Минимизация дисперсионных эффектов в разностной схеме для телеграфных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

56

Минимизация дисперсионных эффектов в разностной схеме для телеграфных уравнений

Андрос И., Берзан В.

Институт энергетики АНМ

Аннотация. В работе исследуется расчетная схема в конечных разностях для системы гиперболических уравнений, известных в электротехнике как телеграфные уравнения и которые описывают процесс распространения волн потенциала и тока в длинной линии, обратным проводом для которой является земля. Используя метод аппроксимации в конечных разностях первого порядка, была получена аппроксимация, при которой обеспечивается минимизация диссипативной и дисперсной составляющих в численном решении.

Ключевые слова: расчетная схема в конечных разностях, телеграфные уравнения, распространения волн потенциала и тока в длинной линии, метод аппроксимации, минимизация диссипативной и дисперсной составляющих в численном решении.

Minimization of dispersive effects in the difference scheme telegraphic equations

Andros I., Berzan V.

Institute of Power Engineering of the Academy of Sciences of Moldova

Abstract. Paper deals with difference scheme for the system of telegraph equations, which describes the potential's and current's waves diffusion in a long line, considering Earth as the return line. Using the first differential approximation was obtained the approximation of the differential equations with the minimized influence of the dissipative and dispersing terms.

Keywords: system of telegraph equations, potential's and current's waves diffusion in a long line, differential approximation, minimized influence of the dissipative and dispersing terms.

Minimizarea efectelor de dispersie оn schema оn diferenюe finite pentru ecuaюiile telegrafiєtilor

Andros I., Berzan V.

Institututl de energeticог al AЄM

Rezumat. Оn articolul este cercetatг schema оn diferenюe pentru sistemul de ecuaюii telegrafice care descrie propagarea undelor potenюialului єi a curentului electric оntr-o linie lungг, pгmвntul fiind considerat fir invers. Utilizвnd metoda aproximгrii diferenюiale de primul ordin a fost obюinutг aproximarea ecuaюiilor diferenюiale оn care asigurг minimizarea influenюei componentelor de disipaюie єi dispersie.

Cuvinte-cheie: ecuaюii telegrafice, undele potenюialului єi a curentului electric, linie lungг, metoda aproximгrii diferenюiale, minimizarea influenюei componentelor de disipaюie єi dispersie.

Ведение

Исследование динамических процессов в длинных линиях является сложной и актуальной задачей для современной электротехники. Результаты ее решения необходимы не только для расчета токов и напряжений, затуханий и перенапряжений, но и для решения задач из области диагностики энергооборудования. Точность получаемых решений влияет на достоверность результатов диагностики. Неоднородность электрических длинных линий, потери в линиях их многопроводность усложняют задачу анализа процессов аналитическими методами. С этой точки зрения обоснованным и эффективным является расчет динамических процессов в этих цепях численными методами, в частности методом характеристик. Потери в проводах и в изоляции линии вносят определенную погрешность в результат численного решения задачи из-за присутствия в классической разностной схемы диссипативных и дисперсных компонент. Влияние этих компонент сильнее проявляется при анализе процессов в длинных линиях с относительно высоким уровнем потерь энергии. Как следствие происходит деформирование волн и появление остаточного фона, проявляющегося внешне как белый частотный шум в численном решении. По сути, этот фон и деформирование волн во временем является ошибкой численного метода. Рассматриваемая в работе задача имеет целью определения условий при которых минимизируется влияние этих компонент на точность решения получаемого методом характеристик.

Постановка задачи

Для решения поставленной задачи в работе рассматривается разностная схема для системы телеграфных уравнений, которая описывает распространение волн потенциала и тока в длинной линии с учетом земли как обратного провода. Необходимо получить условия минимизации влияния диссипативного и дисперсионного членов в расчетной численной схеме непрерывного счета.

Метод и алгоритм решения задачи

Методом первого дифференциального приближения получена аппроксимация дифференциальных уравнений, с целью минимизирования влияния диссипативного и дисперсионного членов.

Рассмотрим в области систему двух дифференциальных уравнений в частных производных для неизвестных функций и

, .(1)

Для выделения единственного решения системы (1) зададим следующие начальные и граничные условия

, .(2)

Здесь L и R - коэффициенты самоиндукции и активное сопротивление проводника на единицу длины, а C и G - емкость и проводимость утечки, рассчитанные на единицу длины. Если потери через изоляцию и погонное активное сопротивление пренебрежимо мало (), тогда система (1) является аналогом известной системы уравнений акустики [1] и описывает процессы распространения волн возмущений без потери энергии, т.е. без диссипации.

В монографии [2] приведена разностная схема, построенная на основе метода распада разрыва С.К. Годунова [3]. На отрезке вводится разностная сетка с шагом h: , , . Кроме того, используются также узлы с полуцелыми индексами . В соответствии с методом распада разрыва подлежащие определению неизвестные функции относятся к узлам и обозначаются , на временном слое (ф - шаг сетки по координате t) и , - на слое . В целых узлах используются “вспомогательные” величины , , которые выражаются через , . Уравнения (1) аппроксимируются следующим разностным аналогом

,

, (3)

где величины , определяются из соотношений на характеристиках системы (1): ,

.(4)

Граничные условия (2) аппроксимируются формулами

,

. (5)

Построенная разностная схема обладает первым порядком аппроксимации и устойчива при выполнении условия .

Проведенные численные расчеты по схеме (3)-(5) позволили успешно решить ряд практически важных задач [2]. Однако при попытках решения задач со входным сигналом, имеющим область резкого изменения значения (большим градиентом), был обнаружен эффект появления нефизических осцилляций на фронте изменения сигнала. Этот эффект проявляется в случае, когда и . Если же , то осцилляции не появляются, но резкий фронт сигнала “размазывается”. Такое поведение численного решения обычно является следствием наличия в разностных уравнениях диссипативных и дисперсионных членов большой величины.

Для анализа структуры разностной схемы и минимизации нежелательных эффектов диссипации и дисперсии воспользуемся методом первого дифференциального приближения (ПДП), предложенным и описанным в [4]. Запишем разностную схему (3) в более простом виде, используя обозначения без индексов i, u для , и , для , , а также общепризнанные обозначения разностных производных [5]. Воспользуемся соотношениями (4) для исключения из уравнений (3) величин , , тогда получим

,

или

, . (6)

Так как

то схему (6) можно записать в виде

, . (7)

Используя процедуру разложения в ряд Тейлора значений неизвестных функций i, u в окрестности базового узла разностной схемы , запишем аппроксимацию дифференциальной системы (1) разностной схемой (7)

,

.(8)

Из формул (8) видно, что разностная схема (7) аппроксимирует уравнения (1) с первым порядком точности по ? и h. Со вторым же порядком аппроксимируются уравнения, в которых к (1) добавлены диссипативные члены, содержащие вторые производные , , и дисперсионные члены, содержащие , . Такие уравнения называются первым дифференциальным приближением (ПДП). В результате при проведении расчетов с шагом диссипативные члены имеют второй порядок малости, а дисперсионные - первый, что и приводит к появлению в решении нефизических осцилляций. Если же , то основной диссипативный член не равен нулю и поскольку он содержит вторую производную, то на фронтах с большими градиентами он существенно больше дисперсионного члена, что приводит к “размазыванию” фронтов. Из структуры формул (8) видно, что уменьшить влияние диссипативных и дисперсионных членов в построенной схеме можно только за счет изменения значений имеющихся параметров разностной схемы ? и h. Причем, если диссипативный член может быть исключен путем выбора значений , то дисперсионный - только за счет уменьшения значения временного шага ?, что приводит к необходимости решения задачи с неоправданно малыми значениями ? и h.

Для улучшения качества разностной схемы предлагается изменить аппроксимацию свободных членов в уравнениях (1). Вместо вычисления среднего значения на двух временных слоях и рассмотрим линейную комбинацию: и , где б и в - неизвестные параметры. Тогда разностная схема в форме уравнений (7) принимает вид

, . (9)

Соответствующие уравнениям (9) ПДП имеет вид

,

.(10)

Из структуры соотношений (10) видно, что основные диссипативные члены, содержащие вторую производную, могут быть исключены как и в предыдущем схеме при , однако наличие свободных параметров б и в позволяет одновременно занулить и дисперсионные члены, выбрав их значения равными

, .(11)

Диссипативные члены, содержащие значения функций i и u, остаются ненулевыми, но их значения на фронте сигнала существенно меньше значений первых и вторых производных и наличие множителя, пропорционального шагу ф, обеспечивает практическое отсутствие диссипативных и дисперсионных эффектов при проведении расчетов. Отметим, что в случае идеальной линии при дисперсионные члены в (10) отсутствуют и расчеты можно проводить по первой схеме (7) при .

Выводы

Полученные теоретические результаты были проверены расчетами на компьютере, которые полностью подтвердили ожидаемое отсутствие нефизических осцилляций и “размазывания” волновых фронтов входного сигнала.

уравнение гиперболический электротехника

Литература

1. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике.-М: Наука, 1968.-592с.

2. Римский В., Берзан В., Тыршу М. Волновые явления в неоднородных линиях.-Кишинев: Типография Академии Наук, 1997.-296с.

3. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., Крайко А.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики.- М: Наука, 1976.-484с.

4. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике.-Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1985.-364с.

5. Самарский А.А. Теория разностных схем.-М: Наука, 1977.-656с.

Размещено на Allbest.ru