Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 539.3

Прочность многослойных прямоугольных пластин в задачах изгиба композитных конструкций

Многие композиционные материалы, такие, например, как углепластики, имеют слоистую структуру. При проектировании многослойных композитных конструкций механические характеристики отдельных слоев могут сильно различаться. В углепластике слой представляет собой уложенные в одном направлении углеродные волокна, которые помещены в связующий материал - матрицу. Существует подход к моделированию слоистых композитов, в котором каждый слой представляется однородным материалом, обладающим соответствующей анизотропностью механических свойств. В этом случае слой с однонаправленными волокнами можно представить как трансверсально изотропный материал с главным направлением упругости, совпадающим с направлением укладки волокон. Сама конструкция моделируется как слоистая среда, составленная из таких слоев.

Для расчета прочности композитных конструкций требуется знание их напряженно-деформированного состояния (НДС). При исследовании НДС многослойных конструкций в рамках упругого деформирования можно воспользоваться уравнениями пространственной теории упругости, однако, вычислительная сложность краевых задач в этой постановке чрезвычайно высока. Следует отметить, что многие слоистые композиты имеют одну важную особенность - их толщина мала по отношению к двум другим геометрическим размерам. Эта особенность позволяет применять для моделирования слоистых композитов двумерные теории многослойных тонкостенных конструкций. В работе рассмотрены классическая теория Кирхгофа-Лява [1], распространенная на случай многослойных конструкций и теория «ломаной линии» Григолюка-Чулкова [2].

Рассматриваем задачу изгиба многослойной прямоугольной пластины со сторонами , и постоянной толщиной . Пластина шарнирно закреплена на торцевых гранях и находится под распределенной поперечной нагрузкой , действующей на верхнюю грань (рис. 1).

Пластина состоит из слоев. Каждый слой пластины выполнен из трансверсально изотропного материала, моделирующего композиционный слой с армирующими волокнами, уложенными в одном направлении. Направление укладки волокон обозначим , а перпендикулярные ему направления . Каждый слой может определяется следующими техническими постоянными:

где , , - модуль упругости, коэффициент Пуассона, модуль сдвига, а нижние индексы обозначают направления, которым они соответствуют.

В работе рассмотрены симметричные схемы укладки трех-, пяти-, семи- и девятислойных пластин с чередующимися углами укладки. В слоях с нечётными номерами направление укладки параллельно оси , а в слоях с четными номера параллельно оси (нумерация слоев начинается с 1). Каждый слой пластины имеет постоянную толщину. Общая толщина четных и нечетных слоев совпадает, при этом толщины сонаправленных слоев равны между собой, т.е. толщина -го слоя для слоев с нечетными номерами, и с четными.

При решении задачи в рамках пространственной теории упругости на границах между слоями потребуем непрерывности перемещений , , , соотвествующих направлениям , и . Дополнительно потребуем непрерывность компонент тензора напряжений , , , что отвечает условию “жёсткого” контакта. На верхней и нижней гранях пластины справедливы зависимости композит слоистый поперечный нагрузка

На торцевых гранях заданы условия, соответствующие шарнирному закреплению:

Для описаной задачи в работе [3] в рамках пространственной теории упругости получено решение методом Фурье. В этой работе для описанной задачи сооветсвующие расчеты проведены в рамках теорий пластин Кирхгофа-Лява [1] и ломаной линии [2]. Для всех теорий в качестве отсчетной поверхности выбрана срединная поверхность .

Краевые условия для каждой из рассмотренных теорий имеют вид:

Теория ломаной линии

Теория Кирхгофа-Лява

Далее для удобства будем использовать обезразмеренные переменные:

, , , , , .

В целях сравнения с работой [3] рассмотрим частный случай квадратной пластины, когда . В численных экспериментах применялся модифицированный метод коллокаций и наименьших невязок [4].

В рассматриваемой задаче основной вклад в НДС пластины вносят нормальные напряжения и . Максимальные абсолютные значения нормальных напряжений возникают во внешних слоях пластины. На рис. 2 представлено распределение напряжений и в срезе трехслойной пластины при S=10. Для внешних слоев направление укладки волокон совпадает с направлением , поэтому для них характерно высокое значение напряжения и малое для . Для слоев с четным номером, в которых сонаправлено , наоборот напряжения намного превышают .

Помимо пластин с разным числом слоев в работе представлены результаты для пластин с разным отношением толщины к длине стороны S. Это величина является принципиально важной, так как гипотезы теорий пластин наиболее точно выполняются для тонких пластин (S>>1).

В табл. 1. приведены значения компонент тензора напряжений в точке где они принимают максимальные значения. Данные расчетов получены в рамках разных теорий, для разного числа слоев и значений S. Дополнительно, приведена погрешность рассчитанных напряжений относительно пространственной теории упругости в процентах.

Схема распределения толщин слоев и ориентация укладки волокон приводит к тому, что для теории Кирхгофа-Лява максимальные обезразмеренные значения не зависят от числа слоев и от величины S. Из таблицы видно, что при больших значения , т.е. в случае очень тонких пластин, все теории пластин дают результат отличающийся от пространственной теории упругости не более чем на 0.5%. Однако, с ростом , отклонения увеличиваются. Для толстых пластин () теория Кирхгофа-Лява недооценивает напряжения более чем в 2 раза.

Рис. 2 Распределение напряжений и в ценральном срезе трехслойной пластины при S=10. Расчет в рамках теории ломаной линии

Наиболее близкие к пространственной теории результаты дает теория ломаной линии. Для тонких пластин и пластин умеренной толщины () приближение является достаточно хорошим - порядка одного процента. В более толстых пластинах напряжение , которое не учитывается в теории ломаной линии, становится сопостовимым с другими нормальными компонентами тензора напряжений. Это в свою очередь приводит к несимметричному, относительно срединной плоскости, распределению НДС, так как нагрузка осуществляется только на верхнюю грань пластины. Рассмотренные здесь теории пластин не учитывают этот эффект.

При фиксированном S точность расчетов в рамках теории ломаной линии растет с увеличением числа слоев . Это очевидно связано с изменением характера распределения перемещений по толщине, которое с ростом становится более близким к кусочно-линейному виду.

Для задачи изгиба многослойной прямоугольной пластины с известным аналитическим решением в рамках пространственной теории упругости проведено сравнение напряженного состояния, рассчитанного в рамках разных теорий пластин. Показано влияние отношения толщины к длине стороны пластины на точность приближения теорий пластин к решению пространственной теории упругости.

На основании проведенных численных экспериментов можно отметить высокую точность теории ломаной линии для пластин умеренной толщины (). Более того увеличение числа слоев в пластине, приводит к уточнению решения. Однако для тонких пластин () в расчетах достаточно использовать более экономную с точки зрения вычисления теорию Кирхгофа-Лява. При этом для толстых () пластин НДС, полученное в рамках рассмотренных теорий пластин, описывается достаточно с большой погрешностью.

Таблица 1. Значения компоненты тензора напряжений .

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 13-01-12032).

Литература

1. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961. 384 с.

2. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Задачи статики анизотропных неоднородных оболочек. М.: Наука, 1992. 332 с.

3. Pagano N.J., Hatfield H.J. Elastic Behavior of Multilayered Bidirectional Composites // AIAA Journal, 1972. Vol. 10, No. 7. P. 931-933.

4. Голушко С.К., Идимешев С.В., Шапеев В.П. Разработка и применение метода коллокаций и наименьших невязок в к задачам механики анизотропных слоистых пластин // Вычислительные технологии, 2014. Т. 19, № 5. 24-36 с.

Размещено на Allbest.ru