Разряд движущегося конденсатора на длинную линию

Размещено на http://www.allbest.ru/

Разряд движущегося конденсатора на длинную линию

Пацюк В.И.

Институт энергетики Академии наук Молдовы

Государственный университет Молдовы

patsiuk@usm.md

Аннотация. С помощью метода характеристик решен класс нестационарных задач о разряде перемещающегося с различными скоростями электрического конденсатора вдоль длинной линии.

Ключевые слова: телеграфные уравнения, разряд конденсатора, линия с потерями.

Descгrcarea condensatorului mobil pe linia lungг. Paюiuc V.I.

Rezumat. Оn baza metodei caracteristicilor au fost soluюionate un set de probleme nestaюionare privind descгrcarea condensatorului mobil, ce se miєcг cu vitezele diferite de-a lungul unei linii lungi.

Cuvinte-cheie: ecuaюiile telegrafiєtilor, descгrcarea condensatorului, linie lungг.

Moving capacitor discharge on the long transmission line. Patsiuk V.I.

Abstract. The class of nonstationary problems about the moving electric capacitor discharge on the long-distance transmission line is solved by means of characteristics method. The different velocities of the capacitor's motion are considered.

Keywords: cable equations, capacitor discharge, transmission line with losses.

Разряд движущегося с постоянной скоростью конденсатора на идеальную линию рассматривался в [1]. Перемещая источник напряжения со скоростями, большими или меньшими скорости света авторы пытались в рамках линейной электродинамической модели обнаружить эффект замедления времени. Поскольку таковой, как и следовало ожидать, себя не проявил, авторы сделали вывод о том, что полученный ими результат является достаточным основанием для опровержения СТО.

В настоящей статье с помощью метода характеристик [2] исследована эволюция нестационарного разряда конденсатора на длинную линию. На основе точных решений краевых задач для телеграфных уравнений установлено, что при определенном соотношении между емкостью источника напряжения и потерями в линии распределение электромагнитной энергии в ней носит симметричный характер и не зависит от скорости движения конденсатора. Обнаружен эффект увеличения скорости разряда электрической емкости при скоростях превышающих скорость распространения волн потенциала и тока в линии. Решена также нелинейная задача о разряде конденсатора при его движении с постоянным ускорением.

Рассмотрим бесконечную двухпроводную длинную линию, к которой в начальный момент времени подключается заряженный конденсатор с емкостью и потенциалом (рис. 1.1). При замыкании контакта по линии потечет ток, и потенциал будет распространяться в обе стороны от точек подключения конденсатора со скоростью a, которую для простоты изложения будем считать равной скорости света.

Рис. 1. Двухпроводная длинная линия с подключаемым конденсатором

конденсатор разряд электрический ток

Требуется определить функции напряжения и тока , удовлетворяющие системе телеграфных уравнений

при следующих начальных и граничных условиях:

,

.

В случае неискажающей линии: решение задачи - можно построить методом характеристик [2]. Так как рассматривается линия неограниченной протяженности, то волны потенциала и тока распространяются влево и вправо от источника без отражений. Это означает, что для вдоль характеристик имеет место соотношение , где и обозначают волновое сопротивление линии и скорость распространения электромагнитной волны. В то же время для вдоль характеристик с положительным наклоном имеет место соотношение . Исключая при помощи этих зависимостей токи из граничного условия , получаем обыкновенное дифференциальное уравнение относительно напряжения на конденсаторе

,

откуда вытекает решение в виде

.

Электрическая энергия, сосредоточенная в конденсаторе, также убывает с течением времени по экспоненциальному закону и вычисляется по формуле

.

Решение исходных уравнений - при краевом условии , определяемое по методу характеристик можно записать как

,

,

.

Из легко видеть, что распределение потенциала зависит только от времени в возмущенной области и не зависит от продольной координаты x при выполнении условия . Также очевиден и симметричный характер нестационарного процесса распространения волн вправо и влево от точки подключения заряженной емкости.

Рис. 2. Распределение напряжения вдоль идеальной линии () на различные моменты времени при ,

Эволюция нормированных относительно напряжений вдоль идеальной и неискажающей линии представлена на рис. 1.2 - 1.4 для моментов времени t = 1 (a); 2 (b); 3 (c); 4 (d) при различных соотношениях емкости конденсатора и потерь в линии.

Рис. 3. Распределение напряжения вдоль неискажающей линии () на различные моменты времени при ,

Рис. 4. Распределение напряжения вдоль неискажающей линии () на различные моменты времени при ,



Рис. 5. Распределение напряжения вдоль неискажающей линии () на различные моменты времени при ,

Электромагнитная энергия, накопленная в линии к моменту времени t, вычисляется по формуле

,

а выражение для полной энергии имеет вид

.

Из формулы видно, что для неискажающей линии: суммарная энергия с течением времени стремится к нулю, тогда как для идеальной линии: она остается постоянной величиной, равной энергии конденсатора в начальный момент времени

.

Рассмотрим теперь аналогичную задачу, но с условием, что разряжающийся конденсатор движется с постоянной скоростью и в правую от исходного положения сторону. В этом случае зависимости - принимают форму

,

.

Рис. 6. Расположение областей решения задачи на плоскости Oxt при перемещении конденсатора с постоянной досветовой (a) и сверхсветовой (b) скоростью.

Здесь обозначает траекторию движения конденсатора на плоскости Oxt (рис. 2.1), которая в данном случае представляет собой прямую линию OA.

Решение этой задачи при (рис. 2.1, а), определяемое по методу характеристик, имеет следующий вид. В областях I и IV, куда еще не дошла электромагнитная волна, решение - нулевое:

.

В области II распространяется прямая волна, которая двигается вправо:

,

и в III области распространяется обратная волна, которая двигается влево:

,

,

Электромагнитная энергия, накопленная в линии к моменту времени t, вычисляется по формуле

,

а полная энергия записывается как

.

Из формулы видно, что для неискажающей линии: суммарная энергия с течением времени стремится к нулю, тогда как для идеальной линии:она остается постоянной величиной, равной энергии конденсатора в начальный момент времени

.

Таким образом, при перемещении со скоростью, меньшей скорости электромагнитной волны, конденсатор разряжается с той же скоростью, что и неподвижный конденсатор.

Решение задачи при перемещении конденсатора со скоростью электромагнитной волны получается как частный случай решения - . В этом случае область II отсутствует, а в остальных решение имеет следующий вид. В областях I и IV, куда еще не дошла электромагнитная волна, решение - нулевое:

и в III области распространяется обратная волна, которая двигается влево:

,

,

Энергия, накопленная в линии к моменту времени t, вычисляется по формуле

,

а полная энергия выглядит так

.

Из формулы видно, что для неискажающей линии: суммарная энергия с течением времени стремится к нулю, тогда как для идеальной линии: она, как и в случае , остается постоянной величиной, равной энергии конденсатора в начальный момент времени

.

Распределение напряжения по идеальной и неискажающей линии для моментов времени t = 1; 2; 3; 4 при изображены на рис. 2.2 - 2.5. Здесь как видим, волновая картина имеет явно несимметричный вид и количество энергии, уносимое электромагнитными волнами в противоположные стороны, разнится.



Рис. 7. Распределение напряжения вдоль идеальной линии () на различные моменты времени при , и движении конденсатора с постоянной скоростью

Рис. 8. Распределение напряжения вдоль неискажающей линии () на различные моменты времени при , и движении конденсатора с постоянной скоростью



Рис. 9. Распределение напряжения вдоль неискажающей линии () на различные моменты времени при , и движении конденсатора с постоянной скоростью

Действительно, из графиков на рис. 2.2 - 2.4 видно, что количество энергии в линии, накапливаемой с течением времени в отрицательной области , отличается от энергии в области . Используя решение - , получаем количественную оценку этого дисбаланса:

,

.

Рассмотрим разность энергий :

.

Производная по параметру d от выражения в квадратных скобках формулы имеет следующие знаки:

.

Значит, функция F(d) является выпуклой и в точке достигает максимального значения равного нулю. А это означает, что функция F(d) для любых значений параметра d принимает только неположительные значения. С учетом знака коэффициента в формуле , получаем:

,

,

.

Отсюда следует, что при в линии накапливается одинаковое суммарное количество энергии в отрицательной и положительной областях. В этом случае формула для энергии в линии содержит неопределенность типа 0/0, раскрывая которую по правилу Лопиталя имеем:

.

Ниже на рис. 2.5 приведено распределение напряжения по линии для случая . Так как скорости затухания в линии и разряжения конденсатора совпадают, то профили напряжения приобретают симметричную прямоугольную форму, как и при неподвижном конденсаторе.

Рис. 10. Распределение напряжения вдоль неискажающей линии () на различные моменты времени при , ,

Рассмотрим теперь случай движения конденсатора со скоростью (рис. 2.1,b). В этом случае энергия в линии на момент времени t занимает область , большую чем при . Поэтому, если электрическая емкость разряжается с прежней скоростью: , то в идеальной линии накапливается большая, чем начальная энергия, что противоречит закону сохранения энергии. Поэтому предположим, что конденсатор разряжается с другой скоростью , которую определим из условия закона сохранения суммарной энергии для идеальной линии. В этом случае задача - принимает вид



,

.

Решение этой задачи при (рис. 2.1,b), определяемое по методу характеристик, имеет вид. В областях I и IV, куда еще не дошла электромагнитная волна, решение - нулевое:

.

В III области распространяется обратная волна, которая двигается влево:

,

,

В области II распространяются обе волны, а именно - прямая и обратная, порожденные граничным условием на прямой OA (рис. 2.1,b):

,

.

Энергия, накопленная в линии к моменту времени t, вычисляется по формуле

,

а полная энергия имеет вид

.

Для идеальной линии: полная энергия записывается как

.

Из формулы видно, что для выполнения закона сохранения, т.е. чтобы полная энергия равнялась начальной энергии в конденсаторе: , необходимо задать . Отсюда получаем искомое значение скорости разряда конденсатора .

Таким образом, при перемещении со скоростью, большей скорости электромагнитной волны в линии, конденсатор разряжается быстрее, чем при .

Из - видно, что распределение потенциала зависит только от времени в возмущенной области и не зависит от продольной координаты x при выполнении условия или , .

Распределение напряжения вдоль идеальной и неискажающей линии для моментов времени t = 1; 2; 3; 4 при изображены на рис. 2.6 - 2.9.



Рис. 11. Распределение напряжения вдоль идеальной линии () на различные моменты времени при , , и движении конденсатора с постоянной скоростью

Рис. 12. Распределение напряжения вдоль неискажающей линии () на различные моменты времени при , , и движении конденсатора с постоянной скоростью



Рис. 13. Распределение напряжения вдоль неискажающей линии () на различные моменты времени при , , и движении конденсатора с постоянной скоростью

Рис. 14. Распределение напряжения вдоль неискажающей линии () на различные моменты времени при , , и движении конденсатора с постоянной скоростью

Из графиков на рис. 2.6 - 2.9 видно, что количество энергии в линии, накапливаемой с течением времени в отрицательной области , отличается от энергии в области . Действительно, используя решение - , получаем

,

.

Рассмотрим разность энергий

.

Производная по параметру d от выражения в квадратных скобках формулы имеет следующие знаки

,

.

Значит, функция F(d) является выпуклой и в точке достигает максимального положительного значения. А это означает, что функция F(d) для различных значений параметра d принимает положительные и отрицательные значения. С учетом знака коэффициента в формуле получаем, что как функция от параметра d является убывающей и для принимает значение ноль. Значения зависят от времени t и определяются как корни трансцендентного уравнения . Таким образом, имеем

,

,

.

Таким образом, чтобы в линии на момент времени t накапливалось одинаковое количество энергии в отрицательной и положительной областях (что означает симметрию потенциала) емкость должна быть переменной (регулируемой) и обеспечивать выполнение условия: .

Рассмотрим теперь задачу, в которой разряжающийся конденсатор начинает двигаться с постоянным ускорением b и начальной скоростью v, а при достижении скорости конденсатора значения, равного a, в дальнейшем он перемещается с этой постоянной скоростью. В этом случае задача - принимает вид

,

,

.

Здесь соответствует траектории движения конденсатора в плоскости переменных x, t, которая на рис. 3.1 обозначена буквами OAB и состоит из двух участков: на участке OA кривая представляет собой параболу, а на участке AB - это прямая линия .

Рис. 15. Расположение областей решения задачи на плоскости Oxt для конденсатора, перемещающегося с постоянным ускорением вплоть до достижения световой скорости

Решение этой задачи, определяемое по методу характеристик, имеет различную форму в каждой из пяти областей плоскости Oxt (рис. 3.1). В областях I и V, куда еще не дошла электромагнитная волна, решение нулевое:

.

В области II распространяется прямая волна, которая двигается вправо:

,



.

В III области распространяется обратная волна, которая двигается влево:

,

.

И в IV области распространяется также обратная волна, которая двигается влево:

,

.

Распределение напряжения вдоль идеальной и неискажающей линии для моментов времени t = 1.0; 2.0; 3.0; 4.0 при , (, ) изображены на рис. 3.2 - 3.4.



Рис. 16. Распределение напряжения вдоль идеальной линии () на различные моменты времени при , и движении конденсатора с постоянным ускорением

Рис. 17. Распределение напряжения вдоль неискажающей линии () на различные моменты времени при , и движении конденсатора с постоянным ускорением



Рис. 18. Распределение напряжения вдоль неискажающей линии () на различные моменты времени при , и движении конденсатора с постоянным ускорением

Из формул - и рисунков 3.2 - 3.4 видно, что решение является непрерывной функцией по переменной x до момента времени ta, т.е. до момента достижения двигающимся конденсатором скорости электромагнитной волны a. В дальнейшем при функция претерпевает скачок в точках , т.е. вдоль прямой AB на границе раздела областей II и IV (рис. 3.1). Величина этого скачка равна

,

который аннулируется при .

Энергия, накопленная в линии к моменту времени t, вычисляется по формуле, которая совпадает с формулой для энергии в случае движения конденсатора с постоянной скоростью

.

Для идеальной линии () полная энергия остается постоянной величиной, равной энергии конденсатора в начальный момент времени

.

Заключение

1. На основе строгих решений телеграфных уравнений исследована динамика разряда конденсатора на длинную линию. При определенном соотношении между электрической емкостью источника напряжения и потерями в линии распределение суммарной энергии в ней становится симметричным и не зависит от скорости движения конденсатора.

2. Обнаружен релятивистский эффект пропорционального увеличения скорости разряда электрической емкости при скоростях ее движения превышающих скорость распространения волн потенциала и тока в линии. Решена также нелинейная задача о разряде конденсатора при его перемещении с постоянным ускорением вплоть до достижения им световой скорости.

Литература

1. Кулигин В.А., Кулигина Г.А., Корнева М.В. Разряд движущегося конденсатора. http://314159.ru/kuligin/kuligin5.htm

2. Римский В.К., Берзан В.П., Пацюк В.И. и др. Волновые явления в неоднородных линиях. Т.4. Параметрические цепи. - Кишинев: Типография АНМ, 2008. - 552с.

Размещено на Allbest.ru

...