f)

Более подробно см. таблицу, где даны точные значения напряжений в начале разомкнутой линии синусоидального тока для различных значений ее длины. Аналогичную картину получаем и для токов в короткозамкнутой линии синусоидального напряжения при R = 0 (см. таблицу 2).

Таблица 1. Установившиеся напряжения в начале разомкнутой линии синусоидального тока

R	G	l = 0.05	l = 0.125	l = 0.25	l = 0.375	l = 0.5	l = 5
0	0	6.2361; 0	2.2361; 0	1; 0	2.2361; -2
0.48	0	3.18313.0777	1.27321.0003	0.63660.0600	0.42441.0048	0.31838.3900	0.03181.2014
0.48	0.01	3.0777	1.0004	0.0612	1.0047	8.2203	1.1908
0.48	0.10	3.0774	1.0007	0.0724	1.0035	6.9572	1.1181
0.48	0.48	3.0694	1.0000	0.1194	1.0000	4.2464	1.0166
4.8	0	3.18313.0792	1.27321.0308	0.63660.5835	0.42441.2445	0.31831.3610	0.03181.1218
4.8	0.01	3.0793	1.0312	0.5845	1.2435	1.3598	1.1218
4.8	0.10	3.0801	1.0352	0.5934	1.2342	1.3492	1.1217
4.8	0.48	3.0767	1.0498	0.6297	1.2001	1.3068	1.1202

Таблица 2. Установившиеся токи в начале короткозамкнутой линии синусоидального напряжения

R	G	l = 0.05	l = 0.125	l = 0.25	l = 0.375	l = 0.5	l = 5
0	0	6.2361; 0	2.2361; 0	1; 0	2.2361; -2
0	0.48	3.18313.0777	1.27321.0003	0.63660.0600	0.42441.0048	0.31838.3900	0.03181.2014
0.01	0.48	3.0777	1.0004	0.0612	1.0047	8.2203	1.1908
0.10	0.48	3.0774	1.0007	0.0724	1.0035	6.9572	1.1181
0.48	0.48	3.0694	1.0000	0.1194	1.0000	4.2464	1.0166
0	4.8	3.18313.0792	1.27321.0308	0.63660.5835	0.42441.2445	0.31831.3610	0.03181.1218
0.01	4.8	3.0793	1.0312	0.5845	1.2435	1.3598	1.1218
0.10	4.8	3.0801	1.0352	0.5934	1.2342	1.3492	1.1217
0.48	4.8	3.0767	1.0498	0.6297	1.2001	1.3068	1.1202

Не меньшее удивление вызывает и тот факт, что для сравнительно коротких линий установившиеся значения напряжений в режиме холостого хода очень слабо зависят от уровня активных потерь в линии. Весьма примечательным является рис. 2, на котором временные диаграммы напряжений для идеальной линии и линии с достаточно большими потерями (R = 0.2244 Ом/км) визуально почти неотличимы. Полученные результаты обладают новизной и явно нуждаются в более глубоком физическом анализе и экспериментальной проверке. Напомним, что для расчета этих вырожденных режимов МКА непригоден в принципе, поскольку они не являются синусоидальными.

Рис. 2. Динамика напряжений на входе разомкнутой линии длиной l =0.05 при R = G = 0 (a); R = 4.8, G = 0 (b).

Таким образом, представленные здесь строго обоснованные решения телеграфных уравнений еще более сужают класс задач, решаемых с помощью символического метода (см. таблицу 3.3). Чтобы повторить или воспользоваться полученными здесь в рамках классического дедуктивного подхода результатами необходимо знание основ математической физики и наличие интеллектуальной составляющей у пользователей. Для достижения этой цели гораздо проще освоить приведенную в [1] ЭВМ-программу “Альбатрос”, в которой нет ничего, кроме четырех арифметический действий, но которая на удивление легко повторяет аналитические решения с любой степенью точности и предельно проста в эксплуатации. В этом может убедиться любой не лишенный любознательности читатель, хотя таковые вряд ли найдутся в обозримом будущем.

Таблица 3. Сравнительная характеристика методов расчета переходных и установившихся процессов в электрических цепях с распределенными и сосредоточенными параметрами.

Метод и его возраст	Точность	Область применения
1. Методу комплексных амплитуд более 100 лет	Абсолютная	Установившиеся синусоидальные режимы в кусочно-однородных цепях с ненулевыми потерями
2. Методу рядов Фурье около 200 лет	Абсолютная	Переходные и установившиеся процессы в разомкнутых линиях переменного тока и короткозамкнутых линиях переменного напряжения с произвольными потерями
3. Методу характеристик (распространяющихся или бегущих волн) более 250 лет	Абсолютная	Переходные и установившиеся процессы в кусочно-однородных идеальных и неискажающих цепях с переменными во времени сосредоточенными параметрами
4. Универсальному сеточно-характеристическому методу “Альбатрос” более 10 лет	От трех- четырех значащих цифр и выше	Переходные и установившиеся процессы в неоднородных параметрических цепях с произвольными потерями и другими усложняющими факторами

Заключение

1. В общем виде представлены точные решения телеграфных уравнений для вырожденных режимов (КЗ и ХХ). Детально рассмотрены частные случаи решений для идеальной и неискажающей линии, что подтвердило их полное совпадение с найденными ранее по методу характеристик и сеточно-характеристическому алгоритму «Альбатрос».

2. Обнаружена неизвестная ранее постоянная составляющая во временных функциях токов и напряжений для короткозамкнутых и разомкнутых линий, подключенных к источнику синусоидального напряжения или тока.

3. Если в электрической цепи с распределенными реактивными элементами отсутствуют потери на эффект Джоуля - Ленца, то в ней нельзя сформировать синусоидальный режим. В некоторых случаях таковой не формируется даже при наличие потерь в разомкнутых (короткозамкнутых) линиях.

Литература

1. Римский В.К., Берзан В.П., Пацюк В.И. и др. Волновые явления в неоднородных линиях. Т.4. Параметрические цепи. - Кишинев: Типография АНМ, 2008. - 552с.

2. Круг К.А. Основы электротехники. - Л.: ОНТИ, 1936. -888с.

3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1977. - 742с.

Размещено на Allbest.ru

...